Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
2 1760 + 2 2 = 1764) –2 40 Как вы помните из главы 3, чтобы возвести в квадрат чис- ло 342, надо сначала перемножить 384 ×300, что даст 115 200, а затем к полученному числу прибавить 42 2 . Но к тому време- ни, когда вы возведете 42 в квадрат, вы можете забыть число 115 200. Вот здесь система мнемотехники и придет на помощь. Для сохранения в памяти числа 115 200 запомните 200 по руке, зажав два пальца, и преобразуйте 115 в слово, скажем, title * Повторите слово title про себя один или два раза. Его проще за- помнить, чем число 115 200, особенно после запуска процесса вычисления 42 2 . После того как найдете 42 2 = 1764, можно при- бавить к этому числу число title 2, то есть 115 200, и получить итоговый результат 116 964. Вот еще один пример. +27 300 Gum 273 2 73 800 + 27 2 = 74 529. –27 246 +3 30 (27 2 720 + 3 2 = 729) –3 24 * По-русски для этого числа трудно придумать фонетический экви- валент. Прим. ред. 184 Магия чисел После умножения 300 × 246 = 73 800 преобразуем 73 в gum * и запомним 800 с помощью пальцев. Вычислив 27 2 = 729, вам останется лишь прибавить к этому числу число gum 8, то есть 73 800, и получить ответ 74 529. Это может поначалу показать- ся немного громоздким, но постепенно преобразование чисел в слова и обратно станет вашей второй натурой. Вы видели, как легко двузначные числа переводятся в про- стые слова. Но вот с трехзначными числами дело обстоит не- сколько сложнее. Если вы не можете придумать простое слово с помощью мнемонической техники, подберите необычное слово или просто придумайте новое. Например, если нет про- стых слов для чисел 286 или 638 и ничего быстро не приходит на ум, воспользуйтесь словосочетанием no fudge или новым словом, таким как jamoff. Даже эти необычные слова легче в течение длительного расчета удерживать в памяти, чем чис- ла 286 или 638. Для решения некоторых больших задач из сле- дующей главы приемы мнемотехники незаменимы. * Здесь проблем с придумыванием фонетического эквивалента нет. Например, подойдет слово «сеть». Прим. ред. Части числа π Александра Крейга Эйткена В озможно, один из самых впечатляющих подвигов устного счета был совершен профессором математики Эдинбург- ского университета Александром Крейгом Эйткеном (1895– 1967), который не только знал значение π до 1000 знаков, но и быстро выпалил первые 250 цифр π, когда его во время лекции попросили продемонстрировать свою удивительную память. Затем его попросили пропустить ряд цифр, начать с 551-й цифры и перечислить далее 150 цифр. Он успешно с этим справился, не сделав ни единой ошибки. 185 Запоминающаяся глава для запоминания чисел Как у него это получалось? Эйткен объяснил слушателям, что «секрет, на его взгляд, кроется в релаксации (расслабле- нии), полной противоположности концентрации, которая принимается за правило». Техника Эйткена была более слухо- вой, чем обычно. Он разбил число на куски по пятьдесят цифр и запомнил их в своеобразном ритме. С обескураживающим доверием он объяснил: «Этот подвиг оказался бы предосу- дительно бесполезным, если бы совершить его не было так просто». То, что Эйткен помнил тысячу знаков числа π, не делает его молниеносным вычислителем. Однако он умел легко пере- множать в уме пятизначные числа. Математик по имени Томас О’Бейрн вспоминает, как Эйткену демонстрировали калькуля- тор при покупке. «Продавец, — пишет О’Бейрн, — сказал что- то вроде: “Теперь мы умножим 23 586 на 7 283”. Эйткен сразу выпалил: “И получите 171 776 838”. Продавец был настолько увлечен продажей, что не обратил внимания на слова Эйткена, но его менеджер, который наблюдал за происходящим, заме- тил. Убедившись, что Эйткен прав, он чуть было не закатил истерику (как и я!)». Как ни странно, Эйткен отметил, что после покупки на- стольного калькулятора его умственные способности быстро ухудшились. Предвидя ожидаемое будущее, он посетовал: «Ментальные вычислители, как тасманийцы или маори, обре- чены на вымирание. Поэтому может быть почти антрополо- гический интерес к этим любопытным особям, а некоторые из моих знакомых в году примерно 2000-м смогут сказать “Да, я знал, одного из таких”». К счастью, его прогноз не оправ- дался! МАГИЯ ПАМЯТИ Без использования мнемотехники обычная человеческая па- мять (включая мою) способна удерживать только семь или Магия чисел восемь цифр одновременно. Однако техника замены чисел словами позволяет значительно расширить ее объем. Попро- сите кого-нибудь медленно перечислить шестнадцать цифр, и пусть другой человек записывает их на доске или листе бу- маги. Как только они будут записаны, вы сможете повторить их в точном обратном порядке, не глядя на доску или бумагу! На недавней лекционной демонстрации мне дали следующий ряд цифр: 1, 2, 9, 7, 3, 6, 2, 7, 9, 3, 3, 2, 8, 2, 6, 1 Как только цифры были названы, я использовал фонети- ческий код, чтобы превратить их в слова, а затем объединить в замысловатую историю. При этом число 12 стало словом tiny (крошечный), 97 — book (книга), 362 — machine (машина), 793 — kaboom * , 32 — moon (луна) и 8261 — finished (окончание). Я объединил эти слова-числа в глупую историю, которая по- могла мне их запомнить. Я представил крошечную книгу (tiny book ) и поместил ее внутрь машины (machine). Затем машина с грохотом (kaboom) разогналась и забросила меня на Луну (moon), где все и закончилось (finished). Эта история может показаться нелепой, но в том-то и фокус: чем она смешнее, тем легче запоминается и, кроме того, поднимает настроение. * Придуманное слово по звучанию соответствует «шуму» или «грохоту». Прим. ред. 187 Глава 8 Сложное делаем легким: продвинутое умножение К настоящему моменту (если вы к нему шли глава за главой) вы научились выполнять устное сложение, вычитание, умно- жение и деление так же хорошо, как и овладели искусством приближенной оценки, карандашно-бумажной магии чисел и создания фонетического кода чисел для запоминания. Эта глава для серьезных, несгибаемых матемагов, которые хотят раздвинуть границы своего разума для устных вычислений. Задачи здесь варьируются от возведения в квадрат четырех- значных чисел до самых больших, которые я решал на публи- ке: умножение двух пятизначных чисел. Для решения этих задач особенно важно чувствовать себя уверенно при использовании фонетического кода и достаточ- но быстро его применять. И хотя, если вы заглянете вперед на несколько страниц, проблемы могут казаться действи- тельно трудными, позвольте мне вновь заявить о двух основ- ных посылах этой книги: во-первых, любой навык устных вычислений может быть освоен почти каждым, во-вторых, ключ состоит в упрощении всех примеров и их превраще- нии в более простые задачи, которые легко решаются. В этой главе (да и любой другой) нет ни одной задачи, которая была бы неподвластна средствам техник упрощения, изученных вами в предыдущих главах. Так как мы предполагаем, что вы 188 Магия чисел овладели всеми необходимыми для этого приемами, будем учить вас преимущественно с использованием схем вычисле- ний, а не проходить задачки слово за словом. Напомним, что многие из простых задач, встроенных в эти громадные при- меры, уже встречались вам в предыдущих главах. Начнем с возведения в квадрат четырехзначных чисел. Удачи! КВАДРАТ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ В качестве подготовительного навыка для развития умения возводить в квадрат четырехзначные числа вам необходимо освоить решение задач на умножение типа «4 на 1». Такую за- дачу мы разбиваем на две подзадачи типа «2 на 1», как показа- но ниже. 4 867 (4800 + 67) × 9 9 × 4 800 = 43 200 9 × 67 = + 603 43 803 2 781 (2700 + 81) × 4 4 × 2 700 = 10 800 4 × 81 = + 324 11 124 6 718 (6700 + 18) × 8 8 × 6 700 = 53 600 8 × 18 = + 144 53 744 189 Сложное делаем легким: продвинутое умножение 4 269 (4200 + 69) × 5 5 × 4 200 = 21 000 5 × 69 = + 345 21 345 Овладение навыками умножения «4 на 1» будет означать, что вы готовы возводить в квадрат четырехзначные числа. По- пробуем на примере числа 4267. Используя такой же метод, как и при возведении в квадрат двух- и трехзначных чисел, про- делаем это с числом 4267, округлив его в меньшую сторону на 267 до 4000 и в большую — на 267 до 4534. Умножим 4534 × × 4000 (задача «4 на 1») и затем прибавим квадрат числа, на ко- торое вы изменили исходное (267 2 ), как показано ниже. +267 4 534 Damage 4 267 2 18 136 000 (4 534 × 4 000) –267 4 000 + 71 289 (267 2 ) 18 207 289 +33 300 267 2 70 200 (300 × 234) –33 234 + 1 089 (33 2 ) 71 289 Сейчас уже очевидно, сколько действий происходит внутри этого примера. Я осознаю, что одно дело сказать: «Прибавьте квадрат 267», и совсем другое — сделать это и запомнить чис- ло, которое следует приплюсовать. Поэтому, как только умно- жите 4534 × 4 и получите 18 136, можете произнести первую часть ответа вслух: «Восемнадцать миллионов…». Вы може- те так сказать, потому что исходное число всегда округляет- ся до ближайшей тысячи. Поэтому наибольшее трехзначное число, которое придется возводить в квадрат на следующем 190 Магия чисел шаге, будет 500. Квадрат 500 равен 250 000. А поскольку оста- ток вашего ответа (в данном случае 136 000) меньше 750 000, это означает, что число миллионов не изменится. После того как вы произнесете слова «восемнадцать мил- лионов…», вам нужно закрепить в памяти число 136 000, прежде чем возводить в квадрат 267. Вот где мнемонические приемы из предыдущей главы придут на помощь! Благодаря фонетическому коду число 136 можно преобразовать в слово damage (1 = d, 3 = m, 6 = j) * . Теперь смело приступайте к сле- дующей части задачи, просто запомнив damage (и существо- вание еще трех нулей в конце числа). Если в какой-то момент посреди вычислений вы забудете изначальную задачу, можете либо бросить взгляд на исходные числа, либо, если они не за- писаны, попросить аудиторию повторить задание (чтобы соз- дать иллюзию, будто вы заново приступаете к решению, в то время как вы уже сделали некоторые расчеты)! В результате возведения в квадрат трехзначного числа (из- ученным ранее способом) вы получите 71 289. Мне раньше было сложно запоминать сотни в ответе (в данном случае 2). Я справился с этим, прибегнув к помощи пальцев (здесь — двух пальцев). Если вы забыли две последние цифры (89), то можете вернуться к исходному числу (4267), возвести послед- ние две цифры в квадрат (67 2 = 4489) и взять последние две цифры полученного числа. Для вычисления итогового ответа нужно прибавить 71 289 к damage (то есть к числу 136 000) и их сумму 207 289 уже можно проговорить вслух. * В соответствии с русским фонетическим кодом число 136 можно представить словом «ретушь». Прим. ред. 191 Сложное делаем легким: продвинутое умножение Томас Фуллер: ученые мужи и большие дураки Т рудно отнять первое место по количеству проблем в обуче- нии у Хелен Келлер * , но темнокожий раб Томас Фуллер, ро- дившийся в Африке в 1710 году, буквально наступает ей на пят- ки. Он не только был неграмотным, но ни одного дня в своей жизни не учился. Будучи «собственностью» Элизабет Кокс, То- мас Фуллер работал на полях Вирджинии. Он сам освоил счет до 100, после чего развил свои «вычислительные способности» путем подсчета предметов, которые всегда под рукой, напри- мер зерен в бушелях пшеницы, семян льна и количества волос в коровьем хвосте (2 872 волоска). Отталкиваясь от простого счета, Фуллер научился вы- числять, сколько черепицы потребуется для покрытия кры- ши дома; сколько столбов понадобится для его ограждения и тому подобные вещи. Его поразительные навыки развива- лись, а с ними вместе росла его репутация. Уже в преклонном возрасте он принял вызов двух пенсильванцев, согласившись продемонстрировать свои способности в вычислении чисел в уме, причем таких, какие вызвали бы трудности у лучших мол- ниеносных вычислителей. Например, они спросили: «Предпо- ложим, фермер имеет шесть свиноматок, каждая из них родит шесть самок в первый год, и все они будут размножаться в той же прогрессии в течение восьми лет; сколько свиноматок в ко- нечном итоге будет иметь фермер?» Задача может быть записа- на как 7 8 × 6, то есть 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 6. Буквально через десять минут Фуллер выдал ответ: 34 588 806. После его смерти в 1790 году газета Columbian Centinel сообщила, что «Фуллер мог вычислить число ярдов, футов, * Хелен Келлер (1880–1968) — слепоглухая американская писатель- ница, общественный деятель и преподаватель. Первый слепо- глухой человек, получивший высшее образование. За активную общественную деятельность награждена Президентской медалью Свободы и введена в Зал женской славы. Прим. ред. 192 Магия чисел дюймов и трети дюймов * для любого заданного расстояния, назвать диаметр земной орбиты, а по результатам каждого рас- чета давал правильный ответ за меньшее время, чем девяносто девять человек из ста сделали бы это на бумаге». Когда Фулле- ра спросили, жалеет ли он о том, что так и не получил тради- ционного образования, он ответил: «Нет. Лучшее, что у меня есть, это отсутствие образования: среди многих ученых мужей найдутся большие дураки». Возведем в квадрат еще одно четырехзначное число: 8431 2 +431 8 862 Foppish 8 431 2 70 896 000 (8 862 × 8 000) –431 8 000 + 185 761 (431 2 ) 71 081 761 +31 462 431 2 184 800 (400 × 462) –31 400 + 961 (31 2 ) 185 761 Я не буду повторно описывать все действия, как в послед- ней задаче, обращу ваше внимание лишь на некоторые момен- ты. После выполнения действия 8 × 8862 = 70 896 становится ясно, что 896 больше 750, поэтому возможен перенос единицы в старший разряд. Действительно, так как 431 2 больше 400 2 = = 160 000, то определенно нужен перенос единицы во время прибавления числа 431 2 к 896 000. Следовательно, на этом эта- пе можно без опаски произнести вслух: «Семьдесят один мил- лион…» * Средний размер ячменного зерна; старинная мера длины. Прим. пер. 193 Сложное делаем легким: продвинутое умножение При возведении в квадрат 431 получаем 185 761. Склады- ваем 185 и 896, выходит 1081, и произносим остаток ответа. Но помните, что мы уже предвосхитили перенос единицы, по- этому просто скажите: «…81 тысяча…761». Работа выполнена! На еще один тонкий момент в вычислениях мы укажем в примере 2753 2 +247 3 000 Light off 2 753 2 7 518 000 (3 000 × 2 506) –247 2 506 + 61 009 (247 2 ) 7 579 009 +47 294 247 2 58 800 (200 × 294) –47 200 + 2 209 (47 2 ) 61 009 Так как мы округлили исходное число 2753 до 3000, то бу- дем умножать 3000 на другое число из области «2000 плюс». Можно, конечно, вычесть 2753 – 247 = 2506, но это сложнее. Чтобы получить последние три цифры этой разности, удвойте 753 — выйдет 1506. Последние три цифры данного результата (506) — это последние три цифры числа «2000 плюс»: 2506! Это прием срабатывает, поскольку сумма двух перемножаемых чисел всегда равна удвоенному исходному числу. Затем работаем в обычном режиме, перемножив 3000 × × 2506 = 7 518 000; преобразуем 518 в слова * light off и произ- носим вслух первую часть ответа: «Семь миллионов…». Здесь это можно утверждать, так как 518 меньше 750, поэтому пере- носа единицы не будет. * В соответствии с русским фонетическим кодом число 518 можно представить словом «право». Прим. ред. 194 Магия чисел Далее прибавляем квадрат числа 247. Не забудьте, что 247 можно быстро получить как дополнение для 753. Затем переходим к окончательному ответу, как это сделано в преды- дущем примере. УПРАЖНЕНИЕ: КВАДРАТЫ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ 1. 1234 2 2. 8639 2 3. 5312 2 4. 9863 2 5. 3618 2 6. 2971 2 УМНОЖЕНИЕ «3 НА 2» В ходе решения задач типа «2 на 2» мы уже убедились в суще- ствовании нескольких путей решения одного и того же приме- ра. Многообразие методов увеличивается параллельно росту количества цифр в задаче. В случае задач «3 на 2» я предпо- читаю «предварительный просмотр» для определения самого оптимального метода расчета. Методы разложения Самые легкие задачи типа «3 на 2» — те, в которых двузначные числа можно разложить на сомножители. Например: 637 × 56 (8 × 7) 637 × 56 = 637 × 8 × 7 = 5 096 × 7 = 35 672 Потрясающе, что здесь не нужно ничего складывать. Вы просто представляете 56 как 8 × 7, затем решаете пример на ум- ножение типа «3 на 1» (637 × 8 = 5096) и, наконец, пример типа «4 на 1» (5096 × 7 = 35 672). Больше не требуется никаких до- полнительных действий, и необходимости запоминать проме- жуточные результаты тоже нет. |