Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
Построение плана скоростей и ускорений в пакете Mathcad Приведем еще один способ построения планов скоростей и ускорений, который может быть использован и для визуализации схем рассчитываемых механизмов (рис. 11, 12). Данный метод подробно описан в работе [1], поэтому его реализацию в пакете Mathcad не приводим. T T 10 := T 6.5 = φ 0 T ( ) deg 65 = 1.5 1 0.5 0 0.5 1 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 Plv y T ( ) Lv y T ( ) Iv y Plv x T ( ) Lv x T ( ) , Iv x , Рис. 11. План скоростей для механизма 46 T T 10 := T 6.5 = φ 0 T ( ) deg 65 = 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 Pla y T ( ) La y T ( ) Ia y Pla x T ( ) La x T ( ) , Ia x , Рис. 12. План ускорений для механизма Графические методы позволяют построить планы скоростей и ускорений только для заданного положения ведущего звена. Применение вычислительной техники позволило производить построение указанных планов для любого по- ложения механизма. Это позволяет произвести качественную и количествен- ную оценку полей скоростей и ускорений любых точек механизма, определить те положения механизма, в которых скорости и ускорения точек принимают экстремальные значения. А затем, при необходимости, изменить, соответст- вующим образом его геометрические размеры. 47 4. Определение кинематических характеристик механиз- ма в заданном положении с помощью теорем сложного движения точки Изобразим механизм в заданном положении (рис. 13), при значении угла поворота ведущего звена OA – 65 k ϕ = °, в выбранном масштабе длин – L M . Изображенный на рисунке механизм составлен из двух базовых механизмов: шарнирного четырехзвенника 1 OABO и кривошипно-шатунного механизма 1 O CD , в каждом из которых шатуны AB и CD совершают плоское движение, а кривошипы OA и 1 O C вращательное движение вокруг неподвижных осей Oz и 1 O z соответственно. Определим, измерив в масштабе длины L M , положения узловых точек базовых механизмов: 1 1 1 15 , 48 , 102 , 25 , 35.5 , 68 OA см OM см OB см O C см O K см O D см = = = = = = Для нахождения скоростей и ускорений этих точек, а также угловых ско- ростей и ускорений звеньев представим плоское движение шатунов AB и CD в виде двух вращений. В качестве переносного вращения примем: o для шатуна AB – вращение вместе с кривошипом OA вокруг неподвижной оси Oz с переносной угловой скоростью 1 0 18 e AB c − π ω = ω = ; o для шатуна CD – вращение вместе с кривошипом 1 O C вокруг неподвижной оси 1 O z с неизвестной пока переносной угловой скоростью 2 e CD ω = ω . Относительным вращением в этом случае является: o для шатуна AB – вращение звена вокруг подвижной оси Az с относитель- 48 ной угловой скоростью r AB ω ; o для шатуна CD – вращение звена вокруг подвижной оси Cz с относитель- ной угловой скоростью r CD ω ; Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей при переносном враща- тельном движении Так как закон движения кривошипа OA задан, а для шарнира B известна траектория движения, вычисление скоростей начинаем с точки B , вектор ско- рости которой, определим согласно теореме о сложении скоростей при состав- ном движении: e r B B B v v v = + (1) где 0 17.8 , e e B AB см v OB OB с = ω = ω = e B v OB ⊥ – переносная скорость точки B , ? , r r B AB v OB = ω = r B v AB ⊥ – относительная скорость точки B , ?, B v = 1 B v O B ⊥ – абсолютная скорость точки B . Направление переносной скорости e B v , определяется направлением угло- вой переносной скорости и показано на рис.13. Решение уравнения (1) найдем графически, построив векторный тре- угольник скоростей (рис.13). Для этого, из точки B проводим вектор переносной скорости – e B v Из конца вектора e B v проводим линию, перпендикулярную звену AB , ха- рактеризующую возможное направление вектора относительной скорости r B v . Из точки B проводим перпендикуляр к кривошипу 1 O B , который опре- деляет возможное направление абсолютной скорости шарнира B , до пересече- 49 ния с прямой, характеризующей направление вектора r B v . Точка пересечения данных прямых определяет концы неизвестных векто- ров относительной r B v и абсолютной B v скорости шарнира B . Рис. 13. Определение скоростей точек механизма Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом скоростей, получаем 1 5.4 , 22.4 , 0.2306 r r r B B B AB v см см v v c с с AB − = = ω = = A 1 ω M r v B v C v 2 ω 3 ω M e v D v M v D e v D r v K e v K r v B e v B r v A v 0 ω C K M B O 1 O OB ⊥ CD ⊥ CD ⊥ 1 O B ⊥ AB ⊥ AB ⊥ OM ⊥ 1 O K ⊥ 1 O D ⊥ 5 L см M см = 0.75 V см с M см = K v D AB P CD P r CD ω r AB ω 50 Направление относительной угловой скорости шатуна AB , определяемое направлением относительной скорости точки B – r B v , показано на рис. 13. Так как относительная r AB ω и переносная e AB ω угловые скорости направлены в разные стороны, то абсолютная угловая скорость AB ω звена AB равна 1 1 0.056 e r AB AB AB c − ω = ω = ω − ω = − Знак " " − у величины угловой скорости шатуна AB показывает, что AB ω на- правлено по часовой стрелке. Мгновенный центр вращения звена AB лежит на прямой OA и его положение определяется соотношением ( ) e e r AB AB AB AB AB OP OA AP AP ⋅ ω = + ⋅ ω = ⋅ ω Разрешая данное уравнение относительно неизвестной AP , получим 47 1 AB r AB e AB OA AP см = = ω − ω Величина AB AP определяет положение мгновенного центра вращения звена AB при заданном положении механизма. Зная величину и направление относительной угловой скорости звена AB , скорость точки M найдем из уравнения e r M M M v v v = + (2) где 8.38 , e e M AB см v OM с = ω = e M v OM ⊥ – переносная скорость, 9.68 , r r M AB см v AM с = ω = r M v AM ⊥ – относительная скорость, ?, M v = – абсолютная скорость. Направление векторов переносной e M v и относительной r M v скоростей точки M показано на рис. 13. Решение уравнения (2) найдем, построив вектор- ный треугольник скоростей. Измерением получено 3.05 M см v с = 51 Угловую скорость звена 1 O B найдем по формуле 1 1 2 1 0.0819 B O B v c O B − ω = ω = = Скорости точек D и K , а также относительную и абсолютную угловые скорости звена CD найдем аналогично. Построив треугольники скоростей для этих точек (рис.13) и измеряя неизвестные векторы, получим 1 1 3 5.74 , 5.59 , 1.31 , 0.0667 , 2.58 , 3.14 , 1.55 , 0.0152 r e D D D r CD r e K K K e r CD CD CD см см см v v v с с с c см см см v v v с с с c − − = = = ω = = = = ω = ω = ω − ω = − Знак " " − у величины угловой скорости шатуна CD показывает, что CD ω на- правлено по часовой стрелке. Мгновенный центр вращения звена CD лежит на прямой 1 O C и его положение определяется соотношением ( ) 1 1 1 e r r CD CD CD CD CD CD O P CP O C O P ⋅ ω = ⋅ ω = + ⋅ ω Разрешая данное уравнение относительно неизвестной 1 O P , получим 1 1 109.7 r CD CD e r CD CD O P O C см ω = = ω − ω Величина 1 CD O P определяет положение мгновенного центра вращения звена CD при заданном положении механизма. Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений при переносном враща- тельном движении Так как для шарнира B известна траектория движения, а закон движения кривошипа OA задан, вычисление ускорений начинаем с точки B . Абсолютное ускорение точки B определим согласно теореме о сложении ускорений при не- поступательном переносном движении: 52 e r c e Ц e ВР r Ц r ВР c B B B B B B B B B a a a a a a a a a = + + = + + + + (3) где e e Ц e ВР B B B a a a = + – переносное ускорение точки, r r Ц r ВР B B B a a a = + – относительное ускорение точки, 2 c e r B AB B a v = ω × c r B B v ⊥ a – ускорение Кориолиса, 2 2 7.81 c e r B AB B см a v с = ω = , ( ) 2 2 3.10 e Ц e B AB см a OB с = ω = ( ) e Ц B a O OB ⇒ ⋅ – переносное центростремительное ускорение точки, 0 e ВР e B AB a OB = ε = , т.к. e AB const ω = – переносное вращательное ускорение точки, ( ) 2 2 5.16 r Ц r B AB см a AB с = ω = ( ) r Ц B a A AB ⇒ ⋅ – относительное центростремительное ускорение точки, ? r ВР r B AB a AB = ε = r ВР B a AB ⊥ – относительное вращательное ускорение точки. Направление ускорения Кориолиса c B a , которое можно определить по правилу векторного произведения векторов или методом Жуковского, показано на рис.14. В уравнении (3) учтено, что переносное и относительное движения шату- на AB являются вращениями вокруг осей Oz и Az соответственно. Поскольку абсолютное движение кривошипа 1 O B – вращение вокруг оси 1 O z , то абсолютное ускорение точки B можно записать в виде , Ц ВР B B B a a a = + (4) где 2 2 1 2 0.443 Ц B см a O B с = ω = ( ) 1 1 Ц B a O O B ⇒ ⋅ – центростремительная составляющая абсолютного ускорения точки, 2 1 ? ВР B a O B = ε = 1 ВР B a O B ⊥ 53 – вращательная составляющая абсолютного ускорения точки, Приравняем правые части уравнений (3), (4) и учтем коммутативность векторов. Получим Ц ВР r Ц e Ц c r ВР B B B B B B a a a a a a + = + + + (5) Решение уравнения (5) найдем, построив векторный многоугольник уско- рений (рис.14). Для этого, из точки B проводим параллельно звену AB вектор относи- тельного центростремительного ускорения – r Ц B a Из конца вектора r Ц B a проводим параллельно отрезку OB по направле- нию к точке O , вектор переносного центростремительного ускорения – e Ц B a Из конца вектора e Ц B a откладываем вектор ускорения Кориолиса c B a , из конца которого проводим линию AB ⊥ , определяющую возможное направле- ние вектора r ВР B a Из точки В , в направлении прямой 1 O B , откладываем вектор Ц B a , а из его конца линию, определяющую возможное направление вектора ВР B a , кото- рая проводится до пересечения с прямой, характеризующей направление векто- ра r ВР B a В точке пересечения этих прямых сходятся концы векторов r ВР B a , ВР B a и B a . Измеряя данные векторы в масштабе ускорений, получим 2 0.597 r ВР B см a с = , 2 0.06 ВР B см a с = , 2 0.45 B см a с = Угловые ускорения звеньев определяем по формулам 1 2 1 2 2 1 0.0063 , 0.0009 r ВР r B AB ВР B O B a с AB a с O B − − ε = ε = = ε = ε = = 54 Рис. 14. Определение ускорений точки B O A M B C 1 O K D r Ц B a 1 O B ⊥ AB ⊥ OB c B a e Ц B a Ц B a r ВР B a 1 O B r ВР B a B a r Ц B a c B a Ц B a ВР B a AB AB ⊥ 1 O B ⊥ B 1 2 точка 0.4 a см с B M см − = 2 0.6 a см с M см = 1 r AB ε = ε r AB ε 0 e AB ω = ω × × r B v AB ⊥ AB 55 Направления угловых ускорений, которые определяем по направлению векторов r ВР B a и ВР B a соответственно, показаны на рис. 14. Полное ускорение точки C звена 1 O B , совершающего вращательное дви- жение, определим из соотношения 1 1 B C a O B a O C = , тогда 1 2 1 0.172 C B O C см a a с O B = = Изображаем вектор С a параллельно вектору B a в масштабе ускорений на рис.15. Так как угловое относительное ускорение шатуна AB определено, най- дем ускорение точки M . e Ц e ВР r Ц r ВР c M M M M M M a a a a a a = + + + + где ( ) 2 2 1.46 e Ц e M AB см a OM с = ω = ( ) e Ц M a O OM ⇒ ⋅ – переносное центростремительное ускорение точки, 0 e ВР e M AB a OM = ε = т.к. e AB const ω = – переносное вращательное ускорение точки, ( ) 2 2 2.23 r Ц r M AB см a AM с = ω = ( ) r Ц M a A AB ⇒ ⋅ – относительное центростремительное ускорение точки, 2 0.26 r ВР r M AB см a AM с = ε = r ВР М a AB ⊥ – относительное вращательное ускорение точки. 2 c e r M AB M a v = ω × c r B B a v ⊥ – ускорение Кориолиса: 2 2 3.38 c e r M AB M см a v с = ω = ? M a = – абсолютное ускорение точки 56 Рис. 15. Определение ускорений точек M и C r Ц M a AB ⊥ OB c M a e Ц M a M a 2 0.25 a см с M см = C B a a O A M B C 1 O K D × × 1 2 0.4 a см с M см = r ВР B a B a r Ц B a c B a Ц B a 1 O B AB AB ⊥ 1 O B ⊥ 2 ε 1 r AB ε = ε 0 e AB ω = ω r M v AB ⊥ r ВР M a 57 Рис. 16. Определение ускорений точек D и K 1 2 0.05 a см с M см = × M O A B C 1 O K D 2 e CD ω = ω r CD ε 2 e CD ε = ε 3 ε r ВР D a r Ц D a c D a e ВР D a 1 O D 1 O D ⊥ CD CD ⊥ CD D a 1 O D C B a a r K v r D СD v ⊥ C K 1 O D × r CD ε 2 e CD ε = ε 1 O K CD ⊥ r Ц K a r ВР K a c K a K a CD 1 O K ⊥ e Ц K a e ВР K a e Ц D a 58 Изображаем многоугольник ускорений для точки M (рис.15). Измеряя неизвестный вектор ускорения M a , получим 2 0.31 M см a с = Для определения ускорения точки D примем в качестве переносного дви- жения вращение вместе с кривошипом 1 O C . В этом случае имеем e Ц e ВР r Ц r ВР c D D D D D D a a a a a a = + + + + где ( ) 2 1 2 0.458 e Ц e D CD см a O D с = ω = ( ) 1 1 e Ц D a O O D ⇒ ⋅ – переносное центростремительное ускорение точки, 2 e CD ω = ω , 1 2 0.062 e ВР e D CD см a O D с = ε = 1 e ВР D a O D ⊥ – переносное вращательное ускорение точки, 2 e CD ε = ε , ( ) 2 2 0.383 r Ц r D CD см a CD с = ω = ( ) r Ц D a C CD ⇒ ⋅ – относительное центростремительное ускорение точки, ? r ВР r D CD a CD = ε = r ВР D a CD ⊥ – относительное вращательное ускорение точки. 2 c e r D CD D a v = ω × c r D D a v ⊥ – ускорение Кориолиса 2 2 0.940 c e r D CD D см a v с = ω = ? D a = 1 D a O y – абсолютное ускорение точки Аналогично способу, изложенному ранее, изображаем многоугольник ус- корений для точки D (рис.16). Измеряя неизвестные векторы, получаем значе- ния ускорений: 2 0.067 r ВР D см a с = ; 2 0.105 D см a с = Затем вычисляем угловое относительное ускорение звена CD 59 2 0.00078 r ВР r D CD a с CD − ε = = Направление относительного углового ускорения определяем по направлению вектора r ВР D a и изображаем его на рис.16 по часовой стрелке. Так как относительное и переносное угловые ускорения шатуна CD на- правлены в одну сторону, направление абсолютного углового ускорения звена совпадает с переносным или относительным угловым ускорением, а его вели- чина равна 2 3 0.00168 e r CD CD CD c − ε = ε = ε + ε = Ускорение точки K найдем аналогично определению ускорения точки M . Построив многоугольник ускорений для этой точки (рис.16) e Ц e ВР r Ц r ВР c K K K K K K a a a a a a = + + + + где ( ) 2 1 2 0.212 e Ц e K CD см a O K с = ω = ( ) 1 1 e Ц K a O O K ⇒ ⋅ 1 2 0.029 e ВР e K CD см a O K с = ε = 1 e ВР K a O K ⊥ ( ) 2 2 0.209 r Ц r K CD см a CK с = ω = ( ) r Ц K a C CD ⇒ ⋅ 2 0.037 r ВР r K CD см a CK с = ε = r ВР K a CD ⊥ 2 2 0.514 c e r K CD K см a v с = ω = c r D D a v ⊥ ? K a = измерением получим 2 0.116 K см a с = |