Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
Введение Я всегда любил упражняться с числами, и в этой книге поде- люсь своей страстью с вами. Числа казались мне наделенными определенной магической притягательностью, и я проводил огромное количество времени, развлекая себя и других с по- мощью их великолепных свойств. Будучи подростком, я вы- ступал в качестве мага, а позже объединил свою увлеченность математикой и магией в полнометражном шоу под названием Mathemagics («Математическая магия»), в рамках которого хотел продемонстрировать и объяснить секреты быстрых уст- ных вычислений зрителям всех возрастов. После защиты диссертации я преподавал математику в колледже Harvey Mudd и до сих пор наслаждаюсь тем, что разделяю радость от общения с числами с детьми и взрослы- ми во всем мире. В этой книге я поделюсь с вами всеми сво- ими секретами, касающимися быстрого выполнения матема- тических действий в уме. (Конечно же, волшебники не долж- ны раскрывать секреты, но у математической магии другие правила. Математика должна вселять благоговение, а не пу- гать своей таинственностью.) Какую пользу принесет вам эта книга? Вы научитесь про- изводить математические действия в уме быстрее, чем могли себе представить. После небольшой практики вы значительно улучшите свою память на числа. Вы изучите способы делать быстрые вычисления, которые поразят ваших друзей, коллег Магия чисел и учителей. К тому же начнете рассматривать математику как весьма занимательный вид деятельности. Слишком часто эта наука преподается как набор жестких правил, где нет места для творческого мышления. Но как вы узнаете из нашей книги, обычно у одной проблемы бывает не- сколько решений. Большие задачи можно разделить на мень- шие, более «покладистые» составляющие. Мы будем выиски- вать характерные детали, чтобы облегчить вам решение задач. Мне это кажется ценным жизненным уроком, который можно использовать при поиске решения всех видов проблем, как ма- тематических, так и любых других. «Но разве талант к математике не дается от рождения?» Мне часто задают этот вопрос. Многие люди убеждены, что молниеносные вычислители необыкновенно одарены. Мо- жет быть, у меня действительно есть повышенный интерес к тому, как что-либо работает, будь то задача по математике или фокус. Но я уверен, основываясь на многолетнем опыте преподавания, что «скоростная» математика — это навык, ко- торым может овладеть любой человек. Но он требует практи- ки и приверженности, если вы хотите стать экспертом в этом деле. А для получения результатов важно придерживаться правильного пути. Позвольте же мне указать вам его! 25 Глава 0 Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления Далее вы узнаете, как быстро выполнять математические дей- ствия в уме. После непродолжительной практики и освоения методов этой книги ваша способность работать с числами зна- чительно улучшится. После более продолжительной практи- ки вы сможете считать быстрее, чем с помощью калькулятора. В этой главе я научу вас нескольким простым (но впечатля- ющим) вычислениям, которые вы можете освоить незамедли- тельно. Более серьезные вещи оставим на потом. МГНОВЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ Давайте начнем с одного из моих любимых трюков: как ум- ножать в уме любое двузначное число на 11. Это очень легко, если вы знаете секрет. Представьте следующую задачу: 32 × 11 Для ее решения нужно просто сложить цифры 3 + 2 = 5, а затем поместить пятерку между двойкой и тройкой. Вот и наше решение: 352 26 Магия чисел Что может быть легче? Теперь попробуйте 53 × 11 Поскольку 5 + 3 = 8, ответ достаточно прост: 583 Еще пример. Не подглядывая и не записывая, скажите, чему равно: 81 × 11? У вас получилось 891? Поздравляю! Но пока не слишком воодушевляйтесь: я показал лишь по- ловину того, что необходимо знать. Допустим, задача такая: 85 × 11 Несмотря на то что 8 + 5 = 13, ответ НЕ 8135! Как и прежде цифра 3 ставится между цифрами 8 и 5, но 1 добавляется к цифре 8 для получения правильного ответа 935. Представляйте задачу следующим образом: 1 835 935 Вот еще пример. Попробуйте перемножить 57 11. Так как 5 + 7 = 12, ответ: 1 527 627 Теперь ваша очередь. Как можно быстрее, подсчитайте, сколько будет 77 × 11? 27 Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления Если вы получили ответ 847, можете себе поаплодировать. Вы на пути к превращению в матемага. Мне известно по опыту, что если вы скажете другу или учителю, что способны в уме умножить любое двузначное число на 11, просьба умножить 99 на 11 не заставит себя долго ждать. Поэтому решим эту задачку прямо сейчас, чтобы вы были готовы. Так как 9 + 9 = 18, ответ таков: 1 989 1089 Хорошо попрактикуйте свой новый навык какое-то время, а затем проведите шоу перед друзьями. Вы будете удивлены реакцией, которую вызовет ваше умение (раскрывать или нет свои секреты — решайте сами). Итак, к этому моменту у вас, должно быть, появилось не- сколько вопросов, скажем: Можно ли использовать этот метод для умножения трехзначных (или более «значных») чисел на 11? Безусловно. Например, для задачи 314 × 11 ответ все еще будет начинаться с 3 и заканчиваться на 4. Так как 3 + 1 = 4 и 1 + 4 = 5, ответ будет равен 3454. Но мы пока отложим задачи посерьезнее на потом. Вероятно, вы уже спрашиваете себя: Конечно, замечательно, что таким способом можно ум- ножать на 11. Но как насчет других чисел? Как умножить числа на 12, 13 или 36? Мой ответ: «Терпение!» Об этом рассказывается дальше. В главах 2, 3, 6 и 8 вы изучите методы умножения, позволяю- щие перемножать любые два числа. При этом вам не придется 28 Магия чисел запоминать специальные правила для каждого случая. Не- сколько методов — вот и все, что вам понадобится для быстро- го умножения чисел в уме. ВОЗВЕДЕНИЕ ВО ВТОРУЮ (В КВАДРАТ) И БОЛЬШИЕ СТЕПЕНИ Вот еще один трюк. Как вы, наверное, знаете, квадрат числа — это заданное число, умноженное само на себя. Например, квадратом 7 будет 7 × 7, то есть 49. Позже я научу вас простому способу, который позволит без труда вычислять квадрат любого двузначного и трехзначного (и состоящего из большего количества знаков) числа. Этот метод особенно легко применять, если число закан- чивается на 5. Поэтому опробуем его прямо сейчас. 1. Ответ должен начинаться с результата умножения первой цифры возводимого в квадрат числа на цифру, большую на единицу, чем первая цифра. 2. Ответ заканчивается на 25. Например, чтобы возвести в квадрат число 35, мы просто умножаем первую цифру (3) на 4, то есть на единицу бо 2льшую цифру, после чего добавляем 25. Так как 3 × 4 = 12, следователь- но, ответ — 1225. Таким образом, 35 × 35 = 1225. Проделанные шаги можно представить следующим образом: 35 × 35 3 × 4 = 12 5 × 5 = 25 Ответ: 1225 29 Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления Как насчет возведения в квадрат числа 85? Так как 8 × 9 = = 72, мы мгновенно получаем ответ: 85 × 85 = 7225. 85 × 85 8 × 9 = 72 5 × 5 = 25 Ответ: 7225 Можно применить похожий прием при умножении двуз- начных чисел, начинающихся с одинаковых первых цифр, сумма вторых цифр которых равняется 10. Ответ будет со- стоять из числа, полученного с помощью вышеописанно- го метода (первая цифра умножается на цифру, на единицу бо 2льшую), и произведения вторых цифр чисел, участвующих в умножении. Например, попробуем умножить 83 на 87. (Оба числа начинаются на 8, а сумма последних цифр 3 + 7 = 10.) Так как 8 × 9 = 72 и 3 × 7 = 21, ответ — 7221. 83 × 87 8 × 9 = 72 3 × 7 = 21 Ответ: 7221 Подобным образом получаем из 84 × 86 = 7224. Теперь ваша очередь. Попробуйте вычислить 26 × 24. С чего начинается ответ? С 2 × 3 = 6. Чем заканчивается? 6 × 4 = 24. Значит, 26 × 24 = 624. Помните, что использовать этот метод можно, только если первые цифры чисел одинаковы, а последние дают в сумме 10. Итак, мы можем применить этот метод, чтобы мгновенно вы- числить: 30 Магия чисел 31 × 39 = 1209 32 × 38 = 1216 33 × 37 = 1221 34 × 36 = 1224 35 × 35 = 1225 Вы можете спросить: Что делать, если последние цифры не дают в сумме 10? Мы все равно можем использовать этот прием, чтобы ум- ножить 22 на 23? Пока еще нет. Но в главе 8 я покажу вам простой способ решения таких задач с применением метода «совместной бли- зости» (для вычисления 22 × 23 нужно умножить 20 × 25, при- бавить 2 × 3 и получите 500 + 6 = 506; но это я забегаю на- перед!). Вы не только научитесь использовать данные методы, но и поймете принципы их работы. Часто мне задают еще такой вопрос: Существуют какие-либо методы устного сложения и вы- читания? Конечно, и этому посвящена вся следующая глава. Если бы меня заставили описать свой прием в двух словах, я бы сказал: «Слева направо». (Вот вы украдкой и получили анонс будущего.) Представьте следующую задачу на вычитание: 1241 – 587 Большинству людей не понравится решать подобные за- дачки в уме (и даже на бумаге!), но давайте все упростим. Вме- сто того чтобы вычесть 587, вычтем 600. Так как 1200 – 600 = 600, получаем следующее: 31 Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления 1241 – 600 641 Но мы вычли на 13 больше. (В главе 1 показано, как бы- стро определить «13».) Таким образом, наш пример, на кото- рый было больно смотреть, превращается в простую задачку на сложение: 641 + 13 654 довольно легко решаемую в уме (в особенности слева напра- во). Итак, 1241 – 587 = 654. Используя немножко магии чисел, описанной в главе 9, вы сможете мгновенно вычислить сумму десяти чисел, представ- ленных ниже: 9 5 14 19 33 52 85 137 222 + 359 935 Хотя я не стану раскрывать магический секрет прямо сей- час, сделаю небольшой намек. Полученный ответ 935 уже по- являлся в этой главе. Еще больше трюков для вычислений 32 Магия чисел на бумаге вы найдете в главе 6. Более того, вы будете в состоя- нии быстро назвать частное двух следующих чисел: 359 ÷ 222 = 1,61 (первые три цифры) Нам еще многое предстоит узнать о делении (включая обычные и десятичные дроби) в главе 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ Вот быстрый совет для подсчета чаевых * . Предположим, в ресторане вам выставили счет на 42 доллара, и вы захотели оставить чаевые в размере 15%. Сначала вычисляем 10% от 42, что равняется 4,20. Сократив это число наполовину, получаем 2,10, что представляет собой 5% от вашего счета. Складываем эти числа; их сумма (6,30) и будет составлять 15%. Мы обсу- дим стратегии вычисления налога с продаж, скидок, сложных процентов и другие практические вопросы в главе 5. Причем все это наряду со способами, которые можно использовать для быстрых устных вычислений, если нет необходимости в точ- ных расчетах. УЛУЧШАЙТЕ ПАМЯТЬ В главе 7 вы изучите полезную технику запоминания чисел, которая поможет в учебе и не только. Используя легкую для понимания систему преобразования чисел в слова, вы сможе- те быстро и без труда запоминать любые числа: даты, телефон- ные номера — все, что захотите. * Английское слово tip имеет несколько значений: в данном пред- ложении оно используется дважды: как «совет» и как «чаевые». Прим. пер. 33 Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления Что касается календарных чисел, то как вы смотрите на то, чтобы научиться выяснять день недели любой даты? Это при- годится для вычисления дней рождения, исторических собы- тий, запланированных в будущем встреч и тому подобного. Я расскажу об этом в деталях позже, а пока предлагаю про- стой способ определения дня недели 1 января любого года в XXI веке. Сначала ознакомьтесь с представленной таблицей. Поне дельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота Воскре сенье 1 2 3 4 5 6 7 или 0 Например, давайте выясним, каким днем недели будет 1 января 2030 года. Возьмите две последние цифры года и пред- ставьте себе, что это ваш счет в ресторане (в данном случае 30 долларов.) Теперь добавьте 25% чаевых, но излишки в цен- тах оставьте себе. (Это можно вычислить, дважды разделив счет пополам и отбросив всю «мелочь». Половина от 30 равна 15, а половина от 15 — 7,50. Оставив излишки себе, получим чаевые в размере 7 долларов.) Отсюда следует, что ваш счет плюс чаевые составляет 37 долларов. Чтобы определить день недели, вычитаем из этой суммы наиболее близкое к ней (но не большее) произведение числа 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, …) и получаем в результате порядковый номер дня. В данном при- мере, 37 – 35 = 2, значит, 1 января 2030 года приходится на вто- рой день недели, то есть на вторник. Счет: 30 Чаевые: + 7 37 Произведение цифры 7: – 35 2 = вторник Магия чисел Какой день недели 1 января 2043 года? Счет: 43 Чаевые: + 10 53 произведение цифры 7: – 49 4 = четверг Исключение: если год високосный, уберите 1 доллар из суммы чаевых, высчитанных ранее. Например, для 1 ян- варя 2032 года 25% от счета на 32 доллара будут равны 8 дол- ларам чаевых. Вычитание 1 дает в итоге 32 + 7 = 39. Вычи- тание наибольшего по отношению к сумме счета произведе- ния 7 дает 39 – 35 = 4. Итак, 1 января 2032 года приходится на четвертый день недели, четверг. За полной информацией, которая позволит определить день недели для любой истори- ческой даты, обращайтесь к главе 9. (Кстати, совершенно есте- ственно начать чтение книги именно с нее!) Я знаю, о чем вы сейчас думаете: Почему этому не учат этому в школе? Боюсь, на некоторые вопросы даже я не знаю ответа. Вы готовы освоить еще больше волшебной математики? Так чего мы ждем? Вперед! 35 Глава 1 Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание Сколько себя помню, мне всегда было легче складывать и вы- читать слева направо, нежели справа налево. Поступая таким образом, я выяснил, что могу выкрикнуть ответ на математи- ческую задачку раньше, чем одноклассники запишут условия. А мне не нужно было даже записывать! В этой главе вы научитесь методу «слева направо», исполь- зуемому для устного сложения и вычитания большинства чисел, с которыми мы сталкиваемся каждый день. Эти ум- ственные навыки важны не только для выполнения матема- тических трюков из данной книги, но и незаменимы во время учебы в школе, трудовой деятельности и в других ситуациях, когда вам нужно оперировать числами. В скором времени вы сможете отправить свой калькулятор на заслуженный отдых и начать задействовать мозг в полную силу, складывая и вы- читая двузначные, трехзначные и даже четырехзначные числа с молниеносной скоростью. СЛОЖЕНИЕ СЛЕВА НАПРАВО Большинство из нас обучены проводить письменные вычис- ления справа налево. И это нормально для счета на бумаге. Но у меня есть достаточно много убедительных аргументов, 36 Магия чисел объясняющих, почему это лучше делать слева направо, что- бы считать в уме (то есть быстрее, чем на бумаге). В конце концов, числовую информацию вы читаете слева направо, произносите числа тоже слева направо, поэтому и думать о числах (и считать их) более естественно слева направо. Вы- числяя ответ справа налево, вы генерируете его в обратном направлении. Это и делает вычисления в уме такими слож- ными. К тому же, чтобы просто оценить результат вычисле- ний, важнее знать, что он «чуть больше 1200», чем то, что он «заканчивается на 8». Итак, применяя метод слева направо, вы начинаете реше- ние с самых значимых цифр вашего ответа. Если вы привык- ли работать на бумаге справа налево, то вам может показаться неестественным новый подход. Но с практикой к вам придет понимание, что это самый эффективный способ для устных вычислений. Хотя, возможно, первый набор задач — сложение двузначных чисел — и не убедит вас в этом. Но проявляйте терпение. Если будете следовать моим рекомендациям, то ско- ро поймете, что единственным легким путем к решению задач на сложение трехзначных (и более «значных») чисел, всех за- дач на вычитание, умножение и деление является метод слева направо. Чем раньше вы приучите себя действовать так, тем лучше. Сложение двузначных чисел Прежде всего я исхожу из того, что вы знаете, как складывать и вычитать числа, состоящие из одной цифры. Мы начнем со сложения двузначных чисел, хоть я и подозреваю, что вы не- плохо умеете делать это в уме. Однако следующие упражнения все равно станут для вас хорошей практикой, так как навыки сложения двузначных чисел, которые вы приобретете в итоге, 37 Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание понадобятся для решения более трудных задач на сложение, как, впрочем, и для почти всех задач на умножение, предло- женных в следующих главах. В этом проиллюстрирован фун- даментальный принцип устной арифметики, а именно: «упро- щай задачу, разбивая ее на меньшие, проще решаемые». Это ключ практически к каждому методу, представленному в дан- ной книге. Перефразируя старую пословицу, есть три составля- ющие успеха: упрощай, упрощай и упрощай. Самые легкие задачи на сложение двузначных чисел — те, которые не требуют от вас держать в уме какие-либо цифры (то есть когда первые две цифры в сумме дают 9 или меньше или сумма последних двух цифр равна 9 и меньше). Например: |