Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
47 + 32 (30 + 2) Чтобы сложить 47 + 32, сначала 30 прибавляем к 47, а затем к полученной сумме прибавляем 2. После сложения 30 и 47 за- дача упрощается: 77 + 2 равно 79. Проиллюстрируем это следу- ющим образом: 47 + 32 = 77 + 2 = 79 (сначала прибавляем 30, затем 2) Приведенная схема — простой способ представления мыс- лительных процессов, выполняемых для получения правиль- ного ответа. Хотя вы должны читать и понимать такие схемы на протяжении всего времени работы с книгой, записывать что-либо не требуется. Теперь попробуем вычисление, в котором необходимо дер- жать числа в уме: 67 + 28 (20 + 8) 38 Магия чисел Прибавляя слева направо, вы можете свести задачу к дей- ствию 67 + 20 = 87, а затем к сложению 87 + 8 = 95. 67 + 28 = 87 + 8 = 95 (сначала прибавляем 20, затем 8) Теперь попробуйте сами, после чего сверьтесь с тем, как это сделали мы. 84 + 57 (50 + 7) Ну что, получилось? Вы сложили 84 + 50 = 134, а затем 134 + 7 = 141. 84 + 57 = 134 + 7 = 141 (сначала прибавляем 50, затем 7) Если удержание цифр в уме служит причиной ваших ошибок, не переживайте. Вероятно, это ваша первая попыт- ка выполнить систематизированное устное вычисление и, как и большинству людей, вам понадобится время, чтобы за- помнить числа. Однако с опытом вы сможете удерживать их в уме автоматически. В качестве практики попробуйте решить устно еще одну задачку, а затем опять сверьтесь с тем, как это сделали мы. 68 + 45 (40 + 5) Вам следовало сложить 68 + 40 = 108 и 108 + 5 = 113 (итого- вый ответ). Было ли вам проще? Если хотите проверить свои силы на большем количестве задач на сложение двузначных чисел, обратитесь к примерам, представленным ниже. (Отве- ты и ход вычислений приведены в конце книги.) 39 Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ 1. 23 2. 64 3. 95 4. 34 5. 89 +16 + 43 + 32 + 26 + 78 6. 73 7. 47 8. 19 9. 55 10. 39 + 58 + 36 + 17 + 49 + 38 Сложение трехзначных чисел Стратегия сложения трехзначных чисел точно такая же, как и двузначных: вы складываете слева направо и после каждого шага переходите к новой, более простой задаче на сложение. Попробуем: 538 + 327 (300 + 20 + 7) Вначале прибавляем к 538 число 300, затем 20, затем 7. По- сле прибавления 300 (538 + 300 = 838) задача сводится к 838 + + 27. После прибавления 20 (838 + 20 = 858) задача упрощается до 858 + 7 = 865. Такого рода мыслительный процесс может быть представлен в виде следующей схемы: 538 + 327 = 838 + 27 = 858 + 7 = 865 + 300 + 20 + 7 Все задачи на устное сложение можно решить таким спо- собом, последовательно упрощая задачу до тех пор, пока не останется просто прибавить однозначное число. Обратите внимание, что пример 538 + 327 требует удержания в уме ше- сти цифр, тогда как 838 + 27 и 858 + 7 — только пяти и четы- рех цифр соответственно. Если вы упрощаете задачу, решить ее становится легче! 40 Магия чисел Попробуйте решить в уме следующую задачу на сложение, прежде чем посмотрите наше решение 623 + 159 (100 + 50 + 9) Вы упростили ее, складывая цифры слева направо? После сложения сотен (623 + 100 = 723) осталось сложить десятки (723 + 50 = 773). Упростив задачу до 773 + 9, в сумме получаем 782. В виде схемы решение задачи выглядит так: 623 + 159 = 723 + 59 = 773 + 9 = 782 + 100 + 50 + 9 Когда я решаю подобные задачи в уме, я не визуализирую числа, а пытаюсь слышать их. Я слышу пример 623 + 159 как шестьсот двадцать три плюс сто пятьдесят девять. Выделяя для себя слово сто, я понимаю, с чего начать. Шесть плюс один равняется семи, значит, моя следующая задача семьсот двадцать три плюс пятьдесят девять и так далее. Решая такие задачи, тоже делайте это вслух. Подкрепление в виде звуков поможет вам освоить этот метод гораздо быстрее. Задачи на сложение трехзначных чисел на самом деле не бывают сложнее следующей: 858 + 634 Взгляните на то, как это сделается: 858 + 634 = 1458 + 34 = 1488 + 4 = 1492 + 600 + 30 + 4 На каждом этапе я слышу (а не вижу) новую задачу на сло- жение. У меня в голове это звучит примерно так: 41 Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание 858 плюс 634 равно 1458 плюс 34, равно 1488 плюс 4, равно 1492. Ваш внутренний голос может звучать иначе, чем мой (не исключено, что вам удобнее видеть числа, а не слышать их), но, как бы там ни было, наша цель — «подкреплять» числа на их пути, чтобы не забыть, на каком этапе решения задачи мы находимся и не начинать все сначала. Давайте еще попрактикуемся. 759 + 496 (400 + 90 + 6) Вначале сложите в уме, потом проверьте вычисления. 759 + 496 = 1159 + 96 = 1249 + 6 = 1255 + 400 + 90 + 6 Этот пример немного сложнее предыдущего, так как тре- бует держать в уме числа на протяжении всех трех шагов. Однако в нем можно воспользоваться альтернативным мето- дом подсчета. Я уверен, что вы согласитесь: гораздо проще к 759 прибавить 500, чем 496. Так что попробуйте прибавить 500 и затем вычесть разность. 759 + 496 (500 – 4) 759 + 496 = 1259 – 4 = 1255 (сначала прибавляем 500, затем вычитаем 4) До сих пор вы последовательно расчленяли второе число, чтобы сложить его с первым. На самом деле не имеет значения, какое число разбивать на части, важно соблюдать порядок действий. Тогда вашему мозгу не придется решать, в какую 42 Магия чисел сторону направиться. Если запомнить второе число намного легче первого, то их можно поменять местами, как в следую- щем примере. 207 + 528 207 + 528 = 528 + 207 = 728 + 7 = 735 (меняем местами) + 200 + 7 Закончим тему сложением трехзначных чисел с четырех- значными. Так как память среднестатистического человека од- новременно может удерживать только семь или восемь цифр, это как раз подходящая задача, с которой вы можете справить- ся, не прибегая к искусственным устройствам запоминания (таким как пальцы, калькуляторы или приемы мнемотехники из главы 7). Во многих задачах на сложение одно или оба чис- ла заканчиваются на 0, поэтому уделим внимание примерам такого типа. Начнем с самого легкого: 2700 + 567 Так как 27 сотен + 5 сотен равняется 32 сотням, мы просто прибавляем 67 с целью получить 32 сотни и 67, то есть 3267. Процесс решения идентичен для следующих заданий. 3240 3240 + 18 + 72 Поскольку 40 + 18 = 58, первый ответ — 3258. Во втором примере 40 + 72 в сумме больше 100, поэтому ответ будет 33 сотни с «хвостиком». Итак, 40 + 72 = 112, поэтому ответ — 3312. 43 Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание Эти задачи легкие, потому что значащие цифры (отличные от нуля) в них складываются лишь один раз и примеры можно решить в одно действие. Если значащие цифры складываются два раза, то и действий понадобится два. Например: 4560 + 171 (100 + 71) Задача в два действия схематически выглядит следующим образом. 4560 + 171 = 4660 + 71 = 4731 + 100 + 71 Тренируйтесь на представленных ниже упражнениях в сложении трехзначных чисел до тех пор, пока не стане- те с легкостью выполнять их в уме, не подглядывая в ответ. (Ответы находятся в конце книги.) УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ 1. 242 2. 312 3. 635 4. 457 5. 912 +137 + 256 + 814 + 241 + 475 6. 852 7. 457 8. 878 9. 276 10. 877 + 378 + 269 + 797 + 689 + 539 11. 5400 12. 1800 13. 6120 14. 7830 15. 4240 + 252 + 855 + 136 + 348 + 371 44 Магия чисел Карл Фридрих Гаусс: вундеркинд от математики В ундеркинд — это очень талантливый ребенок. Обычно его называют «развитым не по годам» или «одаренным», так как он почти всегда опережает сверстников в развитии. Не- мецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) был одним из таких детей. Он часто хвастался тем, что научился произво- дить расчеты раньше, чем говорить. Будучи трех лет от роду, он исправил платежную ведомость отца, заявив: «Подсчеты не- верны». Дальнейшая проверка ведомости показала, что малыш Карл был прав. В десятилетнем возрасте ученик Гаусс получил на уро- ке следующую математическую задачу: какова сумма чисел от 1 до 100? Пока одноклассники отчаянно производили рас- четы с бумагой и карандашом, Гаусс сразу представил себе, что если он запишет числа от 1 до 50 слева направо, а от 51 до 100 — справа налево прямо под списком чисел от 1 до 50, то каждая сумма чисел, стоящих друг под другом, будет равна 101 (1 + + 100, 2 + 99, 3 + 98...). Поскольку выходило всего пятьдесят таких сумм, ответ составил 101 × 50 = 5050. Ко всеобщему из- умлению (включая учителя), юный Карл получил ответ, не толь- ко опередив всех остальных учеников, но и вычислив его це- ликом в уме. Мальчик записал ответ на своей грифельной доске и швырнул ее на стол учителя с дерзкими словами: «Вот ответ». Учитель был настолько поражен, что за свои деньги купил наи- лучший из доступных учебников по арифметике и отдал его Гауссу, заявив: «Это превышает пределы моих возможностей, я больше ничему не смогу его научить». Действительно, Гаусс стал учить математике других и в ко- нечном итоге достиг небывалых высот, прослыв одним из вели- чайших математиков в истории, чьи теории до сих пор служат науке. Его желание лучше понимать природу посредством языка математики было подытожено в его девизе, взятом из шекспи- ровского «Короля Лира» (заменяя «закон» на «законы»): «При- рода, ты моя богиня! В жизни я лишь твоим законам послушен». 45 Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание ВЫЧИТАНИЕ СЛЕВА НАПРАВО Для большинства из нас сложение проще вычитания. Но если вы будете вычитать слева направо и начнете разделять вычис- ления на более простые действия, вычитание может стать поч- ти таким же простым, как сложение. Вычитание двузначных чисел При вычитании двузначных чисел следует упростить задачу, сведя ее к вычитанию (или сложению) однозначных. Начнем с очень простого примера. 86 – 25 (20 + 5) После каждого действия вы переходите на новый, более простой этап вычитания. Сначала отнимаем 20 (86 – 20 = 66), затем 5, имея простое действие 66 – 5, в итоге получаем 61. Ре- шение схематически можно представить как: 86 – 25 = 66 – 5 = 61 (сначала вычитаем 20, затем 5) Конечно, вычитать значительно легче, если не нужно за- нимать единицу из старшего разряда (так происходит, когда бо 2льшая цифра вычитается из меньшей). Однако хочу вас успокоить: трудные задачи на вычитание обычно можно пре- вратить в легкие задачки на сложение. Например: 86 – 29 (20 + 9) или (30 – 1) Существуют два способа решить этот пример в уме. 1. Сначала вычитаем 20, затем 9: 86 – 29 = 66 – 9 = 57 (сначала вычитаем 20, затем 9) Но для этой задачи я предлагаю другую стратегию. 46 Магия чисел 2. Сначала вычитаем 30, потом прибавляем 1 86 – 29 = 56 + 1 = 57 (сначала вычитаем 30, затем прибавляем 1) Определить, какой метод лучше использовать, вам помо- жет правило: если в задаче на вычитание двузначных чисел вычитаемая цифра больше уменьшаемой, округлите ее до десяти. Далее из уменьшаемого числа вычтите округленное чис- ло, а потом прибавьте разность между округленным числом и первоначальным. Например, в задаче 54 – 28 вычитаемое 8 больше уменьшаемого 4. Поэтому округляем 28 до 30, вы- числяем 54 – 30 = 24, после чего прибавляем 2 и получаем от- вет — 26. 54 – 28 (30 – 2) 54 – 28 = 24 + 2 = 26 – 30 + 2 А теперь закрепим знания на примере 81 – 37. Так как 7 больше 1, округляем 37 до 40, вычитаем это число из 81 (81 – – 40 = 41), а затем прибавляем разность 3 для получения ответа: 81 – 37 = 41 + 3 = 44 – 30 + 2 Всего лишь немного практики — и вы без труда сможете решать задачи обоими способами. Используйте вышеуказан- ное правило для принятия решения о том, какой способ луч- ше подходит. 47 Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание УПРАЖНЕНИЕ: ВЫЧИТАНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ 1. 38 2. 84 3. 92 4. 67 5. 79 – 23 – 59 – 34 – 48 – 29 6. 63 7. 51 8. 89 9. 125 10. 148 – 46 – 27 – 48 – 79 – 86 Вычитание трехзначных чисел Теперь займемся вычитанием трехзначных чисел. 958 – 417 (400 + 10 + 7) Этот пример не требует округления чисел (каждая цифра второго числа как минимум на единицу меньше соответству- ющих цифр первого), поэтому задача не должна быть слиш- ком сложной. Просто вычитайте по одной цифре за раз, с каж- дым шагом упрощая задачу. 958 – 417 = 558 – 17 = 748 – 7 = 541 – 400 – 10 – 7 Теперь рассмотрим задачу на вычитание трехзначных чи- сел, которая требует округления. 747 – 598 (600 – 2) На первый взгляд она кажется довольно сложной. Но если сначала вычесть 600 (747 – 600 = 147), а потом прибавить 2, то получим 149 (147 + 2 = 149). 747 – 598 = 147 + 2 = 149 – 600 + 2 48 Магия чисел Теперь попробуйте сами. 853 – 692 Вначале вы вычли 700 из 853? Если да, то получили 853 – – 700 = 153, не правда ли? Так как вы вычли число, на 8 боль- шее исходного, прибавили ли вы 8, чтобы получить ответ 161? 853 – 692 = 153 + 8 = 161 – 700 + 8 Теперь я могу признаться, что нам удалось упростить про- цесс вычитания, потому что вычитаемые числа были почти кратными 100. (Вы заметили?) А как насчет других задач, на- пример такой? 725 – 468 (400 + 60 + 8) или (500 – ?) Если вычитать по одной цифре за раз, упрощая каждое действие, то последовательность будет выглядеть так: 725 – 468 = 325 – 68 = 265 – 8 = 257 – 400 – 60 – 8 А что произойдет, если округлить вычитаемое до 500? 725 – 468 = 225 + ? = ? (сначала вычитаем 500, затем прибавляем ?) Вычесть 500 легко: 725 – 500 = 225. Но вы отняли слишком много. Хитрость в том, чтобы точно определить, чему равно это «слишком много». На первый взгляд, ответ не очевиден. Чтобы найти разницу между 468 и 500. Ответ можно получить с помощью дополне ния — ловкого приема, который упростит большинство задач на вычитание трехзначных чисел. 49 Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание Вычисление дополнений Быстро скажите, как далеко от 100 эти числа? 57 68 49 21 79 Вот ответы: 57 68 49 21 79 + 43 + 32 + 51 + 79 + 21 100 100 100 100 100 Обратите внимание, что для каждой пары чисел, сумма ко- торых равна 100, первые цифры (слева) в сумме дают 9, а по- следние (справа) — 10. Можно сказать, что 43 — это дополне- ние для 57, 32 — для 68 и так далее. А сейчас отыщите дополнения к следующим двузначным числам: 37 59 93 44 08 Чтобы найти дополнение к числу 37, сначала определите, сколько нужно прибавить к 3, чтобы получить 9. (Ответ — 6.) Затем выясните, сколько следует добавить к 7 для получения 10. (Ответ — 3.) Следовательно, 63 — дополнение к 37. Остальные дополнения: 41, 7, 56, 92 соответственно. Об- ратите внимание, что как матемаг вы ищете дополнения, как и все остальное, слева направо. Как мы уже выяснили, первую цифру увеличиваем до 9, вторую до 10. (Исключение, если чис- ла заканчиваются на 0 — например, 30 + 70 = 100, — но такие дополнения легко вычислить!) Какая связь между дополнениями и устным вычитанием? Они позволяют преобразовать сложные примеры на вычита- ние в простые задачи на сложение. Рассмотрим последнюю задачу, доставившую нам некоторые трудности. 725 – 468 (500 – 32) 50 Магия чисел Итак, сначала вычитаем из 725 число 500 вместо 468 и по- лучаем 225 (725 – 500 = 225). Однако поскольку мы вычли слишком много, нужно выяснить, сколько теперь следует прибавить. Использование дополнений позволяет мгновен- но дать ответ. На сколько цифр 468 отстоит от 500? На столь- ко же, насколько 68 отстоит от 100. Если искать дополнение для 68 показанным выше способом, то выйдет 32. Прибавьте 32 к 225 и получите 257. |