Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
853 × 44 (11 × 4) 853 × 11 × 4 = 9383 × 4 = 37 532. Чтобы умножить 853 × 11, представьте 853 в виде 850 + 3 и далее рассуждайте так: 850 × 11 = 9350 3 × 11 = + 33 9383 Теперь умножим 9383 × 4, представив 9383 как 9300 + 83, следующим образом: 9 300 × 4 = 37 200 83 × 4 = + 332 37 532 Если двузначное число не раскладывается на сомножите- ли (или они большие), рассмотрите возможность разложения трехзначного числа. 144 (6 × 6 × 4) × 76 76 × 144 = 76 × 6 × 6 × 4 = 456 × 6 × 4 = 2736 × 4 = 10 944. Обратите внимание, что последовательность умножений выстроилась из задач типа «2 на 1», «3 на 1» и, наконец, «4 на 1». Это те задачи, которые вы уже умеете решать с легкостью. По- этому тип примеров «3 на 2» не должен оказаться сложным для вас. 196 Магия чисел Еще один пример, где не двузначное число подвергается разложению, а трехзначное. 462 (11 × 7 × 6) × 53 53 × 11 × 7 × 6 = 583 × 7 × 6 = 4081 × 6 = 24 486. Здесь последовательность задач типа «2 на 2», «3 на 1» и «4 на 1». Но если трехзначное число имеет множитель 11, можно использовать метод умножения на 11 (как описано в главе 4) и получить простой пример типа «2 на 2» (53 × 11 = = 583). В данном случае нахождение сомножителя 11 у числа 462 оправдывает себя. Если двузначное число не раскладывается на «хорошие» сомножители, а трехзначное раскладывается только на сомно- жители в виде «2 на 1», с задачей все еще можно легко спра- виться путем умножения типа «2 на 2», а затем «4 на 1», как показано в следующем примере: 423 (47 × 9) × 83 83 × 47 × 9 = 3901 × 9 = 35 109. Здесь необходимо учесть, что 423 делится на 9 и исходная задача преобразуется в 83 × 47 × 9. В данном случае пример «2 на 2» не настолько прост, но если представить 83 в виде 80 + + 3, получится следующее: 83 (80 + 3) × 47 80 × 47 = 3 760 3 × 47 = + 141 3 901 197 Сложное делаем легким: продвинутое умножение Теперь решаем задачу типа «4 на 1» в виде 3901 × 9 для полу- чения итогового ответа 35 109. Метод сложения Когда двух- и трехзначное числа в задаче типа «3 на 2» не под- даются простому разложению, можно прибегнуть к методу сложения. 721 (720 + 1) × 37 720 × 37 = 26 640 (представляем 72 = 9 × 8) 1 × 37 = + 37 26 677 Данный метод предполагает суммирование ответов за- дач на умножение типа «2 на 2» и «2 на 1». Такого рода задачи включают в себя более сложные элементы (нежели те, которые имеют место в методе разложения), поскольку при решении примера «2 на 1» приходится держать в уме пятизначное чис- ло, а затем складывать результаты. Возможно, проще решить эту задачу путем разложения 721 на 103 × 7 и последующего вычисления 37 × 103 × 7 = 3811 × 7 = 26 677. Вот другой пример: 732 (730 + 2) × 57 730 × 57 = 41 610 (представляем 73 = 70 + 3) 2 × 57 = + 114 41 724 Хотя обычно при использовании метода сложения на сла- гаемые разбивается трехзначное число, порой разбиение двуз- начного числа более удобно, в особенности если его последние цифры равны 1 или 2, как в следующем примере. 198 Магия чисел 386 × 51 (50 + 1) 50 × 386 = 19 300 1 × 386 = + 386 19 686 Это превращает задачу «3 на 2» в «3 на 1», делая ее абсо- лютно легкой, так как второе действие представляет собой ум- ножение на 1. Заметьте, кстати, 5 здесь умножается на четное число, что дает дополнительный 0 в ответе. Поэтому в задаче на сложение надо суммировать только две цифры. Другой пример умножения 5 на четное число показан в следующей задаче: 835 × 62 (60 + 2) 60 × 835 = 50 100 2 × 835 = + 1 670 51 770 При умножении 6 (из 60) на 5 (из числа 835) появляется до- полнительный 0 в ответе, что максимально упрощает задачу на сложение. Метод вычитания Как и в задачах на умножение типа «2 на 2», иногда проще ре- шить задачу «3 на 2» путем вычитания вместо сложения, как в следующих примерах. 629 (630 – 1) × 38 630 × 38 = 23 940 (63 = 9 × 7) –1 × 38 = – 38 23 902 199 Сложное делаем легким: продвинутое умножение 758 (760 – 2) × 43 760 × 43 = 32 680 (43 = 40 + 3) –2 × 43 = – 86 32 594 Чтобы сравнить методы вычитания и сложения, применим метод сложения к задаче, которая показана выше. 758 (750 + 8) × 43 750 × 43 = 32 250 (75 = 5 × 5 × 3) 8 × 43 = + 344 32 594 Мое предпочтение при ее решении — использование мето- да вычитания, потому что я всегда стараюсь оставить макси- мально легкую задачу на сложение или вычитание на самый конец. В данном случае я бы лучше вычел 86, чем прибавил 344, даже притом, что решить задачу типа «2 на 2» (см. выше) методом вычитания немного сложнее, чем методом сложения. Метод вычитания тоже можно применять для трехзнач- ных чисел, которые меньше кратного 100 или близки к кратно- му 1000, как в следующих двух примерах. 293 (300 – 7) × 87 300 × 87 = 26 100 –7 × 87 = – 609 25 491 988 (1000 – 12) × 68 1000 × 68 = 68 000 –12 × 68 = – 816 (12 = 6 × 2) 67 184 200 Магия чисел Последние три цифры ответа получены путем использова- ния дополнения для числа 816. В следующем примере мы умножили на двузначное число с помощью метода вычитания. Обратите внимание, как мы отняли 736 путем вычитания 1000 и обратного прибавления дополнения: 736 44 160 × 59 (60 – 1) – 1 000 60 × 736 = 44 160 43 160 –1 × 736 = – 736 + 264 (дополнение для 736) 43 424 43 424 УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ «3 НА 2» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ РАЗЛОЖЕНИЯ, СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ Решите представленные ниже задачи типа «3 на 2» с ис- пользованием методов разложения, сложения или вычитания. Разложение, если оно возможно, обычно облегчает задачу. Сверьтесь с ответами в конце книги. 1. 858 2. 796 3. 148 4. 773 × 15 × 19 × 62 × 42 5. 906 6. 952 7. 411 8. 967 × 46 × 26 × 93 × 51 9. 484 10. 126 11. 157 12. 616 × 75 × 87 × 33 × 37 13. 841 14. 361 15. 218 16. 538 × 72 × 41 × 68 × 53 201 Сложное делаем легким: продвинутое умножение 17. 817 18. 668 19. 449 20. 144 × 61 × 63 × 25 × 56 21. 281 22. 988 23. 383 × 44 × 22 × 49 Следующие примеры типа «3 на 2» появятся в разделах по возведению в квадрат пятизначных чисел и умножению типа «5 на 5». 24. 589 25. 286 26. 853 27. 878 × 87 × 64 × 32 × 24 28. 423 29. 154 30. 834 31. 545 × 45 × 19 × 34 × 27 32. 653 33. 216 34. 822 × 69 × 78 × 95 ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ПЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ Освоение задач на умножение типа «3 на 2» требует значитель- но больше практики, но как только вы освоитесь с ними, мо- жете сразу переходить к задачам по возведению пятизначных чисел в квадрат, потому что они упрощаются до умножения типа «3 на 2» плюс возведение в квадрат двух- и трехзначных чисел. Например, чтобы возвести в квадрат число 46 792, мож- но выполнить следующие действия: 46 000 + 792 × 46 000 + 792 Используя распределительный закон, разделим задачу на такие операции: 46 000 × 46 000 + 2(46 000)(792) + 792 × 792. 202 Магия чисел Последнее выражение нужно немного упростить: 46 2 × 1 миллион + (46)(792)(2000) + 792 2 . Но я не решаю подобные задачи в последовательном по- рядке, а начинаю с середины, потому что задача типа «3 на 2» труднее, чем возведение в квадрат двух- и трехзначных чисел. Итак, в соответствии с принципом «в первую очередь со свое- го пути убирай сложное», я вычисляю 792 × 46 × 2 и добавляю три нуля в конец результата, то есть выполню следующие дей- ствия: 792 (800 – 8) × 46 800 × 46 = 36 800 –8 × 46 = – 368 Fisher 36 432 × 2000 = 72 864 000 Используя метод вычитания, как показано выше, вычисля- ем 792 × 46 = 36 432, затем удваиваем результат для получения 72 864. Применение фонетического кода к числу 864 позволяет хранить его в памяти как 72 Fisher. Следующий шаг: подсчитываем 46 2 × 1 000 000, что равно 2 116 000 000. На этом этапе вы можете произнести: «Два миллиарда…». Активизировав в памяти 72 Fisher, прибавляем к этому чис- лу 116 миллионов, чтобы получить 188 миллионов. Но прежде чем озвучить количество миллионов, нужно проверить, сле- дует ли переносить единицу в старший разряд при сложении Fisher , то есть числа 864 и 792 2 . Здесь на самом деле не надо вы- числять 792 2 ; достаточно определить, что результат вычисле- ния 792 2 будет довольно большой, чтобы в сумме с 864 000 пре- высить 1 миллион. (Вы можете предположить это исходя 203 Сложное делаем легким: продвинутое умножение из того, что 800 2 = 640 000, и это число в сумме с 864 000 явно превысит 1 миллион.) Таким образом, к 188 надо прибавить единицу и сказать: «...189 миллионов...». Все еще держа в памяти слово Fisher, посчитайте ква- драт числа 792, используя метод возведения трехзначных чисел в квадрат (округление в большую и меньшую сторо- ны на 8 и т. д.), чтобы получить 627 264. Наконец, прибавьте 627 к Fisher, то есть к числу 864, и получите 1491. Так как мы уже сделали перенос единицы в разряд миллионов, отбросьте первую 1 у числа 1491 и произнесите: «…491 тысяча 264». Иногда я забываю последние три цифры ответа, поскольку мой мозг полностью поглощен большими вычислениями. По- этому, перед тем как выполнить итоговое сложение, я сохра- няю цифру 2 (из числа 264) на пальцах и стараюсь запомнить 64, что обычно сделать нетрудно, потому что мы имеем склон- ность к запоминанию того, что слышали недавно. В случае же неудачи я могу восстановить последние две цифры путем воз- ведения в квадрат последних двух цифр исходного числа, то есть 92 2 = 8464. Последние две цифры этого числа и есть те са- мые последние две цифры 64. (В качестве альтернативы можно преобразовать число 264 в фонетический код.) Я сознаю, что процесс вычисления квадрата 46 792 2 доволь- но громоздкий. Представляю вам схему того, как я возводил это число в квадрат: 792 (800 – 8) × 46 800 × 46 = 36 800 –8 × 46 = – 368 Fisher 36 432 × 2000 = 72 864 000 204 Магия чисел 72 864 000 46 000 2 = + 2 116 000 000 +8 800 2 188 864 000 792 2 627 200 792 2 = + 627 264 –8 784 + 64 (8 2 ) 2 189 491 264 627 264 Рассмотрим другой пример на возведение пятизначного числа в квадрат: 83 522 2 Как и прежде, вычисляем ответ в таком порядке: 83 × 522 × 2000, 83 2 × 1 миллион, затем 522 2 . В первой задаче обратите внимание на то, что 522 имеет делитель 9. Значит, 522 = 58 × 9. Раскладывая 83 как 80 + 3, получим: 522 (58 × 9) × 83 83 × 58 × 9 = 4814 × 9 = 43 326. Результатом удвоения 43 326 будет число 86 652, что можно запомнить как 86 Julian. Поскольку 83 2 = 6889, мы можем про- изнести: «Шесть миллиардов…» Сложение 889 + 86 = 975. Прежде чем произнести «975 мил- лионов», мы проверяем, не приведет сумма Julian (652 000) и квадрата 522 2 к переносу единицы в разряд миллиардов. Приблизительно оценив 522 2 как 270 000 (500 × 540), убежда- емся, что переноса не будет. Поэтому можно спокойно сказать: «…975 миллионов…». Наконец, возведение в квадрат 522 обычным способом при- ведет к числу 272 484, а его сложение с числом Julian (652 000) даст последнюю часть ответа: «…924 484». 205 Сложное делаем легким: продвинутое умножение В виде схемы решение данной задачи выглядит следую- щим образом: 83 522 2 522 × 83 83 × 58 × 9 = 4 814 × 9 = 43 326. Julian 43 326 × 2 000 = 86 652 000 83 000 2 = + 6 889 000 000 +22 544 272 200 6 975 652 000 522 2 + 484 (22 2 ) 522 2 = + 272 484 –22 500 272 484 6 975 924 484 УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ПЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ 1. 45 795 2 2. 21 231 2 3. 58 324 2 4. 62 457 2 5. 89 854 2 6. 76 934 2 УМНОЖЕНИЕ «3 НА 3» Задачи на умножение типа «3 на 3» будут последним барьером на пути к грандиозному финалу в виде умножения «5 на 5». Здесь, как и в случае с задачами типа «3 на 2», существует многообразие методов, которые могут быть использованы для упрощения процесса умножения. Метод разложения Начнем с метода разложения. К несчастью, большинство трехзначных чисел не раскладывается на множители в виде 206 Магия чисел отдельных цифр, но если разложение найдется, процесс вы- числения будет не таким уж и сложным. 829 × 288 (9 × 8 × 4) 829 × 9 × 8 × 4 = 7461 × 8 × 4 = 59 688 × 4 = 238 752. Обратите внимание на последовательность действий. Пу- тем разложения 288 на 9 × 8 × 4 мы упрощаем задачу «3 на 3» (829 × 288) до «3 на 1 на 1 на 1». Далее она превращается в «4 на 1 на 1» (7461 × 8 × 4) и, наконец, в «5 на 1» для получения итогового ответа 238 752. Прелесть данного решения состоит в отсутствии каких-либо действий на сложение и в том, что ничего не нужно хранить в уме. Добравшись до задачи типа «5 на 1», мы оказались в одном шаге от окончательного ответа. Задачу типа «5 на 1» можно решить в два действия, если представить 59 688 как 59 000 + 688, а затем сложить результаты задач «2 на 1» (59 000 × 4) и «3 на 1» (688 × 4), как показано ниже. 59 688 (59 000 + 688) × 4 59 000 × 4 = 236 000 688 × 4 = + 2 752 238 752 Если оба трехзначных числа можно разложить на «2 на 1», то задача «3 на 3» упрощается до «2 на 2 на 1 на 1», как в следу- ющем примере. 513 (57 × 9) × 246 (41 × 6) 57 × 41 × 9 × 6 = 2337 × 9 × 6 = 21 033 × 6 = 126 198 207 Сложное делаем легким: продвинутое умножение Как обычно, лучше сразу избавиться от трудного элемента задачи, то есть от умножения типа «2 на 2». Как только вы это сделаете, задача будет сведена к «4 на 1», а затем к «5 на 1». Очень часто бывает так, что раскладывается только один из сомножителей. В таком случае задача сводится к умноже- нию типа «3 на 2 на 1», как в этом примере: 459 (51 × 9) × 526 526 × 459 = 526 × 51 × 9 = 526 × (50 + 1) × 9 = 26 826 × 9 = 241 434 Следующая задача «3 на 3» в действительности просто за- маскированная задача типа «3 на 2». 624 × 435 Путем удвоения 435 и уменьшения 624 наполовину полу- чаем эквивалентную задачу. 312 (52 × 6) × 870 (87 × 10) 87 × 52 × 6 × 10 = 87 × (50 + 2) × 6 × 10 = 4524 × 6 × 10 = 27 144 × 10 = 271 440 208 Магия чисел Метод совместной близости Вы готовы к чему-нибудь попроще? Следующий прием, кото- рый был представлен еще в главе 0, основан на такой алгебра- ической формуле: ( z + a)(z + b)= z 2 + za + zb + ab Переписываем ее: ( z + a)(z + b) = z(z + a + b) + ab Эта формула справедлива при любых значениях z, a и b. Мы будем пользоваться ею всякий раз, когда трехзначные числа, которые нужно перемножить (z × a и z × b), находят- ся близко к легкому числу z (типичный случай, когда число z имеет большое количество нулей). Например, умножим |