Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
Анализ результатов вычислений Сведем результаты вычислений, полученные разными методами в табли- цы (см. табл. 1 – табл. 3). Точность вычислений проведенных графическими ме- тодами будем оценивать положительной величиной относительной погрешно- сти δ, определяемой соотношением T T x x x − δ = , где x – исследуемая величина, полученная одним из графических методов; T x – точное значение исследуемой величины. Величина Точное значение Метод 1 1 δ Метод 3 3 δ , AB AP см 46,75 48,0 0,0267 47,0 0,0053 , CD СР см 134,74 132,5 0,0169 134,7 0,0003 ( ) max δ 0,0267 0,0053 Табл. 1 Оценка точности определения МЦС Величина Точное значение Метод 1 1 δ Метод 2 2 δ Метод 3 3 δ 1 1 , с − ω 0,0560 0,0545 0,0268 0,057 0,0179 0,0560 0,0000 1 2 , с − ω 0,0819 0,0818 0,0012 0,080 0,0232 0,0820 0,0012 1 3 , с − ω 0,0152 0,0154 0,0132 0,015 0,0132 0,0152 0,0000 , A см v с 2,6180 2,620 0,0008 2,62 0,0008 2,62 0,0008 , M см v с 3,0486 3,027 0,0071 3,00 0,0159 3,05 0,0005 , B см v с 5,4070 5,400 0,0013 5,30 0,0198 5,40 0,0013 , C см v с 2,0481 2,045 0,0015 2,00 0,0235 2,05 0,0009 , K см v с 1,5537 1,571 0,0113 1,53 0,0153 1,55 0,0024 , D см v с 1,3078 1,309 0,0009 1,30 0,0060 1,31 0,0017 ( ) max δ 0,0132 0,0235 0,0024 Табл. 2 Оценка точности определения скоростей точек и угловых скоростей звеньев 61 Величина Точное значение Метод 1 1 δ Метод 2 2 δ Метод 3 3 δ 2 1 , с − ε 0,0062 0,0061 0,0161 0,0063 0,0161 0,0063 0,0161 2 2 , с − ε 0,0009 0,0009 0,0000 0,0009 0,0000 0,0009 0,0000 2 3 , с − ε 0,0017 0,0016 0,0588 0,0017 0,0000 0,0017 0,0000 2 , A см a с 0,4569 0,4569 0,0000 0,4569 0,0000 0,4569 0,0000 2 , M см a с 0,3076 0,3029 0,0153 – – 0,310 0,0078 2 , B см a с 0,4470 0,4502 0,0072 0,4502 0,0072 0,450 0,0067 2 , C см a с 0,1693 0,1667 0,0154 0,1724 0,0183 0,170 0,0041 2 , K см a с 0,1148 0,1167 0,0166 – – 0,116 0,0105 2 , D см a с 0,1001 0,1008 0,0070 0,1018 0,0170 0,105 0,0490 ( ) max δ 0,0588 0,0183 0,0490 Табл. 3 Оценка точности определения ускорений точек и угловых ускорений звеньев Анализ вычисленных значений кинематических параметров многозвенно- го шарнирного механизма позволяет сделать следующие выводы: o Все три графических метода с допустимой степенью точности определяют кинематические параметры механизма; o Увеличение погрешности при вычислении ускорений связано с накоплением ошибок графических методов при определении скоростей точек и угловых скоростей звеньев; o Наиболее громоздкими и трудоемкими являются графоаналитические и гра- фические методы при исследовании ряда различных положений механизма. o Данные методы целесообразно использовать в качестве ориентировочных расчетов при отладке программ для численного моделирования системы. 62 АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА 1 2 3 4 5 6 ϕ D C B A 2 O 1 O O y x d c b a ϕ D C B A 1 O O y x b a ϕ D C B A 1 O O y x c b a ϕ D C B A 1 O O y x c b a ϕ D C B A 2 O 1 O O y x d c b a A ϕ D C B 2 O 1 O O y x c b a 63 7 8 9 10 11 12 ϕ D C B A 1 O O y x c b a ϕ D C B A 2 O 1 O O y x d c b a ϕ C B A 1 O O y x a ϕ D C B A 1 O O y x b a ϕ D C B A 1 O O y x b a ϕ C D A 2 O 1 O O y x d c b a 64 13 14 15 16 17 18 ϕ D C B A 1 O O y x c b a ϕ D C B A 1 O O y x b a ϕ D C B A 2 O 1 O O y x d c b a ϕ D C B A 2 O 1 O O y x c b a ϕ D C B A 1 O O y x a ϕ D C B A 1 O O y x b a 65 19 20 21 22 23 24 ϕ C B A 1 O O y x b a ϕ D C B A 1 O O y x a ϕ D C B A 1 O O y x b a ϕ D C B A 2 O 1 O O y x c b a ϕ D C B A 2 O 1 O O y x b a ϕ D C B A 2 O 1 O O y x c b a 66 25 26 27 28 29 30 ϕ D C B A 1 O O y x b a ϕ D C B A 1 O O y x b a ϕ D C B A 1 O O y x b a ϕ D C B A 1 O O y x b a ϕ D C B A 2 O 1 O O y x c b a ϕ D C B A 2 O 1 O O y x c b a 67 Значение угла поворота ведущего звена при k t T = – k ϕ ,град. № 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 330 0 105 300 165 240 210 150 255 330 2 135 75 210 150 90 195 165 75 150 150 3 195 0 165 0 0 300 255 180 120 165 4 255 60 45 30 15 225 225 270 75 180 5 300 285 135 30 15 45 285 90 90 330 6 300 150 105 165 240 60 195 210 270 30 7 210 285 330 75 120 180 30 90 225 75 8 315 330 225 90 90 60 60 105 150 240 9 225 135 165 255 210 180 90 135 315 105 10 270 150 45 210 210 150 240 300 45 210 11 315 45 210 0 105 255 225 300 165 330 12 240 300 210 15 345 75 270 135 240 75 13 345 300 120 180 315 30 45 75 195 225 14 120 120 315 195 105 225 210 135 45 15 15 225 300 135 315 315 345 180 105 45 75 16 330 240 15 195 330 330 285 30 150 150 17 90 165 195 150 165 75 165 150 240 45 18 345 75 45 90 75 105 345 255 135 150 19 240 45 15 90 240 45 240 60 75 315 20 60 285 45 315 0 210 150 345 315 210 21 165 195 105 270 345 270 120 105 285 345 22 135 30 90 330 285 15 135 165 105 225 23 180 285 0 270 0 75 30 15 330 60 24 285 300 30 60 75 285 120 225 15 45 25 90 60 300 60 315 330 120 315 300 195 26 120 195 180 105 60 270 45 60 180 255 27 15 300 255 255 45 90 105 240 120 105 28 195 180 150 210 300 270 135 45 0 30 29 255 135 15 15 45 270 75 60 255 210 30 120 315 210 210 90 90 345 345 345 240 68 Геометрические размеры механизмов, [см] № a b c d OA AB CD 1 O C 2 O D AC 1 O B 1 O D BC 1 18 45 18 23 14 21 46 – 32 42 28 – – 2 15 38 – – 15 51 60 33 – 19 66 – – 3 10 15 40 54 15 42 70 – 32 21 28 – – 4 20 20 22 – 12 76 25 – – 38 – 20 – 5 25 15 50 – 20 60 70 – – 30 30 – – 6 65 10 40 – 10 80 50 – 25 25 30 – – 7 10 50 10 – 16 50 60 – – 80 35 – 30 8 27 18 30 30 14 – 63 20 25 55 – – – 9 19 20 28 21 10 40 30 31 25 – – – 62 10 55 25 – – 15 70 33 – – 35 – 24 35 11 50 – – – 15 50 – – – – 30 – 60 12 15 60 – – 20 60 60 – – 15 – 35 45 13 17 54 – – 15 50 40 – – 15 – 24 – 14 42 20 40 10 10 50 60 – 20 25 20 – – 15 50 10 30 – 12 50 45 – 20 30 20 – – 16 36 22 15 – 10 45 60 40 – – 20 – 20 17 96 – – – 15 90 75 – – 42 28 – 48 18 40 70 – – 20 78 40 – – 40 – 30 – 19 42 40 – – 17 70 – 30 – – – – 40 20 40 – – 22 60 50 – – 30 – 20 – 21 20 60 – – 20 80 50 – – 40 – 30 – 22 50 25 10 – 15 47 35 – 45 22 20 – – 23 60 50 – – 12 50 60 – 32 30 30 – – 24 36 40 10 – 16 50 50 15 20 – 26 – – 25 55 22 – – 20 40 42 – – 15 – 30 25 26 50 40 – – 25 70 60 – – 35 30 – – 27 35 45 20 – 10 50 54 – 28 – 23 – 22 28 70 30 – – 30 55 70 – – 30 – 25 25 29 55 20 30 – 13 60 70 14 33 – – – 39 30 70 20 – – 19 47 81 – – – – 36 30 69 2. СТАТИКА Курсовые работы по статике посвящены применению основных теорем и методов статики к исследованию равновесия механических систем. Студенты, выполняя то или иное задание, должны получить навыки и умения: составления уравнений равновесия для рассматриваемых тел, нахождения реакций внешних и внутренних связей, анализа результатов расчета и исследования конструкций. В данном разделе представлены три курсовых работы разной степени сложности: • В 1-ой работе "Исследование равновесия плоских шарнирных ферм" рас- сматривается равновесие плоской шарнирной фермы. Составление уравне- ний равновесия и проверочные расчеты проводятся различными методами. Исследуется влияние вида и расположения опор на величины реакций внешних и внутренних связей. • Во 2-ой работе "Равновесие тел под действием произвольной плоской сис- темы сил" рассматривается равновесие плоских составных конструкций. Составление уравнений равновесия и проверочные расчеты проводятся раз- личными методами. Исследуется влияние геометрических параметров на величины реакций связей, определяются области их допустимых значений. • В 3-ей работе "Равновесие плоских шарнирных механизмов" изучается рав- новесие плоских многозвенных шарнирных механизмов. Совместно реша- ется нелинейная система, в которую входят: система нелинейных уравнений геометрических связей и система уравнений равновесия. Исследуются фак- торы, обеспечивающие равновесие механизма в зависимости от положения ведущего звена. 70 С 1. ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ ФЕРМ Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция, образо- ванная прямолинейными стержнями, соединенными друг с другом идеальными шарнирами, которые называются узлами фермы. Если стержни, образующие ферму, лежат в одной плоскости, то такая ферма называется плоской. Плоская ферма является статически определимой, если число узлов n и число стержней N удовлетворяют равенству 2 3 N n = − . При 2 3 N n > − , ферма является статически неопределимой, а при 2 3 N n < − ферма имеет дополнительные степени свободы, т.е. является меха- низмом. При расчете ферм методами теоретической механики все действующие на ферму силы приводятся к ее узлам, а стержни считаются невесомыми и абсо- лютно жесткими. Тогда усилия в стержнях фермы будут направлены вдоль их осей, и стержни могут быть только сжаты или растянуты. Расчет статически определимых ферм сводится к определению усилий в стержнях фермы. В этом случае все активные силы и реакции опор являются внешними силами для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело; усилия в стержнях — внутренними силами (внутренними реакциями). При проектировании ферм обычно задаются критические режимы внеш- них воздействий на них. Тогда внешние силы можно считать не изменяемыми. Конструктивные параметры ферм (их геометрические размеры) определяются условиями их функционирования и, следовательно, варьируются в очень узком диапазоне. Актуальной становится такая задача исследования фермы, при кото- рой могут изменяться вид опор и место их расположения. 71 Цель курсовой работы Целью курсовой работы является выработка навыков расчета и исследо- вания равновесия плоских шарнирных ферм. Содержание курсовой работы Объектом исследования является плоская шарнирная ферма, представ- ляющая собой совокупность прямолинейных стержней, соединенных друг с другом идеальными шарнирами. Схемы ферм и таблицы исходных данных приведены в альбоме заданий. Задаваемыми параметрами являются: o геометрические характеристики фермы; o плоская система активных сил, приложенных узлам фермы. При составлении математической модели принимаются следующие до- пущения: o стержни, образующие ферму, являются невесомыми, абсолютно жесткими и прямолинейными; o соединительные шарниры – идеальные (Трение в них отсутствует). Требуется: 1. Сформировать систему уравнений для определения реакций внешних и внут- ренних связей. 2. Найти значения реакций внешних и внутренних связей. 3. Провести численный анализ полученного решения для разных видов опор и мест их расположения с использованием ЭВМ и выбрать оптимальный вариант. Порядок выполнения работы 1. Выделить тело (элемент) или систему тел с заданными активными силами, равновесие которых будем рассматривать; 2. Используя аксиому освобождаемости от связей рассмотреть выбранное тело, как свободное, заменив действующие на него связи их реакциями; 3. Дать анализ полученной системы сил, выяснить статическую определимость 72 фермы; 4. Записать условия равновесия и составить уравнения равновесия: o с помощью метода вырезания узлов; o методом Риттера; 5. Определить реакции внешних и внутренних связей и осуществить проверку правильности составления уравнений равновесия. 6. Провести анализ и исследование полученного решения: o исследовать влияние вида опор и места их расположения на величины ре- акций внешних и внутренних связей. o выбрать такое расположение опор, при котором обеспечивается минималь- ное количество сжатых или растянутых стержней (по указанию преподава- теля); o определить область допустимых значений ориентации опорной плоскости катковой опоры, В процессе выполнения курсовой работы необходимо выработать сле- дующие навыки и умения: o определения связей, действующих на тело или систему тел; o составления уравнений равновесия для произвольного тела, входящего в систему тел и нахождения реакций связей; o решения поставленной задачи разными методами. 73 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Мостовая ферма (рис. 1)находится в равновесии под действием сил 1 P , 2 P и 3 P . Геометрические размеры фермы известны. Ферма опирается в точке А на катковую опору, а в точке B закреплена неподвижным шарниром. Исследовать равновесие фермы. Определить реакции внешних и внут- ренних связей для разных видов опор и мест их расположения (схемы 1, 2, 3). рис. 1. Рис. 1 Мостовая ферма (схема 1). Исходные данные 1 20 , P кН = 2 30 , P кН = 3 40 , P кН = 1 , a м = 3 , b м = 45 ϕ = 30 β = Точка опоры A B C Схема № 1 Схема № 2 Схема № 3 ϕ ϕ ϕ b a a a a β 1 P 3 P 2 P B A ϕ C D 74 1. Определение реакций внешних связей Для определения реакций внешних связей рассмотрим мостовую ферму ABCD (рис. 2) содержащую 8 узлов, соединенных 13 стержнями. Ферма нахо- дится в равновесии под действием активных сил 1 P , 2 P , 3 P и связей приложен- ных в точках A и B Освободим ферму от опор, заменив их действие силами реакций связей , A B R R Проведем систему координат xAy и изобразим действующие на нее внешние силы: активные 1 P , 2 P , 3 P и реакции связей (рис. 2). Рис. 2 Расчетная схема для определения реакций внешних связей. Реакцию A R катковой опоры направим перпендикулярно опорной плос- кости, а реакцию неподвижной шарнирной опоры B – B R изобразим двумя со- ставляющими B X и B Y , т. е. B B B R X Y = + , направив их в положительном направлении координатных осей. Так как все указанные силы расположены в плоскости xAy , то ферма находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил. Условия равновесия фермы можно записать в виде ( ) 0, 0, 0 kx ky B k k k k F F M F = = = ∑ ∑ ∑ или b a a a a y x 2 P 3 P β 1 P ϕ A R A α C α α B X B B Y α D 75 ( ) ( ) 0, 0, 0. kx А k B k k k k F M F M F = = = ∑ ∑ ∑ Так как на ферму действует произвольная плоская система сил и выпол- няется условие ( ) 2 3 2 8 3 13 N n = − × − ≡ , то ферма является статически опреде- лимой и расчет фермы можно осуществить методами теоретической механики. Составим уравнения равновесия системы сил, действующих на ферму: ( ) ( ) 1 3 2 1 1 3 2 1 1 0 cos sin 0, 0 4 3 cos sin 2 0, 0 3 cos 4 cos sin 2 0. kx B A k A k B k B k A k F X P R M F Y a P a P a P b P a M F P a P a R a P b P a = + β + ϕ = ∑ = − − − β − β = ∑ = + − ϕ − β + β = ∑ (1) Последовательно решая систему уравнений (1), из третьего уравнения найдем реакцию A R 3 2 1 1 1 3 2 sin cos 4cos A b R P P P P a ⎛ ⎞ = + + β − β ⎜ ⎟ ϕ ⎝ ⎠ Из второго уравнения этой системы – B Y 2 3 1 1 1 3 1 sin cos 4 4 2 4 B b Y P P P P a = + + β + β , а из первого уравнения 1 cos sin . B A X P R = − β − ϕ Окончательно значение реакции B X будет иметь вид ( ) 1 3 2 1 1 cos 2sin cos 3 4 4 B b X P tg tg P P a ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − β + ϕ β − β − ϕ + ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Подставив численные значения, получим ( ) 30 2 42.426 , 10 3 3 41.321 , 50 A B B R кН кН X кН кН Y кН = = = − + = − = Так как значение B X получилось отрицательным, реакция B X направлена противоположно направлению, выбранному на расчетной схеме. Проверить вычисления можно составлением уравнения моментов относи- 76 тельно какой-либо точки в плоскости действия сил (например, точки C ) ( ) 2 1 0 2 cos 3 sin sin 0. C k B B A A k M F X b Y a P a R a R b P a = + + − ϕ + ϕ + β = ∑ Подставляя в данное уравнение величины найденных реакций, получим 1 cos sin A P b R b − β − ϕ 1 2 3 2 sin cos 2 cos 3 sin A A A P a P a P a R a P a R a R b + β + + − ϕ + − ϕ + + ϕ 1 1 1 2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 1 1 sin cos 2 sin 3 4 cos cos 2 sin 3 3 2 sin cos cos 2 sin A P a P b P a P a P a R a b P b P a P a P a a P P P P a P b P a + β = − β + β + + − ϕ = ⎛ ⎞ − β + β + + − + + β − β = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − β + β 2 3P a + 3 P a + 3 P a − 2 3P a − 1 2 sin Pa − β 1 cos 0. P b + β ≡ Полученное тождество показывает, что система уравнений (1) составлена корректно. Проведя анализ значений найденных реакций, укажем, что угол наклона опорной плоскости катковой опоры не может быть равен 2 π , так как в данном случае реакции , A B R X стремятся к бесконечности. С физической точки зрения это означает, что у фермы появляется допол- нительная степень свободы (возможность вращения вокруг шарнира B ) и обес- печить ее равновесие, в этом случае, можно, добавив дополнительную связь. |