Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 2» При возведении в квадрат двузначного числа всегда применяется одинаковый метод. Но перемножать двузначные числа можно раз- ными способами, которые в итоге приведут вас к одному и тому же ответу. Лично для меня здесь и начинается самое интересное. Первый метод, назовем его «метод сложения», можно при- менять для решения любых задач на умножение типа «2 на 2». Метод сложения В методе сложения при перемножении двух двузначных чи- сел надо всего лишь решить две задачи на умножение типа «2 на 1» и суммировать результаты, например: 46 × 42 (40 + 2) 40 × 46 = 1840 2 × 46 = + 92 1932 78 Магия чисел Итак, 42 разбиваем на 40 и 2, после чего умножаем 40 × 46 (а это всего лишь 4 × 46 с добавочным нулем, то есть 1840); затем 2 × 46 = 92. Наконец складываем 1840 + 92 = 1932, как и показано выше. Вот еще один способ решения той же задачи: 46 (40 + 6) × 42 40 × 42 = 1680 6 × 42 = + 252 1932 Но здесь есть небольшая проблема, которая заключается в том, что умножить 6 × 42 сложнее, чем 2 × 46, как в первом способе. Более того, прибавить 1680 + 252 сложнее, чем сум- мировать 1840 + 92. Так как же решить, какое из чисел разби- вать на части? Я стараюсь выбирать то, которое приведет к бо- лее простой задаче на сложение. В большинстве случаев, но не всегда, желательно разбивать число с наименьшей цифрой в конце, потому что это обычно приводит к меньшим числам при сложении. Попробуйте свои силы на следующих примерах. 48 81 (80 + 1) × 73 (70 + 3) × 59 70 × 48 = 3360 80 × 59 = 4720 3 × 48 = + 144 1 × 59 = + 59 3504 4779 В последнем примере показано, почему числа с 1 в конце лучше всего представлять в виде суммы. В случае если оба числа оканчиваются на одинаковую цифру, следует делить на части большее число, как показано ниже. 79 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня 84 (80 + 4) × 34 80 × 34 = 2720 4 × 34 = + 136 2856 Если одно из чисел намного больше другого, то его разби- ение часто оправдывает себя, даже если цифра на конце боль- ше цифры на конце меньшего числа. Вы поймете, что я имею в виду, когда решите следующие задачи двумя разными спо- собами. 74 (70 + 4) 74 × 13 × 13 (10 + 3) 70 × 13 = 910 10 × 74 = 740 4 × 13 = + 52 3 × 74 = + 222 962 962 Показался ли вам первый способ быстрее второго? Мне — да. Вот еще одно исключение из правила: разбивайте на части число с наименьшей цифрой на конце. При умножении числа, близкого и большего 50, на четное, следует разбить на части именно число, близкое к 50. 84 × 59 (50 + 9) 50 × 84 = 4200 9 × 84 = + 756 4956 Последняя цифра числа 84 меньше, чем цифра на конце числа 59. Но если разбить на части 59, то результат первого умножения будет кратным 100, что упрощает последующую задачу на сложение. 80 Магия чисел Теперь попробуйте решить легкую задачу другого типа. 42 × 11 (10 + 1) 10 × 42 = 420 1 × 42 = + 42 462 Хотя вычисления, представленные выше, достаточно про- сты, существует еще более простой и быстрый способ умноже- ния числа на 11. Это магия чисел во всей красе: вы не поверите своим глазам, когда увидите! (Если, конечно, вы еще не забы- ли, что читали в главе 0.) Вот как это работает. Представьте себе двузначное число, цифры которого в сумме дают 9 или меньше. Для умножения такого числа на 11 просто сложите эти две цифры и вставьте полученную сумму между двух исходных цифр. Например, чтобы умножить 42 × 11, сначала складываем 4 + 2 = 6. По- местив 6 между 4 и 2, получаем 462, что и является решением! 42 4 2 = 462 × 11 6 Вычислите 54 × 11, используя данный метод. 54 5 4 = 594 × 11 9 Что может быть проще? Все, что вам нужно, — поставить 9 между 5 и 4 и получить окончательный ответ 594. Но что делать, когда сумма двух чисел больше 9? В таких случаях надо увеличить цифру десятков на 1, а затем вста- вить последнюю цифру суммы между двумя числами, как и прежде. Например, при умножении 76 × 11 суммируете 7 + + 6 = 13, увеличиваете цифру 7 в числе 76 до 8, а затем 81 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня вставляете 3 между 8 и 6, что дает окончательный ответ 836. Посмотрите на схему вычислений: 76 7 6 = 836 × 11 1 3 Попытайтесь самостоятельно умножить 68 × 11. 68 6 8 = 748 × 11 1 4 После того как вы освоите этот метод, вы никогда не стане- те умножать числа на 11 по-другому. Решите несколько задач, а затем сверьтесь с ответами в конце книги. УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ НА 11 1. 35 2. 48 3. 94 × 11 × 11 × 11 Следующую задачу вначале бывает очень трудно решить. Попытайтесь умножить 89 × 72 в уме, подглядывая в случае необходимости в решение. Если вы справились с ней за две по- пытки, то все в порядке. 89 × 72 (70 + 2) 70 × 89 = 6230 2 × 89 = + 178 6408 Если вы получили правильный ответ с первого или вто- рого раза, похлопайте себя по плечу. В действительности не найдется задач на умножение типа «2 на 2» труднее этой. Если вы не получили ответ сразу, не волнуйтесь. В следую- щих двух разделах я обучу вас более простым стратегиям 82 Магия чисел для решения подобных задач. Но прежде чем продолжить чтение, попрактикуйтесь в методе сложения на следующих задачах на умножение. УПРАЖНЕНИЕ: МЕТОД СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ ТИПА «2 НА 2» 1. 31 2. 27 3. 59 4. 53 × 41 × 18 × 26 × 58 5. 77 6. 23 6. 62 8. 88 × 43 × 84 × 94 × 76 9. 92 10. 34 11. 85 × 35 × 11 × 11 Метод вычитания Метод вычитания может пригодиться, когда одно из умножа- емых чисел заканчивается на 8 или 9. Следующий пример по- казывает, что я имею в виду. 59 (60 – 1) × 17 60 × 17 = 1020 –1 × 17 = – 17 1003 Хотя большинство людей находят, что сложение легче вы- читания, порой удобнее отнять маленькое число, чем приба- вить большое. (Если бы мы решали эту задачу методом сложе- ния, то пришлось бы складывать 850 + 153 = 1003.) Теперь рассмотрим сложную задачу, приведенную в конце предыдущего раздела. 83 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня 89 (90 – 1) × 72 90 × 72 = 6480 –1 × 72 = – 72 6408 Разве это не намного проще? А вот задача, где одно из чи- сел заканчивается на 8. 88 (90 – 2) × 23 90 × 23 = 2070 –2 × 23 = – 46 2024 В данном случае следует поступить с числом 88 так: вычи- таем 90 – 2, затем умножаем 90 × 23 = 2070. Но мы умножили с лишком. Каким? Он равен 2 × 23 = 46. Так что для получения ответа 2024 надо вычесть 46 из 2070. Хочу подчеркнуть, что важно решать такие примеры в уме, а не просто изучать, как это делается. Пропускайте через себя эти задачи, проговаривайте выполняемые действия вслух, чтобы подкрепить свои размышления. Я использую метод вычитания не только для чисел, окан- чивающихся на 8 или 9, но и для чисел, близких и больших 90, поскольку 100 — очень удобное число для умножения. Напри- мер, если кто-то попросит меня умножить 96 на 73, я незамед- лительно округлю 96 до 100. 96 (100 – 4) × 73 100 × 73 = 7300 –4 × 73 = – 292 7008 84 Магия чисел Когда действие на вычитание внутри задачи на умноже- ние требует держать числа в уме, использование дополнений (которые мы изучили в главе 1) ускорит получение ответа. Вы поймете, о чем я говорю, когда поработаете над задачами, приведенными ниже. Например, вычтите из 340 число 78. Нам известно, что ответ будет в области «200 плюс». Разность между 40 и 78 составляет 38. С помощью дополнения к 38, которое равно 62, получаем ответ 262! 340 78 – 40 = 38 – 78 Дополнение для 38 = 62 262 Теперь следующая задача. 88 (90 – 2) × 76 90 × 76 = 6840 –2 × 76 = – 152 Есть два пути вычитания внутри данной задачи. Длинный путь состоит из вычитания 200 и прибавления 48. 6840 – 152 = 6640 + 48 = 6688. (сначала вычитаем 200) (затем прибавляем 48) Короткий путь заключается в понимании того, что ответ будет равен 6600 и «сколько-то еще». Для определения этого «сколько-то» вычитаем 52 – 40 = 12, а затем находим допол- нение для 12, которое равно 88. Следовательно, ответ — 6688. Попробуйте решить такой пример. 67 × 59 (60 – 1) 60 × 67 = 4020 –1 × 67 = – 67 3953 85 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня Снова идем коротким путем, взяв за основу ответ 3900 и сколько-то еще. Так как 67 – 20 = 47, а дополнение для 47 — это 53, ответ — 3953. Как вы, наверное, поняли, использование данного метода возможно в любой задаче на вычитание, в которой требуется держать числа в уме, а не только тогда, когда она является ча- стью решения задачи на умножение. Все это служит еще од- ним доказательством того (если вам нужны доказательства), что дополнение — очень мощный инструмент в математиче- ской магии. Освойте эту технику, и довольно скоро люди нач- нут рассыпать вам комплименты! УПРАЖНЕНИЕ: МЕТОД ВЫЧИТАНИЯ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ ТИПА «2 НА 2» 1. 29 2. 98 3. 47 4. 68 × 45 × 43 × 59 × 38 5. 96 6. 79 6. 37 8. 87 × 29 × 54 × 19 × 22 9. 85 10. 57 11. 88 × 38 × 39 × 49 Метод разложения Метод разложения — мой любимый метод умножения двуз- начных чисел, поскольку в нем совсем не используются сло- жение и вычитание. Его следует применять, когда один из со- множителей можно разложить на множители, состоящие из одной цифры, которые при перемножении дадут исходное число. Например, число 24 можно представить в виде 8 × 3 или 6 × 4. (Возможно также разложение в виде 12 × 2, но мы отдаем предпочтение использованию однозначных чисел.) 86 Магия чисел Вот еще несколько примеров разложения чисел: 42 = 7 × 6, 63 = 9 × 7, 84 = 7 × 6 × 2 или 7 × 4 × 3. Чтобы посмотреть, как разложение облегчает процесс ум- ножения, рассмотрим следующий пример. 46 × 42 = 7 × 6 Ранее мы решали его путем умножений 46 × 40 и 46 × 2 и последующего сложения сумм. Чтобы использовать метод разложения, представим 42 как 7 × 6 и начнем с умножения 46 × 7, что равняется 322. Затем умножим 322 × 6 и получим ответ 1932. Вы знаете, как решать задачи на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1», так что решить этот пример для вас не со- ставит труда. 46 × 42 = 46 × (7 × 6) = (46 × 7) × 6 = 322 × 6 = 1932. Конечно, множители при разложении числа 42 можно по- менять местами: 46 × 42 = 46 × (6 × 7) = (46 × 6) × 7 = 276 × 7 = 1932. В данном примере легче умножить 322 × 6, чем 276 × 7. Чаще всего я предпочитаю использовать больший множитель при решении исходной задачи типа «2 на 1» и сохраняю меньший множитель для его применения в случае задачи «3 на 1». Раз- ложение упрощает задачу на умножение типа «2 на 2» до более легкой задачи типа «3 на 1» (иногда даже до «2 на 1»). Преимущество этого метода разложения для устных вы- числений состоит в том, что вам не приходится слишком мно- гое держать в памяти. Рассмотрим другой пример 75 × 63. 87 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня 75 × 63 = 75 × (9 × 7) = (75 × 9) × 7 = 675 × 7 = 4725. Как и прежде, вы упрощаете этот пример типа «2 на 2» пу- тем разложения 63 на 9 × 7 и затем умножаете 75 на эти числа. (Кстати, мы можем переставить скобки во втором шаге вычис- лений по ассоциативному, или сочетательному, закону умно- жения.) 63 × 75 = 63 × (5 × 5 × 3) = (63 × 5) × 5 × 3 = 315 × 5 × 3 = 1575 × 3 = 4725. Потренируйтесь на следующем примере: 57 × 24 = 57 × 8 × 3 = 456 × 3 = 1368. Здесь можно разложить 24 как 6 × 4 для перехода к другому простому варианту вычислений: 57 × 24 = 57 × 6 × 4 = 342 × 4 = 1368. Сравните данный подход с методом сложения. 57 или 57 (50 + 7) × 24 (20 + 4) × 24 20 × 57 = 1140 50 × 24 = 1200 4 × 57 = + 228 7 × 24 = + 168 1368 1368 В рамках метода сложения необходимо решить две задачи на умножение типа «2 на 1», а затем суммировать результаты. При использовании метода разложения вам нужно выполнить только два действия на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1». Метод разложения обычно снисходителен к вашей памяти. Помните ту трудную задачу на умножение из предыдущей части этой главы? Вот она: 89 × 72 88 Магия чисел Мы решили ее достаточно легко с помощью метода вычи- тания, но разложение работает еще быстрее: 89 × 72 = 89 × 9 × 8 = 801 × 8 = 6408. Задача существенно облегчается тем, что в середине числа 801 находится 0. Следующий пример показывает, что поиск ва- рианта разложения чисел, позволяющего воспользоваться по- добной ситуацией (когда есть 0 в середине числа), часто бывает оправданным. Рассмотрим два способа вычисления 67 × 42. 67 × 42 = 67 × 7 × 6 = 469 × 6 = 2814. 67 × 42 = 67 × 6 × 7 = 402 × 7 = 2814. Обычно 42 раскладывают как 7 × 6, следуя правилу «ис- пользуй больший множитель в первую очередь». Но задачу легче решить, разложив 42 как 6 × 7, поскольку это приводит к созданию числа с 0 в середине, что облегчает умножение. Я называю такие числа дружелюбными произведениями. Ниже поиск дружелюбного произведения проведен в про- цессе умножения двумя способами. 43 × 56 = 43 × 8 × 7 = 344 × 7 = 2408. 43 × 56 = 43 × 7 × 8 = 301 × 8 = 2408. Не показался ли вам второй вариант более легким? Применяя метод разложения, выгодно отыскивать дру- желюбные произведения везде, где только можно. Следую- щий список должен в этом помочь. Я жду от вас не столько его запоминания, сколько простого ознакомления с ним. Практикуясь, вы научитесь интуитивно определять друже- любные произведения, и этот список станет для вас хоро- шим подспорьем. 89 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня Числа с дружелюбными произведениями 12: 12 × 9 = 108. 13: 13 × 8 = 104. 15: 15 × 7 = 105. 17: 17 × 6 = 102. 18: 18 × 6 = 108. 21: 21 × 5 = 105. 23: 23 × 9 = 207. 25: 25 × 4 = 100, 25 × 8 = 200. 26: 26 × 4 = 104, 26 × 8 = 208. 27: 27 × 4 = 108. 29: 29 × 7 = 203. 34: 34 × 3 = 102, 34 × 6 = 204, 34 × 9 = 306. 35: 35 × 3 = 105. 36: 36 × 3 × 108. 38: 38 × 8 = 304. 41: 41 × 5 = 205. 43: 43 × 7 = 301. 44: 44 × 7 = 308. 45: 45 × 9 = 405. 51: 51 × 2 = 102, 51 × 4 = 204, 51 × 6 = 306, 51 × 8 = 408. 52: 52 × 2 = 104, 52 × 4 = 208. 53: 53 × 2 = 106. 54: 54 × 2 = 108. 56: 56 × 9 = 504. 61: 61 × 5 = 305. 63: 63 × 8 = 504. 67: 67 × 3 = 201, 67 × 6 = 402, 67 × 9 = 603. 68: 68 × 3 = 204, 68 × 6 = 408. 72: 72 × 7 = 504. 76: 76 × 4 = 304, 76 × 8 = 608. 77: 77 × 4 = 308. 90 Магия чисел 78: 78 × 9 = 702. 81: 81 × 5 = 405. 84: 84 × 6 = 504. 88: 88 × 8 = 704. 89: 89 × 9 = 801. Ранее в этой главе вы обучились легкому способу умножать числа на 11. Он применим в методе разложения в ситуации, когда один из множителей равен 11, как в данном примере. 52 × 33 = 52 × 11 × 3 = 572 × 3 = 1716. 83 × 66 = 83 × 11 × 6 = 913 × 6 = 5478. УПРАЖНЕНИЕ: МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ ТИПА «2 НА 2» 1. 27 2. 86 3. 57 4. 81 × 14 × 28 × 14 × 48 5. 56 6. 83 6. 72 8. |