Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
Порядок выполнения работы 1. Выделить тело (элемент) или систему тел с заданными активными силами, равновесие которых будем рассматривать; 2. Используя аксиому освобождаемости от связей рассмотреть выбранное тело, как свободное, заменив действующие на него связи их реакциями; 3. Дать анализ действующей на тело или систему тел системы сил, выяснить статическую определимость задачи; 4. Записать условия равновесия и составить уравнения равновесия для вычис- ления: o всех реакций внешних и внутренних связей; o реакций указанных преподавателем (число уравнений равновесия должно быть равно числу вычисляемых реакций). 5. Найти реакции связей и осуществить проверку правильности составления уравнений равновесия. 6. Провести анализ и исследование полученного решения: o исследовать влияние расположения опор внешних связей на величины реак- ций внешних и внутренних связей. o выбрать такое расположение опор, при котором обеспечивается минималь- ные значения внешних или внутренних реакций. В процессе выполнения курсовой работы необходимо выработать сле- дующие навыки и умения: o определения связей, действующих на тело или систему тел; o составления уравнений равновесия для произвольного тела, входящего в систему тел и нахождения реакций связей; o решения поставленной задачи разными методами. 117 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Составная конструкция ABCD (рис. 1) находится в равновесии под дей- ствием распределенной нагрузки изменяющейся по линейному закону max q , сил 1 2 и F F , пар сил с моментами 1 2 и M M . Геометрические размеры всех звеньев известны. На конструкцию действуют внешние связи: в точке А – жесткая за- делка, а в точке B – неподвижный шарнир. Внутренней связью является втул- ка, расположенная в точке C Исследовать равновесие составной конструкции. Определить реакции внешних и внутренних связей, а также момент в заделке A и реакцию опоры B , состав- ляя минимально необходимое число уравнений равновесия. Рис. 1 Схема составной конструкции. Исходные данные max 10 q kH м = , 1 20 F kH = , 2 30 F kH = , 1 10 M kH м = , 2 15 M kH м = , 4 a м = , 3 b м = , 30 = α , 60 = β , 45 = γ 1 F β 2 M 2 F γ b a A D C α B b b max q 1 M 118 1. Определение реакций внешних и внутренних связей Рассмотрим равновесие всей конструкции, освободив ее от связей в точ- ках A и B (рис. 2). Рис. 2 Расчетная схема для всей конструкции. На рис. 2 обозначено: , A A X Y — составляющие реакции A R заделки A ( ) 2 2 A A A R X Y = + ; A M — момент в заделке A ; , B B X Y — составляющие реакции B R шарнира B ( ) 2 2 B B B R X Y = + ; Q — равнодействующая распределенной нагрузки, модуль которой равен max 1 20 2 Q q a kH = = Конструкция находится в равновесии под действием произвольной пло- ской системы сил, для которой можно записать три независимых условия рав- новесия, например: ( ) 0, 0, 0 kx ky A k k k k F F M F = = = ∑ ∑ ∑ . (32) Неизвестных реакций, действующих на конструкцию – 5 ( ) , B B X Y , B Y B X Q x y 3 a A Y A X A M 1 F β 2 M 2 F γ b a A D C α B b b 1 M 119 ( ) , , A A A X Y M и решить задачу определения реакций с помощью уравнений рав- новесия соответствующих условиям (32) невозможно. Поэтому расчленим кон- струкцию по внутренней связи в точке C и рассмотрим равновесие каждого те- ла (балка BC и балка ACD ) отдельно. Расчетные схемы тел изображены на рис. 3. На балку ACD действует реакция внутренней связи C R со стороны бал- ки BC . На балку BC кроме активных сил и реакций внешних связей действует реакция внутренней связи C R ′ со стороны балки ( ) C C ACD R R ′ = − Рис. 3 Расчетная схема для звеньев конструкции: а) балка BC , б) балка ACD . Балка BC (рис. 3 а) находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил. Для определения трех неизвестных реакций ( ) , , B B C X Y R′ можно записать три независимых условия равновесия, например: ( ) 0, 0, 0 kx ky B k k k k F F M F = = = ∑ ∑ ∑ . (33) Балка ACD (рис. 3 б) находится в равновесии под действием произволь- ной плоской системы сил. Для определения трех оставшихся неизвестных реак- 1 F α B b b C R′ x y B Y B X β 1 M ) a C a A 2 M Q A Y A X 3 a A M C R 2 F γ b C D ) б 120 ций ( ) , , A A A X Y M можно также записать три независимых условия равновесия, например: ( ) 0, 0, 0 kx ky A k k k k F F M F = = = ∑ ∑ ∑ . (34) Задача нахождения реакций связей в этом случае становится статически определимой и ее можно решить, составив 6 уравнений соответствующих усло- виям равновесия (33) и (34): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 Звено 0 cos 0, 0 sin , 0 2 cos sin 0; Звено 0 cos 0, 0 sin 0, 0 sin 0. 3 kx B k ky B C k B k C k kx A k ky A C k A k A C k BC F X F F Y R F M F M R b F b ACD F X F F Y Q R F a M F M Q R a M F a b = − β − α = ′ = − + β − α ′ = + α − β = = − γ = = − + − γ = = − + − − γ + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (35) Решая систему уравнений (35) и учитывая, что значения C C R R′ = , полу- чим ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 sin 11.925 , 2cos 2 cos cos 17.321 , sin 2 sin 1.925 , 2cos 2 cos cos 21.213 , sin 29.289 , sin 139.128 3 C B B C A A C A C M R F kH b X F kH M Y R F F kH b X F kH Y Q R F kH a M Q R a M F a b kH м = − = = − = − = − − = − = = = = − + = = − + + + = β α α β α α β β α α α γ γ γ (36) Кроме этих уравнений равновесия можно составить и другие 6 уравнений для условий равновесия (32) и (33) или (32) и (34), рассмотрев, например, схе- мы на рис. 2 и рис.3 а или рис. 2 и рис.3 б соответственно. 121 2. Определение , , A B B M X Y оптимальным способом Для нахождения реакций , B B X Y и момента в заделке A M оптимальным способом рассмотрим расчетные схемы, представленные на рис. 2 и рис. 3. Расчетная схема, представленная на рис. 2, содержит все три неизвест- ных, подлежащих определению – момент в заделке A M и реакции , B B X Y . Од- нако только одно из уравнений равновесия составленных для конструкции ABCD будет содержать искомые величины ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 sin 2 sin 3 2 cos cos sin sin ( cos ) 0 A k A B k B a M F M Q M F a b X b Y a b F b F a b = − − − + − + + + + − + + − + = ∑ γ α α β α α β α α (37) Расчетная схема, представленная на рис. 3 а, содержит все две неизвест- ных, подлежащих определению – реакции , B B X Y . Для балки BC можно соста- вить два уравнения равновесия которые будут содержать искомые величины ( ) ( ) 1 1 1 0 cos 0, 0 sin 2 sin 2 cos 0. kx B k C k B B k F X F M F M F b X b Y b = − β − α = = + β − α + α = ∑ ∑ (38) Система уравнений (37) – (38) содержит только те неизвестные, которые нужно определить. Из первого уравнения системы (38) найдем реакцию B X ( ) 1 cos 17.321 B X F kH = β − α = Из второго уравнения системы (38) – реакцию A Y ( ) 1 1 1 1 sin 2 sin sin 1.925 cos 2cos 2 cos 2cos 2 cos B B M M Y X F F kH b b α − β α β = − − = − = α α α α α Из уравнения (37) – момент в заделке A M ( ) ( ) 2 2 1 sin 2 sin ( 2 cos ) 3 sin sin 139.128 A B B a M Q M F a b X b Y a b F b a kH = + + + + − + − + − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ γ α α β β α 122 Расчетная схема, представленная на рис. 3 б, содержит только одну неиз- вестную, подлежащую определению – момент в заделке A M . Любое из уравне- ний равновесия составленных для балки ACD будет содержать неизвестные, которые определять не нужно. Поэтому равновесие балки ACD рассматривать не требуется. 3. Альтернативное расположение опор внешних связей Пусть в данной задаче требуется выбрать оптимальную схему располо- жения опор внешних связей, обеспечивающих минимальное значение реакции внутренней связи (втулка C ). Для исследования влияния расположения опор внешних связей на вели- чины реакции внутренней связи рассмотрим равновесие конструкции ABCD с другим расположением опор: в точке A – неподвижная шарнирная опора; в точке B – жесткая заделка (рис. 4). Рис. 4 Конструкция с альтернативным расположением опор внешних связей. Расчленим конструкцию по внутренней связи в точке C и рассмотрим равновесие каждого тела (балка BC и балка ACD ) отдельно. Расчетные схемы тел изображены на рис. 5. На балку ACD (рис. 5 б) кроме активных сил: равнодействующей рас- пределенной нагрузки Q , силы 2 F и пары сил с моментом 2 M действует реак- 1 F β 2 M 2 F γ b a A D C α B b b max q 1 M 123 ция C R втулки C со стороны балки BC и реакции неподвижной шарнирной опоры , A A X Y . Балка ACD находится в равновесии под действием произвольной пло- ской системы сил и для ее равновесия можно записать три независимых усло- вия равновесия, например: ( ) 0, 0, 0. kx ky A k k k k F F M F = = = ∑ ∑ ∑ (39) На балку BC (рис. 5 а) кроме активных сил: силы 1 F и пары сил действу- ет реакция C R ′ втулки C со стороны балки ( ) C C ACD R R ′ = − и реакции жесткой заделки , , B B B X Y M Рис. 5. Расчетная схема для звеньев конструкции. Балка CB , как и балка ACD , находится в равновесии под действием про- извольной плоской системы сил и для ее равновесия можно записать три неза- висимых условия равновесия, например: ( ) 0, 0, 0. kx ky B k k k k F F M F = = = ∑ ∑ ∑ (40) ) a a A D 2 M Q A Y A X 3 a C R C 1 F γ b x y C α B b b C R′ B Y B X 1 F β 1 M B M ) б 124 Задача нахождения 6 реакций связей в этом случае становится статически определимой и ее можно решить, составив 6 уравнений соответствующих усло- виям равновесия (39) и (40): ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 Звено 0 cos 0, 0 sin 0, 0 sin 0; 3 Звено 0 cos 0, 0 sin , 0 2 cos sin 0. kx A k ky A C k A k C k kx B k ky B C k B k B C k ACD F X F F Y Q R F a M F R a Q M F a b BC F X F F Y R F M F M M R b F b = − γ = = − + − γ = ′ = − − − γ + = = − β − α = = − + β − α = + + α − β = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (41) Окончательную проверку правильности составления уравнений равнове- сия (35) и (41), а также их решения осуществим далее с помощью пакета Math- cad. При выполнении курсовой работы исследование влияния расположения опор внешних связей на значения реакций провести только для задач 1хх, 2хх и 3хх. Для задачи 4хх достаточно осуществить проверку составления уравнений равновесия и вычислить значения реакций связей. 125 4. Результаты расчетов Решения систем линейных алгебраических уравнений (35) и (41) не слож- но реализовать в пакете Mathcad, в котором для этого существует несколько способов [1, 10]. Так как кроме решения системы линейных алгебраических уравнений, требуется осуществить проверку их составления, воспользуемся возможностями символьных вычислений Mathcad. Численное решение полу- ченных уравнений произведем с помощью блока решения Given Find − Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализованы про- цедуры составления уравнений равновесия, а также вычисления реакций внеш- них и внутренних связей конструкции в символьном и численном виде. Расчет составной конструкции согласно расчетной схеме представленной на рис. 3. Символьное решение 1. Задание векторов, определяющих положения точек приложения сил (Начало системы координат совмещаем с точкой А) ORIGIN 1 := rA 0 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ := rQ 2 3 a 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := a rC a 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ := a rD a b + 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ := a rF a b cos α ( ) ⋅ + b sin α ( ) ⋅ 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ := a rB a 2 b ⋅ cos α ( ) ⋅ + 2 b ⋅ sin α ( ) ⋅ 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ := a 2. Задание векторов сил и моментов пар сил, действующих на конст- рукцию Q_ 0 Q − 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ := Q F1 F1 − cos β α − ( ) ⋅ F1 sin β α − ( ) ⋅ 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := F1 F2 F2 − cos γ ( ) ⋅ F2 − sin γ ( ) ⋅ 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := F2 M1 0 0 M1 − ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := M1 M2 0 0 M2 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := M2 MA 0 0 MA ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := MA RA XA YA 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := XA RB XB YB 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := XB 126 RC 0 RC 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := RC RC' 0 RC − 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := RC 3. Составление уравнений равновесия для звеньев конструкции Формирование главного вектора и главного момента внешних сил: для балки AD: P_AD RA Q_ + RC + F2 + := RA M_ADA MA rQ Q_ × + rC RC × + M2 + rD F2 × + := MA для балки BС: P_BC RC' F1 + RB + := RC' M_BCC M1 rB rC − ( ) RB × + rF rC − ( ) F1 × + := M1 Составление уравнений равновесия: для балки AD: P_AD 1 0 simplify XA F2 cos γ ( ) ⋅ − 0 → P_AD 2 0 simplify RC Q − YA + F2 sin γ ( ) ⋅ − 0 → M_ADA 3 0 simplify M2 MA + 2 Q ⋅ a ⋅ 3 − RC a⋅ + F2 a⋅ sin γ ( ) ⋅ − F2 b ⋅ sin γ ( ) ⋅ − 0 → для балки BС: P_BC 1 0 simplify XB F1 cos β α − ( ) ⋅ − 0 → P_BC 2 0 simplify YB RC − F1 sin β α − ( ) ⋅ + 0 → M_BCC 3 0 simplify 2 YB ⋅ b ⋅ cos α ( ) ⋅ 2 XB ⋅ b ⋅ sin α ( ) ⋅ − M1 − F1 b ⋅ sin β ( ) ⋅ + 0 → 4. Решение уравнений равновесия с помощью блока Given - Find XA YA MA RC XB YB ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) := Given XA F2 cos γ ( ) ⋅ − 0 RC Q − YA + F2 sin γ ( ) ⋅ − 0 M2 MA + 2 Q ⋅ a ⋅ 3 − RC a⋅ + F2 a⋅ sin γ ( ) ⋅ − F2 b ⋅ sin γ ( ) ⋅ − 0 XB F1 cos β α − ( ) ⋅ − 0 YB RC − F1 sin β α − ( ) ⋅ + 0 2 YB ⋅ b ⋅ cos α ( ) ⋅ 2 XB ⋅ b ⋅ sin α ( ) ⋅ − M1 − F1 b ⋅ sin β ( ) ⋅ + 0 127 Find XA YA MA RC XB YB ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ simplify F2 cos γ ( ) ⋅ Q F2 sin γ ( ) ⋅ + F1 sin β ( ) ⋅ 2 cos α ( ) ⋅ − M1 2 b ⋅ cos α ( ) ⋅ − 2 Q ⋅ a ⋅ 3 M2 − F2 a⋅ sin γ ( ) ⋅ + F2 b ⋅ sin γ ( ) ⋅ + M1 a⋅ 2 b ⋅ cos α ( ) ⋅ − F1 a⋅ sin β ( ) ⋅ 2 cos α ( ) ⋅ − M1 F1 b ⋅ sin β ( ) ⋅ + 2 b ⋅ cos α ( ) ⋅ F1 cos β α − ( ) ⋅ M1 F1 b ⋅ sin β 2 α ⋅ − ( ) ⋅ − 2 b ⋅ cos α ( ) ⋅ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ → Численное решение 1. Ввод исходных данных ORIGIN 1 := qmax 10 := F1 20 := F2 30 := M1 10 := M2 15 := a 4 := b 3 := α π 6 := β π 3 := γ π 4 := Q 1 2 qmax ⋅ a ⋅ := 2. Решение уравнений равновесия с помощью блока Given – Find Уравнения равновесия должны быть скопированы в блок Given XA YA MA RC XB YB ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) := Given XA F2 cos γ ( ) ⋅ − 0 RC Q − YA + F2 sin γ ( ) ⋅ − 0 M2 MA + 2 Q ⋅ a ⋅ 3 − RC a⋅ + F2 a⋅ sin γ ( ) ⋅ − F2 b ⋅ sin γ ( ) ⋅ − 0 XB F1 cos β α − ( ) ⋅ − 0 YB RC − F1 sin β α − ( ) ⋅ + 0 2 YB ⋅ b ⋅ cos α ( ) ⋅ 2 XB ⋅ b ⋅ sin α ( ) ⋅ − M1 − F1 b ⋅ sin β ( ) ⋅ + 0 XA YA MA RC XB YB ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Find XA YA MA RC XB YB ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := XA YA MA RC XB YB ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 21.213 29.289 139.128 11.925 17.321 1.925 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = |