Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
тематическая модель системы не соответствует ее реальному поведению, — нити провисают, тела движутся рывками, а ка- ток – с проскальзыванием. Данное заключение позволяет сформулировать задачу исследования : обеспечить соответствие математической модели реальному поведению системы. 194 Иными словами, необходимо удовлетворить следующим условиям: 9) нити должны быть натянутыми при движении системы; 10) величина силы сцепления должна обеспечивать движение катка без про- скальзывания; 11) перемещение центра масс катка не должно превышать величины пре- дельного значения удлинения пружины. Данные условия представим в математическом виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 3 3 23 3 3 min 0, min , min , min 0, max , max сц сц пр сц сц пр T F f N s T F f N s > > − > −λ > < < λ (29) Для определения значений внутренних параметров механической систе- мы — масс тел 1 m , 2 m , 3 m и коэффициента жесткости пружины c , — обеспе- чивающих ее функционирование в соответствие с предложенной математиче- ской моделью, выберем в качестве анализируемых величин • реакции нитей сил натяжения канатов 12 T , 23 T , • силу сцепления катка с опорной плоскостью сц F , • перемещение центра масс катка 3 s . Исследуем изменение этих функций, в зависимости от масс тел входящих в механическую систему, а также жесткости упругого элемента, т.е. ( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 1 2 3 1 2 3 23 23 1 2 3 3 3 1 2 3 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . сц сц T T m m m c t F F m m m c t T T m m m c t s s m m m c t = = = = Ограничимся состоянием установившегося движения. В этом случае за- кон движения груза, его скорость и ускорение имеют вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 2 2 1 2 sin sin cos , cos sin , sin cos yст yст yст s t B pt B pt B pt v t B p pt B p pt a t B p pt B p pt = − β = + = − = − − 195 Функции 12 T , 23 T , сц F представим в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 2 23 1 2 2 1 2 sin sin , sin sin , sin sin сц T m g C pt R T m g D pt r R F m g E pt r = α + + γ = α + + δ = α + + ϕ (30) где коэффициенты, входящие в эти выражения, равны: 2 2 1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 3 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 , , , , , , , , , , 4 4 , C F m p B C m p B C C C C arctg C R p B i R p B i D C m p B D C m p B r R r R r r R r R r D D D D arctg D r r E D m p B E D m p B R R E E E E arctg = + = − ⎛ ⎞ = + γ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + ν + = − ν + ⎛ ⎞ = + δ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + = + = + ϕ = 2 1 E ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ В качестве примера получим первую формулу – выражение для силы 12 T : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 0 1 2 1 0 1 1 2 2 2 1 0 1 1 1 2 1 1 2 1 sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin yст T m g F pt m a t m g F pt m p B pt B pt m g F m p B pt m p B pt m g C pt C pt m g C pt = α + − = = α + + + = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = α + + + = = α + + = = α + + γ Остальные формулы в соотношениях (30) определяются аналогично. Условия (29), обеспечивающие адекватность движения системы матема- тической модели (11), (12) можно теперь представить в виде 196 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 1 23 1 2 2 max 3 1 2 2 2 min 3 1 0 2 2 min sin 0, min sin 0, cos sin 0, 1 cos sin 0, 0. 2 сц сц пр R T m g C T m g D r R F f m g m g E r R r F f m g m g E S B r R = α − > = α − > Δ = β − α − > Δ = β + α − > Δ = λ − > (31) где ( ) ( ) max 3 min 3 max , min сц сц сц сц F f N F F f N F Δ = − Δ = + Заметим, что оценка, определяемая неравенствами (31), является нижней оценкой для механической системы, так как в условиях неустановившегося ре- жима движения возможны ситуации, когда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 min min , min min , max max , max max уст уст уст уст ij ij ij ij сц сц T T T T F F s s < < > > Так как все коэффициенты, входящие в соотношения (31) являются функциями внутренних параметров механической системы 1 2 3 , , и m m m с , то вычисление зависимостей ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 2 3 23 1 2 3 min 1 2 3 max 1 2 3 min , , , , min , , , , , , , , , , , T m m m c T m m m c F m m m с F m m m с ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Δ Δ представим в виде процедуры ( ) 1 2 3 , , , S M M M C пакета Mathcad, приведенной на рис. 4. Выражение для функции ( ) 1 2 3 , , , S m m m c Δ , в силу несложности ее преобразования, получим позже. В дальнейшем, ограничимся исследованием влияния масс 1 m и 3 m . Уста- новим интервалы их изменения. Для этого рассмотрим механическую систему в состоянии резонанса. Если 1 z p k = = , то 2 2 2 2 2 4 пр R p m r c = , и зависимость ( ) 1 1 3 рез рез m m m = имеет вид 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 8 рез r i r c m m m R p R R = − − , 197 откуда следует: 1) если 3 0 m = , то 1 49,49 рез m кг = ; 2) если 1 0 рез m = , то 3 530.9 m кг = . Поэтому ограничимся исследованием механической системы внутри интервала 1 3 0 60 100 , 0 550 700 . m кг m кг ≤ ≤ ÷ ≤ ≤ ÷ S M 1 M 2 , M 3 , C , ( ) m pr M 1 M 2 i 2 2 R 2 2 + 3 8 M 3 r 2 R 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 2 + ← n k k 1 ( ) ν 2 R 2 2 m pr 1 2 r 2 R 2 C m pr k 2 n 2 − ⎛⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟⎠ ← B 1 B 2 ( ) F 0 m pr k 2 p 2 − k 2 p 2 − ( ) 2 2 n p ( ) 2 + F 0 m pr − 2 n p k 2 p 2 − ( ) 2 2 n p ( ) 2 + ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ← C 1 C 2 ( ) F 0 M 1 p 2 B 1 + M 1 p 2 B 2 ( ) ← D 1 D 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ C 1 R 2 r 2 ν B 2 p R 2 r 2 + M 2 i 2 2 R 2 r 2 B 1 p 2 + C 2 R 2 r 2 ν B 1 p R 2 r 2 − M 2 i 2 2 R 2 r 2 B 2 p 2 + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ← E 1 E 2 ( ) D 1 M 3 r 2 4 R 2 B 1 p 2 + D 2 M 3 r 2 4 R 2 B 2 p 2 + ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ← C D E ( ) C 1 2 C 2 2 + D 1 2 D 2 2 + E 1 2 E 2 2 + ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ← M 1 g sin α ( ) C − M 1 g R 2 r 2 sin α ( ) D − f сц M 3 g cos β ( ) M 1 g R 2 r 2 sin α ( ) − E − f сц M 3 g cos β ( ) M 1 g R 2 r 2 sin α ( ) + E − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := Рис. 4. Процедура вычисления функций, входящих в условия (31) 198 Рассмотрим теперь последнее неравенство в условиях (31) – 0 S Δ > . Учи- тывая выражение для амплитуды 0 B представим его в виде ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 , пр ПР m s k p n p F ⎡ ⎤ − + > ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ где 2 2 2 ПР пр R S r = λ – предельное значение перемещения груза 1. Подставляя вместо коэффициентов и k n их выражения, найдем, из урав- нения 0 S Δ = , предельные значения массы груза 1 ( ) ( ) 1 3 1 3 ПР РЕЗ m m m m m = ± Δ где 2 0 2 2 0 2 1 ПР ПР F p s m s p F R ⎛ ⎞ ν Δ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Рассматривая вновь неравенство 0 S Δ > , заключаем, что оно выполняется в двух случаях: 12) при 1 z < , если ( ) ( ) 1 3 1 3 ; РЕЗ m m m m m < − Δ 13) при 1 z > , если ( ) ( ) 1 3 1 3 РЕЗ m m m m m > + Δ Тем самым из области допустимых значений внутренних параметров ме- ханической системы исключается околорезонансная зона, ширина которой рав- на 2 m Δ , не зависящая от параметров 1 2 3 , , и m m m с . Исследуем теперь зависимости ( ) ( ) 12 23 min max min , min , и T T F F Δ Δ . Для этого изобразим их на плоскости ( ) 1 3 , m m линиями уровня ( ) 1 3 , i i f m m c = (рис. 5 – рис. 8) и будем искать те из них, для которых выполняются условия ( ) 1 3 , 0 i f m m = , т. е.: ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 3 12 1 3 max 1 3 min 1 3 min , 0, min , 0, , 0, , 0. T m m T m m F m m F m m ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ Δ = Δ = 199 Из графиков на рис. 5 – рис. 8 видно, что неравенства (31) выполняются при следующих значениях массы груза 1: ( ) ( ) ( ) min min max 1 1 3 1 1 3 1 1 3 ; ; , m m m m m m m m m ∗ ∗∗ > > < где величины ( ) ( ) ( ) min min max 1 3 1 3 1 3 , и m m m m m m ∗ ∗∗ определяются из уравнений ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) min min max 12 1 3 3 23 1 3 3 max 1 3 3 min , 0 min , 0 рис. 5 ; рис. 6 ; рис. 7 0 , T m m m T m m m F m m m ∗ ∗∗ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ Δ = ⎣ ⎦ (32) Из рис. 8 следует, что условие ( ) min 1 3 , 0 F m m Δ > выполняется всегда для рассматриваемых интервалов изменения масс 1 3 , m m . Зависимости ( ) ( ) ( ) min min max 1 3 1 3 1 3 , и m m m m m m ∗ ∗∗ являются нелинейными. Более того, вблизи резонансных состояний ( ) 1 z ≈ два последних уравнения системы (32) имеют по три действительных корня (рис. 9). Приведем фрагмент документа Mathcad, в котором проводится реализа- ция описанного выше анализа. Формирование функций (31), в зависимости от параметров 1 m и 3 m S 12 M 1 M 3 , ( ) S M 1 m 2 , M 3 , c , ( ) 0 := S 23 M 1 M 3 , ( ) S M 1 m 2 , M 3 , c , ( ) 1 := Δ max M 1 M 3 , ( ) S M 1 m 2 , M 3 , c , ( ) 2 := Δ min M 1 M 3 , ( ) S M 1 m 2 , M 3 , c , ( ) 3 := Формирование двумерных матриц для построения графиков функций ( ) 12 1 3 min , T m m ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ , ( ) 23 1 3 min , T m m ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ , ( ) max 1 3 , F m m Δ и ( ) min 1 3 , F m m Δ minT 12 CreateMesh S 12 0 , 60 , 0 , 550 , 120 , 1100 , ( ) := minT 23 CreateMesh S 23 0 , 60 , 0 , 550 , 120 , 1100 , ( ) := ΔF max CreateMesh Δ max 0 , 100 , 0 , 550 , 150 , 1100 , ( ) := ΔF min CreateMesh Δ min 0 , 100 , 0 , 550 , 150 , 550 , ( ) := 200 Рис. 5. График функции ( ) 12 1 3 min , T m m ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Рис. 6. График функции ( ) 23 1 3 min , T m m ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ minT 23 ( ) 23 1 3 min , 0 T m m ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ minT 12 ( ) 12 1 3 min , 0 T m m ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ 201 Рис. 7. График функции ( ) max 1 3 , F m m Δ ΔF min Рис. 8. График функции ( ) min 1 3 , F m m Δ ΔF max ( ) max 1 3 , 0 F m m Δ = 202 Рис. 9. Линии уровня вблизи резонансного состояния для значений а) ( ) 12 1 3 min , 0 T m m ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ , б) ( ) 23 1 3 min , 0 T m m ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ , в) ( ) max 1 3 , 0 F m m Δ = . ΔF max minT 23 minT 12 ) в ) б ) a 3 m 1 m 3 m 1 m 3 m 1 m 203 Найдем область допустимых значений масс 1 3 и m m , которые обеспечи- вают выполнение условий (31) и являются решениями уравнений (32). Ниже представлен фрагмент документа Mathcad, реализующего постав- ленную задачу. Вычисление массы груза 1 при резонансе как функции массы катка 3 ( ) 1 3 РЕЗ m m M 1rez M 3 ( ) 1 4 r 2 R 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 2 c p 2 m 2 i 2 2 R 2 2 − 3 8 M 3 r 2 R 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 2 − := Вычисление предельного значения массы груза 1 в дорезонансной об- ласти ( ) max 1 3 ПР m m Δm S np 2 R 2 r 2 λ ПР ← F 0 S np p 2 1 S np ν p F 0 R 2 2 ⎛⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟⎠ 2 + := M1 np_max M 3 ( ) M 1rez M 3 ( ) Δm − := Вычисление предельного значения массы груза 1 в послерезонансной области ( ) min 1 3 ПР m m M1 np_min M 3 ( ) M 1rez M 3 ( ) Δm + := Нахождение величины min 1 m ∗ из уравнения ( ) ( ) min 12 1 3 3 min , 0 T m m m ∗ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ M1 min1 M 3 ( ) root S 12 M 1 M 3 , ( ) M 1 , 0 , 3 , ( ) := Нахождение величины min 1 m ∗∗ из уравнения ( ) ( ) min 23 1 3 3 min , 0 T m m m ∗∗ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ M1 min2_1 M 3 ( ) root S 23 M 1 M 3 , ( ) M 1 , 0 , 2.8 , ( ) := M1 min2_2 M 3 ( ) root S 23 M 1 M 3 , ( ) M 1 , 2.8 , M 1rez M 3 ( ) 0.26 − , ( ) := M1 min2_3 M 3 ( ) root S 23 M 1 M 3 , ( ) M 1 , M 1rez M 3 ( ) 0.26 − , 50 , ( ) := Нахождение величины max 1 m из уравнения ( ) max max 1 3 3 , 0 F m m m ⎡ ⎤ Δ = ⎣ ⎦ M1 max_1 M 3 ( ) root Δ max M 1 M 3 , ( ) M 1 , 0 , M 1rez M 3 ( ) , ( ) := M1 max_2 M 3 ( ) root Δ max M 1 M 3 , ( ) M 1 , M 1rez M 3 ( ) , 32 , ( ) := M1 max_3 M 3 ( ) root Δ max M 1 M 3 , ( ) M 1 , 32 , 100 , ( ) := 204 Рис. 10. Области допустимых значений для масс 1 3 и m m . Рис. 11. Подобласть I допустимых значений для масс 1 3 и m m 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 5 10 15 20 25 3 12 23 0, , 0, СЦ СЦ C ПР T F F T S ′ > > > > λ 1min m 1max m I 1 z = 3 m 1 m 12 23 0, 0, СЦ СЦ T T F F > > ′ < max 1 ПР m 0 100 200 300 400 500 600 700 10 20 30 40 50 12 23 0, 0, СЦ СЦ T T F F ′ > > > 1min m 1max m II I 1 z = 3 m 1 m 12 23 0, 0, СЦ СЦ T T F F ′ > > > 12 23 0, 0, СЦ СЦ T T F F ′ > > < 3 C ПР S > λ 3 C ПР S > λ max 1 ПР m min 1 ПР m 205 Рис. 12. Подобласть II допустимых значений для масс 1 3 и m m Как видно из графиков (рис. 10 – рис. 12), область допустимых значений масс 1 3 и m m разбивается на две подобласти: • Подобласть I – состояние дорезонансного режима ( ) 1 z < , для которого значения масс ограничены: сверху – линиями ( ) ( ) 1max 3 1 3 , РЕЗ m m m m m − Δ , снизу – линией ( ) 1min 3 m m ∗∗ ; • Подобласть II – состояние послерезонансного режима ( ) 1 z > , для которого значения масс ограничены: сверху – кривой ( ) 1max 3 m m ; снизу – линиями ( ) ( ) 1 3 1min 3 , РЕЗ m m m m m ∗ + Δ Вычислим координаты узловых точек каждой подобласти. При нахожде- нии этих координат можно использовать два способа: • Численный, при котором определяются корни уравнений, связывающих ко- ординаты узловых точек. Например: ( ) ( ) 1max 3 1min 3 3 m m m m m ∗∗ = ⇒ ; 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 10 20 30 40 50 3 12 23 0, , 0, СЦ СЦ C ПР T F F T S ′ > > > > λ 1min m 1 РЕЗ m II 1 z = 3 m 1 m min 1 ПР m 1max m 206 • С помощью опции "Trace" из контекстного меню свойств 2–D графиков. Ниже представлен документ Mathcad, в котором реализуется численный метод. Нахождение координат узловых точек в подобласти ( ) , 1 I z < Формирование уравнений для определения искомых координат M 3T12_I_1 root M1 max_1 M 3 ( ) M1 min1 M 3 ( ) − M 3 , 10 , 20 , ( ) := M 3T23_I_1 root M1 max_1 M 3 ( ) M1 min2_1 M 3 ( ) − M 3 , 10 , 20 , ( ) := M 3пр_I root M1 max_1 M 3 ( ) M1 np_max M 3 ( ) − M 3 , 150 , 200 , ( ) := M 3T12_I_2 root M1 np_max M 3 ( ) M1 min1 M 3 ( ) − M 3 , 400 , 450 , ( ) := M 3T23_I_2 root M1 np_max M 3 ( ) M1 min2_1 M 3 ( ) − M 3 , 400 , 450 , ( ) := Вычисление координат узловых точек M 3T12_I_1 16.413 = M1 min1 M 3T12_I_1 ( ) 1.207 = M 3T23_I_1 16.567 = M1 min2_1 M 3T23_I_1 ( ) 1.23 = M 3пр_I 183.231 = M1 max_1 M 3пр_I ( ) 22.363 = M 3T12_I_2 407.619 = M1 min1 M 3T12_I_2 ( ) 1.327 = M 3T23_I_2 406.517 = M1 min2_1 M 3T23_I_2 ( ) 1.43 = Нахождение координат узловых точек в подобласти ( ) , 1 II z > Формирование уравнений для определения искомых координат M 3пр_II root M1 max_3 M 3 ( ) M1 np_min M 3 ( ) − M 3 , 265 , 300 , ( ) := M 3T12_II root M1 np_min M 3 ( ) M1 min1 M 3 ( ) − M 3 , 600 , 650 , ( ) := M 3T23_II root M1 np_min M 3 ( ) M1 min2_1 M 3 ( ) − M 3 , 600 , 650 , ( ) := Вычисление координат узловых точек M 3пр_II 265.964 = M1 max_3 M 3пр_II ( ) 35.068 = M 3T12_II 628.74 = M1 min1 M 3T12_II ( ) 1.058 = M 3T23_II 629.828 = M1 min2_3 M 3T23_II ( ) 0.956 = |