Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
25 7)179 – 140 39 – 35 4 ← остаток Ответ: 25 (остаток 4), или 25 (и 4/7). Попробуем решить похожую задачу, используя аналогич- ные расчеты. 675 ÷ 8 * Автор использует американскую нотацию для деления в столбик. В этой нотации сначала записывается делитель (число 7 в примере ниже), рядом делимое (число 179). Цифры ответа поочередно за- писываются над делимым. Число под делимым — это произведе- ние делителя и первой цифры ответа (с соответствующим количе- ством нулей). Затем из разности делимого и этого числа вычитается произведение делителя и следующей цифры ответа, и так далее. 103 Разделяй и властвуй: деление в уме Как и раньше, если 675 находится между 8 × 10 = 80 и 8 × 100 = 800, то ответ должен быть меньше 100 и выражать- ся двузначным числом. Чтобы произвести деление, учтем, что 8 × 80 = 640 и 8 × 90 = 720. То есть ответ должен быть в диа- пазоне 80 «с хвостиком». Но с каким хвостиком? Чтобы это узнать, вычтите 640 из 675 для получения остатка 35. После произнесения вами «80» наша задача сведется к 35 ÷ 8. Так как 8 × 4 = 32, итоговый ответ будет 84 с остатком 3, или 84 и 3/8. Схематически данный пример представим так: 84 8)675 – 640 35 – 32 3 ← остаток Ответ: 84 (остаток 3), или 84 (и 3/8). Как и большинство устных вычислений, процесс деления можно рассматривать как процесс упрощения. Чем больше числа в первом действии, тем проще становится задача. То, что начиналось как 675 ÷ 8, было сведено к меньшей задаче 35 ÷ 8. Теперь рассмотрим пример, при решении которого полу- чается трехзначное число. 947 ÷ 4 На этот раз ответ будет содержать три цифры, потому что 947 находится между 4 × 100 = 400 и 4 × 1000 = 4000. Нам следу- ет отыскать наибольшее кратное 100, наиболее близкое к 947. Поскольку 4 × 200 = 800, то есть «200 плюс», так что вперед, произнесите это! Вычитание 800 из 947 преподносит новую задачу на деление 147 ÷ 4. Так как 4 × 30 = 120, теперь мы уже 104 Магия чисел можем сказать: «30». После вычитания 120 из 147 вычисляем 27 ÷ 4 для получения остальной части ответа: 6 с остатком 3. В совокупности имеем 236 с остатком 3, или 236 и 3/4. 236 4)947 – 800 147 – 120 27 – 24 3 ← остаток Ответ: 236 (остаток 3), или 236 (и 3/8). Процесс деления четырехзначного числа на одну цифру столь же прост, как и следующий пример. 2196 ÷ 5 Здесь ответ будет исчисляться сотнями, потому что 2196 находится между 5 × 100 = 500 и 5 × 1000 = 5000. После вычитания 5 × 400 = 2000 из 2196 мы можем произнести «400», и наша задача сведется к деления 196 на 5, что вычисляется так же, как и в предыдущих примерах. 439 5)2196 – 2000 196 – 150 46 – 45 1 ← остаток Ответ: 439 (остаток 1), или 439 (и 1/5). 105 Разделяй и властвуй: деление в уме На самом деле существует более простой способ решения последней задачи. Ее можно упростить путем удвоения обоих чисел. Так как 2196 × 2 = 4392, то имеем 2196 ÷ 5 = 4392 ÷ 10 = = 439,2, или 439 и 2/10. Мы рассмотрим другие способы упро- щения при делении в следующем разделе. УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ НА ОДНУ ЦИФРУ 1. 318 ÷ 9 2. 726 ÷ 5 3. 428 ÷ 7 4. 289 ÷ 8 5. 1328 ÷ 3 6. 2782 ÷ 4 ПРАВИЛО БОЛЬШОГО ПАЛЬЦА При делении в уме запоминание частей ответа может вызвать сложности в процессе вычислений. Одним из вариантов вы- хода из ситуации является, как мы практиковали ранее, про- говаривание ответа вслух по ходу решения. Но для создания большего эффекта вы можете предпочесть (как и я) держать ответ в памяти с помощью пальцев и произносить его цели- ком в самом конце. Однако при этом вы рискуете столкнуться с проблемой при запоминании чисел, которые больше пяти, ведь у нас лишь пять пальцев на каждой руке. В этом вам по- может специальная техника, в основе которой лежит язык же- стов. Я называю ее «Правило большого пальца». Она особенно эффективна для запоминания чисел, состоящих из трех и бо- лее цифр, и полезна не только в данной главе, но пригодится и в последующих, где придется иметь дело с задачами послож- нее и числами подлиннее. Вы уже догадались, что для запоминания чисел от 0 до 5 вам достаточно согнуть нужное количество пальцев на руке. Когда 106 Магия чисел в процесс вовлечен большой палец, будет легко запомнить числа от 6 до 9. Вот список правил большого пальца. • Чтобы задать 6, поместите большой палец на верхней части мизинца. • Чтобы задать 7, поместите большой палец на верхней части безымянного пальца. • Чтобы задать 8, поместите большой палец на верхней части среднего пальца. • Чтобы задать 9, поместите большой палец на верхней части указательного пальца. При работе с трехзначным числом задайте цифры для со- тен на левой руке и для десятков на правой. Когда дело дой- дет до одной цифры, вы достигнете конечной точки решения (за исключением возможного остатка). Теперь произнесите число на левой руке, число на правой руке, последнюю цифру, которую только что посчитали, и остаток (что у вас в голове). И вот! Вы произнесли ответ! Чтобы попрактиковаться, попробуйте решить следующую задачу на деление четырехзначного числа. 4579 ÷ 6 763 6)4579 – 4200 379 – 360 19 – 18 1 ← остаток Ответ: 763 (остаток 1), или 763 (и 1/6). 107 Разделяй и властвуй: деление в уме Пользуясь приемом большого пальца для запоминания ответа, вы зададите 7 на левой руке, соединив большой палец с безымянным, и 6 на правой, соединив большой палец с ми- зинцем. Как только вычислите последнюю цифру (она равна 3) и остаток (равный 1), можете «зачитать» итоговый ответ с ва- ших рук слева направо: «семь…шесть…три с остатком один». Некоторые задачи на деление четырехзначных чисел дают четырехзначный ответ. В таком случае, поскольку у вас только две руки, вам придется вслух произнести цифру для тысячи и использовать правило большого пальца для запоминания остального ответа. Например: 8352 ÷ 3 2784 3)8352 – 6000 2352 – 2100 252 – 240 12 – 12 0 Ответ: 2784. Для решения этой задачи вы делите 8 на 3, чтобы получить цифру 2 для тысяч; произносите «две тысячи» вслух, затем де- лите 2352 на 3 привычным способом. 108 Магия чисел ДЕЛЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА В этом разделе мы исходим из предположения, что вы уже ос- воили искусство деления на однозначные числа. Естественно, задачи на деление с увеличением делителя более сложные. К счастью, в моем рукаве есть немного магии, чтобы облег- чить вам жизнь. Начнем с относительно простой задачи. 597 ÷ 14 Так как 597 находится между 14 × 10 и 14 × 100, ответ (так называемое частное) лежит между 10 и 100. Чтобы его найти, нужно в первую очередь задать вопрос: «Сколько раз по 14 даст в сумме 590?» Умножив 14 × 40 = 560, вы узнаете, что ответ бу- дет в диапазоне «40 плюс»; так что можно смело произнести вслух «сорок». Далее вычитаем 560 из 597 и получаем 37, что сводит задачу к делению 37 на 14. Так как 14 × 2 = 28, здесь ответ — 42. Вычи- тая 28 из 37, мы получаем остаток 9. Процесс решения задачи показан следующим образом. 42 14)597 – 560 37 – 28 9 ← остаток Ответ: 42 (остаток 9), или 42 (и 9/14). Следующая задачка немного сложнее, потому что делитель в ней больше. 682 ÷ 23 109 Разделяй и властвуй: деление в уме В данном примере ответ будет двузначным числом, так как 682 находится между 23 × 10 = 230 и 23 × 100 = 2300. Чтобы найти цифру для десятка двузначного числа, нужно подумать: «Сколько раз по 23 даст в сумме 680?» Если вы попробуете 30, то увидите, что здесь незначительный перебор, так как 23 × × 30 = 690. Но теперь вы знаете, что ответ лежит в диапазоне «20 плюс» и можете произнести это вслух. Затем вычтите 23 × × 20 = 460 из 682, чтобы получить 222. Так как 23 × 9 = 207, ответ — 29 и остаток 222 – 207 = 15. 29 23)682 – 460 222 – 207 15 ← остаток Ответ: 29 (остаток) 9, или 29 (и 15/23). Теперь вычислим: 491 ÷ 62 Так как 491 меньше, чем 62 × 10 = 620, ответ будет пред- ставлен одной цифрой с остатком. Можно попробовать 8, но 62 × 8 = 496, а это несколько больше делимого. Поскольку 62 × 7 = 434, ответ — 7 и остаток 491 – 434 = 57, или 7 и 57/62. 7 62)491 – 434 57 ← остаток Ответ: 7 (остаток 57), или 7 (и 57/62). 110 Магия чисел Один отличный трюк может облегчить решение таких за- дач. Помните, как сначала мы пытались перемножить 62 × 8 = = 496, но обнаружили, что это число больше, чем нужно? Но это действие оказалось не напрасным. Помимо информации о том, что ответ — 7, оно также позволяет сразу определить остаток. Поскольку 496 на 5 единиц больше 491, остаток будет на 5 еди- ниц меньше делителя 62. Поскольку 62 – 5 = 57, то ответ — 7 и 57/62. Этот прием работает потому, что 491 = (62 × 8) – 5 = = 62 × (7 + 1) – 5 = (62 × 7 + 62) – 5 = (62 × 7) + (62 – 5) = 62 × 7 + 57. Теперь попробуйте решить пример 380 ÷ 39, используя вышеописанную уловку. Итак, 39 × 10 = 390, что больше де- лимого на 10. Стало быть, ответ будет 9 с остатком 39 – 10 = 29. Следующий вызов для вас — деление четырехзначного числа на двузначное. 3657 ÷ 54 Так как 54 × 100 = 5400, то ответ будет двузначным числом. Для получения первой цифры ответа необходимо выяснить, сколько раз по 54 даст в сумме 3657. Исходя из того что 54 × × 70 = 3789 (что немного больше делимого), ответ будет где-то в диапазоне «60 плюс». Далее умножаем 54 × 60 = 3240 и вычитаем 3657 – 3240 = = 417. Как только вы произнесете «60», ваша задача упростится до 417 ÷ 54. Поскольку 54 × 8 = 432 (что тоже немного больше 417), последняя цифра будет 7 с остатком 54 – 15 = 39. 67 54)3657 – 3240 417 – 379 39 ← остаток Ответ: 67 (остаток 39), или 67 (и 39/54). 111 Разделяй и властвуй: деление в уме Теперь попробуйте свои силы в решении задачи с трех- значным частным: 9467 ÷ 13 728 13)9467 – 9100 367 – 260 107 – 104 3 ← остаток Ответ: 728 (остаток 3), или 728 (и 3/13). Упрощение задач на деление Если к этому моменту ваш мозг уже устал от перенапряжения, расслабьтесь. Как и было обещано, я поделюсь с вами несколь- кими приемами упрощения задач на деление в уме. Они осно- ваны на принципе деления обеих частей задачи на общий мно- житель. Если оба числа в примере четные, вы можете вдвойне упростить проблему путем деления каждого числа на 2 перед началом вычислений. Например, задача 858 ÷ 16 содержит два четных числа, и их деление на 2 ведет к значительно более про- стому действию 429 ÷ 8. 53 делим на 2 53 16)858 8)429 – 800 – 400 58 29 – 48 – 24 10 5 Ответ: 53 (и 10/16). Ответ: 53 (и 5/8). 112 Магия чисел Как видите, остатки 10 и 5 различны; но если записать их в виде дроби, получится 10/16, что равно 5/8. Поэтому в данном методе ответ всегда должен быть представлен в виде дроби. Мы проделали оба типа вычислений для того, чтобы вы убедились, насколько второй способ легче. Теперь ваша оче- редь практиковаться: 3618 ÷ 54 67 делим на 2 67 54)3618 27)1809 – 3240 – 1620 378 189 – 378 – 189 0 0 Ответ: 67. Ответ: 67. Пример справа гораздо легче решить в уме. Если вы все еще в этом не уверены, можете разделить обе части исходной задачи на 18 для получения еще более простой задачи: 201 ÷ ÷ 3 = 67. Высматривайте задачи, которые можно подвергнуть деле- нию на 2 дважды, такие как 1652 ÷ 36. 45 1652 ÷ 36 = 826 ÷ 18 = 413 ÷ 9 = 9) 413 ÷2 ÷2 – 360 53 – 45 8 Ответ: 45 (и 8/9). 113 Разделяй и властвуй: деление в уме Мне кажется, что проще дважды разделить числа на 2, чем делить каждое из чисел на 4. Теперь рассмотрим случай, когда оба числа оканчиваются на 0. В этой ситуации можно каждое число разделить на 10. 8 580 ÷ 70 = 58 ÷ 7 = 7)58 ÷ 10 – 56 2 Ответ: 8 (и 2/7). Если оба числа заканчиваются на 5, удвойте их, а затем разделите на 10 для упрощения задачи. Например: 13 475 ÷ 35 = 950 ÷ 70 = 95 ÷ 7 = 7)95 × 2 ÷ 10 – 70 25 – 21 4 Ответ: 13 (и 4/7). Наконец, если делитель оканчивается на 5, а делимое на 0, умножьте оба на 2, а затем разделите на 10 и далее действуйте так, как мы делали выше. 19 890 ÷ 45 = 1780 ÷ 90 = 178 ÷ 9 = 9) 178 ×2 ÷10 – 90 88 – 81 7 Ответ: 19 (и 7/9). 114 Магия чисел УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА Здесь вы найдете разнообразные задачи по делению на двуз- начные числа, которые проверят ваше ментальное мастерство и умение пользоваться простыми техниками упрощения, ко- торые были объяснены в этой главе. Загляните в конец книги для получения объяснений и сверки ответов. 1. 738 ÷ 17 2. 591 ÷ 24 3. 321 ÷ 79 4. 4268 ÷ 28 5. 7214 ÷ 11 6. 3074 ÷ 18 РАЗВИВАЕМ СВОИ СПОСОБНОСТИ: ИЗУЧЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Как вы уже, наверное, догадались, мне нравится заниматься магией, превращая обычные дроби в десятичные. В случае с дробями, в знаменателе которых есть только одна цифра, лучший способ превратить их в десятичные — это почерп- нуть их значения из памяти. Это не так сложно, как кажет- ся. Далее вы увидите, что большинство дробей, числители и знаменатели которых представлены однозначными числа- ми (а также 10 или 11), обладают особыми свойствами, по- этому их сложно забыть. Каждый раз, когда вы можете со- кратить дробь до уже известного вам значения, это ускорит процесс вычислений. Уверен, вы уже знаете десятичные эквиваленты для сле- дующих дробей: 1 = 0,50; 2 1 = 0,333...; 3 2 = 0,666... . 3 115 Разделяй и властвуй: деление в уме Подобно этому 1 = 0,25; 4 2 = 1 = 0,50; 4 2 3 = 0,75. 4 Дроби с пятерками в знаменателе запомнить легче всего. 1 = 0,20; 5 2 = 0,40; 5 3 = 0,60; 5 4 = 0,80. 5 Дроби с шестерками в знаменателе требуют запоминания только двух новых значений. 1 = 0,1666...; 6 2 = 1 = 0,333...; 6 3 3 = 1 = 0,50; 6 2 5 = 0,8333... . 6 4 = 2 = 0,666...; 6 3 Через мгновение я вернусь к дробям с семерками в знаме- нателе. А сейчас дроби с восьмерками в знаменателе, преобра- зовать которые просто элементарно. 1 = 0,125; 8 2 = 1 = 0,25; 8 4 4 = 1 = 0,50; 8 2 3 = 0,375 3 × 1 = 3 × 0,125 = 0,375 ; 8 8 6 = 3 = 0,75; 8 4 5 = 0,625 5 × 1 = 5 × 0,125 = 0,625 ; 8 8 Дроби с девятками в знаменателе таят в себе особое вол- шебство. 1 = 0,1; 9 2 = 0,2; 9 3 = 0,3; 9 4 = 0,4; 9 5 = 0,5; 9 6 = 0,6; 9 7 = 0,7; 9 8 = 0,8. 9 116 Магия чисел где черта над цифрой обозначает бесконечное повторение этой цифры (говорят, что это дробь в периоде). Например, 4/9 = 0,444... . Дроби с десятками в знаменателе нам уже известны. 1 = 0,1; 10 2 = 0,2; 10 3 = 0,3; 10 4 = 0,4; 10 5 = 0,5; 10 6 = 0,6; 10 7 = 0,7; 10 8 = 0,8; 10 9 = 0,9. 10 Дроби со знаменателем 11 легко вычисляются, если вы за- помните, что 1/11 = 0,0909. |