Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
5. Выводы Результаты анализа рассмотренных схем приложения внешних сил, удерживающих механизм в положении равновесия, позволяют определить об- ласть допустимых значений углов поворота, при которых значения сил конеч- ны. Результаты сведем в таблицу Схема Область допустимых значений для угла ϕ . OA M M = ( ) 0 2 1 , 1, 2, n n ≤ ϕ ≤ π + = … AB M M = 3 4 2 , 2 , 1, 2, кр кр n n n ϕ ≠ ϕ + π ϕ ≠ ϕ + π = … 1 O B M M = 1 2 2 , 2 , 1, 2, кр кр n n n ϕ ≠ ϕ + π ϕ ≠ ϕ + π = … KD M M = 1 2 2 , 2 , 1, 2, кр кр n n n ϕ ≠ ϕ + π ϕ ≠ ϕ + π = … D P P = 1 2 2 , 2 , 1, 2, кр кр n n n ϕ ≠ ϕ + π ϕ ≠ ϕ + π = … Таким образом, оптимальной является схема, в которой удерживающими механизм в положении равновесия силами является пара сил с моментом OA M M = приложенная к ведущему звену OA . 172 3. ДИНАМИКА Курсовые работы по динамике посвящены применению основных теорем и принципов механики к исследованию материальных систем. Студенты, вы- полняя то или иное задание, должны получить навыки и умения: составления дифференциальных уравнений движения механической системы, нахождения динамических реакций внешних и внутренних связей, аналитического или чис- ленного интегрирования найденных уравнений движения, анализа результатов расчета и исследования механических систем. В данном разделе представлены три курсовых работы разной степени сложности: • В первой работе "Исследование механической системы с упругой связью" изучаются малые линейные колебания системы с одной степенью свободы. Дифференциальное уравнение движения интегрируется аналитическим спо- собом. Проводится численное исследование влияния внутренних парамет- ров системы на динамические реакции. Определяется область допустимых значений внутренних параметров системы, обеспечивающее соответствие движения принятым допущениям. • Во второй работе "Исследование движения механизма с кулисным приво- дом" рассматривается нелинейная механическая система. Дифференциаль- ное уравнение движения механизма интегрируется численными методами. Исследуется влияние конструктивных элементов на поведение механизма. • В третьей работе "Динамика плоских шарнирных механизмов" изучается динамическое поведение многозвенных плоских шарнирных механизмов. Совместно решается система уравнений, в которую входят: нелинейное дифференциальное уравнение движения механизма и система нелинейных уравнений геометрических связей. Исследуются факторы, влияющие на не- равномерность вращения ведущего звена. 173 Д 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С УПРУГОЙ СВЯЗЬЮ Исследование динамического поведения механической системы начина- ется с выбора физической модели, для которой составляется математическая модель. Наличие упругих связей в механической системе в сочетании с внешним периодическим воздействием может привести к дополнительным колебаниям ее элементов. Если задачу удается свести к малым колебаниям, то с высокой степенью точности математическая модель может быть представлена линейной моделью. Выделение линейных моделей в особый класс вызывается рядом причин: • с помощью линейных моделей исследуется широкий круг явлений, проис- ходящих в различных механических системах; • интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами хорошо отработано. Поэтому инженер–исследователь стремится по возможности описать по- ведение системы с помощью линейной модели для облегчения процедуры ана- лиза ее движения. При проектировании механических систем обычно используют критиче- ские режимы внешних воздействий на них. В этом случае внешние факторы: ν – коэффициент демпфирования, 0 F , p – амплитуда и частота возмущающей силы, изменяются незначительно. Конструктивные параметры механических систем (их геометрические размеры) определяются условиями их функциони- рования и, следовательно, могут изменяться в очень узком диапазоне. Актуаль- ной становится такая задача исследования механической системы, при которой могут изменяться массовые параметры системы и жесткость упругого элемента. 174 Цель курсовой работы Исследование и анализ динамического поведения механической системы с упругими связями с помощью основных теорем и принципов теоретической механики. Содержание курсовой работы Объектом исследования является механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность тел, связанных друг с другом посредством нитей. Схемы заданий и исходные данные приведены в альбоме заданий. Система снабжена упругой связью (пружиной) с коэффициентом жестко- сти c и демпфирующим устройством, в котором возникает сопротивление дви- жению. В вариантах 1, 4 −6, 8 −16, 22, 25, 27, 29 демпфирующее устройство на схемах не показано, оно связано с телом 3, вращающимся вокруг неподвижной оси. Сопротивление движению в этих вариантах моделируется парой сил с мо- ментом 3 C M = −νω , где 3 ω — угловая скорость вращения тела 3, ν — коэффи- циент сопротивления ( ) 0 ν > . В остальных вариантах демпфер на схемах пока- зан, он связан с телом 2 (варианты 7, 18, 23, 26) или с телом 4 (варианты 2, 3, 17, 19 −21, 28, 30). Сопротивление в этом случае моделируется силой C R v = −μ , где v - скорость точки крепления демпфера (скорость поршня демпфера) к телу 2 или 4 (в зависимости от варианта), μ — коэффициент сопротивления ( ) 0 μ > Во всех вариантах к грузу 1 приложена возмущающая гармоническая си- ла, проекция которой на касательную к траектории центра масс груза 1 равна 0 ( ) sin F t F pt τ = , где 0 , F p — амплитуда и круговая частота возмущающей силы. При составлении математической модели принимаются следующие до- пущения: • тела, входящие в систему, считаются абсолютно твердыми, нити – нерастя- 175 жимыми, идеально гибкими и безынерционными; • проскальзывание нитей на блоках и катках отсутствует; катки движутся без скольжения; • трение в подшипнике блока 3 не учитывается, сопротивление качению катка 4 отсутствует; • реакция упругой связи подчиняется линейному закону: ynp F с = λ , где λ – удлинение пружины; масса пружины и демпфера не учитывается; • массу пружины, поршня и штока демпфера не учитывать; • во всех вариантах возникающие в системе колебания являются малыми. Требуется: 1. Составить дифференциальное уравнение движения системы. 2. Сформировать систему уравнений для определения динамических реакций внешних и внутренних связей. 3. Найти закон движения системы, т. е. проинтегрировать дифференциальное уравнение движения при заданных начальных условиях. 4. Провести численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ. Порядок выполнения работы 1. Составить дифференциальное уравнение движения системы одним из сле- дующих способов (по указанию преподавателя): • с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциаль- ной форме; • методом общего уравнения динамики; • с помощью уравнений Лагранжа второго рода. 2. Определить динамические реакции внешних и внутренних связей и осущест- вить проверку правильности составления дифференциального уравнения дви- жения. Для этого следует использовать (по указанию преподавателя): • теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кине- тического момента в дифференциальных формах; • дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоского 176 движений твердого тела; • метод кинетостатики (принцип Даламбера). 3. Интегрируя дифференциальное уравнение движения системы при заданных начальных условиях, найти закон движения груза 1. 4. Провести анализ результатов расчета механической системы. Для этого • проверить соответствие расчетов предположениям, принятым при построе- нии математической модели; • по указанию преподавателя исследовать влияние двух из основных внут- ренних параметров механической системы ( ) 1 2 3 , , , m m m c на динамические характеристики системы; • определить область допустимых значений указанных параметров, обеспе- чивающих адекватность поведения системы ее математической модели. 177 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Груз 1, расположенный на гладкой наклонной плоскости, прикреплен к нити, навитой на большую ступень блока 2 (рис. 1). Нить, намотанная на каток 3, навита на малую ступень блока. Каток расположен на шероховатой наклон- ной плоскости. Центр катка связан с пружиной, другой конец которой закреп- лен неподвижно. Нити и пружина, массы которых не учитываются, параллель- ны соответствующим плоскостям. Нити являются нерастяжимыми и абсолютно гибкими. Сопротивление, возникающее в подшипниках блока, пропорциональ- но первой степени угловой скорости блока: 2 С M = −νω . Качение катка проис- ходит без скольжения, сопротивление качению отсутствует. Каток — однород- ный круговой цилиндр. Центр масс блока расположен на оси его вращения. К грузу приложена возмущающая сила 0 ( ) sin F t F pt τ = . При движении системы нити всегда натянуты. Исследовать движение механической системы. Определить реакции внешних и внутренних связей, если 1 2 3 , , m m m – массы груза, блока и катка, c – коэффициент жесткости пружины, ν – коэффициент демпфирования, 2 2 2 , , r R i – радиусы ступеней блока 2 и его радиус инерции относительно оси, проходящей через центр масс, 3 r – радиус катка 3, , α β – углы наклона опорных плоскостей к горизонту, сц f – предельное значение коэффициента сцепления катка 3 и опорной плоско- сти, np λ – предельное значение удлинения пружины; 0 0 , s v — начальная координата и начальная скорость груза. 178 Рис. 1. Схема механизма Исходные данные 1 1 , m кг = 2 2 , m кг = 2 0.15 , r м = 2 0.3 , R м = 2 0.2 , i м = 3 3 , m кг = 3 0.2 , r м = 0.2 , H м с ν = ⋅ ⋅ 2000 , H c м = 0,30 сц f = , 0,1 , пр м λ = , 0 10 , F H = , 2 рад p с π = 0 0.03 , s м = 0 0.04 , м v c = 60 , α = 30 . β = 3 2 1 c ( ) F t C M β α τ 179 1. Составление дифференциального уравнения движения механической системы. Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы: это обеспечивается условиями, принятыми при формулировке задания, — тела яв- ляются абсолютно твердыми, нити — нерастяжимыми и всегда натянутыми, проскальзывание при движении катка отсутствует. Следовательно, для задания положения системы нужен один параметр. Будем определять положение систе- мы с помощью координаты s , задающей положение центра масс груза (рис.2). Начало отсчета координаты s совместим с положением центра масс груза при равновесии системы. Углы поворота блока 2 ϕ и катка 3 ϕ отсчитываем по ходу часовой стрелки. Положение центра масс катка 3 С определяем координатой 3 s , отсчитываемой от положения центра масс катка при равновесии системы: если 0 s > , то 2 3 3 0, 0 и 0 s ϕ > ϕ > > и наоборот, причем нулевому значению ко- ординаты s соответствуют нулевые значения координат 2 3 3 , и s ϕ ϕ Рис. 2. Расчетная схема D v D ( ) P мцс β 3 ω 3 v 3 N 3 C 3 G упр F сц F 2 ω B A α C M 2 Y 2 X 2 G B v A v 1 v 1 G ( ) F t 1 N s 180 Для составления дифференциального уравнения движения системы ис- пользуем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: , e i k k k k d T N N d t = + ∑ ∑ (1) где: T — кинетическая энергия системы, e k k N ∑ — сумма мощностей внешних сил, i k k N ∑ — сумма мощностей внутренних сил. Пусть в произвольный момент система занимает положение, в котором 0 s > , а скорость груза 1 v направлена вдоль опорной плоскости в положитель- ном направлении координаты s . Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энер- гий тел, образующих механическую систему. Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия: 2 1 1 1 1 , 2 T m v = Блок 2 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси. Его кинетическая энергия 2 2 2 2 1 , 2 C T I = ω где 2 2 2 2 C I m i = — момент инерции блока 2 относительно оси вращения, 2 ω — модуль угловой скорости. Каток 3 совершают плоскопараллельное движение, поэтому его кинети- ческая энергия равна: 3 2 2 3 3 3 3 1 1 , 2 2 C T m v I = + ω где 3 2 3 3 2 C I m r = — момент инерции катка 3 относительно оси, проходящей че- рез центр масс, 3 v — модуль скорости центра масс, 3 ω — модуль угловой 181 скорости катка. Кинетическая энергия всего механизма в этом случае будет равна: 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 1 1 1 2 2 2 C C C m v I m T v I ω + ω = + + (2) Так как система имеет одну степень свободы то величины 2 ω , 3 ω и 3 C v легко выражаются через 1 v . Нити, соединяющие тела системы нерастяжимы и натянуты, следовательно 1 A v v = и B D v v = . Тогда 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 ; 2 ; A B D v v O A R r O B v v PD r v PC r = = ω ≡ ω ω ≡ ω = = = ω ≡ ω = ω ≡ ω Таким образом 2 2 1 2 3 3 2 2 3 2 1 , , , 2 2 r r v v s v v v v R R r R = = ω = ω = = (3) Подставляя (3) в выражение (2) и учитывая выражения для моментов инерции 2 C I и 3 C I , окончательно получим: 2 2 1 1 2 2 np np T m v m s = = (4) где величина 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 3 2.17 8 np i r m m m m кг R R = + + = (5) называется приведенной массой. Теперь вычислим правую часть уравнения (1) – сумму мощностей внеш- них и внутренних сил, при этом учтем, что мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки приложения силы, а мощность пары сил – скалярному произведению вектора пары на угловую скорость твер- дого тела, к которому приложена пара: ( ) ( ) cos , , cos , F v M N F v F v F v F v N M M M M ω = ⋅ = = = ⋅ ω = ω ω = ω Здесь v F — проекции вектора силы F на направление скорости точки прило- 182 жения силы, а M ω — проекции вектора пары сил M на направление угловой скорости твердого тела. Вычислим сумму мощностей внутренних сил, учитывая, что рассматри- ваемая нами механическая система является неизменяемой, так как входящие в систему тела абсолютно твердые, а нити — абсолютно гибкие и нерастяжимые. Следовательно, скорости их точек относительно друг друга равны нулю и сум- ма мощностей внутренних сил также будет равна нулю 0. i k k N = ∑ (6) Вычислим сумму мощностей внешних сил. Для этого изобразим их на расчетной схеме (рис. 2). Внешними силами являются: силы тяжести , 1,3 k k G m g k = = , нормальные реакции опорных плоскостей 1 3 , N N , сила сцеп- ления сц F , упругая реакция пружины упр F , реакции подшипника блока 2 2 2 , X Y , силы сопротивления с моментом 2 C M = −νω и возмущающая сила ( ) F t . Заметим, что мощности сил 3 2 2 2 , , , , сц N F G X Y равны нулю, так как эти силы приложены в точках, скорости которых равны нулю. Мощность силы 1 N также равна нулю, так как 1 1 N v ⊥ . Сумма мощностей остальных сил равна: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 sin , , , , sin С упр v P F t M C F упр упр P N G v m g v N F t v F t v N M N F v F v N G v m g v = ⋅ = α = ⋅ = = ⋅ ω = −νω = ⋅ = = ⋅ = − β или ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 3 3 sin sin v e k ynp k N F v m g v F t v m g v = − ν ω + α + − β ∑ С учетом кинематических соотношений (3) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду: 183 e k np np k N F v F s = = ∑ (7) где ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 2 2 2 sin sin 2 v np ynp r F F m g v m g F t R R ν ⎡ ⎤ = − β − + α + ⎣ ⎦ называется приведенной силой. Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины λ равно сумме статического ст λ и динамического 3 s уд- линений 3 ст s λ = λ + . Тогда ( ) 3 2 3 2 2 v ynp ст ст r F c s c s R λ λ ⎡ ⎤ = − + = − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Приведенная сила в развернутой форме будет определяться выражением: ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 sin sin 2 np ст пр пр r F c m g c s s m g F t R = − λ + β − − ν + α + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ (8) где 2 2 2 2 np r c c R ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ — приведенная жесткость, 2 2 np R ν ν = — приведенный коэф- фициент сопротивления. Подставляя выражения (4), (6) и (7) в (1), получаем после сокращения на s дифференциальное уравнение движения системы пр пр m s F = (9) Учтем, что при равновесии системы (возмущающая сила отсутствует) скорость и ускорение груза равны нулю по определению ( ) 0, 0 s s = = , а коор- дината груза равна нулю в силу постановки задачи (начало отсчета совпадает с положением равновесия груза 1 0 s = ). В этом случае уравнение (9) приводится к виду 0, 0 0 np s s F = = = , и условием равновесия системы будет служить уравне- ние ( ) ( ) 2 3 1 2 sin sin 0, 2 ст r c m g m g R − λ + β + α = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ из которого определяется статическое удлинение пружины 184 ( ) ( ) 2 1 3 2 2 sin sin ст g R m m с r ⎡ ⎤ λ = α − β ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (10) Подставляя (10) в уравнение (9) и учитывая формулу (8) для приведенной силы, получаем дифференциальное уравнение движения системы ( ) 0 sin np пр пр m s F pt c s s = − − ν Представим данное уравнение в виде: ( ) 2 0 2 sin , s n s k s h pt + + = (11) где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл: 2 2 7.589 2 пр пр np c r c рад k с m R m = = = – частота собственных колебаний, 2 2 0.512 2 2 пр пр np рад n с m R m ν ν = = = — показатель степени затухания колебаний. 0 0 2 4.61 пр F м h с m = = – относительная амплитуда возмущающей силы. Начальные условия: 0 0 0 0 0 , t t s s s s v = = = = = (12) Уравнения (11), (12) представляют математическую модель для решения второй задачи динамики. 2. Определение реакций внешних и внутренних связей. Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и по- строим расчетные схемы для каждого тела (рис.3). На расчетных схемах, поми- мо ранее введенных сил, показаны реакции (силы натяжения) нитей, связы- вающих груз и блок, блок и каток: 12 21 23 32 , T T T T = − = − К каждому телу, изображенному на расчетной схеме (рис. 3), применим две основные теоремы механики материальной системы: теорему об изменении количества движения 185 e C k k d mv F d t = ∑ (13) и теорему об изменении кинетического момента относительно оси z , проходя- щей через центр масс твердого тела ( ) z z C e e C k k d L M F d t = ∑ (14) Для каждого тела данные уравнения запишем в проекциях на оси коорди- нат соответственно схемам рис. 3: Рис. 3. Расчетные схемы каждого тела механизма Тело 1 движется поступательно, поэтому уравнение (14) для него удовле- творяется тождественно ( ) 0 0 ≡ . Учитывая, что 1 1 1 , 0 C C x v y = = , получим ( ) ( ) ( ) 1 1 12 1 1 1 sin , 0 cos d m v T m g F t d t N m g = − + α + = − α (15) Тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, причем 2 0 C v = , поэтому уравнения (13) и (14) примут вид: 32 T D ( ) P мцс β 3 ω 3 v 3 N 3 C 3 G упр F сц F 2 ω B α C M 2 Y 2 X 2 G 1 v 1 G ( ) F t 1 N s 23 T 21 T 12 T 1 x 1 y 2 y 2 x 3 y 3 x 186 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 23 21 2 23 21 2 2 21 2 23 2 0 sin sin , 0 cos cos , , z C Y m g T T X T T d J T R T r M d t = − − β − α = − β + α ω = − − (16) Тело 3 совершает плоскопараллельное движение. Тогда, записывая урав- нения (13) и (14) с учетом того, что 3 3 3 , 0 C C x v y = = , получаем: ( ) ( ) 3 3 3 32 3 3 3 3 32 3 3 sin , 0 cos , z ynp сц C сц d m v T F F P d t N m g d J T r F r d t = − + − β = − β ω = − (17) Из системы уравнений (15) – (17) С учетом кинематических соотношений (3) можно получить формулы для реакций связей: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 12 1 1 2 2 2 23 21 2 2 2 2 2 2 2 23 21 2 2 23 21 2 32 3 2 3 3 cos , sin , , cos cos , sin sin , 1 , 4 cos сц N m g T m s m g F t R i T T s m s r r R R r X T T Y m g T T r F T m s R N m g = α = − + α + ν = + − = β − α = + β + α = − = β (18) и дифференциальное уравнение движения системы ( ) 2 2 2 2 2 2 np r m s F t c s s R R ⎛ ⎞ ν = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (19) Уравнение (19) полностью совпадает с дифференциальным уравнением (11), что подтверждает правильность решения данной задачи. 187 3. Определение закона движения системы Дифференциальное уравнение (11) ( ) 2 0 2 sin s n s k s h pt + + = относится к классу линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение неоднород- ного дифференциального уравнения (11) складывается из общего решения s однородного уравнения 2 2 0. s n s k s + + = (20) соответствующего данному неоднородному уравнению, и частного решения * s , зависящего от правой части уравнения (11), т.е. s s s ∗ = + (21) Решение однородного уравнения (20) ищем в виде функции , t s A e χ = (22) где и A χ — неопределенные постоянные величины. Подставляя (22) в (20), получим: ( ) 2 2 2 0 t n k A e χ χ + χ + = Так как мы ищем нетривиальное решение, то 0 t Ae χ ≠ . Следовательно, должно выполняться условие 2 2 2 0 n k χ + χ + = Данное уравнение (характеристическое уравнение) имеет два корня: 2 2 1,2 n n k χ = − ± − Вид общего решения уравнения (20) зависит от типа корней его характе- ристического уравнения. Возможны следующие случаи: 1) n k < – корни характеристического уравнения комплексные сопряженные. Общее решение однородного уравнения имеет вид 188 ( ) ( ) 1 1 2 1 cos sin , nt s e A k t A k t − ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ (23) где 2 2 1 k k n = − , а 1 2 A , A — постоянные интегрирования. 2) n k > – корни характеристического уравнения действительные и различные. Общее решение однородного уравнения имеет вид ( ) 2 2 1 2 k t k t n t s e A e A e − − = + 2 2 2 k n k = − 3) n k = – корни характеристического уравнения кратные. Общее решение однородного уравнения имеет вид ( ) 1 2 nt s e A A t − = + В рассматриваемом случае 0 512 7 589 рад рад n , , k , с с = = . Поскольку n k < , то общее решение однородного уравнения (20) имеет вид. 1 1 2 1 sin( ) cos( ) nt s e A k t A k t − ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ или ( ) 0 1 0 sin nt s A e k t − = + α (24) Здесь 2 2 1 1 7.57 k k n с − = − = , а коэффициенты 0 1 2 0 , , , A A A α связаны между собой соотношениями ( ) ( ) 1 0 0 2 0 0 cos , sin A A A A = α = α Определим частное решение неоднородного дифференциального уравне- ния (11). Данное решение ищем в виде правой части ( ) ( ) * 1 2 sin cos s B pt B pt = + или ( ) * 0 0 sin , s B pt = − β (25) где коэффициенты 0 1 2 0 , , , B B B β связаны между собой соотношениями ( ) 2 2 0 1 2 0 2 1 , B B B arctg B B = + β = − Подставляя (25) в уравнение (11), найдем выражения для коэффициентов 1 2 , B B , а также 0 0 , B β : ( ) ( ) 2 2 0 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.084 , 0.002 , 4 4 B B k p n p h м м k p n p k p n p h − = = − − + − − + = = 189 ( ) 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0.084 , 0.029 4 np B h м arctg рад k p k p n p ⎛ ⎞ = = β = = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ − + Общее решение неоднородного уравнения (11) запишем в виде ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 2 sin sin cos nt s A e k t B pt B pt − = + α + + (26) Константы 0 A и 0 α определяются из начальных условий (12) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 0 2 1 2 1 1 0 2 0 0 0 2 1 1 0.034 1.866 A s B s n s n B B p м k k s B arctg рад s n s n B p B = − + + − − = − α = = + − − (27) Подставляя (27) в (26), получаем закон движения механизма, выражен- ный через перемещение груза ( ) ( ) 0.512 ( ) 0.034 sin 7.57 1.866 0.084 sin 0.5 0.029 , . t s t e t t м − = + + π + Из последней формулы следует, что движение системы представляет со- бой наложение двух движений: 1) собственного движения (первое слагаемое справа), которое представляет со- бой затухающие колебания частоты 1 7.57 рад k с = , так как множитель 0.512 0 t e − → при t →∞ ; 2) вынужденных колебаний постоянной амплитуды 0 0,084 B м = (второе сла- гаемое справа), происходящих с частотой возмущающей силы 0.5 рад p с = π , причем фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на величину 0 0,029 β = Поскольку по истечении некоторого промежутка времени собственное движение затухает, то определяющим движением системы являются вынуж- денные колебания. 190 4. Результаты расчетов Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована про- цедура вычисления закона движения груза, его скорости и ускорения, а также динамических реакций внешних и внутренних связей. Расчет механической системы с упругой связью 1. Ввод исходных данных c 2000 := ν 0.2 := F 0 10 := p π 2 := f сц 0.3 := g 9.81 := λ ПР 0.1 := s 0 0.03 := v 0 0.04 := α π 3 := β π 6 := m 3 3 := r 3 0.2 := m 2 2 := r 2 0.15 := R 2 0.3 := i 2 0.2 := m 1 1 := 2. Вычисление постоянных величин m np m 1 m 2 i 2 2 R 2 2 + 3 8 m 3 r 2 R 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 2 + := k 1 2 r 2 R 2 c m np := n ν 2 R 2 2 m np := k 1 k 2 n 2 − := B 0 F 0 m np 1 k 2 p 2 − ( ) 2 2 n p ( ) 2 + := β 0 atan2 k 2 p 2 − 2 n p , ( ) := A 0 s 0 B 0 sin β 0 ( ) + ( ) 2 1 k 1 2 v 0 B 0 cos β 0 ( ) p − n s 0 B 0 sin β 0 ( ) + ( ) + ⎡⎣ ⎤⎦ 2 + := α 0 atan2 v 0 B 0 cos β 0 ( ) p − n s 0 B 0 sin β 0 ( ) + ( ) + k 1 s 0 B 0 sin β 0 ( ) + ( ) , ⎡⎣ ⎤⎦ := 3. Определение функций Кинематические соотношения Закон движения груза 1 ( ) s t s t ( ) A 0 e n − t sin k 1 t α 0 + ( ) B 0 sin p t β 0 − ( ) + := 191 Скорость груза 1 ( ) v t v t ( ) A 0 e n − t k 1 cos k 1 t α 0 + ( ) n sin k 1 t α 0 + ( ) − ( ) B 0 p cos p t β 0 − ( ) + := Ускорение груза 1 ( ) a t a t ( ) F 0 m np sin p t ( ) 2 n v t ( ) − k 2 s t ( ) − := Реакции связей Сила натяжения нити ( ) 12 T t Сила натяжения нити ( ) 23 T t T 12 t ( ) m 1 g sin α ( ) F 0 sin p t ( ) + m 1 a t ( ) − := T 23 t ( ) T 12 t ( ) R 2 r 2 ν R 2 r 2 v t ( ) − m 2 i 2 2 R 2 r 2 a t ( ) − := Сила сцепления ( ) СЦ F t и величина ее предельного значения F сц t ( ) T 23 t ( ) m 3 r 2 4 R 2 a t ( ) − := F' сц f сц m 3 g cos β ( ) := Реакции опоры блока 2 ( ) ( ) 2 2 , X t Y t X 2 t ( ) T 23 t ( ) cos β ( ) T 12 t ( ) cos α ( ) − := Y 2 t ( ) m 2 g T 23 t ( ) sin β ( ) + T 12 t ( ) sin α ( ) + := 4. Результаты расчета m np 2.17 = k 7.589 = n 0.512 = k 1 7.572 = A 0 0.034 = α 0 1.866 = B 0 0.084 = β 0 0.029 = z 0.207 = λ CT 0.01 = F' сц 7.646 = Графики движения груза 1 ( ) s s t = и центра масс катка 3 ( ) 3 3 s s t = 0 2 4 6 8 10 12 0.1 0 0.1 λ ПР − λ ПР s t ( ) S 3 t ( ) t 192 Графики сил натяжения нитей ( ) ( ) 12 12 23 23 , T T t T T t = = 0 2 4 6 8 10 20 0 20 40 60 T 12 t ( ) T 23 t ( ) t Графики силы сцепления ( ) сц сц F F t = 0 2 4 6 8 10 12 20 0 20 40 60 F' сц − F' сц F сц t ( ) t Графики реакций опор блока 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 , X X t Y Y t = = 0 2 4 6 8 10 12 20 0 20 40 60 X 2 t ( ) Y 2 t ( ) t 193 5. Анализ результатов вычислений Математическая модель, описывающая поведение исследуемой механи- ческой системы, построена при следующих основных допущениях: • каток 3 движется без проскальзывания, т.е. модуль силы сцепления сц F под- чинен следующему ограничению 3 , сц сц сц F F f N ′ ≤ = где ( ) 3 3 cos сц сц сц F f N f m g ′ = = β — предельное значение силы сцепления; в нашем случае 7.65 сц F H ′ = ; • кинематические связи, наложенные систему, являются голономными (ин- тегрируемыми), поэтому нити при движении системы всегда натянуты, т. е. 12 0 T ≥ , 23 0 T ≥ ; • колебания системы являются линейными, т.е. предполагается, что удлине- ние пружины (перемещение центра масс катка 3) не превышает своего пре- дельного значения 3 пр s ≤ λ Анализ результатов расчета (в свете перечисленных требований к пове- дению механической системы) приводит к логическому выводу: так как в некоторые моменты времени силы натяжения (реак- ции) нитей 12 T , 23 T становятся отрицательными, а сила сце- пления сц F превышает свое предельное значение сц F′ , то ма- |