Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
725 – 468 = 225 + 32 = 257 (сначала вычитаем 500, затем прибавляем 32) Попробуйте другую задачу на вычитание трехзначных чисел: 821 – 259 (300 – 41) Чтобы подсчитать это в уме, отнимите 300 от 821, выйдет 521. Затем прибавьте дополнение для 59 (то есть 41), получится 562. Весь процесс выглядит следующим образом: 821 – 259 = 521 + 41 = 562 (сначала вычитаем 300, затем прибавляем 41) Вот еще один пример: 645 – 372 (400 – 28) Проверьте свой ответ и ход решения: 645 – 372 = 245 + 28 = 265 + 8 = 273 – 400 + 20 + 8 Вычитание трехзначного числа из четырехзначного не многим сложнее, что иллюстрирует следующий пример. Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание 1246 – 579 (600 – 21) Путем округления вычитаем 600 из 1246. Получаем 646. Затем прибавляем дополнение для 79 (то есть 21). Ответ: 646 + + 21 = 667. 1246 – 579 = 646 + 21 = 667 (сначала вычитаем 600, затем прибавляем 21) Выполните упражнения на вычитание трехзначных чисел, данные ниже, а затем попробуйте придумать свои примеры на сложение (или на вычитание?). УПРАЖНЕНИЕ: ВЫЧИТАНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ 1. 583 2. 936 3. 587 4. 763 5. 204 –271 – 725 – 298 – 486 – 185 6. 793 7. 219 8. 978 9. 455 10. 772 – 402 – 176 – 784 – 319 – 596 11. 873 12. 564 13. 1428 14. 2345 15. 1776 – 357 – 228 – 571 – 678 – 987 52 Глава 2 Произведения растраченной юности: основы умножения Вероятно, я слишком много времени в детстве думал о том, как максимально быстро перемножать числа в уме. Мне поста- вили диагноз «гиперактивность», а моим родителям сообщи- ли, что из-за короткого периода концентрации внимания мне, скорее всего, не добиться успеха в учебе. (К счастью, родители этот прогноз проигнорировали; и с учителями мне повезло в первые годы обучения.) Должно быть, этот короткий период концентрации внимания мотивировал меня к поиску ускорен- ных способов счета. Не думаю, что тогда я обладал достаточ- ным терпением для решения задач с карандашом и бумагой. И вы, как только освоите техники, описанные в данной главе, тоже перестанете полагаться на эти инструменты. В этой главе вы научитесь умножать в уме однозначные числа на дву- и трехзначные. Кроме того, изучите феноме- нально быстрый способ возводить в квадрат двузначные чис- ла. Даже друзья с калькуляторами не смогут угнаться за вами. Поверьте, практически каждый будет ошеломлен тем, что та- кие задачи можно решить в уме, да еще и с подобной скоро- стью. Иногда я думаю, почему мы не применяли эти способы в школе, ведь они кажутся такими простыми, как только их освоишь. 53 Произведения растраченной юности: основы умножения Но для того чтобы развить этот навык, нужно соблюсти одно обязательное условие: вам необходимо знать таблицу умножения, вплоть до десяти. В действительности вы долж- ны быть способны воспроизвести ее в обоих направлениях. Те из вас, кому понадобится освежить знания, могут об- ратиться к таблице умножения, представленной ниже. Как только вы «проглотите» ее, можете начинать осваивать мои методы. Таблица умножения от 1 до 10 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 54 Магия чисел ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 1» Если вы успешно поработали над главой 1, то наверняка оце- нили преимущества сложения и вычитания слева направо. В этой главе мы тоже будем действовать аналогичным обра- зом, но уже в отношении умножения. Несомненно, это полно- стью противоположно тому, чему вас учили в школе. Но вско- ре вы поймете, насколько легче думать слева направо, нежели справа налево. (Кстати, вы можете проговаривать числа вслух, пока не закончите вычисления.) Рассмотрим первый пример. 42 × 7 Сначала умножаем 40 × 7 = 280. (Заметьте, что 40 × 7 — это почти то же самое, что и 4 × 7, только с добавлением друже- любного нуля.) Затем 2 × 7 = 14. Теперь складываем 280 плюс 14 (слева направо, естественно) и получаем ответ 294. Проил- люстрируем это в записи: 42 (40 + 2) × 7 40 × 7 = 280 2 × 7 = + 14 294 Мы опустили на приведенной схеме устное сложение 280 + 14, так как вы уже научились делать подобные вычис- ления в предыдущей главе. Поначалу вам придется подсма- тривать условия задачи во время решения. С практикой вы сможете отказаться от этого шага и считать исключительно в уме. Попробуем другой пример. 55 Произведения растраченной юности: основы умножения 48 (40 + 8) × 4 Ваш первый шаг — разбить пример на маленькие задачки на умножение, которые можно с легкостью выполнить в уме. Так как 48 = 40 + 8, умножаем 40 × 4 = 160, затем прибавляем 8 × 4 = 32. Ответ будет 192. (Примечание: если вас интересует, почему этот прием работает, обратитесь к разделу «Почему эти приемы работают» в конце данной главы.) 48 (40 + 8) × 4 40 × 4 = 160 8 × 4 = + 32 192 Вот еще две задачи для устного умножения, которые ре- шаются достаточно быстро. Сначала вычислите 62 × 3. Затем 71 × 9. Попытайтесь выполнить все в уме, прежде чем посмо- трите, как это сделали мы. 62 (60 + 2) 71 (70 + 1) × 3 × 9 60 × 3 = 180 70 × 9 = 630 2 × 3 = + 6 1 × 9 = + 9 186 639 Эти два примера достаточно просты, потому что сумма складываемых чисел меньше 10. Выполняя действие 180 + 6, вы можете слышать ответ: сто восемьдесят… шесть! Есть еще один простой способ устного умножения, при условии что двузначное число начинается на пять. Когда пять умножается на четную цифру, первое число получается кратным 100, что делает итоговую задачу на сложение особенно простой. 56 Магия чисел 58 (50 + 8) × 4 50 × 4 = 200 8 × 4 = + 32 232 Попрактикуйтесь на следующем примере. 87 (80 + 7) × 5 80 × 5 = 400 7 × 5 = + 35 435 Обратите внимание, насколько легче решать его слева на- право. Требуется намного меньше времени, чтобы сложить 400 плюс 35 в уме, чем понадобилось бы для применения мето- да «карандаш и бумага» и «5 пишем, 3 в уме». Следующие два примера немного сложнее. 38 (30 + 8) 67 (60 + 7) × 9 × 8 30 × 9 = 270 60 × 8 = 480 8 × 9 = + 72 7 × 8 = + 56 342 536 Как обычно, разбиваем задачу на подзадачи. В первом примере умножаем 30 × 9 и 8 × 9, в итоге суммируем 270 + 72. Задача на сложение немного сложнее, потому что включает в себя запоминание чисел. Вот как это делается: 270 + 70 + 2 = = 340 + 2 = 342. Практикуясь, вы станете легко решать задачи, подобные этой. И те из них, которые требуют запоминания чисел, по- кажутся почти такими же легкими, как и не требующие этого. 57 Произведения растраченной юности: основы умножения Округление В предыдущей главе вы убедились, насколько полезно окру- гление при выполнении вычитания. Та же история и с умноже- нием, особенно для чисел, заканчивающихся на 8 или 9. Рассмотрим пример 69 × 6, показанный ниже. Слева пред- ставлено вычисление обычным способом: складываем 360 + 54. Справа мы округлили 69 до 70 и вычли из 420 — 6, что нам по- казалось более простым действием. 69 (60 + 9) или 69 (70 – 1) × 6 × 6 60 × 6 = 360 70 × 6 = 420 9 × 6 = + 54 –1 × 6 = – 6 414 414 Следующий пример также демонстрирует, насколько окру- гление облегчает вычисления. 78 (70 + 8) или 78 (80 – 2) × 9 × 9 70 × 9 = 630 80 × 9 = 720 8 × 9 = + 72 –2 × 9 = – 18 702 702 Метод вычитания особенно хорошо работает для чисел, в которых надо округлять до кратной 10 одну или две цифры. Однако он не так хорош, когда округлять приходится больше двух цифр, потому что тогда сама задача на вычитание услож- няется. В этом случае можно продолжать придерживаться ме- тода сложения. Лично я для таких задач использую только его, потому что за время, потраченное на выбор метода, уже могу все посчитать! 58 Магия чисел Если вы хотите усовершенствовать технику, то следует больше практиковаться на задачах типа «2 на 1». Ниже пред- ставлены 20 примеров, на которых вы можете потрениро- ваться. Ответы даны в конце книги, включая разбивку на от- дельные действия для всего процесса умножения. Если после разбора каждого примера вы захотите попрактиковаться еще, то просто составьте собственные примеры. Считайте в уме, за- тем сверяйте ответ с калькулятором. Как только почувствуете, что научились быстро выполнять такие задачки в уме, можете переходить на следующий уровень устных вычислений. УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 1» 1. 82 2. 43 3. 67 4. 71 5. 93 × 9 × 7 × 5 × 3 × 8 6. 49 7. 28 8. 53 9. 84 10. 58 × 9 × 4 × 5 × 5 × 6 11. 97 12. 78 13. 96 14. 75 15. 57 × 4 × 2 × 9 × 4 × 7 16. 37 17. 46 18. 76 19. 29 20. 64 × 6 × 2 × 8 × 3 × 8 ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ ТИПА «3 НА 1» Теперь, когда вы умеете в уме решать задачи типа «2 на 1», ум- ножение трехзначных чисел на однозначные не покажется вам более сложным. Вы можете начать со следующего примера типа «3 на 1» (который на самом деле представляет собой за- маскированную задачку типа «2 на 1»). 59 Произведения растраченной юности: основы умножения 320 (300 + 20) × 7 300 × 7 = 2100 20 × 7 = + 140 2240 Было ли это легко? (Если этот пример показался трудным, вам следует повторить материал по сложению из главы 1.) Попробуем решить еще одну задачу «3 на 1», подобную верх- ней, но заменим в ней 0 на 6, чтобы у вас появилось еще одно действие для выполнения: 326 (300 + 20 + 6) × 7 300 × 7 = 2100 20 × 7 = + 140 2240 6 × 7 = + 42 2282 В данном случае вы просто прибавляете результат ум- ножения 6 × 7, то есть 42, к первой сумме 2240. Так как здесь не нужно запоминать никаких чисел, будет легко сложить 42 и 2240 и получить в итоге 2282. При решении этой и других задач типа «3 на 1» камнем преткновения может стать удержание в памяти первой суммы (в этом примере число 2240), в то время как вы заняты умно- жением (здесь 6 × 7). Нет какого-либо магического секрета для запоминания первого числа, но я уверяю вас, что по мере ос- воения метода концентрация внимания улучшится, и держать числа в памяти, выполняя параллельно другие операции, ста- нет для вас привычным делом. 60 Магия чисел Решим еще одну задачу. 647 (600 + 40 + 7) × 4 600 × 4 = 2400 40 × 4 = + 160 2560 7 × 4 = + 28 2588 Даже если числа большие, сам процесс умножения прост. Например: 987 (900 + 80 + 7) × 9 900 × 9 = 8100 80 × 9 = + 720 8820 7 × 9 = + 63 8883 Впервые решая такие задачки, вы должны поглядывать на записи, чтобы напоминать себе начальные условия. Пона- чалу это нормально. Но со временем попытайтесь избавиться от такой привычки, чтобы научиться держать в памяти всю задачу. В разделе об умножении типа «2 на 1» мы видели, что при- меры, где числа начинаются на пятерку, особенно легкие в ре- шении. То же верно и для задач типа «3 на 1». 563 (500 + 60 + 3) × 6 500 × 6 = 3000 60 × 6 = 360 3 × 6 = + 18 3378 61 Произведения растраченной юности: основы умножения Обратите внимание, что всякий раз, когда первый резуль- тат умножения получается кратным 1000, следующее действие на сложение уже вовсе не является задачей. Так происходит потому, что вам не нужно запоминать никаких чисел и в даль- нейшем порядковый номер тысячи не изменится. Если бы вы решали эту задачу перед кем-то, то могли бы сказать вслух «три тысячи…» с абсолютной уверенностью в том, что это число не превратится в ответе в 4 тысячи. (И в придачу, на- зывая первые цифры, вы создаете иллюзию, будто мгновенно вычислили ответ!) Но даже если вы тренируетесь в одиноче- стве, проговаривание вслух первых результатов вычисления освобождает часть оперативной памяти, необходимой для продолжения работы над оставшимися действиями для реше- ния задачи типа «2 на 1», ответ на которую вы тоже можете произнести вслух, например, «…триста семьдесят восемь». Попробуйте данный подход при решении следующей за- дачи, где множителем выступает 5. 663 (600 + 60 + 3) × 5 600 × 5 = 3000 60 × 5 = 300 3 × 5 = + 15 3315 Так как первые две цифры трехзначного числа одинаковые, вы можете произносить ответ параллельно с вычислениями даже без необходимости складывать что-либо! Правда, было бы здорово, если бы все задачки на умножение были такими легкими? Поднимемся на новый уровень сложности и попробуем решить пару примеров, которые потребуют от нас удержания чисел в уме. 62 Магия чисел 184 (100 + 80 + 4) × 7 100 × 7 = 700 80 × 7 = + 560 1260 4 × 7 = + 28 1288 684 (600 + 80 + 4) × 9 600 × 9 = 5400 80 × 9 = + 720 6120 4 × 9 = + 36 6156 В следующих двух примерах вам нужно держать числа в уме на последнем этапе решения, а не в его начале. 648 (600 + 40 + 8) × 9 600 × 9 = 5400 40 × 9 = + 360 5760 8 × 9 = + 72 5832 376 (300 + 70 + 6) × 4 300 × 4 = 1200 70 × 4 = + 280 1480 6 × 4 = + 24 1504 63 Произведения растраченной юности: основы умножения Первое действие для каждой задачи легко выполнить в уме. Сложности возникают при необходимости удерживать в памяти предварительный ответ, параллельно вычисляя ито- говый. В первой задаче легко сложить 5400 + 360 = 5760. Но вы будете вынуждены твердить «5760» самому себе, пока умножа- ете 8 × 9 = 72. Затем надо сложить 5760 и 72. Иногда на этой стадии я начинаю проговаривать ответ вслух еще до ее завер- шения. Я знаю, что нужно будет держать числа в уме, когда я буду складывать 60 + 72, но я также знаю, что 5700 станет 5800. Я говорю: «Пять тысяч восемьсот…», затем приостанавлива- юсь для сложения 60 + 72 = 132. Поскольку я уже держу числа в уме, я произношу только последние две цифры: «… тридцать два!» А вот и ответ: 5832. Две следующие задачи потребуют от вас держать в уме два числа, так что их решение может занять больше времени. Но, потренировавшись, вы станете делать это быстрее. 489 (400 + 80 + 9) × 7 400 × 7 = 2800 80 × 7 = + 560 3360 9 × 7 = + 63 3423 224 (200 + 20 + 4) × 9 200 × 9 = 1800 20 × 9 = + 180 1980 4 × 9 = + 36 2016 64 Магия чисел Когда вы впервые принимаетесь за решение таких при- меров, повторяйте ответы для каждого действия вслух, па- раллельно вычисляя остальное. В первой задаче, например, начните с «две тысячи восемьсот плюс пятьсот шестьдесят», проговорив пару раз все это вслух и тем самым закрепив два числа в памяти, пока складываете их. Повторите ответ «три тысячи триста шестьдесят» несколько раз, пока умножаете 9 × × 7 = 63. После проговаривайте «три тысячи триста шестьде- сят плюс шестьдесят три» вслух до тех пор, пока не вычислите итоговый ответ 3423. Если вы достаточно быстро соображаете, чтобы распознать, что сложение 60 + 63 потребует переноса 1 в старший разряд, то вы в состоянии назвать итоговый ответ на долю секунды быстрее, чем сами это осознаете: «три тыся- чи четыреста и… двадцать три!» Завершим раздел с задачами на умножение типа «3 на 1» рядом особых примеров, которые можно мгновенно решить, так как они требуют лишь одного действия на сложение вме- сто двух. |