Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
511 (500 + 11) × 7 500 × 7 = 3500 11 × 7 = + 77 3577 925 (900 + 25) × 8 900 × 8 = 7200 25 × 8 = + 200 7400 65 Произведения растраченной юности: основы умножения 825 (800 + 25) × 3 800 × 3 = 2400 25 × 3 = + 75 2475 В общем, если результат умножения последних двух цифр первого числа на его множитель известен вам и без подсчетов (например, вы знаете, что 25 × 8 = 200), то вы сможете полу- чить итоговый ответ намного быстрее. Например, если вы и так знаете, что 75 × 4 = 300, то легко вычислите 975 × 4. 975 (900 + 75) × 4 900 × 4 = 3600 75 × 4 = + 300 3900 Чтобы закрепить только что усвоенный материал, решите следующие задачи на умножение типа «3 на 1» в уме, а затем проверьте себя по ответам в конце книги. Исходя из собствен- ного опыта, могу сказать, что устные вычисления сродни ка- танию на велосипеде или печатанию. Это может казаться не- возможным поначалу, но как только вы все освоите, то уже никогда этого не забудете. УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ТИПА «3 НА 1» 1. 431 2. 637 3. 862 4. 957 5. 927 × 6 × 5 × 4 × 6 × 7 6. 728 7. 328 8. 529 9. 807 10. 587 × 2 × 6 × 9 × 9 × 4 66 Магия чисел 11. 184 12. 214 13. 757 14. 259 15. 297 × 7 × 8 × 8 × 7 × 8 16. 751 17. 457 18. 339 19. 134 20. 611 × 7 × 7 × 8 × 8 × 3 21. 578 22. 247 23. 188 24. 968 25. 499 × 9 × 5 × 6 × 6 × 9 26. 670 27. 429 28. 862 29. 285 30. 488 × 4 × 3 × 5 × 6 × 9 31. 693 32. 722 33. 457 34. 767 35. 312 × 6 × 9 × 9 × 3 × 9 36. 691 × 3 ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ Возводить в уме числа в квадрат (умножать число само на себя) — одно из наиболее легких, но в то же время и наи- более впечатляющих ловкачеств из арсенала устных вычисле- ний. Я до сих пор помню, как открыл этот прием для себя. Мне было тринадцать. Я ехал в автобусе навестить отца на работе в центр Кливленда. Я уже проделывал этот путь неоднократ- но, поэтому мысли начали блуждать. Не помню почему, но я стал думать о числах, которые в сумме дают 20. И задался во- просом: насколько большим может быть произведение этих чисел? Я начал с середины, 10 × 10 (или 10 2 ) равняется 100. За- тем я умножил 9 × 11 = 99; 8 × 12 = 96; 7 × 13 = 91; 6 × 14 = 84; 67 Произведения растраченной юности: основы умножения 5 × 15 = 75; 4 × 16 = 64 и т. д. и обратил внимание на то, что результат каждый раз уменьшается. И разность между ним и 100 составляет 1, 4, 9, 16, 25, 36... или 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , 6 2 ... (смотри таблицу ниже). Числа, дающие в сумме 20 Их разность с числом 10 Их произведение Разность произведений с числом 100 10 10 0 100 0 9 11 1 99 1 8 12 2 96 4 7 13 3 91 9 6 14 4 84 16 5 15 5 75 25 4 16 6 64 36 3 17 7 51 49 2 18 8 36 64 1 19 9 19 81 Мое открытие показалось мне удивительным. Затем я опро- бовал числа, дающие в сумме 26, и получил похожие результа- ты. Первым делом я вычислил 13 2 = 169, затем 12 × 14 = 168; 11 × 15 = 165; 10 × 16 = 160; 9 × 17 = 153 и т. д. Как и прежде, раз- ность этих произведений и числа 169 равнялась 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 … (смотрите таблицу ниже). На самом деле существует простое алгебраическое объяс- нение данного феномена (смотрите раздел «Почему эти при- емы работают» в конце главы). Но в то время я не разбирался в алгебре настолько хорошо, чтобы доказать постоянство по- явления такой последовательности, но все-таки провел доста- точное количество экспериментов с подобными примерами, чтобы убедиться в ее наличии. 68 Магия чисел Числа, дающие в сумме 26 Их разность с числом 13 Их произведение Разность произведений с числом 169 13 13 0 169 0 12 14 1 168 1 11 15 2 165 4 10 16 3 160 9 9 17 4 153 16 8 18 5 144 25 Затем я осознал, что данная последовательность может об- легчить операцию возведения чисел в квадрат. Предположим, я хочу возвести в квадрат число 13. Почему бы, вместо того чтобы умножать 13 × 13, не получить приближенный ответ, используя два числа, которые легче перемножить и которые в сумме дают тоже 26? Я выбрал 10 × 16 = 160. Чтобы получить итоговый ответ, я просто прибавил 3 2 = 9 (так как 10 и 16 дают разность 3 с числом 13) к числу 160. Таким образом, 13 2 = 160 + + 9 = 169. Все четко! Данный метод схематически можно представить так. +3 16 13 2 160 + 3 2 = 169 –3 10 А теперь посмотрим, как эта схема работает с квадратом другого числа +1 42 41 2 1680 + 1 2 = 1681 –1 40 Чтобы возвести в квадрат 41, вычтем 1 из 41, чтобы полу- чить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42. Далее умножаем 69 Произведения растраченной юности: основы умножения 40 × 42. Без паники! Это простое умножение типа «2 на 1» под прикрытием (здесь 4 × 42). Так как 4 × 42 = 168, то 40 × 42 = 1680. Почти все! Вам осталось лишь прибавить квадрат 1 (числа, на величину которого вы уменьшали и увеличивали 41), что- бы получить ответ: 1680 + 1 = 1681. Неужели в самом деле так легко возводить в квадрат двуз- начные числа? Да, с использованием этого метода и неболь- шим количеством практики. И способ работает независимо от того, округляете вы исходное число в бо 2льшую или мень- шую сторону. Например, возведем 77 2 , увеличив и уменьшив его во вре- мя решения. +7 84 77 2 5880 + 7 2 = 5929 –7 70 или +3 80 77 2 5920 + 3 2 = 5929 –3 74 В данном примере преимущество округления в большую сторону состоит в том, что вы практически уже получили ре- шение, осталось просто прибавить 9 к 0 на конце! По сути, я всегда округляю по принципу большей близо- сти к 10. Так, если возводимое в квадрат число оканчивается на 6, 7, 8 или 9, то округляю в большую сторону, а если на 1, 2, 3 или 4, то в меньшую. (Если число оканчивается на 5, то округляем сразу в обе стороны!) Придерживаясь такой страте- гии, вы ограничитесь прибавлением лишь чисел 1, 4, 9, 16 или 25 к результатам первого умножения. 70 Магия чисел Рассмотрим другой пример. Вычислите 56 2 в уме самостоя- тельно, прежде чем посмотрите на наше решение. +4 60 56 2 3120 + 4 2 = 3136 –4 52 Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, еще легче. Так как здесь выполняется округление в любую из сто- рон на величину 5, то числа, которые нужно перемножить, будут кратны 10. Следовательно, умножение и сложение пока- жутся особенно простыми. Ниже представлены решения для 85 2 и 35 2 +5 90 85 2 7200 + 5 2 = 7225 –5 80 +5 40 35 2 1200 + 5 2 = 1225 –5 30 Как говорится в главе 0, когда в квадрат возводятся чис- ла, оканчивающиеся на 5, округление в большую и меньшую стороны позволит немедленно сказать первую часть ответа, а потом дополнить его числом 25. Например, когда вы хоти- те посчитать 75 2 , округление до 80 и 70 даст вам «пять тысяч шестьсот… двадцать пять!». Что касается чисел, оканчивающихся на 5, вам будет не- сложно разгромить любого «вычислителя» с калькулятором в руке. А после небольшой практики с другими задачками на возведение в квадрат момент, когда вы сможете победить 71 Произведения растраченной юности: основы умножения калькулятор, не заставит себя долго ждать. Вы даже переста- нете бояться больших чисел. Можете попросить кого-нибудь задать вам действительно большое двузначное число, что- нибудь вроде «больше 90», и это будет выглядеть в глазах лю- дей так, словно вы взялись за непосильную задачу. На самом же деле так даже проще, потому что у вас будет возможность округлить до 100. Представим, что ваша аудитория назвала 96 2 . Сначала по- пробуйте сами, а потом сравните с нашим решением. +4 100 96 2 9200 + 4 2 = 9216 –4 92 Правда, было легко? Вам следовало округлить с помощью 4 до 100 и 92, а затем умножить 100 × 92 и получить 9200. В мо- мент решения задачи вы можете проговаривать вслух: «Девять тысяч двести…» и затем закончить: «...шестнадцать». И на- слаждаться аплодисментами. УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ Решите следующие задачи. 1. 14 2 2. 27 2 3. 65 2 4. 89 2 5. 98 2 6. 31 2 7. 41 2 8. 59 2 9. 26 2 10. 53 2 11. 21 2 12. 64 2 13. 42 2 14. 55 2 15. 75 2 16. 45 2 17. 84 2 18. 67 2 19. 103 2 20. 208 2 72 Магия чисел Зера Колберн: занимательные расчеты О дним из первых извлечь выгоду из своего таланта — уме- ния производить вычисления молниеносно — сумел Зера Колберн (1804–1839), сын американского фермера из Вермон- та, который выучил таблицу умножения до 100 даже раньше, чем научился читать и писать. Когда юному дарованию испол- нилось шесть лет, его отец организовал тур, и выступления Зеры позволили скопить достаточный капитал для того, чтобы отправить мальчика в школу в Париже или Лондоне. В возрасте восьми лет он был известен во всем мире, выступал со своими молниеносными расчетами в Англии и был охарактеризован в Annual Register как «возможно, самый исключительный фено- мен в истории человеческого разума из когда-либо существо- вавших». Майкл Фарадей и Сэмюэль Морзе восхищались его талантом. Где бы Колберн ни выступал, он всегда опережал всех со- перников в скорости и точности. В автобиографии он расска- зывает о наборе задач, которые ему задали в Нью-Хэмпшире в июне 1811 года: «Сколько дней и часов прошло с момента рождения Христа 1811 лет назад? Ответил за двадцать секунд: 661 015 дней, 15 864 360 часов. Сколько секунд содержится в одиннадцати годах? Ответил за четыре секунды: 346 896 000. Колберн использовал методы, описанные в этой книге, чтобы проводить вычисления исключительно в уме. Например, он раскладывал большое число на меньшие сомножители и затем перемножал их: однажды Колберн умножил 21 734 × 543 путем разложения 543 как 181 × 3. Затем он умножил 21 734 × 181, чтобы получить 3 933 854, и наконец умножил это число на 3, чтобы получить в итоге 11 801 562. Как часто бывает с такими людьми, интерес к удивитель- ным способностям Колберна со временем утих, и в возрасте двадцати лет юноша вернулся в США и стал проповедником- методистом. Он умер в возрасте тридцати пяти лет. Подыто- живая информацию о своих способностях к молниеносным 73 Произведения растраченной юности: основы умножения ПОЧЕМУ ЭТИ ПРИЕМЫ РАБОТАЮТ Этот раздел предназначен для учителей, студентов, любите- лей математики и всех, кому любопытно, почему этот метод работает. Некоторые найдут теоретическую сторону вопро- са не менее интересной, чем практическая. К счастью, вам не нужно разбираться в том, почему метод работает, для того чтобы научиться его применять. Всем магическим трюкам есть рациональное объяснение. И математические не исклю- чение. И вот прямо сейчас маг от математики раскроет свои самые сокровенные тайны! В этой главе, посвященной задачам на умножение, мы при- менили дистрибутивный (распределительный) закон, кото- рый позволял нам разбивать задачи на части. Данный закон гласит, что для любых чисел a, b и c ( b + с) × a = (b× а) + (с× а) То есть число за скобками распределяется и по отдельности умножается на каждое из чисел в скобках. Например, в первой задаче на умножение 42 × 7 мы добрались до итогового ответа с помощью представления 42 в виде 40 + 2, а затем помножили на 7 каждое из них следующим образом: 42 × 7 = (40 + 2) × 7 = (40 × 7) + (2 × 7) = 280 + 14 = 294 вычислениям и преимуществам, которые такой дар дает, Кол- берн размышлял: «Действительно, метод… требует большего количества вычислений, чем общее правило. Зато запомнит- ся то, что ручка, чернила и бумага обходились Зере очень дешево». 74 Магия чисел Вы можете спросить, почему распределительный закон в принципе работает. Чтобы понять его интуитивно, пред- ставьте, что у вас есть 7 сумок, в каждой по 42 монеты, 40 из ко- торых золотые, а 2 серебряные. Сколько всего у вас монет? Су- ществует два способа получить ответ. С одной стороны, исхо- дя из определения умножения, скажем, что у вас есть 42 × 7 мо- нет. С другой — всего 40 × 7 золотых и 2 × 7 серебряных монет. Следовательно, всего имеем (40 × 7) + (2 × 7) монет. Отвечая на наш вопрос двумя способами, получим 42 × 7 = (40 × 7) + (2 × 7). Обратите внимание, что числа 7, 40 и 2 можно заменить любыми другими (a, b или c), сохранив общий логический принцип. Вот почему распределительный метод работает! Используя подобную аргументацию о золотых, серебря- ных и медных монетах, получим более общий закон. ( b + с + d) × а = (b× а) + (с× а) + (d× а) Следовательно, чтобы умножить 326 × 7, разбиваем 326 как 300 + 20 + 6. Потом умножаем на 7 следующим образом: 326 × 7 = (300 + 20 + 6) × 7 = (300 × 7) + (20 × 7) + (6 × 7), а затем скла- дываем отдельные произведения. Что касается возведения в квадрат, представленный ниже алгебраический закон оправдывает мой метод. (A и d — любые числа.) А 2 = ( А + d) × (А – d) + d 2 Здесь А — число, которое возводится в квадрат; d — любое число, но я выбрал в его качестве разности между А и ближай- шим кратным 10. Поэтому для 77 2 я определил d = 3, и наша формула показывает, что 77 2 = (77 + 3) × (77 – 3) + 3 2 = (80 × × 74) + 9 = 5929. Алгебраические соотношения следующего вида также объясняют мой метод возведения в квадрат. Произведения растраченной юности: основы умножения ( z + d) 2 = z 2 + 2 zd + d 2 = z(z + 2d) + d 2 Следовательно, чтобы возвести в квадрат 41, мы зададим z = 40 и d = 1, чтобы получить 41 2 = (40 + 1) 2 = 40 × (40 + 2) + 1 2 = 1681 Подобным образом имеем ( z – d) 2 = z(z – 2d) + d 2 Чтобы найти 77 2 , полагаем z = 80 и d = 3. Тогда 77 2 = (80 – 3) 2 = 80 × (80 – 6) + З 2 = 80 × 74 + 9 = 5929 76 Глава 3 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня Магия чисел действительно захватывает, когда выступаешь перед аудиторией. Мой первый опыт публичных выступлений пришелся на восьмой класс, в уже довольно «преклонном воз- расте» тринадцати лет. Многие матемаги начинали еще рань- ше. Например, Зера Колберн (1804–1839) мог производить мол- ниеносные расчеты еще до того, как научился читать и писать, и начал развлекать зрителей в возрасте шести лет! Когда мне было тринадцать, моя учительница алгебры записала на до- ске задачу, где следовало вычислить 108 2 . Я быстро выпалил: «108 в квадрате будет 11 664!» Учительница сделала расчет на доске и получила такой же ответ. Глядя немного испуганно, она произнесла: «Да, верно. Как ты это сделал?» Тут я ей и выложил: «Я округлил 108 до 100 и увеличил 108 до 116. После перемножил 116 на 100, получил 11 600, а потом просто прибавил квадрат 8, в итоге получилось 11 664». Она никогда раньше не сталкивалась с таким методом. Я был взволнован. Даже успел самонадеянно подумать о «тео- реме Бенджамина». Я на самом деле верил в то, что открыл не- что новое. Когда я в конце концов наткнулся на этот метод спу- стя несколько лет в книге Мартина Гарднера по занимательной 77 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня математике Mathematical Carnival («Математический карна- вал», 1965), мой день был испорчен! Хотя то, что я сам нашел его, все же воодушевляло. Вы тоже можете произвести впечатление на друзей (или учи- телей), используя некоторые из довольно удивительных приме- ров на умножение. В конце предыдущей главы вы узнали, как умножить двузначное число само на себя. В этой главе вы научи- тесь перемножать два разных двузначных числа, а затем попро- буете приложить руку (вернее, мозг) к возведению трехзначных чисел в квадрат. При этом для решения таких задач не обяза- тельно знать, как умножить два двузначных числа. Так что мо- жете начать осваивать любой из этих навыков в любом порядке. |