Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
СОВЕТЫ ПО ПОВОДУ СОВЕТОВ В главе 0 мы рассказывали, как в большинстве случаев проще вычислить сумму чаевых. Например, чтобы подсчитать 10% чаевых, надо всего-навсего умножить счет на 0,1 (или поде- лить его на 10). Например, если счет равен 42 долларам, то 10% чаевых составят 4,20 доллара. Для вычисления 20% чаевых надо просто умножить счет на 0,2 или удвоить величину 10% чаевых. Так, 20% чаевых по счету в 42 доллара будут равны 8,40 доллара. Для вычисления 15% чаевых имеется несколько при- емов. Если вы освоили техники из главы 2 и подружились 144 Магия чисел с умножением, то вы просто можете умножить сумму счета на 15 и затем поделить полученный результат на 100. Напри- мер, при счете 42 доллара: 42 × 15 = 42 × 5 × 3 = 210 × 3 = 630, что легко делится на 100 и дает чаевые в размере 6,30 доллара. Дру- гой метод: взять среднее от 10% и 20% чаевых. В соответствии с нашими ранними вычислениями это выглядит так: $4,20 + $8,40 = $12,60 = $6,30. 2 2 Наверное, самый популярный способ подсчета 15% чае- вых состоит в том, чтобы взять 10% от общего счета, поделить их на два (что соответствует 5%), а затем сложить получен- ные значения. Например, при счете 42 доллара надо сложить 4,20 доллара и половину этой величины, то есть 2,10 доллара: 4,20 + 2,10 = 6,30. Применим все три метода, чтобы вычислить 15% от счета в 67 долларов. Прямой метод: 67 × 3 × 5 = 201 × 5 = 1005, что при делении на 100 дает 10,05 доллара. Метод усреднения: усредня- ем 10% чаевых в виде 6,70 доллара и 20% в виде 13,40 доллара и получаем: $6,70 + $13,40 = $20,10 = $10,05. 2 2 Используя последний метод, прибавляем 6,70 доллара к половине данной величины, равной 3,35 доллара, чтобы по- лучить 6,70 + 3,35 = 10,05. Наконец, для подсчета 25% чаевых мы предлагаем два мето- да. Либо умножьте сумму на 25, а затем разделите на 100, либо разделите сумму на 4 (возможно, путем двойного деления 145 Искусство приближенной оценки числа на два). Например, при счете в 42 доллара можно вы- числить 42 × 25 = 42 × 5 × 5 = 210 × 5 = 1050, что при делении на 100 дает чаевые в размере 10,50 доллара. Или можно раз- делить исходную величину на 4, или сократить ее наполовину дважды: половина 42 долларов — 21 доллар, и еще пополам — 10,50 доллара. При счете в 67 долларов я бы, вероятно, разде- лил прямо на 4: так как 67 ÷ 4 = 16 3/4, получаем 25% чаевых в размере 16,75 доллара. НЕОБРЕМЕНИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НАЛОГОВ В этом разделе я продемонстрирую метод устной оценки вели- чины налога с продаж. Для некоторых налоговых ставок, та- ких как 5%, или 6%, или 10%, требуются прямые вычисления. Например, чтобы посчитать налог 6%, нужно просто умно- жить цену на 6 и разделить на 100. Допустим, цена составляет 58 долларов, тогда 58 × 6 = 348, что при делении на 100 дает точный размер налога с продаж 3,48 доллара. (При этом общая сумма будет равна 61,48 доллара.) Но как посчитать налог в 6,5% от 58 долларов? Я покажу вам несколько способов, как это сделать, а вы выберете тот, который покажется вам наиболее приемлемым. Наверное, самый легкий способ прибавить полпроцента к любой сум- ме в долларах состоит в ее делении пополам и последующем переводе в центы. В примере с 58 долларами их половина со- ставляет 29. Поэтому просто прибавьте 29 центов к 6% налога (уже посчитанным 3,48 доллара) и получите налог в размере 3,77 доллара. Другой метод расчета ответа (или хорошей устной оценки) состоит в следующем: берем налог в 6%, делим его на 12, затем складываем эти два числа. Например, 6% от 58 долларов равно 146 Магия чисел 3,48 доллара, а 348 при делении на 12 даст почти 30, поэтому прибавляем 30 центов для получения оценки в 3,78 доллара, что отличается от точного значения всего на один цент. Если вы предпочитаете делить на 10 вместо 12, пробуйте. Вы вычис- лите 6,6% вместо 6,5% (так как 6/10 = 0,6), но это все еще будет хорошей оценкой. Здесь вы возьмете 3,48 доллара и прибавите 34 цента для получения 3,82 доллара. Попробуем другие процентные ставки налога с продаж. Как посчитать 7,25% от 124 долларов? Вначале вычислите 7% от 124. С помощью методов, показанных в главе 2, вы найдете, что 124 × 7 = 868. Значит, 7% от 124 будет 8,68 доллара. Что- бы прибавить четверть процента, можно разделить исходную сумму в долларах на 4 (или сократить ее наполовину дважды) и перевести доллары в центы. Здесь 124 ÷ 4 = 31, поэтому при- бавьте 31 цент к 8,68 доллара и получите точный размер на- лога — 8,99 доллара. Еще один способ прийти к 31 центу: возьмите налог с про- даж 7% (8,68 доллара) и разделите его на 28. Причина, по ко- торой это работает, заключается в том, что 7/28 = 1/4. Для бы- строй устной оценки я бы, вероятно, разделил 8,68 доллара на 30, чтобы получить около 29 центов. Тогда приблизитель- ный налог с продаж будет равен 8,97 доллара. Деля на 30, в действительности вы вычисляете налог в раз- мере 7 и 7/30%, что приблизительно составляет 7,23% вместо 7,25%. Как бы вы посчитали налог с продаж в размере 7,75%? Ве- роятно, для большинства приближений достаточно сказать, что это немного меньше 8%. Здесь вы найдете несколько предложений для получения лучших приближений. Как вы убедились в прошлом примере, если вы с легкостью можете 147 Искусство приближенной оценки вычислить корректировку в 0,25%, то, просто утроив это чис- ло, можно получить корректировку в 0,75%. Например, чтобы найти 7,75% от 124 долларов, вы сначала рассчитываете 7%, что составит 8,68 доллара. Если вы вычислите, что 0,25% = = 31 цент, то 0,75% будет равно 93 центам; для получения обще- го итога сложим 8,68 + 0,93 = 9,61 доллара. Для быстрой оценки можно использовать тот факт, что 7/9 = 0,777 приблизительно равно 0,75. Поэтому можно разделить 7% налога на 9, чтобы получить оценку, несколько превышающую 0,75%. В данном примере, если при делении 8,68 доллара на 9 получим около 96 центов, то просто складываем 8,68 + 0,96 = 9,64 доллара, что почти совпадает с точным значением, хоть и с незначитель- ным превышением. Такую процедуру приближения можно использовать для любых налогов с продаж. Вот общая формула: чтобы оценить налог с продаж в размере A,B% долларов, сначала умножьте цену на A%. Затем разделите эту величину на число D, где A/D равняется 0,B. (Таким образом, D = А/В.) Сумма этих чисел со- ставит общий размер налога. (Или его оценку, если вы окру- глили D до некоторого числа для упрощения вычислений.) Например, с налогом 7,75% магический делитель D равен 7 × × 4/3 = 28/3 = 9 1/3, что мы округлим до 9 в меньшую сторону. Для налога с продаж в размере 6 и 3/8% сначала посчитайте налог в размере 6%, затем разделите полученное число на 16, так как 6/16 = 3/8. (Чтобы разделить число на 16, разделите его дважды на 4, или сначала на 8, а затем на 2.) Попробуйте придумать метод для расчета налога с продаж в вашем регио- не. Вы поймете, что эта задача не столь сложна, как кажется! 148 Магия чисел НЕСКОЛЬКО ИНТЕРЕСНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В этом разделе мы вкратце рассмотрим несколько практиче- ских задач, связанных с процентами, временем увеличения суммы ваших сбережений и сроками погашения кредита. Начнем со знаменитого Правила 70, которое гласит: чтобы найти число лет, необходимых для удвоения ваших денег, разделите число 70 на годовую процентную ставку. Пред- положим, вам предложили инвестиционную возможность, которая сулит выплаты в размере 5% годовых. Так как 70 ÷ ÷ 5 = 14, потребуется около 14 лет, чтобы ваши деньги удво- ились. Например, если вы разместили 1000 долларов на де- позите под такую процентную ставку, то после 14 лет на нем будет 1000 ×(1,05) 14 = 1979,93 доллара. С процентной ставкой 7%, согласно правилу 70, вам понадобится около 10 лет для удвоения денег. В самом деле, если вы вложите 1000 долларов по этой годовой процентной ставке, то через 10 лет получите 1000 × (1,07) 10 = 1967,15 доллара. Что касается ставки в 2%, то для удвоения сбережений в данном случае понадобится около 35 лет! 1000 × (1,02) 35 = 1999,88 Еще одно похожее правило называется Правило 110; оно определяет, как долго ваши деньги будут утраиваться. Напри- мер, при ставке в 5%, так как 110 ÷ 5 = 22, потребуется около 22 лет для того, чтобы 1000 долларов превратилась в 3000 дол- ларов. Это подтверждается вычислением 1000 ×(1,05) 22 = = 2 925,26 доллара. Правило 70 и Правило 110 основаны на свойствах числа e = 2,71828... и «натуральных логарифмах», но, к счастью, нам нет нужды использовать высшую матема- тику, чтобы применять их. 149 Искусство приближенной оценки Предположим, вы заняли деньги и рано или поздно долж- ны их вернуть. Например, вы взяли кредит 360 000 долларов с годовой ставкой 6% (то есть 0,5% ставки каждый месяц) на 30 лет. Сколько примерно придется выплачивать ежемесяч- но? Прежде всего, каждый месяц вам понадобится 1800 дол- ларов (360 000 долларов умножить на 0,5% = 1800 долларов) только для того, чтобы покрыть проценты. (Хотя на самом деле ваши долги по процентам будут распределяться равно- мерно.) Так как вы совершите 30 × 12 = 360 месячных выплат, то выплата дополнительной тысячи долларов каждый месяц покроет остаток вашего займа. Итак, верхняя граница ежеме- сячных выплат будет равна 1800 долларов + 1000 долларов = = 2800 долларов. К счастью, вам не придется платить столько сверху. Вот мое правило большого пальца для оценки месяч- ных платежей. Обозначим буквой i вашу месячную процентную ставку. (Годовая ставка, деленная на 12.) Тогда для выплаты кредита в размере P долларов за N месяцев месячная выплата М будет приблизительно равна: M = Pi(1 + i) N . (1 + i) N – 1 В нашем последнем примере P = 360 000 долларов и i = = 0,005. Формула показывает, что месячная выплата должна составлять: M = $360 000 × 0,005 × (1,005) 360 . (1,005) 360 – 1 Обратите внимание, что первые два числа в числителе при умножении дают 1800 долларов. С помощью калькулятора (для разнообразия) подсчитаем (1,005) 360 = 6,02, тогда месячная 150 Магия чисел выплата должна равняться 1800 ×(6,02)/5,02, что примерно со- ставляет 2160 долларов в месяц. Еще один пример. Предположим, вы взяли машину в кре- дит и после первоначального взноса должны выплатить 18 000 долларов за 5 лет с годовой ставкой 4%. Без процентов вы должны были бы платить 300 долларов (18 000 ÷ 60) в ме- сяц. Так как ставка процента за первый месяц будет состав- лять 18 000 ×0,04/12 = 720/12 = 60 долларов, отсюда следует, что платить в месяц нужно не больше 300 + 60 = 360 долларов. Здесь месячный процент i = 0,04/12 = 0,00333. Применим нашу формулу и получим: M = $18 000 × 0,0333 × (1,00333) 60 . (1,00333) 60 – 1 Так как (1,00333)60 = 1,22, размер месячной выплаты соста- вит 60 ×1,22/0,22 = 333 доллара. Подведем итоги этой главы упражнениями, которые, наде- юсь, поддержат ваш интерес к представленным здесь темам. УПРАЖНЕНИЯ НА ПРИБЛИЖЕННУЮ ОЦЕНКУ Решите следующие упражнения на вычисление приближен- ной оценки; затем сверьте свои ответы и ход вычислений с от- ветами в конце книги. УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ СЛОЖЕНИИ Округлите эти числа в ту или иную сторону и посмотрите, на- сколько вы близки к точному ответу. 1. 1479 2. 57 293 3. 312 025 4. 8 971 011 + 1105 + 37 421 + 79 419 + 4 016 367 151 Искусство приближенной оценки Устно оцените сумму для следующего столбика чисел, округляя их до ближайших 50 центов. 2,67 1,95 7,25 9,21 0,49 11,21 0,12 6,14 8,31 УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ ВЫЧИТАНИИ Оцените ответы следующих задач на вычитание, исполь- зуя округление до второй или третьей цифры. 1. 4926 2. 67 221 3. 526 978 4. 8 349 241 – 1659 – 9 874 – 42 009 – 6 103 839 УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ ДЕЛЕНИИ Скорректируйте числа таким образом, чтобы у вас появилась возможность дать приближенную оценку результатам деления. 1. 7)4379 2. 5)23 958 3. 13)549 213 4. 289)5 102 357 5. 203 637)8 329 483 152 Магия чисел УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ УМНОЖЕНИИ Скорректируйте числа таким образом, чтобы у вас появилась возможность дать приближенную оценку результатам умно- жения. 1. 98 2. 76 3. 88 4. 539 5. 312 × 27 × 42 × 88 × 17 × 98 6. 639 7. 428 8. 51 276 9. 104 972 10. 5 462 741 × 107 × 313 × 489 × 11 201 × 203 413 УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ Оцените квадратные корни следующих чисел, используя ме- тоды деления и усреднения. 1. 17 2. 35 3. 163 4. 4279 5. 8039 УПРАЖНЕНИЕ: КАЖДОДНЕВНАЯ МАТЕМАТИКА 1. Вычислите 15% от 88 долларов. 2. Вычислите 15% от 53 долларов. 3. Вычислите 25% от 74 долларов. 4. Сколько времени потребуется для удвоения денег при годо- вой ставке в 10%? 5. Сколько времени потребуется для удвоения суммы при го- довой ставке в 6%? 6. Сколько времени понадобится для утроения суммы при го- довой ставке в 7%? Искусство приближенной оценки 7. Сколько времени потребуется для увеличения средств в 4 раза при годовой ставке в 7%? 8. Оцените размер месячной выплаты за кредит в 100 000 дол- ларов при процентной ставке 9% в течение 10 лет? 9. Оцените размер месячной выплаты за кредит в 30 000 дол- ларов при процентной ставке 5% в течение 4 лет? 154 Глава 6 Математика с ручкой и бумагой Во введении я упоминал о выгодах, которые вы получите от умения считать в уме. В этой главе я расскажу о том, как ускорить вычисления на бумаге. С тех пор как появились калькуляторы, они успели взять на себя бо 2льшую часть вы- полнения арифметических действий во многих ситуациях. Поэтому в этой главе я предпочел сосредоточиться на за- бытом искусстве вычисления квадратных корней и методе «крест-накрест» для перемножения больших чисел. Надо ска- зать, что в основном для разминки мозга, а не для практиче- ского применения, я сначала затрону сложение и вычитание и покажу вам парочку любопытных приемов для ускорения этого процесса. Вообще-то эти техники можно успешно ис- пользовать в повседневной жизни, в чем вы вскоре убедитесь. Если вы готовы встретиться с более трудными задачками на умножение, можете пропустить эту главу и сразу перейти к главе 7, критически важной для освоения навыков работы с большими задачами из главы 8. Если же вам нужен перерыв и вы просто хотите немного развлечься, рекомендую прочи- тать эту главу — вы получите удовольствие от того, что вновь обратились к ручке и бумаге. 155 Математика с ручкой и бумагой СТОЛБИКИ ЧИСЕЛ Сложение длинных столбиков чисел — как раз та самая зада- ча, с которой вы можете столкнуться по работе или во время подсчета собственных доходов и расходов. Суммируйте числа из следующего столбика привычным способом, а затем посмо- трите, как это сделал я. 4328 884 620 1477 617 + 725 8651 Когда у меня есть ручка и бумага, я складываю числа сверху вниз и справа налево, как учили в школе. Практикуясь, вы сможете решать эти задачи в уме так же быстро (или бы- стрее), как и на калькуляторе. Когда я суммирую цифры, един- ственные числа, которые я «слышу», — это частичные суммы. Я всегда сначала суммирую крайнюю справа колонку: 8 + 4 + + 0 + 7 + 7 + 5 и слышу: 8... 12... 19... 26... 31. Затем я записываю 1, держа в уме 3. Следующая колонка звучит так: 3... 5... 13... 15... 22... 23... 25 . Получив итоговый ответ, я записываю его, а затем проверяю свои вычисления путем сложения чисел снизу вверх и обычно получаю такой же результат. Например, суммирую цифры первой колонки снизу вверх: 5 + 7 + 7 + 0 + 4 + 8 (у меня в голове при этом звучит 5... 12... 19... 23... 31 ), затем мысленно переношу цифру 3 и складываю 3 + 2 + 1 + 7 + 2 + 8 + 2 и т. д. Благодаря сложению чисел в дру- гом порядке вы снижаете вероятность совершить одинаковую 156 Магия чисел ошибку дважды. Конечно, если ответы отличаются, то хотя бы одно из вычислений было неправильным. МОДУЛЬНЫЕ СУММЫ Когда я не уверен в ответе, я проверяю решение, используя метод, который называю «модульные суммы» (потому что он основан на элегантной математике из раздела модульной арифметики * ). Он также известен под названиями «цифровые корни» и «метод сравнений по модулю 9». Признаю, что этот метод не слишком практичен, зато он легок в применении. В методе модульных сумм вы складываете цифры каждо- го из чисел до тех пор, пока не останется одна-единственная цифра. Например, чтобы вычислить модульную сумму числа 4328, сложите 4 + 3 + 2 + 8 = 17. Затем суммируйте цифры чис- ла 17, получится 1 + 7 = 8. Следовательно, модульная сумма числа 4328 равна 8. Для предыдущей задачи модульная сумма каждого из чисел вычисляется таким образом: 4328 → 17 → 8 884 → 20 → 2 620 → 8 → 8 1477 → 19 → |