Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
№ F кН P кН q кН м max q кН м M кН м a м b м r м R м град α град β 1 14 11 4,0 9,0 21 1,5 1,8 0,20 0,90 30 90 2 16 14 2,0 7,5 23 1,2 1,9 0,30 0,95 15 135 3 13 15 5,2 8,0 23 1,3 1,1 0,30 0,55 60 30 4 18 13 3,6 6,5 18 1,2 1,0 0,15 0,80 75 90 5 16 12 2,8 7,0 25 1,4 1,0 0,15 0,85 45 150 6 12 10 5,2 8,0 22 1,1 1,1 0,15 0,90 30 75 7 15 14 4,4 9,5 25 1,1 1,5 0,15 1,00 60 60 8 13 8 4,0 5,5 16 1,3 1,8 0,15 0,80 15 15 9 13 14 5,6 9,5 22 1,4 1,2 0,20 0,90 30 135 10 16 13 5,2 5,5 16 1,4 1,2 0,25 0,90 45 150 11 18 8 4,4 6,0 20 1,0 1,4 0,25 0,55 45 150 12 16 6 2,4 9,5 21 1,3 1,9 0,25 0,70 45 135 13 16 7 2,8 8,5 21 1,3 1,5 0,25 0,55 30 75 14 18 8 4,0 7,0 16 1,5 1,5 0,10 0,70 30 15 15 13 14 5,2 9,0 19 1,0 1,3 0,15 0,95 30 30 16 13 11 3,6 9,5 25 1,4 1,0 0,10 0,85 60 135 17 13 11 3,2 9,0 20 1,3 1,4 0,20 1,00 45 45 18 10 14 3,2 5,0 20 1,5 1,0 0,30 0,50 75 120 19 19 7 4,4 9,0 17 1,4 1,8 0,20 0,75 30 30 20 14 12 2,8 5,5 23 1,1 1,8 0,15 0,60 60 45 21 18 7 5,2 7,0 21 1,2 1,1 0,15 0,70 60 60 22 17 8 6,0 6,0 21 1,1 2,0 0,25 0,70 45 135 23 11 9 4,8 9,5 23 1,2 1,0 0,10 0,65 60 45 24 17 13 5,6 7,5 20 1,1 1,1 0,20 0,65 60 60 25 18 13 4,4 6,0 25 1,2 1,9 0,15 0,55 60 150 26 17 6 5,6 8,0 23 1,3 1,6 0,25 0,75 45 60 27 19 11 2,4 8,5 21 1,3 1,2 0,25 0,75 45 150 28 20 8 4,8 5,5 22 1,2 1,1 0,10 0,80 60 150 29 13 8 3,2 9,5 18 1,1 1,6 0,25 0,60 60 75 30 12 6 4,8 7,5 24 1,0 1,8 0,20 0,90 45 150 148 С 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ В статике наряду с равновесием составных конструкций, т. е. механиче- ских систем, у которых число степеней свободы равно нулю, рассматривается равновесие механизмов – систем, число степеней свободы, которых отлично от нуля. Среди них можно выделить класс плоских шарнирных механизмов с од- ной степенью свободы. Важной задачей статики плоских шарнирных механизмов является опре- деление не только реакций внешних и внутренних связей, но и нахождение сис- тем сил обеспечивающих их равновесие. Основным способом их нахождения, как и ранее, является способ расчленения, при котором рассматривается равно- весие отдельных звеньев механизма. Цель курсовой работы Целью курсовой работы является выработка навыков расчета и исследо- вания равновесия плоских шарнирных механизмов. Содержание курсовой работы Объектом исследования является плоский шарнирный механизм, распо- ложенный в вертикальной плоскости и представляющий собой совокупность абсолютно жестких стержневых звеньев, соединенных друг с другом идеаль- ными шарнирами. Звенья механизма моделируются сплошными однородными стержнями, массы которых пропорциональны их длине. Погонная плотность каждого стержня равна ρ Схемы механизмов и таблицы исходных данных приведены в альбоме заданий, представленном в работе К1. Задаваемыми параметрами являются: o геометрические размеры звеньев механизма; o массовые характеристики механизма. 149 Требуется: 1. Определить: o условия равновесия механизма под действием системы внешних сил в про- извольном положении; o реакции внешних и внутренних связей; o величину уравновешивающего момента пары сил M (уравновешивающей силы P ), обеспечивающую равновесие механизма в произвольном положе- нии. 2. Исследовать влияние положения ведущего звена на величины: o реакций внешних и внутренних связей, o уравновешивающего момента M (уравновешивающей силы P ), действую- щего на произвольное звено и выбрать оптимальный вариант его приложения Порядок выполнения работы Порядок выполнения работ аналогичен порядку работ на равновесие со- ставных конструкций. 150 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Плоский шарнирный механизм (рис. 1), расположенный в вертикальной плоскости, находится в равновесии под действием внешнего момента M (внешней силы P ), приложенного к произвольному звену. Определить реакции внешних и внутренних связей, а также величину уравновешивающего момента M (внешней силы P ) в произвольном положении механизма. Рассмотреть следующие варианты приложения внешних сил: , , OA AB M M M M = = 1 , , O B KD y D M M M M P P = = = Рис. 1 Схема плоского механизма. Исходные данные 0 1 1 2 1 3 4 15 см, 97 см, 66 см, 25 см, 86 см, 50 см, 37 см, 10 кг м, , 2 0, 3, 0 кг. i i OA l AB l O B l O K KD l a b m l i m = = = = = = = = = = = = ρ = = ρ = b a 1 C D B A 1 O O M ϕ K 0 C 2 C 3 C 1 ψ 2 ψ 3 ψ 151 1. Составление уравнений равновесия Для решения поставленной задачи выберем правую систему координат, начало которой расположим в подшипнике O . Рассмотрим механизм в произ- вольном положении и изобразим силы, действующие на него (рис. 2): 0 1 2 3 4 , , , , G G G G G — силы тяжести звеньев; OA M M = — уравновешивающий момент, приложенный к ведущему звену OA ; 1 1 1 , O O O O O O R X Y R X Y = + = + — реакции шарнирных опор, 4 N – нормальная реакция направляющих ползуна. Рис. 2 Расчетная схема механизма. На механизм действует произвольная плоская система сил, для которой можно записать не более трех условий равновесия. Неизвестных сил, дейст- вующих на механизм шесть: OA M , 1 1 1 , O O O O O O R X Y R X Y = + = + и 4 N Расчленим плоский шарнирный механизм по шарнирам на отдельные звенья и изобразим реакции внешних и внутренних связей каждого звена и рассмотрим равновесие всех звеньев (рис. 3). b a 1 C D B A 1 O O OA M ϕ K 0 C 1 G 2 G 3 G 4 D G G = 0 G 2 C 3 C 1 ψ 2 ψ 3 ψ 1 O Y O Y 4 N 1 O X O X 152 Рис. 3 Расчетные схемы звеньев плоского механизма. На кривошип OA действуют внешние силы 0 , O O O R X Y G = + , пара сил с моментом OA M , а также реакция шарнира A A A A R X Y − = + . На шатун AB кроме силы тяжести 1 G действуют реакции , A A R R ′ = − B B B R X Y = + На кривошип 1 O B действуют силы 1 1 1 2 , O O O R X Y G = + и внутренние реак- ции , K K K B B R X Y R R ′ = + = − . На шатун KD кроме силы тяжести 3 G действуют реакции , K K R R ′ = − D D D R X Y = + На ползун действуют силы 4 4 , G N и реакция D D R R ′ = − 1 C B A 1 G 1 ψ B Y A Y′ A X ′ B X A O OA M ϕ 0 C 0 G A Y O Y O X A X 3 G 3 C 3 ψ K Y′ K X ′ D X D Y D B 1 O K 2 G 2 C 2 ψ 1 O Y 1 O X K X B X ′ K Y B Y′ D X ′ D D G 4 N D Y′ 153 Таким образом, на звенья механизма действует четырнадцать неизвест- ных сил: пара сил OA M , а также реакции внешних и внутренних связей O O O R X Y = + , 1 1 1 O O O R X Y = + , A A A R X Y = + , B B B R X Y = + , K K K R X Y = + , D D D R X Y = + и 4 N Звенья 1 , , и OA AB O B KD механизма находятся в равновесии под дейст- вием произвольных плоских систем сил, а ползун D − под действием плоской сходящейся системы сил. Для каждого звена запишем следующие условия рав- новесия: Кривошип OA ( ) 0, 0; k O k k k F M F = = ∑ ∑ (42) Шатун AB ( ) 0, 0; k A k k k F M F = = ∑ ∑ (43) Кривошип 1 O B ( ) 1 0, 0; k O k k k F M F = = ∑ ∑ (44) Шатун KD ( ) 0, 0; k K k k k F M F = = ∑ ∑ (45) Ползун D 0. k k F = ∑ (46) Каждое из условий, обеспечивающее равенства нулю главного вектора системы сил 0 k k F = ∑ , на плоскости эквивалентно двум уравнениям равнове- сия, а условия равновесия моментов ( ) 0 i k k M F = ∑ , на плоскости эквивалентно одному уравнению равновесия. Таким образом, условиям равновесия в вектор- ной форме (42) – (46) соответствуют 14 линейных алгебраических уравнений равновесия с 14-ю неизвестными, и задача является статически определимой. Составляя уравнения равновесия, соответствующие условиям (42) – (46), в векторной форме получим: Кривошип OA ( ) 0 0 0 0; 0, 0; 0; k O A k O k OA C A A k F R R G M F M G R = + + = = + ρ × + ρ × = ∑ ∑ (47) 154 Шатун AB ( ) 1 1 1 0; 0, 0; 0; k A B k A k C AB B k F R R G M F G R ′ = + + = = ρ × + ρ × = ∑ ∑ (48) Кривошип 1 O B ( ) 1 1 2 1 2 2 0; 0, 0; 0; k O K B k O k C K K O B B k F R R R G M F G R R ′ = + + + = ′ = ρ × + ρ × + ρ × = ∑ ∑ (49) Шатун KD ( ) 3 3 3 0; 0, 0; 0; k K D k K k C KD D k F R R G M F G R ′ = + + = = ρ × + ρ × = ∑ ∑ (50) Ползун D 4 4 0; 0. k D k F R N G ′ = + + = ∑ (51) Здесь i ρ – радиус-векторы, определяющие положения соответствующих точек механизма на плоскости. Ориентация векторов i ρ на плоскости задается с помощью углов ϕ и 1, 3 k k ψ = , которые можно определить с помощью уравнений геометрических связей, записанных для узловых точек плоского механизма. Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована про- цедура составления уравнений равновесия в символьном виде. Составление уравнений равновесия звеньев плоского шарнир- ного механизма Формирование радиус-векторов, определяющих точки приложения сил r A ϕ ( ) cos ϕ ( ) sin ϕ ( ) 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ L 0 ⋅ := L 0 r C0 ϕ ( ) cos ϕ ( ) sin ϕ ( ) 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ L 0 2 ⋅ := L 0 r O1 ϕ ( ) a b 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ := a ρ AB ϕ ( ) cos ϕ 1 ϕ ( ) ( ) sin ϕ 1 ϕ ( ) ( ) 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ L 1 ⋅ := ϕ 1 ρ C1 ϕ ( ) cos ϕ 1 ϕ ( ) ( ) sin ϕ 1 ϕ ( ) ( ) 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ L 1 2 ⋅ := ϕ 1 ρ K ϕ ( ) cos ϕ 2 ϕ ( ) ( ) sin ϕ 2 ϕ ( ) ( ) 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ O1K ⋅ := ϕ 2 ρ B ϕ ( ) cos ϕ 2 ϕ ( ) ( ) sin ϕ 2 ϕ ( ) ( ) 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ L 2 ⋅ := ϕ 2 ρ C2 ϕ ( ) cos ϕ 2 ϕ ( ) ( ) sin ϕ 2 ϕ ( ) ( ) 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ L 2 2 ⋅ := ϕ 2 ρ C3 ϕ ( ) cos ϕ 3 ϕ ( ) ( ) sin ϕ 3 ϕ ( ) ( ) 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ L 3 2 ⋅ := ϕ 3 155 ρ D ϕ ( ) cos ϕ 3 ϕ ( ) ( ) sin ϕ 3 ϕ ( ) ( ) 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ L 3 ⋅ := ϕ 3 r D ϕ ( ) a y D ϕ ( ) 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := a Формирование векторов активных сил G 0 0 m 0 − g ⋅ 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := m 0 G 1 0 m 1 − g ⋅ 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := m 1 G 2 0 m 2 − g ⋅ 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := m 2 G 3 0 m 3 − g ⋅ 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := m 3 G 4 0 m 4 − g ⋅ 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := m 4 Формирование векторов неизвестных сил и реакций связей R O X O Y O 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := X O R A X A Y A 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := X A R O1 X O1 Y O1 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := X O1 R B X B Y B 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := X B R K X K Y K 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := X K R D X D Y D 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := X D N 4 N 0 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := N M OA 0 0 M ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ := R' A R A − := R A R' B R B − := R B R' K R K − := R K R' D R D − := R D Вычисление главных векторов и главных моментов внешних сил, дейст- вующих на звенья плоского механизма Звено k k P F = ∑ ( ) k k M M F = ∑ OA P OA R O R A + G 0 + := R O M O M OA r A ϕ ( ) R A × + r C0 ϕ ( ) G 0 × + := r A AB P AB G 1 R B + R' A + := G 1 M A ρ C1 ϕ ( ) G 1 × ρ AB ϕ ( ) R B × + := ρ C1 1 O B P O1B R O1 R K + G 2 + R' B + := R O1 M O1 ρ K ϕ ( ) R K × ρ C2 ϕ ( ) G 2 × + ρ B ϕ ( ) R' B × + := ρ K KD P KD G 3 R' K + R D + := G 3 M K ρ C3 ϕ ( ) G 3 × ρ D ϕ ( ) R D × + := ρ C3 D P D G 4 R' D + N 4 + := G 4 Формирование уравнений равновесия UR P OA 1 P OA 2 M O 3 P AB 1 P AB 2 M A 3 P O1B 1 P O1B 2 M O1 3 P KD 1 P KD 2 M K 3 P D 1 P D 2 ( ) := P OA 156 Формирование системы уравнений равновесия UR T → X A X O + Y A Y O + g m 0 ⋅ − M L 0 X A ⋅ sin ϕ ( ) ⋅ − L 0 Y A ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ + L 0 g ⋅ m 0 ⋅ cos ϕ ( ) ⋅ 2 − X B X A − Y B Y A − g m 1 ⋅ − L 1 Y B ⋅ cos ϕ 1 ϕ ( ) ( ) ⋅ L 1 X B ⋅ sin ϕ 1 ϕ ( ) ( ) ⋅ − L 1 g ⋅ m 1 ⋅ cos ϕ 1 ϕ ( ) ( ) ⋅ 2 − X K X B − X O1 + Y K Y B − Y O1 + g m 2 ⋅ − L 2 X B ⋅ sin ϕ 2 ϕ ( ) ( ) ⋅ L 2 Y B ⋅ cos ϕ 2 ϕ ( ) ( ) ⋅ − O1K X K ⋅ sin ϕ 2 ϕ ( ) ( ) ⋅ − O1K Y K ⋅ cos ϕ 2 ϕ ( ) ( ) ⋅ + L 2 g ⋅ m 2 ⋅ cos ϕ 2 ϕ ( ) ( ) ⋅ 2 − X D X K − Y D Y K − g m 3 ⋅ − L 3 Y D ⋅ cos ϕ 3 ϕ ( ) ( ) ⋅ L 3 X D ⋅ sin ϕ 3 ϕ ( ) ( ) ⋅ − L 3 g ⋅ m 3 ⋅ cos ϕ 3 ϕ ( ) ( ) ⋅ 2 − N X D − Y D − g m 4 ⋅ − ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ → Решение полученной системы уравнений может быть найдено в Mathcad с помощью блока решений Given Find − . Однако наиболее эффективным спосо- бом решения и анализа результатов вычислений систем линейных алгебраиче- ских уравнений является матричный метод. Для его применения представим уравнения равновесия в матричной форме: , A R B ⋅ = где A – матрица коэффициентов при неизвестных величинах, R – вектор неиз- вестных, B – вектор правой части (известных слагаемых в уравнениях равнове- сия) системы алгебраических уравнений (рис. 4). Этому уравнению соответствует решение вида 1 R A B − = ⋅ При этом определитель матрицы A не должен быть равен нулю ( ) det 0. A ≠ Уравнения равновесия для других вариантов приложения уравновеши- вающих сил составляются аналогично. 157 рис . 2. Рис . 4. Матрица коэффициентов А и вектор правой части В . |