Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
4. Анализ результатов вычислений Анализ результатов вычислений позволяет сделать следующие выводы (величину времени начала установившегося режима движения механизма, пе- риод неравномерности вращения маховика и др. можно получить, используя опцию 2D-графиков "Trace", которая позволяет снимать значения координат функций прямо на графике [1, 5]): 1. Время неустановившегося движения механизма невелико и составляет около 1 с 2. В установившемся режиме движение маховика близко к равномерному вращению, средняя угловая скорость которого порядка 35.5 cp рад с ω ≈ . Максимальные и минимальные значения угловой скорости в установив- шемся режиме приблизительно равны max 69. рад с ω ≈ min 21. рад с ω ≈ , а его период – 0.18 c . Таким образом коэффициент неравномерности дви- 283 жения механизма приблизительно равен max min 1.35. cp ω − ω δ ≈ = ω 3. В установившемся режиме среднее угловое ускорение маховика прибли- зительно равно 2 0 cp рад с ε = . Амплитуда изменения углового ускорения значительна и составляет около 2 5000 рад с , а коэффициент динамично- сти в этом случае max 2 4.1. cp ε χ ≈ = ω 4. При заданных геометрических и инерционных параметрах механизма гра- диенты углового ускорения ведущего звена, а также реакций внешних и внутренних связей в сочленениях звеньев механизма имеют большие зна- чения. Это может привести к разрывам механизма в местах сочленений и нарушению его работоспособности. На основании выводов по результатам расчета движения механизма сфор- мулируем задачу исследования. Выявить факторы, влияющие на неравномерность движения механизма и найти такие решения, при которых неравномерность установившегося движе- ния исчезает или становится незначительной. Анализ дифференциального уравнения движения механизма (17) показы- вает, что основными факторами, влияющими на неравномерность движения, являются: o величина приведенного момента инерции ( ) пр I ϕ (чем больше ( ) пр I ϕ , тем меньше амплитуда угловых ускорений); o характер изменения производной ( ) пр I′ ϕ (чем меньше амплитуда и чем больше период ее изменения, тем меньше градиенты углового ускорения); 284 Таким образом, для уменьшения неравномерности движения необходимо обеспечить: ( ) пр I const ϕ → что может быть получено за счет увеличения приведенного момента инерции механизма и уменьшения амплитуды его изменения. Это достигается постановкой на ведущее звено массивного маховика и (или) облегчением остальных звеньев механизма. В качестве примера произведем следующие изменения в конструкции ме- ханизма: Заменим ведущее звено сплошным маховиком радиуса OA и массой 0 10m Введем новые данные для расчета …………… m 0 100 OA ⋅ := …………… …………… Определим положения центра масс маховика …………… R C φ ( ) 0 0 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := …………… Вычислим момент инерции маховика относительно оси вращения. Jz O 1 2 m 0 ⋅ L 0 2 ⋅ := …………… Отображение приведенного момента инерции и его производной на графике за один оборот кривошипа 0 45 90 135 180 225 270 315 360 1 0.5 0.5 1 1.5 Jnp Φ ( ) J'np Φ ( ) Φ 180 π ⋅ …………… 285 Численное решение дифференциального уравнения с измененными ис- ходными данными Конечный момент времени T 4.2 := …………… max ω cp ( ) 38.0469 = max ω ( ) 53.5454 = График изменения угловой скорости ( ) t ω = ω и величины ср ω 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 20 40 60 ω ω cp t …………… min ε ( ) 1924.2479 − = max ε ( ) 1308.4323 = График углового ускорения ( ) t ε = ε и величины ср ε 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2 1 0 1 2 ε 1000 ε cp 1000 t …………… Замена однородного стержня массой 0 m сплошным маховиком массой 0 10 m приводит к увеличению приведенного момента инерции не только за счет изменения массы ведущего звена, но и за счет увеличения момента инерции маховика по сравнению со стержнем в 1,5 раза. Т. е. момент инерции ведущего звена увеличился в 15 раз. 286 Кроме этого центр масс маховика неподвижен и расположен в начале ко- ординат, в то время как центр масс кривошипа движется по окружности радиу- са 1 2 OA . В этом случае траектория центра масс механизма приближается к на- чалу координат. В результате замены кривошипа сплошным маховиком с массой в 10 раз больше o Время неустановившегося движения механизма составляет около 1.5 с o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика приблизительно равна 38 cp рад с ω ≈ . Максимальные и минимальные зна- чения угловой скорости в установившемся режиме равны max 53.5 рад с ω ≈ min 26.6 рад с ω ≈ . o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным max min 0.71. cp ω − ω δ = ≈ ω o Коэффициент динамичности в этом случае max 2 1.33. cp ε χ = ≈ ω Таким образом, увеличение массы и момента инерции ведущего звена с изменением его формы приводит к существенному уменьшению коэффициента неравномерности ( ≈ в 2 раза) и коэффициента динамичности ( ≈ в 3 раза). При этом не изменялось отклонение амплитуды приведенного момента инерции от своего среднего значения. Следует отметить, что увеличение массы ведущего звена без изменения его формы приводит к значительно меньшему уменьшению коэффициентов не- равномерности ( ) 0.86 δ ≈ и динамичности ( ) 1.76 χ ≈ . Это можно проверить не- посредственным расчетом и не вызывает сложности в вычислениях. 287 Уменьшим массы всех остальных звеньев, используя для это- го материал с погонной плотностью 0.1 ρ . Введем новые данные для расчета …………… m 0 100 OA ⋅ := …………… ρ 1. := Определим положения центра масс маховика …………… R C φ ( ) 0 0 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := …………… Вычислим момент инерции маховика относительно оси вращения. Jz O 1 2 m 0 ⋅ L 0 2 ⋅ := …………… Отображение приведенного момента инерции и его производной на графике за один оборот кривошипа …………… 0 45 90 135 180 225 270 315 360 0.1 0.1 0.2 Jnp Φ ( ) J'np Φ ( ) …………… max ω cp ( ) 39.1965 = max ω ( ) 42.3114 = График изменения угловой скорости ( ) t ω = ω и величины ср ω 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 10 20 30 40 50 ω ω cp t …………… min ε ( ) 421.6425 − = max ε ( ) 271.7034 = 288 График углового ускорения ( ) t ε = ε и величины ср ε 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 ε 1000 ε cp 1000 Уменьшение погонной плотности звеньев механизма, исключая ведущее звено и ползун, приводит к уменьшению их масс и, следовательно, к уменьше- нию амплитуды приведенного момента инерции механизма. При этом среднее значение амплитуды производной ( ) пр I′ ϕ уменьшилось со значения 0.835 до значения 0.099 , т. е. приблизительно в 8.5 раз. В результате уменьшения масс звеньев механизма o Время неустановившегося движения механизма составляет около 1 с .; o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика приблизительно равна 39 cp рад с ω ≈ . Максимальные и минимальные зна- чения угловой скорости в установившемся режиме равны max 42.3 рад с ω ≈ min 35 рад с ω ≈ ; o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным max min 0.19; cp ω − ω δ = ≈ ω o Коэффициент динамичности в этом случае max 2 0.27. cp ε χ = ≈ ω Таким образом, уменьшение массы звеньев приводит к существенному, по сравнению с предыдущим случаем, уменьшению коэффициента неравно- мерности ( ≈ в 4 раза) и коэффициента динамичности ( ≈ в 5 раза). 289 Изменим распределение массы маховика (по ободу) Введем новые данные для расчета …………… m 0 100 OA ⋅ := …………… ρ 1. := …………… Jz O m 0 L 0 2 ⋅ := Приведенный момент инерции, его производная за 1 оборот 0 45 90 135 180 225 270 315 360 0.2 0.2 0.4 0.6 Jnp Φ ( ) J'np Φ ( ) Численное решение дифференциального уравнения с измененными ис- ходными данными max ω cp ( ) 39.2275 = max ω ( ) 40.851 = График изменения угловой скорости ( ) t ω = ω и величины ср ω 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 10 20 30 40 50 ω ω cp min ε ( ) 237.7635 − = max ε ( ) 146.8796 = График углового ускорения ( ) t ε = ε и величины ср ε 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 ε 1000 ε cp 1000 290 Изменение распределения массы маховика со сплошного на тонкостен- ный цилиндр приводит не только к увеличению момента инерции маховика в два раза, но и к увеличению среднего значения приведенного момента инерции механизма В результате увеличения момента инерции маховика в два раза o Время неустановившегося движения механизма составляет около 1.5 с o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика приблизительно равна 39.2 cp рад с ω ≈ . Максимальные и минимальные зна- чения угловой скорости в установившемся режиме равны max 40.8 рад с ω ≈ min 36.7 рад с ω ≈ . o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным max min 0.105. cp ω − ω δ = ≈ ω o Коэффициент динамичности в этом случае max 2 0.15. cp ε χ = ≈ ω Таким образом, увеличение момента инерции ведущего звена в 2 раза без изменения его массы, приводит к уменьшению коэффициента неравномерности ( ≈ в 2 раза) и коэффициента динамичности ( ≈ в 2 раза). При этом не изменя- лось отклонение амплитуды приведенного момента инерции от своего среднего значения. Задача дальнейшего уменьшения неравномерности и значений реакций связей решается аналогично и не вызывает трудностей. 291 5. Результаты анализа С целью подтверждения проведенных исследований произведем расчет конструктивно измененного механизма. Динамический расчет плоского шарнирного механизма 1. Ввод исходных данных …………… ρ 1. := …………… 2. Вычисление постоянных величин и вспомогательных функций m 0 200 OA ⋅ := m 1 ρ AB ⋅ := m 2 ρ O1B ⋅ := m 3 ρ KD ⋅ := m 4 2 := …………… 4. Определение положения узловых точек механизма радиус-векторами …………… R C φ ( ) 0 0 0 ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ := …………… 5. Блок вычисления приведенного момента инерции механизма …………… Вычисление моментов инерции …………… Jz O m 0 L 0 2 ⋅ := …………… 6. Блок вычисления производной от приведенного момента инерции по углу поворота ведущего звена …………… Отображение приведенного момента инерции и его производной на гра- фике за один оборот кривошипа 0 45 90 135 180 225 270 315 360 0.5 0.5 1 Jnp Φ ( ) J'np Φ ( ) …………… 292 8. Процедура интегрирования дифференциальных уравнений Конечный момент времени T 8.2 := …………… Вывод результатов вычислений. …………… max ω cp ( ) 39.2503 = max ω ( ) 40.0615 = График изменения угловой скорости ( ) t ω = ω и величины ср ω Для интервала времени 0 4 t c ≤ ≤ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 10 20 30 40 50 ω ω cp t Для интервала времени 7 8 t c ≤ ≤ 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 37 38 39 40 41 ω ω cp t …………… 293 min ε ( ) 128.0535 − = max ε ( ) 79.5953 = График углового ускорения ( ) t ε = ε и величины ср ε Для интервала времени 0 4 t c ≤ ≤ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.15 0.1 0.05 0 0.05 ε 1000 ε cp 1000 t Для интервала времени 7 8 t c ≤ ≤ 7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 15 10 5 0 5 10 ε 10 ε cp 10 t Вычисление момента Д M , и его среднего значения M Д M 0 ν 0 ω ⋅ − ( ) → ⎯⎯⎯⎯⎯ := M Дср supsmooth t M Д , ( ) := 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 20 0 20 40 60 M Д M Дср t 294 Для интервала времени 7 8 t c ≤ ≤ 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 1 0 1 2 3 M Д M Дср t 9. Процедура вычисления реакций внешних и внутренних связей …………… Графики реакций внешних и внутренних связей Для интервала времени 0 4 t c ≤ ≤ Модули реакций 1 , O O R R 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 500 1000 1500 R Oi R O1i t i Модули реакций , A B R R 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 500 1000 1500 R Ai R Bi t i 295 Модули реакций , , K D R R X Π 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 200 400 600 R Ki R Di X Пi t i Для интервала времени 7 8 t c ≤ ≤ Модули реакций 1 , O O R R 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 0 500 1000 1500 R Oi R O1i t i Модули реакций , A B R R 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 0 500 1000 1500 R Ai R Bi t i 296 Модули реакций , , K D R R X Π 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 0 200 400 600 R Ki R Di X Пi t i В результате уменьшения масс звеньев механизма, с одновременным уве- личением массы ведущего звена и замены однородного стержня маховиком с массой распределенной по его ободу o Время неустановившегося движения механизма составляет около 3 с .; o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика со- ставляет 39.25 cp рад с ω ≈ . Максимальные и минимальные значения угло- вой скорости в установившемся режиме равны max 40.06 рад с ω ≈ min 37.9 рад с ω ≈ ; o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным max min 0.055; cp ω − ω δ = ≈ ω o Коэффициент динамичности в этом случае max 2 0.083. cp ε χ = ≈ ω Такое уменьшение, по сравнению с первоначальным случаем, коэффици- ентов неравномерности ( ≈ в 24.5 раза) и динамичности ( ≈ в 50 раз) приводит к уменьшению максимальных значений модулей реакций внешних и внутренних связей приблизительно от 20 до 10 раз. 297 Выводы В результате решения полученного дифференциального уравнения дви- жения механизма были определены: закон движения ведущего звена 1, его уг- ловые скорость и ускорение как функции времени t . На основании найденного закона движения по разработанному алгоритму были вычислены значения ре- акций внешних и внутренних связей. Проведенный анализ результатов расчета показал, что o В установившемся режиме движение маховика близко к равномерному вра- щению, средняя угловая скорость которого порядка 35.5 cp рад с ω ≈ . Мак- симальные и минимальные значения угловой скорости в установившемся режиме приблизительно равны max 69. рад с ω ≈ min 21. рад с ω ≈ , а его пе- риод – 0.18 c . Таким образом коэффициент неравномерности движения ме- ханизма приблизительно равен max min 1.35. cp ω − ω δ ≈ = ω o В установившемся режиме среднее угловое ускорение маховика приблизи- тельно равно 2 0 cp рад с ε = . Амплитуда изменения углового ускорения зна- чительна и составляет около 2 5000 рад с , а коэффициент динамичности в этом случае max 2 4.1. cp ε χ ≈ = ω o При заданных геометрических и инерционных параметрах механизма гради- енты углового ускорения ведущего звена, а также реакций внешних и внут- ренних связей в сочленениях звеньев механизма имеют большие значения. Это может привести к разрывам механизма в местах сочленений и наруше- нию его работоспособности. С целью устранения этой ситуации был сформулирован критерий, удов- летворение которого позволит уменьшить значение этих коэффициентов. 298 Проведенные исследования показали, что уменьшения масс звеньев ме- ханизма, с одновременным увеличением массы ведущего звена и замены кри- вошипа маховиком с массой распределенной по его ободу значительно снизили величины данных коэффициентов. Таким образом, увеличение массы ведущего звена в 20 раз с одновремен- ным уменьшением масс звеньев в 10 раз позволило добиться следующего: o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика со- ставляет 39.25 cp рад с ω ≈ . Максимальные и минимальные значения угло- вой скорости в установившемся режиме равны max 40.06 рад с ω ≈ min 37.9 рад с ω ≈ ; o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным max min 0.055; cp ω − ω δ = ≈ ω o Коэффициент динамичности в этом случае max 2 0.083. cp ε χ = ≈ ω Такое уменьшение, по сравнению с первоначальным случаем, коэффици- ентов неравномерности ( ≈ в 24.5 раза) и динамичности ( ≈ в 50 раз) приводит к уменьшению максимальных значений модулей реакций внешних и внутренних связей приблизительно от 20 до 10 раз. |