Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
107 × 111 Будем рассматривать эту задачу как (100 + 7)× (100 + 11). Задав z = 100, a = 7, b = 11, наша формула даст: 100 (100 + 7 + 11) + 7 × 11 = 100 × 118 + 77 = 11 877. Я схематически изобразил решение так: 107 (7) × 111 (11) 100 × 118 = 11 800 7 × 11 = + 77 11 877 Числа в скобках равны разностям между исходными чис- лами и нашим подходящим «базовым числом» (здесь z = 100). Число 118 получено путем сложения 107 + 11 или 111 + 7. По за- конам алгебры, эти суммы эквивалентны, так как (z + a) + b = = (z + b) + a. 209 Сложное делаем легким: продвинутое умножение На этот раз без лишних слов решим еще один «ускорен- ный» пример: 109 (9) × 104 (4) 100 × 113 = 11 300 9 × 4 = + 36 11 336 Метод работает великолепно! Теперь немного повысим ставки и возьмем большее базо- вое число. 408 (8) × 409 (9) 400 × 417 = 116 800 8 × 9 = + 72 166 872 Хотя данный метод, как правило, используется для умно- жения трехзначных чисел, его также можно применить для за- дач типа «2 на 2». 78 (8) × 73 (3) 70 × 81 = 5 670 8 × 3 = + 24 5 694 Здесь базовое число 70 умножается на 81 (78 + 3). В таких задачах даже действие на сложение обычно очень простое. Этот метод также применим, когда оба числа меньше базо- вого. Как, например, в следующей задаче, где оба числа мень- ше 400. 210 Магия чисел 396 (–4) × 387 (–13) 400 × 383 = 153 200 –4 × –13 = + 52 153 252 Число 383 получено путем вычитания 396 – 13 или 387 – 4. Данный метод также можно использовать и для задач типа «2 на 2», таких как следующие. 97 (–3) × 94 (–6) 100 × 91 = 9 100 –3 × –6 = + 18 9 118 79 (–1) × 78 (–2) 80 × 77 = 6 160 –1 × –2 = + 2 6 162 В следующем примере базовое число по величине находит- ся между перемножаемыми числами. 396 (–4) × 413 (13) 400 × 409 = 163 600 –4 × 13 = – 52 163 548 Число 409 получено в ходе операций 396 + 13 или 413 – 4. Обратите внимание, что, поскольку числа –4 и 13 имеют 211 Сложное делаем легким: продвинутое умножение противоположные знаки, из результата умножения необходи- мо вычесть 52. Поднимем ставки еще выше, до уровня, где второе дей- ствие требует умножения типа «2 на 2». 621 (21) × 637 (37) 600 × 658 = 394 800 21 × 37 = + 777 (37 × 7 × 3) 395 577 Здесь обратите внимание на то, что первое действие в зада- че (600 × 658) является хорошей оценкой ответа. Но наш метод позволяет перейти от оценки к точному ответу. 876 (–24) × 853 (–47) 900 × 829 = 746 100 –24 × –47 = + 1 128 (47 × 6 × 4) 747 228 Обратите также внимание, что во всех примерах сумма чисел, которые мы перемножаем в первом действии, такая же, как и исходные числа. Например, в задаче выше 900 + 829 = = 1729, как и 876 + 853 = 1729. Это следует из равенства: z + [(z + a) + b] = (z + a) + (z + b) Поэтому, чтобы получить число, которое надо умножить на 900 (оно будет в диапазоне «800 плюс»), нужно всего лишь взглянуть на последние две цифры суммы 76 + 53 = 129, чтобы вышло 829. В следующем примере сложение 827 + 761 = 1588 подсказы- вает, что нужно перемножить 800 × 788, а затем из полученно- го результата вычесть произведение 27 × 39. 212 Магия чисел 827 (+27) × 761 (–39) 800 × 788 = 630 400 –39 × 27 = – 1 053 (39 × 9 × 3) 629 347 Этот метод настолько эффективен, что если задача типа «3 на 3», над которой вы думаете в настоящий момент, состо- ит из чисел, далеких друг от друга, то иногда можно видоиз- менить ее путем деления одного и умножения другого числа на одинаковое число (тем самым сблизив сомножители по ве- личине). Например, задачу 672 × 157 можно решить следую- щим образом. 672 ÷ 2 = 336 (36) × 157 × 2 = × 314 (14) 300 × 350 = 105 000 36 × 14 = + 504 (36 × 7 × 2) 105 504 Когда перемножаемые числа одинаковы, метод совместной близости генерирует такие же вычисления, как и в традицион- ном методе возведения в квадрат. 347 (47) × 347 (47) 300 × 394 = 118 200 47 × 47 = + 2 209 120 409 Метод сложения Когда ни один из предыдущих методов не работает, я ищу воз- можность использовать метод сложения, в особенности если 213 Сложное делаем легким: продвинутое умножение первые две цифры одного из трехзначных чисел просты в раз- ложении. Например, в нижеприведенном примере 64 (первые две цифры числа 641) раскладывается как 8 × 8, поэтому я его решаю следующим образом. 373 × 641 (640 + 1) 640 × 373 = 238 720 (373 × 8 × 8 × 10) 1 × 373 = + 373 239 093 По тому же принципу в примере ниже 42 из числа 427 рас- кладывается как 6 × 7, поэтому можно использовать метод сло- жения, представив 427 в виде 420 + 7. 656 × 427 (420 + 7) 420 × 656 = 275 520 (656 × 7 × 6 × 10) 7 × 656 = + 4 592 280 112 Часто я разбиваю последнюю задачу на сложение на два этапа, как показано ниже. 275 520 7 × 600 = + 4 200 279 720 7 × 56 = + 392 280 112 Поскольку задачи, решаемые методом сложения, требуют определенных усилий, обычно я ищу другой способ, который приведет к простым вычислениям в конце процесса решения. Например, задачу, показанную выше, можно решить с помо- щью разложения. Вот какие действия я бы выполнил: 214 Магия чисел 656 × 427 (61 × 7) 656 × 61 × 7 = 656 × (60 + 1) × 7 = 40 016 × 7 = 280 112 В самых простых задачах, решаемых методом сложения, одно из чисел содержит 0 в середине числа, как показано ниже. 732 × 308 (300 + 8) 300 × 732 = 219 600 8 × 732 = + 5 856 225 456 Такие задачи, как правило, самые легкие из тех, которые можно решить аналогичным способом. Поэтому стоит при- глядеться к задаче типа «3 на 3», чтобы определить возмож- ность ее преобразования в задачу с нулями. Это окупается. Например, в задачу 732 × 308 можно преобразовать следую- щие «безнулевые» примеры. 244 × 3 = 732 или 366 × 2 = 732 × 924 ÷ 3 = × 308 × 616 ÷ 2 = × 308 Мы уже упоминали, что другой способ решения данной за- дачи сводится к выполнению операций 308 × 366 × 2 и исполь- зованию преимущества близости чисел 308 и 366. Щелкаем еще один «крепкий орешек»: 739 × 443 (440 + 3) 440 × 739 = 325 160 (739 × 11 × 4 × 10) 3 × 700 = + 2 100 215 Сложное делаем легким: продвинутое умножение 327 260 3 × 39 = + 117 327 377 Метод вычитания Метод вычитания — это орудие, которое я время от времени применяю, когда одно из трехзначных чисел можно округлить до простого трехзначного числа с нулем на конце, как в следу- ющем примере: 719 (720 – 1) × 247 720 × 247 = 177 840 (247 × 9 × 8 × 10) –1 × 247 = – 247 177 593 Подобным образом решаем такую задачу: 538 (540 – 2) × 346 540 × 346 = 186 840 (346 × 6 × 9 × 10) –1 × 346 = – 692 186 148 Метод «когда все остальное не работает» Когда все остальное не срабатывает, я применяю один очень надежный метод. При его использовании задача на умноже- ние типа «3 на 3» разбивается на 3 части: задача типа «3 на 1», типа «2 на 1» и типа «2 на 2». По мере решения этих задач их ответы суммируются. Такие задачи всегда сложные, особенно если нельзя видеть исходные числа. Во время выступлений с задачами на умножение типа «3 на 3» и «5 на 5» у меня всегда под рукой записанные условия, но все расчеты я произвожу в уме. 216 Магия чисел Вот пример: 851 × 527 500 × 851 = 425 500 27 × 800 = + 21 600 447 100 27 × 51 = + 1 377 448 477 На практике вычисления выполняются так, как показа- но ниже. Иногда я использую фонетический код для хране- ния в памяти тысяч (здесь 447 = our rug) и сотен (здесь 1) — на пальцах. 851 × 527 5 × 851 = 4 255 27 × 8 = + 216 Our rug 4 471 × 100 = 447 100 27 × 51 = + 1 377 448 477 Решим еще один пример, но на этот раз я разобью на части первое число. (Обычно я так поступаю с бо 2льшим из чисел, так решить задачу на сложение становится легче.) 923 × 673 9 × 673 = 6 057 6 × 23 = + 138 Shut up 6 195 × 100 = 619 500 73 × 23 = + 1 679 621 179 217 Сложное делаем легким: продвинутое умножение УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ТИПА «3 НА 3» 1. 644 2. 596 3. 853 4. 343 5. 809 × 286 × 167 × 325 × 226 × 527 6. 942 7. 692 8. 446 9. 658 10. 273 × 879 × 644 × 176 × 468 × 138 11. 824 12. 642 13. 783 14. 871 15. 341 × 206 × 249 × 589 × 926 × 715 16. 417 17. 557 18. 976 19. 765 × 298 × 756 × 878 × 350 Эти задачи встроены в примеры «5 на 5», которые находят- ся в следующем разделе. 20. 154 21. 545 22. 216 23. 393 × 423 × 834 × 653 × 822 УМНОЖЕНИЕ «5 НА 5» Самая большая задача, которую мы попытаемся решить в уме, состоит из двух пятизначных чисел. Для выполнения умножения типа «5 на 5» вам необходимо в совершенстве ов- ладеть навыком решения задач типа «2 на 2», «2 на 3» и «3 на 3» (а также уметь применять фонетический код). Решение задачи «5 на 5» — это просто вопрос сведения воедино всех типов за- дач, освоенных вами ранее. Как и при возведении в квадрат пя- тизначных чисел, вы будете использовать распределительный закон для разделения чисел на составные части. Например: 218 Магия чисел 27 639 (27 000 + 639) × 52 196 (52 000 + 196) Основываясь на этом разделении, данную задачу мож- но разложить на четыре более простые задачи на умноже- ние в стиле «крест-накрест», что я покажу ниже, как задачу типа «2 на 2», две задачи типа «3 на 2» и одну типа «3 на 3». Далее суммируются решения всех этих задач. Вот как это выглядит: (27 × 52) миллионов + [(27 × 196) + (52 × 639)] тысяч + (639 × 196) Как и при возведении пятизначных чисел в квадрат, я начи- наю с середины, берясь за задачу «3 на 2» (как самую трудную): Mom, no knife 1. 52 × 639 = 52 × 71 × 9 = 3692 × 9 = 33 228. Запомнив число 33 228 с помощью мнемоники Mom, no knife , далее переключаюсь на вторую задачу типа «3 на 2». 2. 27 × 196 = 27 × (200 – 4) = 5400 – 108 = 5292. И прибавляю этот результат к числу, которое хранится в памяти. 3. 33 228 (Mom, no knife) + 5 292 38 520 Получаем новую сумму и сохраняем ее в уме как: Movie lines (38 миллионов, 520 тысяч) Запомнив этот мнемонический код, решаем задачу «2 на 2». 219 Сложное делаем легким: продвинутое умножение 4. 52 × 27 = 52 × 9 × 3 = 1 404. На данном этапе уже можно дать частичный ответ. По- скольку задача «2 на 2» — это перемножение миллионов, то 1 404 означает 1 миллиард 404 миллиона. Так как 404 миллио- на не подразумевают переноса единицы в разряд миллиардов, то можно спокойно произнести: «Один миллиард…». 5. 404 + Movie (38) = 442. Теперь прибавляем 404 к movie (38), получается 442. В этот момент можно сказать «…442 миллиона…». Это можно сде- лать потому, что на 442 не будет переноса единицы. Чтобы удостовериться в этом, надо посмотреть наперед на задачу типа «3 на 3». Если ее ответ говорит о переносе единицы, то надо сказать «443 миллиона». Но так как результат задачи «3 на 3» (639 × 196) не превысит 500 000 (что показывает грубая оценка 600 × 200 = 120 000), этого не произойдет. 6. 639 × 196 = 639 × 7 × 7 × 4 = 4 473 × 7 × 4 = 31 311 × × 4 = 125 244. Все еще удерживая в голове слово lines, решаем задачу «3 на 3» с помощью метода разложения и получаем 125 244. Чтобы запомнить число 244, переводим его в слово nearer. Итоговое действие представляет собой простое сложение: 7. 125 244 + Lines (520 000) = 645 244. Это позволяет произнести оставшуюся часть ответа: «…645 244». Так как один рисунок стоит тысячи слов, вот схема всех вы- полненных вычислений в данном примере. 220 Магия чисел 27 639 × 52 196 Mom, no knife 639 × 52 = 33 228 196 × 27 = + 5 292 Movie lines 38 520 × 1 000 = 38 520 000 52 × 27 × 1 миллион = + 1 404 000 000 1 442 520 000 639 × 196 = + 125 244 1 442 645 244 Здесь необходимо сделать небольшое замечание о моем предположении, что при решении задачи типа «5 на 5» у вас есть возможность записать ее условие на доске или бумаге. Если такой возможности нет, то вам придется задать мнемо- нический код для всех четырех чисел (два исходных числа и два промежуточных результата). Например, условие преды- дущей задачи можно запомнить в виде слов: 27 639 — Neck jump × 52 196 — Lion dopish Потом надо умножить lion × jump (52 × 639), dopish × neck (196 × 27), lion × neck (52 × 27) и, наконец, dopish × jump (196 × × 639). Очевидно, эти действия несколько замедлят про- цесс вычислений, но если вы хотите решать задачи не глядя на их условия, то после тренировок будете в состоянии это делать. Закончим главу еще одним примером «5 на 5». 79 838 × 45 547 221 Сложное делаем легким: продвинутое умножение Последовательность действий в этом примере такая же, как и при решении предыдущего. Начинаем с самой сложной задачи типа «3 на 2» и сохраняем ответ в виде мнемонического кода. 1. 547 × 79 = 547 × (80 – 1) = 43 760 – 547 = 43 213 — Rome anatomy . Затем решаем вторую задачу типа «3 на 2». 2. 838 × 45 = 838 × 5 × 9 = 4190 × 9 = 37 710. Суммируем полученное и вверяем итог своей памяти. 3. 43 213 — Rome anatomy + 37 710 80 923 — Face Panama 4. 79 × 45 = 79 × 9 × 5 = 711 × 5 = 3 555. Результат задачи «2 на 2» дает первую цифру окончательно- го ответа, которую с уверенностью можно произнести вслух: «Три миллиарда…». 5. 555 + Face (80) = 635. Миллионы в ответе содержат перенос единицы, то есть чис- ло 635 надо заменить на 636, потому что к числу Panama (923) достаточно прибавить 77 000, чтобы превысить 100 000 и вы- звать перенос единицы. А результат задачи «3 на 3» (838 × 547) с легкостью превысит это значение. Поэтому следует сказать: «…636 миллионов…». Задача «3 на 3» была посчитана с использованием метода сложения. Магия чисел 6. 838 × 547 (540 + 7) 540 × 838 = 452 520 (838 × 9 × 6 × 10) 7 × 800 = + 5 600 458 120 7 × 38 = + 266 458 386 На следующем этапе прибавляем этот результат к числу Panama (923 000). 7. 923 000 + 458 386 1 381 386 Так как перенос числа 1 мы уже использовали при получе- нии 636 миллионов, нам осталось лишь проговорить тысячи: «…381 тысяча…386» и насладиться аплодисментами! Решение данной задачи схематически можно представить следующим образом: 79 838 × 45 547 Rome anatomy 547 × 79 = 43 213 838 × 45 = + 37 710 Face Panama 80 923 × 1 000 = 80 923 000 79 × 45 × 1 миллион = + 3 555 000 000 3 635 923 000 838 × 547 = + 458 386 3 636 381 386 УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ «5 НА 5» 1. 65 154 2. 34 545 3. 69 216 4. 95 393 × |