Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
2. Определение реакций внешних и внутренних связей После интегрирования дифференциального уравнения (16) закон движе- ния механизма будет известен. Располагая линейными и угловыми ускорения- ми тел, составляющих механизм, можно определить реакции внешних и внут- ренних связей. Для определения искомых реакций расчленим систему на со- ставные части и составим расчетные схемы для каждого тела (рис. 4). Запишем также кинематические соотношения, связывающие угловые и линейные ускорения тел, входящих в механизм ( ) ( ) 3 2 3 2 1 3 3 cos sin , C C C y y y r R ⎡ ⎤ = = ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ = ⎣ ⎦ (17) Эти соотношения получены дифференцированием по времени кинемати- ческих соотношений (3) – (6). Определение реакций связей катка 3 Для вычисления реакций связей (силы сцепления СЦ F , нормального дав- ления на плоскость 3 N и усилия в стержне 4 – 4 S ) действующих на каток 3 за- пишем дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела 228 ( ) 3 3 3 3 3 3 3 , , e C e e C kx C k k k z k k y m x F m y F I M F ϕ = = = ∑ ∑ ∑ Расчетная схема изображена на рис. 4 a). На ней показаны силы, дейст- вующие на каток 3: полезная нагрузка, моделируемая моментом H M , сила тя- жести 3 3 G m g = , реакции опорной плоскости 3 и N СЦ F , усилие стержня 4 – 4 S (стержень предполагается сжатым). Рис. 4. Расчетная схема механизма Дифференциальные уравнения движения катка 3 имеет вид ( ) ( ) 3 3 4 3 4 3 3 3 3 0 sin , cos , C СЦ СЦ H N S m y S F m g I F R M = − α = α − − ϕ = + Решая данную систему уравнений относительно неизвестных реакций 3 4 , , СЦ N F S , получим ( ) ( ) 3 3 3 3 3 4 3 4 3 3 , , sin cos C СЦ H СЦ m y F m g I M F S N S R R + + = ϕ − = = α α С учетом соотношений (17), искомые величины будут равны ) a 3 C 3 G 3 C a 3 3 ε = ϕ 3 N H M СЦ F 4 S 3 P α Д M ) в A N ′ ϕ O 1 G ϕ = ε 1 Y 1 X A ) б O A α 2 C 2 2 C C a y = y 2 G 4 S ′ B x A N D N B N ϕ D 229 3 3 2 3 3 , H СЦ C I M F y R R = − (18) ( ) 3 3 4 4 3 3 2 3 3 1 , cos H C I M S S m g m y R R ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ′ = = − + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (19) ( ) 3 3 3 3 3 2 3 3 H C I M N tg m g m y R R ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = α − + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (20) Следует отметить, что величина силы сцепления не должна превышать своего предельного значения СЦ F ′ , определяемого выражением 3 , СЦ СЦ F f N ′ = где СЦ f – коэффициент трения сцепления. Т.е. должно выполняться условие СЦ СЦ СЦ F F F ′ ′ − ≤ ≤ В тоже время при определении усилий в стержнях важными являются сжимающие усилия, которые могут привести к потере устойчивости стержня, т. е. к нарушению его прямолинейности. При этом должно выполняться условие пр S S ′ < , где пр S ′ – предельное значение сжимающего усилия, при котором происходит его искривление. Определение реакций связей кулисы 2 Для нахождения реакций связей, действующих на кулису 2, запишем для нее теорему о движении центра масс (в проекциях на оси координат , Ox Oy ) и теорему об изменении кинетического момента (относительно оси 2 C z , прохо- дящей через центр масс кулисы) в дифференциальных формах: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , , C z e C z k e e C kx k k k C y k d d m x F m y F d t d t d L M F d t = = = ∑ ∑ ∑ Расчетная схема изображена на рис. 4 б. На ней показаны силы, дейст- вующие на кулису 2: сила тяжести 2 2 G m g = , реакции направляющих кулисы , B D N N , усилие стержня 4 – 4 S ′, а также сила давления пальца маховика A на прорезь кулисы A N 230 Подставляя выражения сил, действующих на кулису в данные уравнения, с учетом кинематических соотношений (3) – (6), получим ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 1 2 2 sin , cos , 0 c 0 os B C A B D A D S N m y N S m g N r N C D N N C B ′ α − ′ = − α − = ϕ − − = + Давление в точке A , с учетом соотношений (17) и (19) будет равно ( ) 2 2 4 2 cos A C N m y S m g ′ = + α + (21) Решая совместно первое и третье уравнения полученной системы, найдем ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 4 1 2 4 cos sin , cos sin B A B A r C D N N S BD BD r C B N N S BD BD ′ = ϕ + α ′ = ϕ − α (22) где учтено, что ( ) 2 1 2 2 2 2 , sin , , OD OB BD ОС r l C B OC OB C D OD OC = + = ϕ + = − = − Следует отметить, что величина давления пальца на прорезь кулисы обычно используется при расчетах на срез. При этом должно выполняться ус- ловие пр N N ′ < , где пр N ′ – предельное значение нормального давления, обес- печивающее отсутствие среза. Определение реакций подшипника маховика 1 и проверка со- ставления дифференциального уравнения движения Для нахождения реакций подшипника маховика и проверки найденного дифференциального уравнения движения механизма, запишем для маховика 1 (рис. 4 в) теорему о движении центра масс (в проекциях на оси координат , Ox Oy ) и теорему об изменении кинетического момента (относительно оси Oz ) в дифференциальных формах ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , , e O e e C kx C ky k k z Oz k k d L d d M F d t d t d m F m F t x y = = = ∑ ∑ ∑ 231 Так как кинетический момент маховика равен 1 Oz L I = ϕ, а координаты его центра масс равны нулю 1 1 0, 0 C O C O x x y y = = = = , получим ( ) 1 1 1 1 1 0 , 0 , cos A Д A X Y N m g I M N r = ′ = + − ′ ϕ = − ϕ Первые два уравнения данной системы позволяют определить реакции подшипника маховика 1 1 1 0, A X Y m g N = ′ = − (23) Подставляя выражение (21) в третье уравнение, раскрывая скобки и учи- тывая соотношения кинематических связей (17), найдем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 3 1 3 1 2 1 cos cos 1 cos s n i 2 2 Д H I I m m r m m r R R M I r r m m g M R ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + ϕ + + ϕ ϕ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎡ ⎤ ϕ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − ϕ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + ϕ + Выражение в квадратных скобках в левой части уравнения (коэффициент при угловом ускорении маховика ϕ ) равно приведенному моменту инерции механизма ( ) пр I ϕ (8), а коэффициент при квадрате угловой скорости 2 ϕ равен ( ) 1 2 пр d I d ϕ − ϕ (10). Соотношение в правой части уравнения равно обобщенной силе ( ) , Q ϕ ϕ ϕ (14). Таким образом, окончательно получаем дифференциальное уравнение ( ) ( ) ( ) 2 1 , , 2 np np d I I Q d ϕ ϕ ϕ ϕ + ϕ = ϕ ϕ ϕ которое полностью совпадает с уравнением движения механизма (16). Следовательно, составление дифференциального уравнения движения механизма произведено верно. 232 3. Результаты расчетов Дифференциальное уравнение движения механизма (16) является нели- нейным. Получить аналитическое решение этого уравнения не представляется возможным. Поэтому воспользуемся процедурой численного интегрирования данного уравнения. Для этого дифференциальное уравнение второго порядка (16) представим в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Введем новые переменные , ω = ϕ ε = ω = ϕ . Тогда имеем ( ) ( ) ( ) 2 1 1 , 2 , np np d I Q I d ϕ ϕ ⎡ ⎤ ω = ϕ ω − ω ⎢ ⎥ ϕ ϕ ⎣ ϕ = ω ⎦ (24) Эти соотношения позволяет вычислять угловое ускорение маховика, если известны его угол поворота и угловая скорость; в частности, можно вычислить угловое ускорение в начальный момент по заданным начальным значениям уг- ла поворота и угловой скорости маховика. Для интегрирования системы уравнений (24) при заданных начальных условиях используем встроенную в пакет Mathcad процедуру-функцию rkfixed реализующую метод Рунге-Кутта [1] и имеющую следующий вид: rkfixed(u, T 0 , T k , N, D), где: ( ) ( ) 0 0 u ⎡ϕ ⎤ = ⎢ ⎥ ϕ ⎣ ⎦ - вектор начальных условий; 0 , k T T – граничные точки интерва- ла, на котором ищется решение дифференциального уравнения. Начальные ус- ловия, заданные в векторе u – это значение решения в точке 0 T ; N – число то- чек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк 1 N + в матрице, воз- вращаемой функцией rkfixed; ( ) ( ) ( ) , , , t U D t U t U ⎡ϕ ⎤ = ⎢ ⎥ ω ⎣ ⎦ – вектор, элементами которого является угловая скорость и угловое ускорение маховика, определяемых урав- нениями (24). 233 Матрица, получаемая в результате решения, содержит три столбца; пер- вый – для значений времени t , второй – для значений угла поворота ( ) t ϕ , тре- тий – для значений угловой скорости ( ) t ϕ Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована про- цедура интегрирования дифференциального уравнения движения маховика и вычисления реакций внешних и внутренних связей. Динамический расчет механизма с кулисным приводом 1. Ввод исходных данных g 9.8 := f 0.3 := M 0 40 := ν 0 1. := ν 1 6. := r 1 0.06 := R 3 0.1 := BD 0.6 := OB 0.25 := l 0.5 := α π 4 := I 1 1.5 := m 1 50 := m 2 12 := m 3 18 := 2. Вычисление постоянных величин I 3 m 3 R 3 2 ⋅ 2 := OD OB BD + := m 0 m 2 m 2 + I 3 R 3 2 + := 3. Определение функций Координата центра масс кулисы OC φ ( ) l r 1 cos φ ( ) ⋅ + := Приведенный момент инерции ( ) пр I ϕ I np φ ( ) I 1 m 0 r 1 2 ⋅ cos φ ( ) 2 ⋅ + := Производная ( ) пр d I d ϕ ϕ I' np φ ( ) m 0 − r 1 2 ⋅ sin 2 φ ⋅ ( ) ⋅ := Момент от двигателя M D ω ( ) M 0 ν 0 ω ⋅ − := Полезная нагрузка M H φ ω , ( ) ν 1 − r 1 R 3 ⋅ ω ⋅ cos φ ( ) ⋅ := Обобщенная сила Q φ ω , ( ) M 0 m 2 m 3 + ( ) g ⋅ r 1 ⋅ cos φ ( ) ⋅ − ν 0 ν 1 r 1 2 R 3 2 ⋅ cos φ ( ) 2 ⋅ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ω ⋅ − := Угловое ускорение маховика ε 1 φ ω , ( ) Q φ ω , ( ) I' np φ ( ) ω 2 2 ⋅ − I np φ ( ) := 234 4. Процедура интегрирования дифференциальных уравнений Начальный момент времени T 0 0 := Конечный момент времени T k 10 := Число узловых точек N T k 200 ⋅ := Задание начальных условий NU 0 0 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ := Формирование системы дифференциальных уравнений D t U , ( ) U 1 ε 1 U 0 U 1 , ( ) ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ := Применение процедуры функции rkfixed. z rkfixed U T 0 , T k , N , D , ( ) := Вывод результатов вычислений. z 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0 0 -3 5·10 -4 1.721·10 0.069 0.01 -4 6.862·10 0.137 0.015 -3 1.539·10 0.204 0.02 -3 2.727·10 0.271 0.025 -3 4.247·10 0.337 0.03 -3 6.096·10 0.402 0.035 -3 8.271·10 0.467 0.04 0.011 0.531 0.045 0.014 0.595 0.05 0.017 0.658 0.055 0.02 0.72 0.06 0.024 0.782 0.065 0.028 0.843 0.07 0.032 0.904 0.075 0.037 0.964 = в выделенном столбце: номера узловых точек 0-N, в выделенной строке: 0 - время t , 1 - угол ϕ , 2 - угловая скорость ω t z 0 〈 〉 := φ z 1 〈 〉 := ω z 2 〈 〉 := ε ε 1 φ ω , ( ) → ⎯⎯⎯ := График движения ( ) t φ = φ 0 2 4 6 8 10 0 50 100 150 200 φ t Вычисление средней угловой скорости ω cp supsmooth t ω , ( ) := max ω ( ) 20.389 = max ω cp ( ) 19.336 = 235 График изменения угловой скорости ( ) t ω = ω и величины ср ω 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 ω ω cp t 8 8.5 9 9.5 10 18 19 20 21 ω ω cp t Вычисление среднего углового ускорения ε cp supsmooth t ε , ( ) := График углового ускорения ( ) t ε = ε и величины ср ε 0 2 4 6 8 10 40 20 0 20 40 ε ε cp t 236 5. Вычисление линейных ускорений тел, входящих в механизм Ускорение центра масс катка 3 a C3 r 1 cos φ ( ) ε ⋅ sin φ ( ) ω 2 ⋅ − ( ) ⋅ ⎡⎣ ⎤⎦ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ := 6. Вычисление реакций внешних и внутренних связей Нормальное давление катка 3 N 3 tan α ( ) m 3 g ⋅ M H φ ω , ( ) R 3 − m 3 I 3 R 3 2 + ⎛⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟⎠ a C3 ⋅ + ⎡⎢ ⎢⎣ ⎤⎥ ⎥⎦ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⋅ := max N 3 ( ) 1123.75 = min N 3 ( ) 732.561 − = mean N 3 ( ) 180.14 = График зависимости нормального давления 3 N катка на вертикальную плоскость от времени 0 2 4 6 8 10 1000 500 0 500 1000 1500 N 3 t Сила сцепления катка 3 F SC I 3 R 3 2 a C3 M H φ ω , ( ) R 3 − ⎛⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟⎠ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ := График зависимости силы сцепления катка с вертикальной плоскостью СЦ F от времени 0 2 4 6 8 10 1000 500 0 500 1000 F SC t 237 Предельное значение силы сцепления F' SC f N 3 → ⎯ ⋅ := max F SC ( ) 711.7 = min F SC ( ) 709.927 − = max F' SC ( ) 337.125 = min F' SC ( ) 219.768 − = График зависимости силы сцепления катка с вертикальной плоскостью и ее предельных значений от времени 0 2 4 6 8 10 1000 500 0 500 1000 F SC F' SC F' SC − t 8 8.5 9 9.5 10 1000 500 0 500 1000 F SC F' SC F' SC − t Усилие в стержне 4 S 4 1 cos α ( ) m 3 g ⋅ M H φ ω , ( ) R 3 − m 3 I 3 R 3 2 + ⎛⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟⎠ a C3 ⋅ + ⎡⎢ ⎢⎣ ⎤⎥ ⎥⎦ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⋅ := График зависимости усилия в стержне 4 от времени 0 2 4 6 8 10 2000 1000 0 1000 2000 S 4 t 238 Давление пальца маховика на прорезь кулисы N A m 2 m 3 + ( ) g ⋅ M H φ ω , ( ) R 3 − m 2 m 3 + I 3 R 3 2 + ⎛⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟⎠ a C3 ⋅ + ⎡⎢ ⎢⎣ ⎤⎥ ⎥⎦ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ := max N A ( ) 1477.811 = min N A ( ) 816.348 − = График зависимости давления пальца маховика на прорезь кулисы от времени 0 2 4 6 8 10 1000 0 1000 2000 N A t Давление кулисы на на- правляющую в точке B N B N A r 1 BD ⋅ cos φ ( ) ⋅ S 4 sin α ( ) ⋅ OD OC φ ( ) − BD ⋅ + ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ := График зависимости давления кулисы на направляющую в точке B от времени 0 2 4 6 8 10 500 0 500 1000 N B t Давление кулисы на на- правляющую в точке D N D N A r 1 BD ⋅ cos φ ( ) ⋅ S 4 sin α ( ) ⋅ OC φ ( ) OB − BD ⋅ − ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ := 239 График зависимости давления кулисы на направляющую в точке D от времени 0 2 4 6 8 10 600 400 200 0 200 400 N D t Вертикальная составляющая реакции под- шипника маховика 1 Y 1 m 1 g ⋅ N A − ( ) → ⎯⎯⎯⎯ := График зависимости вертикальной составляющей реакции подшипника маховика 1 от времени 0 2 4 6 8 10 1000 0 1000 2000 Y 1 t Вычисление среднего момента электродвига- теля M Dcp supsmooth t M D ω ( ) → ⎯ ⎯ ⎯ , ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ := min M Dcp ( ) 20.664 = mean M D ω ( ) → ⎯⎯⎯ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 22.394 = min M D ω ( ) → ⎯⎯⎯ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 19.611 = 240 График зависимости момента электродвигателя, передаваемого махови- ку 1 от времени 0 2 4 6 8 10 15 20 25 30 35 40 45 M D ω ( ) → ⎯⎯ M Dcp t 8 8.5 9 9.5 10 19 20 21 22 M D ω ( ) → ⎯⎯ M Dcp t |