Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
6. Результаты анализа С целью подтверждения проведенных исследований произведем расчет механической системы в дорезонансном и послерезонансном режимах. Расчет механической системы с упругой связью для z < 1. 1. Ввод исходных данных m 3 50 := m 1 5 := 4. Результаты расчета m np 10.576 = k 3.438 = n 0.105 = k 1 3.436 = A 0 0.047 = α 0 2.355 = B 0 0.101 = β 0 0.035 = z 0.457 = λ CT 0.038 − = F' сц 127.436 = Графики движения груза 1 ( ) s s t = и центра масс катка 3 ( ) 3 3 s s t = 0 2 4 6 8 10 12 0.1 0 0.1 λ ПР − λ ПР s t ( ) S 3 t ( ) t График сил натяжения канатов ( ) ( ) 12 12 23 23 , T T t T T t = = 0 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 120 T 12 t ( ) T 23 t ( ) t 208 График силы сцепления ( ) сц сц F F t = 0 2 4 6 8 10 50 100 150 F' сц F сц t ( ) t Расчет механической системы с упругой связью для z > 1. 1. Ввод исходных данных m 3 550 := m 1 50 := 4. Результаты расчета m np 102.451 = k 1.105 = n 0.011 = k 1 1.105 = A 0 0.151 = α 0 0.214 = B 0 0.078 = β 0 3.114 = z 1.422 = λ CT 0.499 − = F' сц 1401.792 = Графики движения груза 1 ( ) s s t = и центра масс катка 3 ( ) 3 3 s s t = 0 5 10 15 20 25 0.2 0.1 0 0.1 0.2 λ ПР − λ ПР s t ( ) S 3 t ( ) t 209 График сил натяжения канатов ( ) ( ) 12 12 23 23 , T T t T T t = = 0 5 10 15 20 25 400 600 800 1000 T 12 t ( ) T 23 t ( ) t График силы сцепления ( ) сц сц F F t = 0 5 10 15 20 25 800 820 840 860 880 900 F сц t ( ) t 210 Выводы В результате решения дифференциального уравнения движения системы (11) при начальных условиях (12) пределен закон движения системы ( ) s s t = , на основании которого по разработанному алгоритму вычислены значения реак- ций связей. Анализ результатов расчета показал, что в некоторые моменты времени натяжения нитей становятся отрицательными, а сила сцепления превышает свое предельное значение, и, следовательно, принятая математическая модель не соответствует поведению механической системы: нити провисают, тела движутся рывками, а каток 3 – с проскальзыванием. Для устранения этой ситуации были сформулированы критерии, удовле- творение которых обеспечивает адекватность движения системы математиче- ской модели, т.е. выполнение условий 12 0 T ≥ , 23 0 T ≥ , 3 сц сц сц F F f N ′ ≤ = , 3 пр s ≤ λ . Исследование влияния масс груза 1 и катка 3 на движение системы по- зволило определить область допустимых значений 1 3 и m m , внутри которой выполняются указанные условия. Эта область разбивается на две подобласти: • подобласть I – состояние дорезонансного режима ( ) 1 z < , для которого зна- чения масс ограничены следующими соотношениями ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1max 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1min 3 16,57 407,62 , при 16,57 183,23 , при 183,23 406,52 , MAX MIN РЕЗ кг m кг m m кг m кг m m m m m кг m кг m m m m ∗∗ < < ⎧ < ≤ ⎪ = ⎨ − Δ ≤ < ⎪⎩ = 211 • подобласть II – состояние послерезонансного режима ( ) 1 z > , для которого для которого значения масс ограничены следующими соотношениями ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1max 3 1 3 3 1 3 1min 3 3 265,96 , , при 265,96 628,74 , при 628,74 MAX MIN РЕЗ кг m m m m m m m m кг m кг m m m m кг m ∗∗ < < ∞ = ⎧ + Δ < ≤ ⎪ = ⎨ ≤ < ∞ ⎪⎩ Результаты расчетов скорректированной механической системы пред- ставлены в виде графиков изменения характерных параметров в зависимости от времени. 212 АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА 1 2 3 4 5 6 C M 3 4 α c 2 1 ( ) F t 3 2 4 α c 1 ( ) F t μ C M 3 2 1 ( ) F t 4 c C M 3 2 1 ( ) F t 4 α c 3 2 4 α μ 1 ( ) F t c C M 4 3 2 1 α c ( ) F t 213 7 8 9 10 11 12 C M 3 2 1 ( ) F t 4 α c C M 3 4 α c 2 1 ( ) F t C M 3 2 1 ( ) F t 4 c C M 3 2 1 ( ) F t 4 α c C M 3 2 1 ( ) F t 4 c μ 3 2 1 ( ) F t 4 c 214 13 14 15 16 17 18 3 2 1 ( ) F t 4 c μ 3 2 1 ( ) F t 4 c μ C M 3 2 1 ( ) F t 4 α c 2 1 ( ) F t C M 3 4 α c C M 3 4 α c 2 1 ( ) F t C M 3 2 1 ( ) F t 4 c 215 19 20 21 22 23 24 C M 3 2 4 α c 1 ( ) F t μ 3 2 1 ( ) F t 4 α c 3 2 1 ( ) F t 4 c μ μ 3 2 1 ( ) F t 4 α c C M 3 2 1 ( ) F t 4 c 3 2 1 ( ) F t 4 α μ c 216 25 26 27 28 29 30 3 2 4 α μ 1 ( ) F t c C M 3 2 1 ( ) F t 4 α c 2 1 ( ) F t 3 4 α c μ C M 3 2 4 α c 1 ( ) F t μ 3 2 1 ( ) F t 4 α c C M 3 2 1 ( ) F t 4 c 217 Вариант 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 m m 2m m 3m 4m 2m 3m 4m 2m m 2 m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 m 2m 3m 4m m m 3m 2m 5m 4m 2m 4 m 5m 4m 5m 2m 3m 4m m m 5m 3m μ, кг/с 0.5 1.0 1.5 0.75 1.25 1.0 0.75 1.25 0.5 1.5 ν, Н м с 1 0.5 0.75 1.25 1.5 2 0.5 0.75 1 1.25 с, Н/м 1500 2000 3000 3500 4000 2500 2500 2000 3500 4000 сц f 0.20 0.25 0.30 0.15 0.10 0.25 0.30 0.20 0.15 0.10 0 F , Н 50 20 30 40 60 50 40 30 20 50 р, с -1 π 2 π 5 2 π 2 π π 3 2 π 3 π 3 π 3 2 π π 0 x , м 0.1 0.05 0.03 0 0.02 0.06 0.07 0 0.08 0.09 0 x , м/с 0.03 0 0.06 0.05 0.07 0 0.05 0.10 0.02 0 o α 30 45 60 45 60 30 45 60 30 45 2 r r 1.5 r 2 r 1.5 r r 2 r r 2 r 1.5 r r 2 R 1.5r 3r 3r 2r 2r 3r 1.5r 3r 3r 2 r 2 i r r* r** r* r** 2 r r* 3 r r* r** 3 r 2 r r 1.5 r r 2 r 1.5 r 1.5 r r 2 r 2 r 3 R 3 r 2 r 2 r 1.5 r 3 r 2 r 3 r 2 r 4 r 3 r 3 i r* 2 r r* r** r** 2 r r* r r** 3 r 4 r r 1.5 r 1.5 r r 1.5 r 1.5 r r 1.5 r 2 r r 4 R 2 r 3 r 2 r 3 r 2 r 3 r 2 r 2 r 3 r 2 r 4 i 2 r r* r R* 2 r R** 2 r r** 2.5 r R* Во всех вариантах задания принять: m = 1 кг, r = 0.10 м. На груз 1 действует возмущающая сила F(t) = F 0 sin(pt). На блок действует момент C k M ν ω = − или сила сопротивления k R v μ = − Для тел цилиндрической формы введены следующие обозначения: r*, R* — сплошной однородный цилиндр радиуса "r k " или "R k " соответственно, r**, R** — масса цилиндра распределена по ободу радиуса "r k " или "R k ". 218 Д 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С КУЛИСНЫМ ПРИВОДОМ Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнооб- разные задачи, связанные с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин и механизмов. Исследования поведения любой механической системы всегда начинается с выбора физической модели. Переходя от реальной системы к ее физической схеме, обычно упрощают систему, пренебрегая несущественными для данной задачи факторами. Одним из важных факторов, влияющих на поведение систе- мы, являются конструктивные особенности механизма. Актуальной становится такая задача исследования механической системы, при которой оценивается влияние ее конструктивных элементов на динамические характеристики меха- низма. Цель курсовой работы Исследование и анализ динамического поведения механизма с кулисным приводом с помощью основных теорем и принципов теоретической механики. Содержание курсовой работы Объектом исследования является механизм с кулисным приводом, кото- рый приводится в движение электродвигателем, развивающим момент, прило- женный к маховику 0 0 Д M M = − ν ω где 0 0 , M ν – постоянные величины. Полезная нагрузка моделируется для разных вариантов либо силой H F , либо моментом H M 3 1 3 , H H F v M = −μ = −ν ω где 1 , ν μ – постоянные величины. 219 Схемы механизмов и исходные данные для расчета приведены в альбоме за- даний. При составлении математической модели принимаются следующие до- пущения: o Элементы конструкций механизма считаются абсолютно твердыми. o Проскальзывание между телами отсутствует. Каток движется без скольже- ния. o Трение в подшипниках не учитывается; ползуны скользят по направляющим без трения; трение между пальцем A маховика 1 и прорезью кулисы отсут- ствует. Сопротивление качению не учитывается. Требуется: 1. Составить дифференциальное уравнение движения механизма. 2. Составить уравнения для определения динамических реакций внешних и внутренних связей. 3. Проинтегрировать при нулевых начальных условиях 0 0 0, 0 t t = = ϕ = ϕ = диф- ференциальное уравнение движения маховика на ЭВМ на отрезке времени [0, τ]. Величину τ рекомендуется принимать из промежутка 0,5 10,0 . с ÷ 4. Построить графики функций ( ), ( ), ( ) z z z z t t t ϕ = ϕ ω = ω ε = ε и определяемых динамических реакций. Определить предельную угловую скорость маховика. 5. Проанализировать полученные результаты. Порядок выполнения работы 1. Составить дифференциальное уравнение движения механизма одним из сле- дующих способов (по указанию преподавателя): o с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциаль- ной форме; o методом общего уравнения динамики; o с помощью уравнений Лагранжа второго рода [1, §§ 19.2, 19.3]. 2. Определить динамические реакции внешних и внутренних связей. Для их оп- 220 ределения следует использовать (по указанию преподавателя): o теоремы об изменении количества движения и кинетического момента в дифференциальных формах; o дифференциальные уравнения движения твердого тела; o метод кинетостатики (принцип Даламбера). 3. Численное интегрирование дифференциального уравнения движения при за- данных начальных условиях рекомендуется провести в одной из математиче- ских сред (например, Mathcad). Там же провести определение указанных дина- мических реакций и построение графиков. 4. Провести анализ результатов расчета движения механизма. Проверить соот- ветствие расчетов принятым, при построении математической модели, предпо- ложениям. Исследовать влияние конструктивных элементов на динамические характеристики механизма. Определить область допустимых значений указан- ных параметров, обеспечивающих адекватность поведения системы ее матема- тической модели. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Схема механизма с кривошипно-кулисным приводом приведена на рис.1. Со стороны электромотора к маховику 1 приложен вращающий момент 0 0 Д M M = − ν ω. Маховик 1, связан с кулисой 2, имеющей вертикальные на- правляющие. Кулиса соединена с катком 3 невесомым стержнем 4. Полезная нагрузка моделируется моментом 1 3 H M = −ν ω , приложенным к катку. Меха- низм расположен в вертикальной плоскости. Каток 3 – сплошной однородный цилиндр движется без отрыва от вертикальной плоскости. Проскальзывание при качении тела 3, отсутствует. Сопротивлением движению пренебречь. Требуется 1. Составить дифференциальное уравнение движения механизма методом уравнений Лагранжа второго рода. 2. Определить динамические реакции внешних и внутренних связей. 221 3. Провести численное интегрирование дифференциального уравнения движе- ния при заданных начальных условиях с помощью пакета Mathcad. 4. Провести анализ результатов вычислений. Дано: 2 1 1.5 I кг м = 1 0.06 OA r м = = 1 50 m кг = 2 12 m кг = 0.25 OB м = 0.6 BD м = 0.5 l м = 0.5 h м = 3 18 m кг = 3 0.10 R м = сплошной цилиндр 0 40 M Н м = 0 1.0 Н мc ν = 1 6 Н мc ν = 0.3 СЦ f = 0 0 t = ϕ = 0 0 t = ϕ = 45 α = Рис. 1. Схема механизма и исходные данные 2 ϕ A 1 O H M 3 α Д M 2 C 3 C 4 D B l h 222 1. Составление дифференциального уравнения движения механизма Рассматриваемая механическая система при принятых допущениях имеет одну степень свободы. Примем за обобщенную координату угол поворота ма- ховика ϕ (рис. 2). За положительное направление отсчета обобщенной коорди- наты примем направление, противоположное движению часовой стрелки. Угол поворота катка 3 будем отсчитывать так же. Рис. 2. Расчетная схема механизма (кинематическая) Запишем уравнение Лагранжа второго рода d T T Q d t ϕ ⎛ ⎞ ∂ ∂ − = ⎜ ⎟ ∂ϕ ∂ϕ ⎝ ⎠ (1) где T – кинетическая энергия механизма, ϕ – обобщенная координата, ϕ – обобщенная скорость, Q ϕ – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате ϕ . Для вычисления кинетической энергии механизма составим кинематиче- скую расчетную схему (рис. 2). Выберем правую систему координат xOy , на- ϕ A O α 2 C 3 C ω 3 ω 3 C v 2 2 C v v = 2 C y y x ( ) 3 P мцс A v D B 223 чало которой расположим в подшипнике O маховика 1 и рассмотрим механизм в произвольный момент времени. Изобразим для этого положения скорости тел входящих в систему (рис. 2): o Маховик 1 совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости чертежа, с угловой скоростью ω ; o Кулиса 2 и стержень 4 совершают поступательные движения в плоскости чертежа, имея при этом скорость 2 C v ; o Каток 3 совершает плоское движение, двигаясь по вертикальной плоскости без проскальзывания со скоростью центра масс 3 C v и угловой скоростью 3 ω . Вычислим кинетическую энергию механизма как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав 1 2 3 T T T T = + + Кинетическая энергия маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси 2 1 1 1 1 2 T I = ω . Кинетическая энергия поступательно движущейся кулисы 2 2 2 2 2 1 2 C T m v = Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение 3 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 C T I m v = ω + , где 2 1 3 3 3 2 I m R = – момент инерции сплошного однородного катка относительно оси, проходящей через его центр масс. Таким образом, кинетическая энергия механизма 2 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 C C T I m v I m v = ω + + ω + (2) Выразим линейные и угловые скорости 2 3 3 , , C C v v ω через обобщенную координату ϕ и обобщенную скорость ϕ . 224 Координаты центра масс кулисы (рис. 2) ( ) 2 2 1 0 , ; sin C C r x y l = ϕ + = (3) откуда ( ) 2 2 2 2 1 0; cos x y C C C C v x v y r = = = = ϕ ϕ и ( ) 2 1 cos C v r = ϕ ϕ . (4) Стержень, соединяющий кулису и каток, совершает поступательное дви- жение, поэтому 3 2 C C v v = (5) Точка 3 P является мгновенным центром скоростей катка. Поэтому ( ) 3 3 1 3 3 3 3 3 cos C y C v v r C P R R ω = = = ϕ ϕ (6) Подставив формулы (4) – (6) в выражение (2), получим ( ) 2 1 2 пр T I = ϕ ϕ (7) Здесь ( ) пр I ϕ – так называемый приведенный момент инерции механизма, вы- числяемый по формуле ( ) ( ) 2 2 1 0 1 cos , пр I I m r ϕ = + ϕ (8) где 3 0 2 3 2 3 2 3 3 2 I m m m m m R = + + = + Как видно из выражения (8), приведенный момент инерции является функцией обобщенной координаты ϕ . Вычислим производные от кинетической энергии, входящие в уравнение Лагранжа (1): ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ; ; 2 np np np np d I d I T T d T I I d d t d t ϕ ϕ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = ϕ = ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ ⎜ ⎟ ∂ϕ ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎝ ⎠ (9) Однако производную ( ) np d I d t ϕ можно вычислить так ( ) ( ) np np d I d I d t d ϕ ϕ = ϕ ϕ , где 225 ( ) ( ) 2 0 1 sin 2 np d I m r d ϕ = − ϕ ϕ (10) Таким образом, левая часть уравнения (1) с учетом формул (9) и (10) мо- жет быть записана в виде ( ) ( ) 2 1 2 np np d I d T T I d t d ϕ ⎛ ⎞ ∂ ∂ − = ϕ ϕ + ϕ ⎜ ⎟ ∂ϕ ∂ϕ ϕ ⎝ ⎠ (11) Для вычисления обобщенной силы Q ϕ , соответствующей обобщенной координате ϕ , составим расчетную схему и изобразим силы, действующие в данный момент времени (рис. 3): 1 2 3 , , G G G – силы тяжести звеньев ( ) , 1, 3 k k G m g k = = ; H M – полезная нагрузка; Д M – момент, передаваемый электродвигателем. Остальные связи, наложенные на систему, являются иде- альными. Поэтому их реакции на расчетной схеме не изображаем. Рис. 3. Расчетная схема механизма (силовая) Сообщим маховику возможное перемещение δϕ в направлении возраста- ния обобщенной координаты. Возможные перемещения точек кулисы будут ϕ A H M α Д M 2 C 3 C 3 G 2 2 C s y δ = δ 3 3 C s y δ = δ 2 C y D x ( ) 3 P мцс 2 G 1 G 3 δϕ δϕ y B O 226 равны возможному перемещению его центра масс 2 2 C s y δ = δ . Возможным пе- ремещением катка является поворот на угол 3 δϕ вокруг мгновенного центра скоростей, при этом центр масс катка имеет перемещение 3 2 C y s δ = δ , т. е. воз- можные перемещения центров масс кулисы и катка равны. Вычислим сумму элементарных работ задаваемых сил на возможных пе- ремещениях точек их приложения: 2 3 2 3 3 Д C C H A M G y G y M δ = ⋅ δϕ + ⋅ δ + ⋅ δ + ⋅ δϕ Представим задаваемые силы и возможные перемещения в векторной форме 3 3 , , , , , , 2, 3. n n Д Д H H n n C C M M k M M k G m g j k k y y j n = = = − δϕ = δϕ δϕ = δϕ δ = δ = Выражая, с учетом последних соотношений, скалярные произведения в выражении суммы элементарных работ, получим 2 3 2 3 3 Д C C H A M m g y m g y M δ = δϕ − δ − δ + δϕ (12) Выразим величины 2 3 3 , и C C y y δ δ δϕ через вариацию δϕ обобщенной ко- ординаты. Имеем ( ) ( ) 3 2 3 1 1 3 3 3 cos , cos C C C y r y y r R R δ δ = δ = ϕ δϕ δϕ = = ϕ δϕ (13) Подставим (13) в формулу(12). Тогда ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 3 cos cos Д H r A M m m g r M R ⎡ ⎤ δ = − + ϕ + ϕ δϕ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Коэффициент при вариации δϕ в правой части последней формулы есть, по определению, обобщенная сила ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 3 cos cos Д H A r Q M m m g r M R ϕ δ = = − + ϕ + ϕ δϕ (14) Перепишем последнее равенство с учетом выражений для и Д H M M , а 227 также формулы (6): ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 2 3 1 0 1 2 3 cos cos r Q M m m g r R ϕ ⎛ ⎞ = − + ϕ − ν + ν ϕ ϕ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (15) Заметим, что обобщенная сила является функцией обобщенной координа- ты и обобщенной скорости, т. е. ( ) , Q Q ϕ ϕ = ϕ ϕ . Теперь можно записать дифференциальное уравнение движения машины, приравнивая согласно (1) правую часть соотношения (11) обобщенной силе: ( ) ( ) ( ) 2 1 , 2 np np d I I Q d ϕ ϕ ϕ ϕ + ϕ = ϕ ϕ ϕ (16) Данное уравнение представляет математическую модель машины. |