Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
УДК 534.1 + 538.56 ISBN – Представлены курсовые работы по кинематике, статике и динамике выполняемые студен- тами ТулГУ при изучении теоретической механике. Исследовательская часть курсовых ра- бот проводится с использованием математически-ориентированного пакета Mathcad. Ил.: 64. Табл.: 22. Библиогр.: 13 Рецензенты: Кафедра теоретической механики МГТУ им. Н.Э. Баумана. Заведующий кафедрой В.В. Дубинин Кафедра теоретической механики Московского автомобильно- дорожного института (государственный технический университет) Заведующий кафедрой В.Б. Борисевич ISBN © В. Д. Бертяев, А. Л. Булатов, В. И. Латышев, А.Г. Митяев; 2009 © 3 ВВЕДЕНИЕ Теоретическая механика, являющаяся одной из фундаментальных дисци- плин, играет существенную роль в подготовке бакалавров и специалистов всех инженерных направлений и специальностей подготовки. На законах и принципах теоретической механики базируется целый ряд естественнонаучных и общетехнических дисциплин, таких как сопротивление материалов, теория машин и механизмов, детали машин, строительная механи- ка и др. Решение инженерных и научных задач, проектирование новых машин, конструкций и сооружений также осуществляется на основе теорем и принци- пов теоретической механики. Хорошие знания теоретической механики требуют не только глубокого усвоения теории, но и умения грамотно поставить задачу, решить ее, проанали- зировать результаты и при необходимости выбрать оптимальный вариант ре- шения. Все вышеизложенное наиболее успешно может быть достигнуто при выполнении курсовых работ. Данный сборник содержит 7 заданий по всем основным разделам теоре- тической механики, утвержденных Министерством образования Российской федерации (кинематика – 1, статика – 3, динамика и аналитическая механика – 3). В нем приведены примеры выполнения заданий, основываясь на которых, студенты (особенно заочных и вечерних форм обучения) смогут самостоятель- но их выполнять. Большинство заданий при выполнении требуют проведения некоторых исследований и принятия на их основе практических рекомендаций. Предлагаемые курсовые работы дают возможность после изучения изло- 4 женного материала, самостоятельно решать более сложные и математически трудоемкие задачи механики. Выполнение курсовых работ осуществляется с использованием матема- тического пакета Mathcad, который представляет собой эффективное средство для аналитических преобразований и численного решения теоретических и практических задач. Область его применения простирается от простейших вы- числений до расчета сложных задач в различных отраслях знаний. С помощью Mathcad можно с успехом решать задачи механики абсолютно твердых и де- формируемых тел. Пакет имеет чрезвычайно удобный математико- ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики. Использование Mathcad в теоретической механике позволяет проводить анализ поведения механических систем в соответствии с поставленной задачей, что дает возможность решать реальные инженерные задачи учащимися млад- ших курсов не знакомых еще с численными методами и программированием, но имеющих базовые знания в курсе информатики. 5 Общие положения Процедура постановки и решения задач теоретической механики включа- ет в себя пять основных этапов: 1) Формулировку задачи; 2) Построение расчетной схемы; 3) Построение математической модели; 4) Реализация математической модели (решение задачи); 5) Анализ результатов и принятие решений. Первые три этапа включает в себя постановка задачи. Формулировка задачи — это условие (текст) задачи. Она осуществляется руководителем работ совместно с исполнителем. Расчетная схема — это рисунок, на котором изображены: рационально выбранная система координат; упрощенная схема механической системы в произвольном или заданном положении; механические характеристики и т.п. (в зависимости от применяемого метода). Математическая модель — это система алгебраических и / или диффе- ренциальных уравнений (уникальная для каждого применяемого метода), а также начальных условий, описывающих кинематическое поведение механиче- ской системы. Реализация математической модели — это решение поставленной задачи выбранным, на этапе постановки, методом. Анализ полученных результатов — это сравнение решений, полученных разными методами, определение критических состояний механической системы и нахождение оптимальных параметров для ее функционирования. 6 Требования к оформлению и защите 1 Работа представляется к защите в виде пояснительной записки. Поясни- тельная записка, объемом 25-30 листов, аккуратно оформляется на листах фор- мата A4. Каждый лист должен быть пронумерован. Разделы и параграфы должны быть озаглавлены и пронумерованы. Формулы, на которые есть ссылки в тексте пояснительной записки, обязательно нумеруются. Листы должны быть скреплены между собой. Пояснительная записка включает в себя: 1) Титульный лист. 2) Аннотация (Краткое содержание работы). 3) Оглавление с нумерацией страниц каждого раздела. 4) Схема механизма (конструкции) и необходимые численные данные для выполнения задания (на отдельном листе). 5) Постановка задачи. Описание подхода к решению задачи, формулировка математической модели и методов решения, использованных в процессе работы над проектом. 6) Решение полученной системы уравнений. 7) Анализ результатов. 8) Список литературы. При защите работы оцениваются следующее: оформление пояснительной записки; правильность постановки и решения задач механики; самостоятель- ность выполнения задания; грамотный анализ полученного решения. При защите необходимо уметь прокомментировать любой метод реше- ния, уметь определять механические характеристики системы по требованию преподавателя. 1 Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, не проверяются, а возвращаются для переделки. 7 1. КИНЕМАТИКА Данное задание посвящено применению основных теорем и принципов кинематики к исследованию механических систем. Студенты, выполняя то или иное задание, должны получить навыки и умения: o нахождения геометрических связей наложенных на заданный механизм и формулировку их в математическом виде; o составления уравнений движения произвольной точки механизма и опреде- ления ее траектории, скорости, ускорения; o применения теорем о сложении скоростей и ускорений в плоском движении твердого тела и в сложном движении точки; o решения поставленной задачи аналитическим и графическим способом. K1. КИНЕМАТИКА ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ Плоские механизмы имеют широкое применение в технике. Кинематиче- ское исследование этих механизмов играет важную роль на этапе предвари- тельного проектирования узлов и звеньев сложных машин. Проектируя новую машину или прибор, разработчик должен уметь создавать такие кинематиче- ские схемы, чтобы выходные звенья механизма совершали движения, требуе- мые технологическим процессом. При этом часто приходится искать способы получения заданных движений всего механизма или его отдельных звеньев в зависимости от тех или иных ограничений определяемых условиями функцио- нирования машины. Цель курсовой работы. Приобретение навыков кинематического расчёта плоского шарнирного механизма с использованием различных методов. Содержание курсовой работы Объектом исследования является плоский многозвенный шарнирный ме- ханизм с одной степенью свободы, ведущее звено которого движется по закону 8 ( ) 0 , t t ϕ = ω где 0 2 рад с T π ω = – угловая скорость; T – период вращения ведущего звена. Требуется: применяя различные методы и теоремы кинематики опреде- лить: закон движения ведомых звеньев механизма; угловые скорости, угловые ускорения звеньев, совершающих вращательные и плоское движение; закон движения, траектория, а также скорости и ускорения заданных точек, и звеньев совершающих поступательные движения. Схемы механизмов, а также геометрические характеристики тел приведе- ны в альбоме заданий. Методы исследований: o аналитический метод; o геометрические (графический и графоаналитический) методы. 1. С помощью аналитического метода составить уравнения геометрических свя- зей механизма, получить зависимости углов поворотов ведомых звеньев от времени или от угла поворота ведущего звена. 2. Получить системы разрешающих уравнений для определения угловых скоро- стей и ускорений ведомых звеньев, а также линейной скорости и ускорения звена, движущегося поступательно. 3. Записать уравнения для вычисления координат, линейных скоростей и уско- рений точек, определенных в задании. 4. Используя основные теоремы плоскопараллельного движения твёрдого тела, выполнить расчёт скоростей и ускорений всех звеньев и всех узловых точек (шарниров) механизма для заданного его положения. 5. Используя основные теоремы составного движения точки при вращательном переносном движении, выполнить расчёт скоростей и ускорений всех звеньев и всех узловых точек (шарниров) механизма для заданного его положения. 6. Сравнить решения, полученные разными геометрическими методами. 9 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Провести кинематическое исследование плоского шарнирного много- звенного механизма с одной степенью свободы, для которого известны все гео- метрические размеры и закон движения ведущего звена (рис. 1). Определить законы движения всех звеньев механизма, угловые скорости и ускорения ведомых звеньев, а также линейные скорость и ускорение звена, дви- жущегося поступательно. Вычислить скорости и ускорения всех узловых точек механизма, а также точек M и K , в зависимости от значения угла поворота ве- дущего звена ( ) t ϕ . Произвести визуализацию механизма, изобразить траекто- рии, векторы скоростей и ускорений всех его заданных точек, если даны: o геометрические размеры 1 1 , , , , , , , , ; OA AM AB O B O C CD CK a b o закон движения ведущего звена механизма ( ) 0 t t ϕ = ω , где 0 ω – угловая скорость ведущего звена. 10 Исходные данные: геометрические размеры 1 1 15 , 42 , 97 , 60 , 45 , 86 , 47 , 50 , 37 ; OA см AM см AB см O B см O C см CD см CK см a см b см = = = = = = = = = закон движения ведущего звена механизма ( ) 0 t t ϕ = ω , где 1 0 18 c − π ω = – угловая скорость ведущего звена. Рис. 1. Схема механизма и исходные данные для расчета b a K M D C B A 1 O O 0 ω ϕ 3 2 1 11 1. Аналитический метод Составление уравнений геометрических связей Изобразим плоский механизм в произвольном положении (рис. 2). В качестве системы отсчета примем правую декартову систему коорди- нат. Начало системы координат расположим в подшипнике O . Положительные углы поворота в этом случае направлены против часовой стрелки. Рис. 2. Расчетная схема механизма Изобразим углы поворота звеньев , 1,2,3 k k ϕ = , отсчитывая их от гори- зонтальной оси Ox в положительном направлении. В состав данного многозвенного механизма входят: o два кривошипа OA и 1 O B , которые совершают вращательное движение во- круг неподвижных осей перпендикулярных плоскости xOy и проходящих через точки O и 1 O соответственно; o два шатуна AB и CD , совершающих плоскопараллельное движение в плос- D y b a y x D x 3 ϕ 2 ϕ 1 ϕ ϕ K M D C B A 1 ψ 3 ψ 2 ψ O 1 O 12 кости xOy ; o ползун D движется возвратно-поступательно вдоль направляющей парал- лельной оси Oy ; o неподвижное звено 1 OO . Для составления уравнений геометрических связей выделим точки меха- низма, траектории которых известны. К этим точкам относятся шарниры A , B , C и D . Точки A , B , и C движутся по окружностям радиусов OA , 1 O B и 1 O C соответственно, а ползун D – по прямолинейной траектории параллельной оси Oy (рис. 2). Шарнир A принадлежит одновременно шатуну AB и кривошипу OA , для которого известен закон вращательного движения и, следовательно, закон дви- жения точки A определен. Шарнир B принадлежит одновременно шатуну AB и кривошипу 1 O B , а шарнир C – шатуну CD и кривошипу 1 O B . Из двух точек C и B , одновременно принадлежащих кривошипу 1 O B , одна является зависи- мой, т. е. определение закона движения одной точки приводит к возможности определения закона движения для другой. Так как закон плоскопараллельного движения твердого тела можно опре- делить по двум любым точкам этого тела, в качестве базовых точек, при со- ставлении уравнений геометрических связей, примем точки B и D . Построим для этих точек векторные контуры, с помощью которых можно составить уравнения геометрических связей (рис. 3): для точки B (рис. 3 а) 1 B A AB O B r r r ≡ + ρ = + ρ , (1) для точки D (рис. 3 б) 1 D O C CD r r = + ρ + ρ . (2) Для получения уравнений геометрических связей запишем соотношения (1), (2) в проекциях на оси координат и Ox Oy 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 cos cos cos , sin sin sin , cos cos , sin sin D OA AB a O B OA AB b O B a a O C CD y b O C CD ϕ + ϕ = + ϕ ϕ + ϕ = + ϕ = + ϕ + ϕ = + ϕ + ϕ Рис. 3. Векторные контуры для базовых точек механизма Перенося слагаемые с неизвестными функциями в одну сторону, получим уравнения геометрических связей в координатной форме ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 cos cos cos , sin sin sin , cos cos 0, sin sin D AB O B a OA AB O B b OA O C CD O C CD y b ϕ − ϕ = − ϕ ϕ − ϕ = − ϕ ϕ + ϕ = ϕ + ϕ − = (3) В уравнениях (3) задаваемой функцией является закон вращения ведуще- го звена ( ) t ϕ , а определяемыми функциями времени являются ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 , , , D t t t y t ϕ ϕ ϕ Система (3) представляет замкнутую систему уравнений для определения ) б 2 ϕ 1 O y x O D 3 ϕ C CD ρ C ρ 1 O r D r D ρ ) a ϕ 1 O r A r B r B ρ 1 O A ρ B 2 ϕ 1 O α 1 ϕ A O y x AB ρ 14 законов движения всех звеньев многозвенного механизма. Решение уравнений (3) можно найти различными методами, как аналити- ческими, так и численными. Подробно о решении систем нелинейных уравне- ний численными методами изложено в работе [1]. Определение законов движения звеньев механизма Аналитические методы при решении нелинейных систем уравнений типа (3) применяются в тех случаях, когда необходимо получить (если это возмож- но) выражения для искомых функций в параметрическом виде. Для нахождения законов движения звеньев механизма в аналитической форме запишем первые два уравнения системы (3) в следующем виде (рис. 2, рис. 3 а, рис. 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 cos cos cos cos , sin sin sin sin , O A O A AB O B a OA x O A AB O B b OA y O A ϕ − ϕ = − ϕ = − = − α ϕ − ϕ = − ϕ = − = − α (4) где ( ) ( ) 1 1 1 1 cos , sin O A O A x O A y O A = α = α – проекции вектора 1 O A ρ на оси коор- динат; 1 O A – его модуль (рис. 4) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 cos O A O A O A x y O A OA OA OO = + = + − ϕ − β ; α – угол, определяемый выражениями ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 cos sin cos , sin OA a OA b O A O A ϕ − ϕ − α = α = , 2 2 1 OO a b = + , b arctg a ⎛ ⎞ β = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ – модуль и направление вектора 1 O r . Для нахождения угловой координаты 2 ϕ приведем уравнения (4) к виду ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 2 1 cos cos cos , sin sin sin , AB O B O A AB O B O A ϕ = ϕ − α ϕ = ϕ − α и, воспользовавшись тригонометрической формулой ( ) ( ) 2 2 cos sin 1 ϕ + ϕ = , по- лучим ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 cos cos sin sin AB O B O A O B O A = + − ϕ α + ϕ α ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 15 Используя формулы приведения, найдем ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos 2 O B O A AB O B O A + − ϕ − α = = γ . Так как ( ) 2 cos γ является четной функцией углового аргумента, то угол 2 ϕ мо- жет иметь два значения 2 2 ϕ = γ + α или 2 2 ϕ = γ − α , что соответствует двум по- ложением четырехзвенника 1 OABO относительно 1 O A при одной и той же уг- ловой координате ведущего звена ϕ (рис. 4). Рис. 4. Определение угловых координат звеньев Учитывая начальное положение механизма (рис. 2) принимаем 2 2 2 1 1 2 1 1 arccos 2 O B O A AB O B O A ⎛ ⎞ + − ϕ = α + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (5) Для нахождения угловой координаты 1 ϕ уравнения (4) перепишем в сле- дующем виде ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 2 cos cos cos , sin sin sin AB O A O B AB O A O B ϕ + α = ϕ ϕ + α = ϕ 1 ϕ A y x O B ' B 1 O 2 ϕ α 2 ' ϕ 2 γ ϕ β 16 Используя процедуру, изложенную выше, получим ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 2 cos cos sin sin AB O A AB O A O B + + ϕ α + ϕ α = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Окончательно, угловая координата 1 ϕ равна 2 2 2 1 1 1 1 arccos 2 O B O A AB AB O A ⎛ ⎞ − − ϕ = α + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (6) Для нахождения остальных неизвестных величин используем оставшиеся два уравнения системы (3). Из третьего уравнения (3) найдем угловую коорди- нату звена CD ( ) 1 3 2 arccos cos , O C CD ⎡ ⎤ ϕ = − ϕ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (7) а из четвертого – вертикальную координату ползуна D ( ) ( ) 1 2 3 sin sin D y b O C CD = + ϕ + ϕ . (8) Уравнения (5) – (8) позволяют определить угловые координаты звеньев совершающих вращательные и плоскопараллельные движения, а также закон движения звена движущегося поступательно. |