Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
4. Анализ результатов вычислений Математическая модель, описывающая поведение исследуемого меха- низма (механической системы), построена при следующих основных допуще- ниях: o Каток 3 движется вдоль вертикальной плоскости без отрыва от нее, т.е. на каток наложены дополнительные связи, которые можно описать следующи- ми уравнениями: геометрическими 3 3 C x const R = = ; силовыми 3 0 N > , т. к. связь в точке касания катка с плоскостью является неудерживающей. o Каток 3 движется без проскальзывания, т.е. модуль силы сцепления СЦ F подчинен следующему ограничению 3 , СЦ СЦ СЦ F F f N ′ ≤ = где СЦ F′ — предельное значение силы сцепления. Анализ результатов расчета, с учетом сформулированных требований к поведению механической системы, позволяют сделать следующие выводы (ве- личину времени начала установившегося режима движения механизма, период неравномерности вращения маховика и др. можно получить, используя опцию 2D-графиков "Trace", которая позволяет снимать значения координат функций прямо на графике [1]): 1. Время неустановившегося движения механизма невелико и составляет около 4,5 с. 2. В установившемся режиме движение маховика близко к равномерному вращению, средняя угловая скорость которого порядка 19.3 cp рад с ω = . Амплитуда неравномерного вращения составляет приблизительно 0.9 рад с , а его период – 0.325 c . Таким образом коэффициент неравно- мерности движения механизма приблизительно равен 242 max min 0.096. cp ω − ω δ ≈ = ω 3. В установившемся режиме среднее угловое ускорение маховика прибли- зительно равно 2 0 cp рад с ε = . Амплитуда изменения углового ускорения составляет приблизительно 2 26 рад с , а коэффициент динамичности max 2 0.067. cp ε χ = = ω 4. Среднее значение силы нормального давления на вертикальную плос- кость 3 N в установившемся режиме составляет приблизительно 180 Н, что близко к величине ( ) 3 m g tg α (см. (20)) а амплитуда ее изменения – около 930 Н. 5. Величина силы нормального давления на вертикальную плоскость 3 N с периодичностью 0,325 с. принимает отрицательные значения, что может привести к отрыву катка от вертикальной плоскости. Такое поведение си- лы 3 N противоречит математической модели механизма и требует изме- нения ее параметров. 6. Максимальные и минимальные значения силы сцепления имеют прибли- зительно следующие значения ( ) ( ) max 712 , min 710 СЦ СЦ F H F H = = − . В тоже время предельные значения силы сцепления изменяются в интерва- ле ( ) ( ) max 337 , min 220 СЦ СЦ F H F H ′ ′ = = − , что не соответствует условиям движения катка без проскальзывания. 7. При заданных параметрах механизма и внешних нагрузок указанные ус- ловия не выполняются. На основании выводов по результатам расчета движения механизма сфор- мулируем задачу исследования. Требуется обеспечить соответствие движения механизма ее математиче- ской модели в рамках принятых при постановке задачи допущениях. 243 Т.е. необходимо удовлетворить следующим условиям: 14) Сила нормального давления катка 3 о вертикальную плоскость должна быть положительной; 15) Величина силы сцепления должна обеспечивать движение катка 3 без проскальзывания. Данные условия представим в математическом виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 min 0, max min , min max СЦ СЦ СЦ СЦ N F f N F f N > ≤ ≥ − (25) В дальнейшем будем считать, что расчетный режим движения механизма является штатным, т.е. входные Д M и выходные нагрузки H M , а также сред- няя угловая скорость изменяться не должны. Вид графиков изменения величин ( ) ( ) ( ) ( ) 3 , , и СЦ N t F t t t ω ε показывает, что в дальнейшем исследовании следует ограничиться диапазоном установив- шегося режима движения механизма. Для выполнения условий (25) выявим влияние параметров механизма и внешних нагрузок на величины углового ускорения ε и угловой скорости ω маховика, силы нормального давления 3 N , силы сцепления СЦ F Анализ зависимостей (18) – (20) показывает, что величина нормальной реакции опоры 3 N зависит от прижимного усилия ( ) 4 sin F S = α катка на вер- тикальную плоскость; прижимное усилие зависит от кинематических и инерци- онных (массы и момента инерции) параметров катка 3; сила сцепления также пропорциональна кинематическим и инерционным параметрам катка. В тоже время инерционные параметры катка влияют на угловое ускорение механизма и, следовательно, на его угловую скорость. Таким образом, изменение инерционных параметров катка (массы и / или момента инерции) приводит не только к изменению прижимного усилия, но и к изменению силы сцепления и кинематических параметров всего механизма. 244 Следует отметить, что в некоторых вариантах схем задания следует изме- нять инерционные параметры катка. Подытоживая вышесказанное, нужно поставить цель изменения прижим- ного усилия таким образом, чтобы оно не влияло на кинематические параметры механизма. Данную проблему можно решить, добавив в механизм новый кон- струкционный элемент, который осуществляет поджим катка 3 к вертикальной плоскости. Вариантов, обеспечивающих такое решение, по–крайней мере – два (рис.5): o Предварительно сжатый упругий стержень, поджимающий каток 3 со сторо- ны кулисы 2 (рис.5 а); o Предварительно растянутый упругий стержень, обеспечивающий внешнее поджатие катка 3 (рис.5 б). Рис. 5. Дополнительный конструктивный элемент Оба стержня моделируются упругой пружиной, сила упругости которой, определяется выражением F c = λ , где c – коэффициент жесткости стержня, λ – предварительное удлинение / сжатие стержня, в зависимости от схемы креп- ления. Так как точка крепления пружины совпадает с центром масс катка в обо- их случаях, то расчетные схемы для них будут одинаковы (рис. 6). Отличие этой схемы от предыдущей (рис. 4 а) заключается в наличии силы F , которая обеспечивает поджим катка 3 к вертикальной плоскости. 2 H M 3 α 2 C 3 C 4 D c E ) б E 2 H M 3 α 2 C 3 C 4 D c ) a 245 Рис. 6. Расчетная схема катка с дополнительным конструктивным элементом Записывая для катка 3 дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела, получим ( ) ( ) 3 3 4 3 4 3 3 3 3 0 sin , cos , C СЦ СЦ H N F S m y S F m g I F R M = − − α = α − − ϕ = + Из этих уравнений можно найти величину нормальной реакции катка 3 N ( ) ( ) 3 3 4 3 3 3 3 sin 2 H C M N F S F m g m y tg R ⎛ ⎞ = + α = + − + α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ и остальные реакции, действующие на каток 3 4 , СЦ F S − , значения которых сов- падают с предыдущим решением (см. формулы (18), (19)). Оценим теперь величину прижимного усилия F . Так как значения силы сцепления СЦ F и реакции стержня 4 4 S не изменяются в связи с появлением дополнительного конструктивного элемента, то в расчетах можно использовать результаты предыдущего решения, которые обозначим символом ( ) 0 " ". Под- ставляя экстремальные значения сил 4 , СЦ F S в условия (25), получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 4 3 0 0 3 3 0 0 3 3 min sin min 0, max max min min , min min min min СЦ СЦ СЦ СЦ СЦ СЦ СЦ СЦ СЦ СЦ N F S F N F F f N f F f N F F f N f F f N ⎡ ⎤ = + α = + > ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ≤ = + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ≥ − = − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ F 3 C 3 G 3 C a 3 3 ε = ϕ 3 N H M СЦ F 4 S 3 P α x y 246 Разрешая данные неравенства относительно силы F , получим соотноше- ния позволяющие найти минимальное значение величины прижимного усилия, обеспечивающего выполнение условий (25) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 3 3 0 3 max min min min , , min СЦ СЦ СЦ СЦ СЦ СЦ F f N F f N F F f f F N ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ≥ ≥ ⎡ ⎤ > − ⎣ ⎦ Экстремальные значения силы сцепления СЦ F и нормальной реакции вертикальной плоскости 3 N в предыдущем решении равны ( ) ( ) ( ) 0 0 0 3 min 732.651 , max 711.7 , min 709.927 . СЦ СЦ N H F H F H ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − = = − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Тогда минимальное значение прижимного усилия должно удовлетворять следующим неравенствам 3104.893 , 3098.984 , 732.651 . F H F H F H ≥ ≥ > В качестве минимального значения прижимного усилия принимаем с не- большим запасом 3200 F H = . Задавая теперь в качестве величины предвари- тельного удлинения (сжатия) прижимного стержня 0.002 м λ = , получим значе- ние модуля упругости стержня 1600 000 F H c м = = λ Для схемы механизма с предварительно растянутым стержнем (рис. 5 б) закон движения ведущего звена, а также реакции внешних и внутренних связей остаются неизменными, кроме нормальной реакции опорной плоскости 3 N . При этом максимальные сжимающие усилия стержня 4 и силы нормального давления пальца на прорезь кулисы 2 равны max max 4 1589.222 , 1477.811 . A S H N H = = Оценим теперь, какое влияние оказывает на механизм предварительно сжатый стержень. Для этого рассмотрим кулису 2 и составим для нее расчет- 247 ную схему (рис. 7), на которой изобразим действующие на кулису силы: силу тяжести 2 2 G m g = , реакции направляющих кулисы , B D N N , усилие стержня 4 – 4 S ′, прижимное усилие F′ , а также силу давления пальца маховика A на про- резь кулисы A N . Рис. 7. Расчетная схема кулисы 2 в случае внутреннего поджима (рис.5 а). Применяя, как и ранее теорему о движении центра масс и теорему об из- менении кинетического момента механической системы, получим следующие уравнения ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 1 2 2 2 sin , cos , 0 cos 0 D B C A A D B S N m y N S m g N r N C D N N F F C E B C ′ α − ′ = − α − = ′ = + + ′ ϕ − − − Решение данной системы показывает, что величина силы давления пальца на прорезь кулисы A N полностью совпадает с формулой (21), а остальные ре- акции равны ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 4 1 2 4 cos sin , cos sin , B A B A r C D ED N N S F BD BD BD r C B EB N N S F BD BD BD ′ = ϕ + α + ′ = ϕ − α − где ( ) 2 , , cos ED OD OE EB OE OB C E h = − = − = α E O A α 2 C 2 2 C C a y = y 2 G 4 S ′ B x A N D N B N ϕ D F′ 248 Таким образом, для схемы механизма с предварительно сжатым стержнем (рис. 5 а), закон движения ведущего звена, а также реакции связей остаются не- изменными, кроме нормальных реакций опорной плоскости 3 N и направляю- щих , B D N N . Максимальные значения сжимающих усилий в стержне 4 и при- жимном стержне, а также силы нормального давления пальца на прорезь кули- сы 2 равны max max 4 1589.222 , 1477.811 , 3200 . A S H N H F H = = = Сравнивая предельные значения сжимающих усилий для разных конст- руктивных схем, делаем вывод, что поскольку эти значения меньше для схемы с предварительно растянутым стержнем (рис. 5 б), то данная схема предпочти- тельнее. 249 5. Результаты анализа С целью подтверждения проведенных исследований произведем расчет конструктивно измененного механизма. Динамический расчет механизма с кулисным приводом 1. Ввод исходных данных … … … … h 0.5 := λ 0.002 := c 1600000 := 2. Вычисление постоянных величин … … … … F c λ ⋅ := CE h cos α ( ) ⋅ := 3. Определение функций … … … … OE φ ( ) OC φ ( ) CE + := … … … … 6. Вычисление реакций внешних и внутренних связей Нормальное давле- ние катка 3 N 3 tan α ( ) m 3 g ⋅ M H φ ω , ( ) R 3 − m 3 I 3 R 3 2 + ⎛⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟⎠ a C3 ⋅ + ⎡⎢ ⎢⎣ ⎤⎥ ⎥⎦ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⋅ F + := max N 3 ( ) 4323.75 = min N 3 ( ) 2467.439 = mean N 3 ( ) 3380.14 = График зависимости нормального давления 3 N катка на вертикальную плоскость от времени 0 2 4 6 8 10 2000 2500 3000 3500 4000 4500 N 3 t … … … … Предельное значение силы сцепления F' SC f N 3 → ⎯ ⋅ := max F SC ( ) 711.7 = min F SC ( ) 709.927 − = max F' SC ( ) 1297.125 = min F' SC ( ) 740.232 = 250 График зависимости силы сцепления катка с вертикальной плоскостью и ее предельных значений от времени 0 2 4 6 8 10 2000 1000 0 1000 2000 F SC F' SC F' SC − t 8 8.5 9 9.5 10 2000 1000 0 1000 2000 F SC F' SC F' SC − t … … … … Давление кулисы на направляющую в точке B N B N A r 1 BD ⋅ cos φ ( ) ⋅ S 4 sin α ( ) ⋅ OD OC φ ( ) − BD ⋅ + F OD OE φ ( ) − BD ⋅ + ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ := График зависимости давления кулисы на направляющую в точке B от времени 0 2 4 6 8 10 400 200 0 200 400 600 N B t 251 Давление кули- сы на направ- ляющую в точке D N D N A r 1 BD ⋅ cos φ ( ) ⋅ S 4 sin α ( ) ⋅ OC φ ( ) OB − BD ⋅ − F OE φ ( ) OB − BD ⋅ − ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ := График зависимости давления кулисы на направляющую в точке D от времени 0 2 4 6 8 10 4000 3500 3000 2500 N D t … … … … 252 Выводы В результате решения полученного дифференциального уравнения дви- жения механизма были определены: закон движения маховика 1, его угловые скорость и ускорение как функции времени t . На основании найденного закона движения по разработанному алгоритму были вычислены значения реакций внешних и внутренних связей. Проведенный анализ результатов расчета показал, что в некоторые мо- менты времени значения нормальной реакции опорной плоскости становятся отрицательными, а сила сцепления превышает свое предельное значение. Сле- довательно, математическая модель не соответствует поведению механической системы: каток 3 может двигаться не только с проскальзыванием, но и с отры- вом от вертикальной плоскости. Таким образом, механизм может получить до- полнительную степень свободы. С целью устранения этой ситуации были сформулированы критерии, удовлетворение которых обеспечивает адекватность движения системы мате- матической модели. Проведенные исследования показали, что конструкционное внесение в схему механизма предварительно напряженных упругих стержней позволяет обеспечить адекватность математической модели ее реальному движению. Было найдено минимальное значение прижимного усилия, обеспечиваю- щего выполнение необходимых для этого условий 3 0, при 3105 . СЦ СЦ N F F F H ′ > ≤ > Произведена сравнительная оценка разных конструкционных элементов внесенных в механизм и сделан вывод о предпочтительности схемы с предва- рительно растянутым стержнем, в связи с необходимостью дальнейших расче- тов на устойчивость сжатых стержней и срез пальца маховика 1. |