Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
4. Результаты расчетов Решения систем линейных алгебраических уравнений (2) – (9), (10) – (17) или (18) – (25) можно легко реализовать в пакете Mathcad или других матема- тически ориентированных пакетах. Для этого система уравнений приводится к матричной форме A S B ⋅ = , где B – вектор правых частей, полностью определенный действующими на ферму активными силами; S – вектор неизвестных реакций внешних и внутренних связей S, задающийся в соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 3, рис. 4 или рис. 5; A – матрица коэффициентов, которая формируется на основе двух матриц: по- стоянной AS – независящей от расположения опор фермы и переменной ( ) AR ϕ – зависящей от их расположения. Решение сформированной системы уравнений ищется в виде 1 S A B − = ⋅ Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована про- цедура вычисления реакций внешних и внутренних связей фермы с опорами расположенными по схемам 1, 2 и 3. Расчет фермы выполненной по схеме №1 (рис. 3) 1. Ввод исходных данных ORIGIN 1 := P 20 30 40 ( ) T := a 1 := b 3 := α atan b a ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ := * β π 6 := * 2. Формирование вектора правых частей B и матрицы коэффициентов A B 0 0 0 P 2 0 0 0 0 P 1 − cos β ( ) ⋅ P 1 sin β ( ) ⋅ 0 P 3 0 0 0 0 ( ) T := 89 Формирование переменной части матрицы A – ( ) AR ϕ AR1 ϕ ( ) sin ϕ ( ) 0 0 cos ϕ ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ T := Формирование постоянной части матрицы A – AS AS 1 0 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos α ( ) sin α ( ) 0 0 cos α ( ) − sin α ( ) − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos α ( ) sin α ( ) − cos α ( ) − sin α ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos α ( ) sin α ( ) 0 0 0 0 cos α ( ) − sin α ( ) − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos α ( ) sin α ( ) − cos α ( ) − sin α ( ) ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ := Формирование матрицы A , вычисление определителя матрицы, нахожде- ние критических значений ориентации опорной плоскости из уравнения ( ) 0 кр A ϕ = A1 ϕ ( ) augment AS AR1 ϕ ( ) , ( ) := A1 ϕ ( ) 3 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ 4 → A1 ϕ ( ) solve π 2 → 3. Решение системы линейных алгебраических уравнений A S B ⋅ = S1 ϕ ( ) A1 ϕ ( ) 1 − B ⋅ := S ϕ ( ) S1 ϕ ( ) := Формирование реакций внешних связей RA ϕ ( ) S ϕ ( ) 14 := XB ϕ ( ) S ϕ ( ) 15 := YB ϕ ( ) S ϕ ( ) 16 := RB ϕ ( ) XB ϕ ( ) 2 YB ϕ ( ) 2 + := 90 Вычисление реакций внутренних и внешних связей S ϕ ( ) simplify 10 3 ⋅ 30 tan ϕ ( ) ⋅ − 20 − 3 ⋅ 30 10 3 ⋅ 30 tan ϕ ( ) ⋅ − 0 10 − 3 ⋅ 10 − 20 3 ⋅ 3 30 tan ϕ ( ) ⋅ − 20 3 ⋅ 3 20 − 3 ⋅ 40 20 3 ⋅ 3 30 tan ϕ ( ) ⋅ − 100 3 ⋅ 3 − 30 cos ϕ ( ) 30 tan ϕ ( ) ⋅ − 10 3 ⋅ − 50 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ → S π 4 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -12.679 -34.641 30 -12.679 -15 -5.329·10 -17.321 -10 -18.453 11.547 -34.641 40 -18.453 -57.735 42.426 -47.321 50 = 4. Построение графиков функций реакций внешних и внутренних связей ϕ 88 π 180 − 87 π ⋅ 180 − , 88 π 180 := 90 − 60 − 30 − 0 30 60 90 200 − 100 − 0 100 200 RA ϕ ( ) XB ϕ ( ) YB ϕ ( ) ϕ deg 91 90 − 60 − 30 − 0 30 60 90 200 − 100 − 0 100 200 S ϕ ( ) 1 S ϕ ( ) 2 S ϕ ( ) 3 S ϕ ( ) 4 S ϕ ( ) 5 S ϕ ( ) 6 S ϕ ( ) 7 S ϕ ( ) 8 S ϕ ( ) 9 S ϕ ( ) 10 S ϕ ( ) 11 S ϕ ( ) 12 S ϕ ( ) 13 ϕ deg Расчет фермы выполненной по схеме № 2 (рис. 4) 1. Ввод исходных данных ……… 2. Формирование вектора правых частей B и матрицы коэффициентов A ……… Формирование переменной части матрицы A – ( ) AR ϕ AR2 ϕ ( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin ϕ ( ) − 0 0 cos ϕ ( ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ T := ……… 92 Формирование матрицы A , вычисление определителя матрицы, нахожде- ние критических значений ориентации опорной плоскости из уравнения ( ) 0 кр A ϕ = A2 ϕ ( ) augment AS AR2 ϕ ( ) , ( ) := A2 ϕ ( ) 3 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ 4 − → A2 ϕ ( ) solve π 2 → 3. Решение системы линейных алгебраических уравнений A S B ⋅ = S2 ϕ ( ) A2 ϕ ( ) 1 − B ⋅ := S ϕ ( ) S2 ϕ ( ) := Формирование реакций внешних связей XA ϕ ( ) S ϕ ( ) 14 := YA ϕ ( ) S ϕ ( ) 15 := RA ϕ ( ) XA ϕ ( ) 2 YA ϕ ( ) 2 + := RB ϕ ( ) S ϕ ( ) 16 := Вычисление реакций внутренних и внешних связей S ϕ ( ) simplify 20 3 ⋅ 50 tan ϕ ( ) ⋅ − 20 − 3 ⋅ 30 20 3 ⋅ 50 tan ϕ ( ) ⋅ − 0 10 − 3 ⋅ 10 − 50 3 ⋅ 3 50 tan ϕ ( ) ⋅ − 20 3 ⋅ 3 20 − 3 ⋅ 40 50 3 ⋅ 3 50 tan ϕ ( ) ⋅ − 100 3 ⋅ 3 − 50 tan ϕ ( ) ⋅ 10 3 ⋅ − 30 50 cos ϕ ( ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ → S π 4 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -15.359 -34.641 30 -15.359 -15 1.776·10 -17.321 -10 -21.132 11.547 -34.641 40 -21.132 -57.735 32.679 30 70.711 = 93 4. Построение графиков функций реакций внешних и внутренних связей ϕ 88 π 180 − 87 π ⋅ 180 − , 88 π 180 := 90 − 60 − 30 − 0 30 60 90 200 − 100 − 0 100 200 XA ϕ ( ) YA ϕ ( ) RB ϕ ( ) ϕ deg 90 − 60 − 30 − 0 30 60 90 200 − 100 − 0 100 200 S ϕ ( ) 1 S ϕ ( ) 2 S ϕ ( ) 3 S ϕ ( ) 4 S ϕ ( ) 5 S ϕ ( ) 6 S ϕ ( ) 7 S ϕ ( ) 8 S ϕ ( ) 9 S ϕ ( ) 10 S ϕ ( ) 11 S ϕ ( ) 12 S ϕ ( ) 13 ϕ deg 94 Расчет фермы выполненной по схеме № 3 (рис. 5) 1. Ввод исходных данных ……… 2. Формирование вектора правых частей B и матрицы коэффициентов A ……… Формирование переменной части матрицы A – ( ) AR ϕ AR3 ϕ ( ) sin ϕ ( ) 0 0 cos ϕ ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ T := ……… Формирование матрицы A , вычисление определителя матрицы, нахожде- ние критических значений ориентации опорной плоскости из уравнения ( ) 0 кр A ϕ = A3 ϕ ( ) augment AS AR3 ϕ ( ) , ( ) := A3 ϕ ( ) 3 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ 4 9 sin ϕ ( ) ⋅ 16 − → atan 4 3 3 ⋅ ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ deg 66.587 = 3. Решение системы линейных алгебраических уравнений A S B ⋅ = S3 ϕ ( ) A3 ϕ ( ) 1 − B ⋅ := S ϕ ( ) S3 ϕ ( ) := Формирование реакций внешних связей RA ϕ ( ) S ϕ ( ) 14 := RB ϕ ( ) S ϕ ( ) 15 := RC ϕ ( ) S ϕ ( ) 16 := 95 Вычисление реакций внутренних и внешних связей S ϕ ( ) simplify 150 cos ϕ ( ) ⋅ 150 3 ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ − 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − − 300 cos ϕ ( ) ⋅ 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − 30 150 cos ϕ ( ) ⋅ 150 3 ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ − 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − − 60 cos ϕ ( ) ⋅ 60 3 ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ + 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − − 180 cos ϕ ( ) ⋅ 30 3 ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ + 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − 10 − 170 cos ϕ ( ) ⋅ 80 3 ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ − 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − − 20 cos ϕ ( ) ⋅ 80 3 ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ − 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − − 300 cos ϕ ( ) ⋅ 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − 40 170 cos ϕ ( ) ⋅ 80 3 ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ − 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − − 340 cos ϕ ( ) ⋅ 160 3 ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ − 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − 150 3 ⋅ 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − − 120 cos ϕ ( ) ⋅ 120 3 ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ + 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − 240 sin ϕ ( ) ⋅ 170 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − 3 sin ϕ ( ) ⋅ 4 3 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ − ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ → S π 4 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -27.954 -76.371 30 -27.954 41.73 -59.05 -10 8.003 -30.183 -76.371 40 8.003 -16.005 93.535 -83.46 13.861 = 96 4. Построение графиков функций реакций внешних и внутренних связей 90 − 60 − 30 − 0 30 60 90 200 − 100 − 0 100 200 RA ϕ ( ) RB ϕ ( ) RC ϕ ( ) ϕ deg 90 − 60 − 30 − 0 30 60 90 200 − 100 − 0 100 200 S ϕ ( ) 1 S ϕ ( ) 2 S ϕ ( ) 3 S ϕ ( ) 4 S ϕ ( ) 5 S ϕ ( ) 6 S ϕ ( ) 7 S ϕ ( ) 8 S ϕ ( ) 9 S ϕ ( ) 10 S ϕ ( ) 11 S ϕ ( ) 12 S ϕ ( ) 13 ϕ deg 97 5. Анализ результатов вычислений Методы теоретической механики при расчете ферм обычно применяются на этапе предварительного проектирования. Именно на этом этапе может быть поставлена задача выбора оптимального решения согласно одному или не- скольким критериям. Например, требуется обеспечить: o минимальную силу давления на одну или все опоры; o минимальное количество стержней, испытывающих сжимающие усилия; o минимальное количество стержней, в которых сжимающие усилия не пре- вышают некоторого предельного значения пр S . Также возможна комбинация этих критериев. При такой постановке задачи расчет следует производить при экстре- мальных значениях действующих на ферму активных сил. В качестве влияю- щих параметров можно выбрать ориентацию опорной плоскости, характери- зуемую углом ϕ , и (или) характерный размер фермы ( ) или a b (определяется преподавателем). Рассмотрим задачу выбора схемы расположения внешних связей, дейст- вующих на ферму, при которых сжимающие усилия не превышают некоторого предельного значения пр S , а количество сжатых стержней минимально. В каче- стве такого критерия примем максимальное значение, не зависящее от угла ϕ , сжимающего усилия в стержнях фермы. При анализе следует учесть: o свойства катковых опор. Катковая опора является неудерживающей связью и, следовательно, ее реакция может быть только положительной (если она направлена перпендикулярно опорной плоскости вверх). o особенности мостовых ферм. Для них ориентация опорной плоскости кат- ковой опоры может характеризоваться только положительными значения- ми углов ϕ . 98 Учет вышесказанного требует исключения таких состояний, при которых o углы ϕ , характеризующие ориентацию опорных плоскостей, отрицательны; o реакции катковых опор неположительны. Иными словами, область допустимых значений указанных величин опре- деляется неравенствами 0 2, 0 R ≤ ϕ < π ≥ . В некоторых случаях, если это обосновано критериями выбора, катковую опору можно заменить двухсторонней (удерживающей) связью, например стержнем. Угол ϕ , определяющий его положение, может изменяться в интер- вале 0 или 2 2 π π ≤ ϕ ≤ π − ≤ ϕ ≤ Для ускорения процедуры выбора значений углов ϕ , соответствующих принятым критериям, воспользуемся возможностью трассировки графиков функций (рис. 8), имеющейся в Mathcad. Рис. 8 Использование опции "Trace" для определения координат точек на графиках. Значения аргумента ϕ функций ( ) k S ϕ в этом случае могут быть найдены с точностью ε , величина которой определяется заданием шага ранжированной переменной ϕ , при построении графиков функций [1]. В нашем случае 1 ε = . Для рассматриваемой фермы анализ результатов расчетов, проведенных в п. 4, дает следующее. 99 Схема 1 1. Реакция опорной плоскости A R положительна при всех допустимых значениях ориентации опорной плоскости 0 [0, [ 2 A R π ≥ ∀ ϕ∈ 2. Количество стержней, реакция которых не зависит от ϕ – 9 (2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13), из них сжатых – 5 (2, 6, 7, 10, 13) (рис. 9). 3. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не за- висит от угла ϕ , равно 13 3 100 57.735 3 пр S S kH kH = = = (рис. 9). Рис. 9 Предельные значения углов ϕ . 90 − 60 − 30 − 0 30 60 90 200 − 100 − 0 100 200 S ϕ ( ) 1 S ϕ ( ) 2 S ϕ ( ) 3 S ϕ ( ) 4 S ϕ ( ) 5 S ϕ ( ) 6 S ϕ ( ) 7 S ϕ ( ) 8 S ϕ ( ) 9 S ϕ ( ) 10 S ϕ ( ) 11 S ϕ ( ) 12 S ϕ ( ) 13 ϕ deg 2 ϕ 1 ϕ 100 4. Максимальное значение угла ϕ , при котором количество сжатых стержней минимально равно 1 21 ϕ = . Количество сжатых стержней в этом слу- чае равно 1 5 N = (2, 6, 7, 10, 13) см. рис. 10. 5. Максимальное значение угла ϕ , при котором сжимающие усилия не превышают предельного значения k пр S S ≤ равно 2 66 ϕ = . Количество сжатых стержней в этом случае равно 2 9 N = (1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13) см. рис. 10 S 21 π 180 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.805 -34.641 30 5.805 -15 -3.553·10 -17.321 -10 0.031 11.547 -34.641 40 0.031 -57.735 32.134 -28.836 50 = S 66 π ⋅ 180 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -50.061 -34.641 30 -50.061 0 -17.321 -10 -55.834 11.547 -34.641 40 -55.834 -57.735 73.758 -84.702 50 = а) 21 ϕ = б) 66 ϕ = Рис. 10 Реакции фермы при разных значениях ϕ . 6. Область допустимых значений для угла ϕ , при которой o значения сжимающих усилий в стержнях фермы не превышает пр S ( ) 2 9 N = 2 0 66 ≤ ϕ ≤ ϕ = ; o количество сжатых стержней минимально, а усилия в них не превышают предельное значение пр S ( ) 1 5 N = 1 0 21 ≤ ϕ ≤ ϕ = |