Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
2. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов Метод вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению равновесия каждого узлового соединения фермы. Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни – арабскими (рис. 3). Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соеди- нения связями. Отбросим связи и заменим их действия реакциями – усилиями в стержнях, которые будем обозначать символом , 1,13 k S k = . На рис. 3 показа- ны пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реак- 77 тивными силами. Здесь учтена аксиома о равенстве сил действия и противодействия, т. е. k k S S ′ = − . Реактивные силы изображены на рис. 3 в пред- положении, что стержни растянуты, т. е. направлены от узлов. Тогда реакция будет положительной, если стержень растянут, и отрицательной, если он сжат. Рис. 3 Расчетная схема для нахождения усилий в стержнях фермы. Рассмотрим теперь равновесие узлов фермы. Системы сил, действующие на каждый узел, являются сходящимися плоскими системами сил. Равновесие таких систем сил возможно, если их равнодействующая равна нулю. Это усло- вие можно записать в виде 0, 0. kx ky k k F F = = ∑ ∑ Так как в каждом рассматриваемом узле должно быть не более двух неиз- вестных реакций, выберем следующую последовательность решения ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I II III V IV VI VII VIII → → → → → → → Составим уравнения равновесия для каждого из узлов и последовательно най- дем реакции стержней фермы. Узел I 1 2 2 0 sin cos 0, 0 cos sin 0. kx A k ky A k F R S S F R S = ϕ + + α = ∑ = ϕ + α = ∑ (2) Из уравнений (2) с учетом найденных ранее реакций внешних связей b a a a a y x II 2 P 1 s ′ 4 s 3 s 8 s ′ 12 s 11 s ′ VI 3 P β 1 P V 10 s 7 s 6 s ′ 1 s 2 s ϕ A R I α 9 s ′ 10 s ′ 11 s 13 s VII α 4 s ′ 8 s 5 s ′ 9 s 7 s ′ IV α B X 13 s ′ 12 s ′ VIII B Y α III 5 s 6 s 3 s ′ 2 s ′ 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 78 найдем реакции 1 2 и S S : ( ) ( ) 1 2 cos 10 3 3 12.68 , sin cos 20 3 34.64 sin A A S R kH kH S R kH kH ϕ + α = = − − = − α ϕ = − = − = − α Узел II 1 4 3 2 0 0, 0 0. kx k ky k F S S F S P = − + = ∑ = − = ∑ (3) Из уравнений (3), с учетом (2) ( ) 3 2 4 1 30 , 10 3 3 12.68 S P kH S S kH kH = = = = − − = − Узел III 2 5 6 2 5 3 0 cos cos 0, 0 sin sin 0. kx k ky k F S S S F S S S = − α + α + = ∑ = − α − α − = ∑ (4) Из уравнений (4), с учетом (2) и (3) ( ) 5 2 3 6 2 5 1 0 , cos 10 3 17.32 sin S S S kH S S S kH kH = − − = = − α = − = − α Узел V 10 6 1 7 1 0 cos 0, 0 sin 0; kx k ky k F S S P F S P = − + β = ∑ = − − β = ∑ (5) Из уравнений (5), с учетом (4) 7 1 10 6 1 sin 10 , cos 20 3 34.64 S P kH S S P kH kH = − β = − = − β = − = − Узел IV 8 4 5 9 7 5 9 0 cos cos 0, 0 sin sin 0; kx k ky k F S S S S F S S S = − − α + α = ∑ = + α + α = ∑ (6) Из уравнений (6), с учетом (5) ( ) 9 5 7 8 4 5 9 1 3 20 11.55 , sin 3 3 cos 10 2 3 18.45 3 S S S kH kH S S S S kH kH = − − = = α ⎛ ⎞ = + − α = − = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 79 Узел VI 8 12 11 3 0 0, 0 0; kx k ky k F S S F S P = − + = ∑ = − = ∑ (7) Из уравнений (7), с учетом (6) 11 3 12 8 40 , 3 10 2 3 18.45 3 S P kH S S kH kH = = ⎛ ⎞ = = − = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Узел VII 10 13 9 11 13 9 0 cos cos 0, 0 sin sin 0; kx k ky k F S S S F S S S = − + α − α = ∑ = − − α − α = ∑ (8) Из первого уравнения системы (8), с учетом (5) и (6) 13 9 10 1 3 100 57.74 cos 3 S S S kH kH = + = − = − α Узел VIII 12 13 13 0 cos 0, 0 sin 0; kx B k ky B k F S S X F S Y = − − α + = ∑ = α + = ∑ (9) Последнее уравнение системы (8) и уравнения (9) могут служить, при найденных ранее реакциях внешних связей, проверочными. Действительно 11 13 9 12 13 13 3 3 3 3 sin sin 0 40 100 20 0, 3 2 3 2 3 3 1 cos 0 20 30 100 30 10 3 0, 3 3 2 3 3 sin 0 100 50 0. 3 2 B B S S S S S X S Y − − α − α = ⇒ − + − ≡ − − α + = ⇒ − + + − − ≡ α + = ⇒ − + ≡ Результаты расчета сведем в таблицу. Реакция стержня 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S Значение реакции, kH -12,68 -34,64 30,00 -12,68 0 -17,32 -10,00 -18,45 11,55 -34,64 40,00 -18,45 -57,74 80 Отрицательные значения реакций стержней 1, 2, 4, 6, 7, 8,10,12 и13 пока- зывают, что направления этих реакций противоположны принятым на расчет- ной схеме и, следовательно, они сжаты. Стержни при некоторых значениях сжимающих усилий могут потерять прямолинейную форму (изогнуться) и при дальнейших расчетах их необходимо проверять помимо прочности еще и на ус- тойчивость. Значения реакций стержней 3, 9 и 11 положительны. Следователь- но, эти стержни растянуты. Реакция стержня 5 равна нулю. Этот стержень не- нагружен: он требуется для придания ферме необходимой жесткости – геомет- рической неизменяемости системы. Выбор последовательности расчета, предложенной для нахождения ис- комых реакций, обусловлен тем, что решение уравнений равновесия (2) – (9) осуществлялось в зависимости от найденных на предыдущем этапе решений, т. е. «вручную». Такая последовательность неединственная. Можно указать и другие последовательности решения, например ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I II III V IV VII VI VIII → → → → → → → и т. д. При использовании метода вырезания узлов можно обойтись без предва- рительного нахождения реакций внешних связей (реакций опор фермы). Дейст- вительно, статически определенная и геометрически неизменяемая ферма со- держит 2 3 n − стержня, где n – число узлов; так как три уравнения необходимы для нахождения реакций опор, то для вычисления всех неизвестных сил (реак- ций опор и реакций стержней) нужно 2n уравнений. Применительно к рассматриваемой ферме имеем 8 узлов и 16 неизвест- ных величин ( ) , 1,13; , , k A B B S k R X Y = . Рассмотрев равновесие всех узлов фермы, получим замкнутую систему 16 линейных алгебраических уравнений (2) – (9), относительно 16 неизвестных величин (реакций внешних и внутренних связей). Уравнения (1), в этом случае, могут служить для проверки расчета: при подстановке в них найденных значений реакций опор они должны обратиться в тождества. 81 Такой подход эффективен при использовании вычислительной техники, которая позволяет легко решать большие системы линейных алгебраических уравнений. Поэтому в задачах нахождения реакций внешних и внутренних связей для ферм, выполненных по схемам 2 и 3, ограничимся составлением только урав- нений равновесия, а их решение выполним с помощью пакета Mathcad (п. 4). Схема №2 а) б) Рис. 4 Расчетная схема для фермы, выполненной по схеме № 2. Рассмотрим мостовую ферму ABCD (рис. 4 а), которая находится в рав- b a a a a β 1 P 3 P 2 P B A ϕ C D b a a a a y x II 2 P 1 s ′ 4 s 3 s 8 s ′ 12 s 11 s ′ VI 3 P β 1 P V 10 s 7 s 6 s ′ 1 s 2 s ϕ B R I α 9 s ′ 10 s ′ 11 s 13 s VII α 4 s ′ 8 s 5 s ′ 9 s 7 s ′ IV α A X 13 s ′ 12 s ′ VIII A Y α III 5 s 6 s 3 s ′ 2 s ′ 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 82 новесии под действием активных сил 1 P , 2 P , 3 P и связей приложенных в точках A и B . В точке А расположена неподвижная шарнирная опора, в точке В – катковая опора, угол наклона опорной плоскости которой равен ϕ Как и ранее, воспользуемся для нахождения реакций внешних и внутрен- них связей методом вырезания узлов. Рассмотрим равновесие каждого узла фермы. Отбросим связи и заменим их действия реакциями: внутренними – , 1,13 k S k = и внешними – , и A A B X Y R (рис. 4 б). Записывая уравнения равно- весия для каждого узла, получим Узел I 1 2 2 0 cos 0, 0 sin 0. kx A k ky A k F X S S F Y S = + + α = ∑ = + α = ∑ (10) Узел II 1 4 3 2 0 0, 0 0. kx k ky k F S S F S P = − + = ∑ = − = ∑ (11) Узел III 2 5 6 2 5 3 0 cos cos 0, 0 sin sin 0. kx k ky k F S S S F S S S = − α + α + = ∑ = − α − α − = ∑ (12) Узел IV 8 4 5 9 7 5 9 0 cos cos 0, 0 sin sin 0; kx k ky k F S S S S F S S S = − − α + α = ∑ = + α + α = ∑ (13) Узел V 10 6 1 7 1 0 cos 0, 0 sin 0; kx k ky k F S S P F S P = − + β = ∑ = − − β = ∑ (14) Узел VI 8 12 11 3 0 0, 0 0; kx k ky k F S S F S P = − + = ∑ = − = ∑ (15) Узел VII 10 13 9 11 13 9 0 cos cos 0, 0 sin sin 0; kx k ky k F S S S F S S S = − + α − α = ∑ = − − α − α = ∑ (16) Узел VIII 12 13 13 0 cos sin 0, 0 sin cos 0; kx B k ky B k F S S R F S R = − − α − ϕ = ∑ = α + ϕ = ∑ (17) 83 Уравнения (10) – (17) является замкнутой системой 16 линейных алгебраических уравнений относительно 16 неизвестных реакций , , A A B X Y R и , 1,13 k S k = Схема №3 а) б) Рис. 5 Расчетная схема для фермы, выполненной по схеме № 3. Рассмотрим мостовую ферму ABCD (рис. 5 а), которая находится в рав- новесии под действием активных сил 1 P , 2 P , 3 P и связей приложенных в точках , A B и C . В точке А расположена катковая опора, угол наклона опорной плос- кости которой равен ϕ , в точке В – горизонтальная катковая опора, а в точке C – невесомый стержень. b a a a a β 1 P 3 P 2 P B A ϕ C D b a a a a y x II 2 P 1 s ′ 4 s 3 s 8 s ′ 12 s 11 s ′ VI 3 P β 1 P V 10 s 7 s 6 s ′ 1 s 2 s ϕ A R I α 9 s ′ 10 s ′ 11 s 13 s VII α 4 s ′ 8 s 5 s ′ 9 s 7 s ′ IV α 13 s ′ 12 s ′ VIII B R α III 5 s 6 s 3 s ′ 2 s ′ 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 C R 84 Воспользуемся для нахождения реакций внешних и внутренних связей методом вырезания узлов. Рассмотрим равновесие каждого узла фермы. Отбро- сим связи и заменим их действия реакциями: внутренними – , 1,13 k S k = и внешними – , и A B C R R R (рис. 5 б). Записывая уравнения равновесия для каждо- го узла, получим Узел I 1 2 2 0 sin cos 0, 0 cos sin 0. kx A k ky A k F R S S F R S = ϕ + + α = ∑ = ϕ + α = ∑ (18) Узел II 1 4 3 2 0 0, 0 0. kx k ky k F S S F S P = − + = ∑ = − = ∑ (19) Узел III 2 5 6 2 5 3 0 cos cos 0, 0 sin sin 0. kx k ky k F S S S F S S S = − α + α + = ∑ = − α − α − = ∑ (20) Узел IV 8 4 5 9 7 5 9 0 cos cos 0, 0 sin sin 0; kx k ky k F S S S S F S S S = − − α + α = ∑ = + α + α = ∑ (21) Узел V 10 6 1 7 1 0 cos 0, 0 sin 0; kx k ky k F S S P F S P = − + β = ∑ = − − β = ∑ (22) Узел VI 8 12 11 3 0 0, 0 0; kx k ky k F S S F S P = − + = ∑ = − = ∑ (23) Узел VII 10 13 9 11 13 9 0 cos cos 0, 0 sin sin 0; kx C k ky k F S S S R F S S S = − + α − α + = ∑ = − − α − α = ∑ (24) Узел VIII 12 13 13 0 cos 0, 0 sin 0; kx k ky B k F S S F S R = − − α = ∑ = α + = ∑ (25) Уравнения (18) –(25) является замкнутой системой 16 линейных алгеб- раических уравнений относительно 16 неизвестных реакций , , A B C R R R и , 1,13 k S k = 85 3. Определение усилий методом Риттера Метод Риттера (метод сечений) в общем случае предполагает предвари- тельное определение реакций опор фермы. Этот метод позволяет оперативно найти реакцию конкретного стержня, не вычисляя реакции других стержней. При этом должна существовать возможность рассечения фермы на две части по трем стержням, среди которых находится искомый стержень. Отбросив ту часть фермы, на которую действует больше сил, рассматривают равновесие остав- шейся части. Для произвольной плоской системы сил составляют такие уравне- ния равновесия, в которые входит только одна неизвестная реакция. Обычно, для этого используют третью основную форму условий равновесия: уравнения моментов сил относительно точек пересечения линий действия двух неизвест- ных сил (точки Риттера). В тех случаях, когда реакции двух стержней парал- лельны (точка Риттера находится в бесконечности) составляют уравнение рав- новесия в виде проекций сил на ось перпендикулярную этим стержням. В качестве проверки найденного ранее решения, вычислим реакции в стержнях 4, 5, 6 (рис. 6), а также в стержнях 8, 11 и 13 (рис. 7). Рис. 6 Расчетная схема для определения реакций 4 5 6 , , S S S . Для определения реакций стержней 4, 5 и 6 проведем сечение A A − по этим стержням, и рассмотрим равновесие левой части фермы. Расчетная схема изображена на рис. 6. На левую часть фермы действуют известные силы 2 , A P R , b a a a a y x II 2 P 4 s VI V ϕ A R I α VII α IV α VIII α III 5 s 6 s А А 86 а также реакции отброшенной части 4 5 6 , , S S S . Для нахождения реакции 4 S составим уравнение моментов относительно узла III , в котором пересекаются линии действия сил 5 6 и S S (точка Риттера): ( ) 4 0 cos sin 0. III k A A k M F S b R a R b = − ϕ + ϕ = ∑ (26) Стержни 4 и 6 параллельны. Поэтому для нахождения реакции 5 S незави- симо от реакций 4 6 и S S составим уравнение проекций сил на ось перпендику- лярную параллельным стержням 5 2 0 cos sin 0. ky A k F R S P = ϕ − α − = ∑ (27) Чтобы найти реакцию 6 S независимо от реакций 4 5 и S S , составим урав- нение моментов относительно узла IV , в котором пересекаются линии дейст- вия сил 4 5 и S S : ( ) 2 6 0 cos 2 0. IV k A k M F P a R a S b = − ϕ − = ∑ (28) Из уравнения (26) ( ) 4 2 1 cos sin 30 2 1 10 3 3 12.68 2 3 A a S R kH kH b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ϕ − ϕ = − = − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Из уравнения (27) ( ) 5 2 1 2 2 cos 30 2 30 0 sin 2 3 A S R P kH ⎛ ⎞ = ϕ − = − = ⎜ ⎟ α ⎝ ⎠ Из уравнения (28) ( ) 6 2 1 2 2 cos 30 2 30 2 10 3 17.32 2 3 A a S P R kH kH b ⎛ ⎞ = − ϕ = − ⋅ = − = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Для определения реакций стержней 8, 11 и 13 проведем сечение Б Б − , и рассмотрим равновесие правой части фермы. Расчетная схема изображена на рис. 7, левая часть отброшена. На правую часть фермы действуют известные силы 3 , и B B P X Y , а также реакции отброшенной части 8 11 13 , , S S S ′ ′ ′. 87 Рис. 7 Расчетная схема для определения реакций 8 11 13 , , S S S . Для нахождения реакций 8 11 13 , , S S S ′ ′ ′ составим уравнения моментов отно- сительно точек Риттера , и VI VII VIII соответственно: ( ) 13 0 sin 0 VI k B k M F S a Y a = α + = ∑ , (29) ( ) 8 0 0 VII k B B k M F X b Y a S b = + − = ∑ (30) ( ) 3 11 0 0 VIII k k M F P a S a = − = ∑ (31) Из уравнения (29) 13 2 50 57.74 sin 3 B Y S kH kH = − = − = − α Из уравнения (30) 8 20 30 3 18.45 3 B B a S X Y kH kH b − = + = = − Из уравнения (31) 11 3 40 S P kH = = Значения реакций стержней 4, 5, 6, 8, 11 и 13, полученные методом Рит- тера, полностью совпадают со значениями этих реакций полученных методом вырезания узлов. b a a a a y x II 8 s ′ 11 s ′ VI 3 P V I α VII α IV α B X 13 s ′ VIII B Y α III Б Б |