Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
Составление дифференциального уравнения движения меха- низма с помощью теоремы об изменении кинетической энергии Для составления дифференциального уравнения движения механической системы с одной степенью свободы применим теорему об изменении кинетиче- ской энергии в дифференциальной форме ( ) ( ) e i k k k k k k d T N F N F d t = + ∑ ∑ , (12) 267 где T – кинетическая энергия системы; ( ) e k k k N F ∑ – сумма мощностей внеш- них сил; ( ) i k k k N F ∑ – сумма мощностей внутренних сил. Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энер- гий тел, образующих механическую систему 0 1 2 3 4 T T T T T T = + + + + , где 2 0 1 2 Oz T I = ω – кинетическая энергия кривошипа OA , совершающего враща- тельное движение вокруг оси O z ; 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 C z C T m v I = + ω – кинетическая энергия шатуна AB , совершающего плоское движение; 1 2 2 2 2 1 2 O z T I = ω – кинетическая энергия кривошипа 1 O B , совершающего враща- тельное движение вокруг оси 1 O z ; 3 3 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 C z C T m v I = + ω – кинетическая энергия шатуна KD , совершающего плоское движение; 4 2 2 4 4 4 1 1 2 2 D C T m v m v = = – кинетическая энергия ползуна D , который движется поступательно. Моменты инерции сплошных однородных стержней, составляющих ме- ханизм, относительно осей проходящих через их центры масс равны 1 1 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 , , , 3 12 3 12 C z O z C z Oz I m l I m l I m l I m l = = = = Подставляя кинематические соотношения (3) – (6) в выражение кинети- ческой энергии системы, окончательно получаем: ( ) 2 1 2 np T I = ϕ ω (13) 268 где ( ) 1 3 4 1 1 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3 3 4 C z O z C z пр Oz C C C I I m V I I m V I m V ϕ = + + Ω + Ω + + Ω + (14) – приведенный момент инерции механизма, а величины ( ) , 1, 4 k C V k = – скоро- сти точек механизма, отнесенные к угловой скорости ведущего звена k k C C v V ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ω ⎝ ⎠ Для рассматриваемой механической системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных идеальными шарнирами сумма мощностей внутрен- них сил равна нулю ( ) 0 i k k k N F = ∑ Сумма мощностей внешних сил будет равна ( ) 1 2 3 4 , Д H e k k M F G G G G G k N F N N N N N N N = + + + + + + ∑ где C G N G v = ⋅ , 1 1 1 C G N G v = ⋅ , 2 2 2 C G N G v = ⋅ , 3 3 3 C G N G v = ⋅ , 4 4 4 C G N G v = ⋅ – мощности сил тяжести звеньев; Д M Д N M = ω – мощность момента приводяще- го механизм в движение; H F H D N F v = ⋅ – мощность полезной нагрузки. Мощности сил 1 1 , , , , O O O O П X Y X Y X равны нулю, т.к. реакция опорной плоскости П X перпендикулярна скорости точки D , а остальные силы прило- жены к неподвижным точкам. Учитывая выражения для движущегося момента Д M и полезной нагруз- ки H F , окончательно получим ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 , , e k k пр пр пр k N F M M = ϕ ω ω = ϕ ω − ν ϕ ω ∑ (15) где ( ) ( ) ( ) 0 , пр пр пр M M ϕ ω = ϕ − ν ϕ ω (16) – приведенный момент внешних сил, а величины ( ) ( ) 0 и пр пр M ϕ ν ϕ равны ( ) ( ) 4 0 0 2 0 , k пр C k C k пр C M M G V G V V ϕ = + ⋅ + ⋅ ν ϕ = ν + μ ∑ 269 Подставляя найденные выражение кинетической энергии (13) и мощно- сти внешних сил (15) в теорему об изменении кинетической энергии (12), полу- чим дифференциальное уравнение движения механизма ( ) ( ) ( ) 2 1 , 2 np np пр I I M ′ ϕ ϕ + ϕ ϕ = ϕ ϕ , (17) где ( ) ( ) np np d I I d ′ ϕ = ϕ ϕ – производная момента инерции механизма по углу по- ворота ведущего звена. Решив данное дифференциальное уравнение второго порядка с указан- ными в задаче начальными условиями, найдем закон движения ведущего звена ( ) t ϕ , его угловую скорость ( ) t ϕ = ω и угловое ускорение ( ) t ϕ = ε . 2. Нахождение реакций внешних и внутренних связей Для определения реакций внешних и внутренних связей расчленим пло- ский шарнирный механизм на отдельные звенья и изобразим реакции внешних и внутренних связей каждого звена (рис. 3). Применив к каждому телу, изображенному на расчетной схеме, теорему о движении центра масс (в проекциях на оси координат) и теорему об изменении кинетического момента (для кривошипов относительно осей вращения, для ша- тунов относительно осей проходящих через центр масс) получим следующую систему уравнений: Кривошип OA , , ; x y C O A C O A Oz Д C A A A A ma X X ma Y Y m g I M m g x Y x X y = + = + − ε = − + − (18) Шатун AB 1 1 1 1 1 , , x y C B A C B A m a X X m a Y Y m g ′ = − ′ = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ; C z A C A A C A B B C B B C I X y y Y x x X y y Y x x ′ ′ ε = − − + − − − + + − (19) 270 Рис. 3. Расчетные схемы звеньев плоского механизма Кривошип 1 O B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 , , ; x y O z C O B K C O B K K K O K K O B B O B B O C O m a X X X m a Y Y Y m g I X y y Y x x X y y Y x x m g x x ′ = − + ′ = − + − ε = − − + − + ′ ′ + − − − − − (20) Шатун KD ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 , , ; x y C z C D K C D K K C K K C K D D C D D C m a X X m a Y Y m g I X y y Y x x X y y Y x x ′ = − ′ = − − ′ ′ ε = − − + − − − − + − (21) Ползун D 4 4 4 0 , П D C D H X X m a Y m g F ′ = − ′ = − − + (22) 1 C B A 1 G 1 ψ 1 ω B Y A Y′ A X ′ B X 1 C a 1 ε B 1 O K 2 G 2 C 2 ψ 1 O Y 1 O X 2 C a K X B X ′ K Y B Y′ 2 ω 2 ε A O Д M ϕ C G A Y O Y O X A X C a ω ε 3 G 3 C 3 ψ K Y′ K X ′ 3 ω 3 ε 3 C a D X D Y D D X ′ D 4 G П X 4 C a D Y′ H F 271 Первое уравнение системы (22) позволяет определить реакцию опорной плоскости П X , а второе, после подстановки найденных величин, дифференци- альное уравнение движения механизма (17). Оставшиеся двенадцать соотношений представляют собой систему ли- нейных алгебраических уравнений относительно неизвестных реакций. 3. Результаты расчетов Решение поставленной задачи сводится к численному интегрированию дифференциального уравнения движения механизма (17) и решению системы двенадцати линейных алгебраических уравнений (18) – (21) относительно неиз- вестных динамических реакций внешних и внутренних связей. Задача интегрирования дифференциального уравнения (17) связана с большим количеством предварительных вычислений и может быть условно разбита на пять блоков: o решение системы уравнений геометрических связей (1) или вычисление геометрических соотношений (2); o вычисление кинематических соотношений по формулам (3) – (11); o вычисление приведенного момента инерции механизма ( ) np I ϕ и приведен- ного момента внешних сил ( ) , пр M ϕ ϕ ; o вычисление производной от приведенного момента инерции по углу поворо- та ведущего звена ( ) np I ′ ϕ ; o численное интегрирование дифференциального уравнения. Все это может быть проведено в Mathcad несколькими способами исполь- зующими различные встроенные процедуры–функции. Отличие этих способов и методов заключается во времени вычислений, которое требуется для нахож- дения: решения системы уравнений геометрических связей, приведенного мо- мента инерции механизма ( ) np I ϕ и его производной ( ) np I ′ ϕ , приведенного мо- мента внешних сил ( ) , пр M ϕ ϕ , а также решения дифференциального уравнения 272 движения (17). Подробно о методах решения данного дифференциального уравнения изложено в [1]. Ниже рассмотрен алгоритм и приведет пример доку- мента Mathcad, в котором обеспечивается минимальное время вычислений. Алгоритм вычислений Угловые координаты звеньев ( ) 1, 3 k k ϕ = и положение ползуна D 4 D C y y = вычисляются в явном виде по формулам (2). Угловые скорости звеньев ( ) 1, 3 k k Ω = , отнесенных к угловой скорости кривошипа, вычисляются в явном виде по формулам (3). Скорости центров масс звеньев ( ) 1, 4 k C V k = , отнесенных к угловой ско- рости кривошипа, вычисляются в явном виде по формулам (4) – (6), которые примут следующий вид ( ) ( ) 1 2 3 4 1 1 2 1 2 3 2 1 3 1 2 2 3 3 ; , , , cos cos C C C C C V k OC V k OA AC V O C V O K KC V O K KD = × = × + Ω × = Ω × = Ω × + Ω × = ϕ Ω + ϕ Ω (23) Далее, по формулам (14) и (16) вычисляется приведенный момент инер- ции ( ) np I ϕ и коэффициенты в приведенном моменте внешних сил ( ) , пр M ϕ ϕ . Для вычисления производной ( ) np I ′ ϕ от приведенного момента инерции по углу поворота ведущего звена воспользуемся явным представлением этой производной ( ) 1 1 1 1 3 3 4 4 3 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 2 2 2 2 2 2 C z O z C z пр C C C C C C I m V V I I m V V I m V V ′ ′ ′ ′ ϕ = + Ω Ω + Ω Ω + ′ ′ ′ + Ω Ω + Производные ( ) 1, 3 k k ′ Ω = можно найти, продифференцировав по ϕ сис- 273 тему уравнений ( ) ( ) ( ) A X B Ω ϕ ⋅ ϕ = ϕ . Получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , A X A X B A X C Ω Ω Ω ′ ′ ′ ′ ′ ϕ ⋅ ϕ + ϕ ⋅ ϕ = ϕ ⇒ ϕ ⋅ ϕ = ϕ откуда ( ) ( ) ( ) 1 , X A C − Ω ′ ′ ϕ = ϕ ⋅ ϕ где вектор ( ) 1 2 3 X Ω ⎛ ⎞ ′ Ω ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ′ ϕ = Ω ⎜ ⎟ ′ ⎜ ⎟ Ω ⎝ ⎠ , а матрица ( ) C′ ϕ определена соотношением (8). Производные ( ) 1, 4 k C V k ′ = находятся дифференцированием по углу по- ворота кривошипа OA выражений (23). Для численного интегрирования дифференциального уравнения второго порядка (17) представим его в виде системы двух дифференциальных уравне- ний первого порядка. Введя новые переменные , ω = ϕ ε = ω = ϕ , получим ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 , 1 1 2 пр пр np np M I I ⎡ ⎤ ′ ω = ϕ − ν ϕ ω − ϕ = ω ϕ ω ⎢ ⎥ ϕ ⎣ ⎦ (24) Эти соотношения позволяет вычислять угловое ускорение кривошипа, если известны его угол поворота и угловая скорость; в частности, можно вы- числить угловое ускорение в начальный момент по заданным начальным зна- чениям угла поворота и угловой скорости кривошипа. Для интегрирования системы уравнений (24) при заданных начальных условиях используем встроенную в пакет Mathcad процедуру-функцию rkfixed реализующую метод Рунге-Кутта [1] и имеющую следующий вид: rkfixed(u, T 0 , T k , N, D), где: ( ) ( ) 0 0 u ⎡ϕ ⎤ = ⎢ ⎥ ϕ ⎣ ⎦ - вектор начальных условий; 0 , k T T – граничные точки интерва- ла, на котором ищется решение дифференциального уравнения. Начальные ус- ловия, заданные в векторе u – это значение решения в точке 0 T ; N – число то- 274 чек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк 1 N + в матрице, воз- вращаемой функцией rkfixed ; ( ) ( ) ( ) , , , t U D t U t U ⎡ϕ ⎤ = ⎢ ⎥ ω ⎣ ⎦ – вектор, элементами которо- го является угловая скорость и угловое ускорение маховика, определяемых уравнениями (24). Матрица, получаемая в результате решения, содержит три столбца; пер- вый – для значений времени t , второй – для значений угла поворота ( ) t ϕ , тре- тий – для значений угловой скорости ( ) t ϕ Решение системы линейных алгебраических уравнений (18) – (21), для нахождения динамических реакций внешних и внутренних связей сложностей не вызывает и реализуется любым из методов реализованных в Mathcad [1, 5]. Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована про- цедура интегрирования дифференциального уравнения движения маховика и вычисления реакций внешних и внутренних связей. |