Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-12. Механика-Бертяев и др_Курсовые работы с использованием Mathcad-1. Ил. 64. Табл. 22. Библиогр. 13
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
3. Определение кинематических характеристик механиз- ма в заданном положении с помощью теорем плоского движения твердого тела Изобразим механизм в заданном положении (рис. 5), при значении угла поворота ведущего звена OA – 65 k ϕ = °, в выбранном масштабе длин – L M Рис. 5. Определение скоростей точек с помощью МЦС Определим точки механизма, траектории и возможные направления ско- ростей которых известны. Шарнир A принадлежит шатуну AB и кривошипу OA , совершающему вращательное движение вокруг центра O . Кривошип OA является ведущим звеном, угловая скорость которого известна. Следовательно, траектория шар- нира A – окружность радиуса OA и его скорость равна 0 15 2.62 , 18 A A см v OA v OA с π = ω = = ⊥ (1) A v 0 ω K M D C B A 1 O O 10 L см M см = 0,5 V см c M см = 31 Шарнир B принадлежит шатуну AB и кривошипу 1 O B , совершающего вращательное движение вокруг подшипника 1 O . Следовательно, траектория точки B – окружность радиуса 1 O B и скорость шарнира 1 B v O B ⊥ Шарнир C принадлежит шатуну CD и кривошипу 1 O B , совершающего вращательное движение вокруг подшипника 1 O . Следовательно, траектория точки C – окружность радиуса 1 O C и скорость шарнира 1 C v O B ⊥ Точка D принадлежит шатуну CD и ползуну D , совершающему воз- вратно поступательное движение вдоль вертикальной направляющей. Следова- тельно, траектория точки D – прямая линия и скорость ползуна D v Oy Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью мгновенных центров скоростей (МЦС) Определим положение МЦС для звеньев AB и CD , совершающих плос- кое движение (рис. 6). Для этого из точки A проведем перпендикуляр к скоро- сти A v , а из точки B – перпендикуляр к возможному направлению скорости B v Точка пересечения перпендикуляров – AB P является МЦС звена AB для задан- ного положения механизма. Аналогично определяем положение мгновенного центра скоростей для звена CD – CD P Измеряем на чертеже расстояния от узловых точек механизма до МЦС соответствующего звена. В соответствие с выбранным масштабом длин эти рас- стояния равны 48 , 55.5 , 99 , 132.5 , 102 , 85 AB AB AB CD CD CD AP см MP см BP см CP см KP см DP см = = = = = = Так как скорость точки A известна (1), то мгновенную угловую скорость звена AB вычисляем согласно выражению 0 A AB v OA AB = ω = ω 32 Тогда 1 1 0 15 0.0545 18 48 AB AB OA c AP − π ω = ω = ω = = Направление мгновенной угловой скорости звена определяем по направ- лению скорости точки A при мгновенном вращении звена вокруг МЦС AB P Рис. 6. Определение скоростей точек с помощью МЦС Модули скоростей точек B и M равны 0.0545 99 5.400 , , 0.0545 55.5 3.027 , , B AB AB B AB M AB AB M AB см v BP v BP с см v MP v MP с = ω = ⋅ = ⊥ = ω = ⋅ = ⊥ а направление скоростей определяется направлением вращения звена AB во- круг МЦС AB P . Угловую скорость звена 1 O B вокруг подшипника 1 O определим из соот- A v B v C v 2 ω AB P 0 ω M v K M D C B A 1 O O CD P 3 ω K v 1 ω D v 10 L см M см = 0,5 V см c M см = 33 ношения 1 1 1 1 2 1 5.40 0.0818 66 B B AB AB O B O B v v BP O B c O B − = ω = ω ⇒ ω = ω = = = Скорость точки C равна 1 1 1 0.0818 25 2.045 , C O B C CD v O B c v CP − = ω = ⋅ = ⊥ Мгновенную угловую скорость звена CD вокруг МЦС CD P определим из соотношения 1 1 1 3 2.045 0.0154 132.5 C C CD CD O B CD CD v v CP O C c CP − = ω = ω ⇒ ω = ω = = = , а модули скоростей точек D и K выражениями 0.0154 85 1.309 , , 0.0154 102 1.571 , D CD CD D CD K CD CD K CD см v DP v DP с см v KP v KP с = ω = ⋅ = ⊥ = ω = ⋅ = ⊥ Направление скоростей точек , D K v v определяется направлением мгно- венного вращения звена CD вокруг МЦС – CD P . На рис. 6 изображены угловые скорости звеньев и векторы скоростей уз- ловых точек в выбранном масштабе скоростей V M . Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей При неизвестной угловой скорости твердого тела совершающего плоско- параллельное движение теорему о сложении скоростей можно применять для тех точек звена, у которого известны: для одной – модуль и направление векто- ра скорости, а для другой – возможное направление вектора скорости, т.е. тра- ектория движения. Так как для звена AB вектор скорости шарнира A известен и по модулю и по направлению (1), а для шарнира B известна траектория движения, запи- шем теорему о сложении скоростей для точки B , приняв точку A за полюс: 34 , B A BA v v v = + (2) где 0 2.62 , A A см v OA v OA с = ω = ⊥ – скорость полюса, ? BA BA BA v AB v AB = ω = ⊥ – скорость точки B при вращательном дви- жении звена AB вокруг полюса A . (относительная скорость точки B в поступательном переносном движении) Изображаем в выбранном масштабе скоростей V M (рис. 7) векторный треугольник скоростей, соответствующий уравнению (2). Рис. 7. Определение скоростей с помощью теоремы о сложении скоростей Откладываем в точке B вектор скорости полюса – A v . Из конца вектора A A v 0 ω 1 ω M v MA v A v B v BA v A v C v 2 ω 3 ω C v KC v CD CD ⊥ CD ⊥ 1 O B ⊥ AB ⊥ AB ⊥ AB C 1 O K M D B O D v C v DC v 10 L см M см = K v 1 V cм с M см = 35 A v проводим возможное направление вектора BA v – прямую, перпендикуляр- ную звену AB . Из точки B проводим направление вектора 1 B v O B ⊥ до пересе- чения с прямой, определяющей направление вектора BA v . В точке пересечения данных прямых сходятся концы неизвестных векторов BA v и B v . Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом скоростей, получаем 5.53 , 5.47 B BA см см v v с с = = Угловая скорость звена AB равна 1 1 0.0603 BA AB v с BA − ω = ω = = Так как угловая скорость звена найдена, для точки M можно записать теорему о сложении скоростей, приняв точку A за полюс: M A MA v v v = + где 0 2.62 , , 2.53 , A A MA AB MA v OA см с v OA v AM см с v AB = ω = ⊥ = ω = ⊥ Для нахождения скорости M v изображаем в точке M вектор скорости полюса – A v , а из его конца проводим перпендикулярно AB вектор относи- тельной скорости MA v (рис. 7). Соединяя точку M с концом вектора MA v , нахо- дим вектор скорости точки M – M v . После измерения получим 3.13 M см v с = Угловая скорость звена 1 O B равна 1 1 2 1 0.0838 B O B v с O B − ω = ω = = , Следовательно, скорость точки C равна 1 1 1 2.07 , C O B C см v O C v O B c = ω = ⊥ Приняв точку C за полюс, применим теорему о сложении скоростей к 36 точке D звена CD , траектория которой известна D C DC v v v = + , здесь ? , DC CD CD v CD см с v CD = ω = ⊥ – относительная скорость точки D . Скорости , D DC v v определяем графически, аналогично методу, изложен- ному ранее, построив в масштабе треугольник скоростей (рис. 7) 1.33 , 1.33 D DC см см v v с с = = Следовательно, угловая скорость звена CD равна 1 3 0.0155 DC CD v с CD − ω = ω = = Скорость точки K вычисляем по аналогии с определением скорости точки M , K C KC v v v = + где 1 2.067 , , 0.73 , C C KC CD KC v см с v O B v CK см с v CD = ⊥ = ω = ⊥ В этом случае (рис. 7) 1.60 K см v с = Следующий метод, являющийся графической интерпретацией теоремы о сложении скоростей, называется планом скоростей. Особенностью метода яв- ляется возможность быстрого определения скорости любой точки механизма. Построим план скоростей в масштабе V M (рис. 8). Из произвольно выбранного полюса O проводим луч "Oa ", изображаю- щий в выбранном масштабе скорость точки A – A v . Для определения скорости точки B через полюс O проводим прямую, параллельную скорости B v ( ) 1 B v O B ⊥ , а через точку " " a – прямую, перпенди- кулярную AB , т. е. параллельно скорости BA v . Получаем точку " " b : отрезок " " Ob определяет скорость точки B , а отрезок " " ab – скорость BA v . Измеряем длину лучей , Ob ab и, пользуясь масштабом скоростей находим 37 5.30 , 5.53 B BA см см v v с с = = Рис. 8. План скоростей Для определения угловой скорости звена AB найдем с учетом выбранно- го масштаба скоростей отношение 1 0.057 AB ab c AB − ω = = Для определения скорости точки M делим отрезок ab плана скоростей в отношении am AM ab AB = Луч Om изображает скорость точки M – M v , а отрезок a m – относи- тельную скорость MA v . Пользуясь масштабом скоростей, получаем 3.00 , 2.40 M MA см см v v с с = = Продолжая построение плана скоростей на рис. 8, находим скорости то- A v 0 ω K M D C B A 1 O O y x 1 O B ⊥ AB ⊥ OA ⊥ CD ⊥ 2 O D m k d c b a O 1 0.5 V см с M см = 38 чек , , , , , A M B C K D v v v v v v , а также угловые скорости звеньев 1 , AB ω = ω 1 2 , O B ω = ω 3 : CD ω = ω 1 1 1 2.00 , 0.08 , 1.30 , 0.0151 , 1.53 C O B D CD K см v c с см v c с см v с − − = ω = = ω = = Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений Ускорения точек и угловые ускорения звеньев, совершающих плоскопа- раллельное движение, будем определять с использованием теоремы о сложени- ях ускорений в плоском движении. Данную теорему реализуем графически, в виде отдельных многоугольников ускорений на схеме механизма (рис. 9) и с помощью плана ускорений (рис. 10), построенных в масштабе ускорений a M . Вращение ведущего звена OA является равномерным с угловой скоро- стью 1 0 18 c − ω = π , поэтому полное ускорение точки A равно ее центростреми- тельной составляющей ( ) 2 2 0 2 , 15 0.4569 , 18 Ц Ц Ц A A A A см a a a OA a О с π ⎛ ⎞ = = ω = ⋅ = → ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3) Определение ускорений начинаем с точки B , траектория которой извест- на. Взяв за полюс точку A , применим, с учетом (3), теорему о сложении уско- рений к точке B звена AB : , Ц Ц ВР B A BA A BA BA a a a a a a = + = + + (4) где BA a – ускорение точки B при вращательном движении звена AB вокруг полюса A ; Ц BA a – центростремительное ускорение точки B при враща- тельном движении звена AB вокруг полюса A ; ВР BA a – вращательное уско- рение точки B при вращательном движении звена AB вокруг полюса A 39 Рис. 9. Определение ускорений A a AB OA Ц В А a A a ВР ВА a 1 O B ⊥ AB ⊥ B a C a Ц В a ВР В a c b 0 ω 2 ε 3 ε 1 ε A C 1 O D B O CD CD ⊥ D a Ц D С a C a ВР DC a 2 0.05 a см с M см = 40 Для точки B звена 1 O B имеем Ц ВР B B B a a a = + , (5) где Ц B a – центростремительное ускорение точки B при вращательном дви- жении звена 1 O B ; ВР B a – вращательное ускорение точки B при враща- тельном движении звена 1 O B . Приравнивая (4) и (5), получим векторное уравнение, которое решаем графиче- ски с учетом выбранного масштаба ускорений (рис. 9): Ц ВР Ц Ц ВР B B B BA A BA a a a a a a = + = + + Здесь ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 0.3151 , , ? , , 0.4255 , , ? , Ц Ц BA AB BA ВР ВР BA AB BA Ц Ц B O B B ВР ВР B O B B см a AB a AB A с см a AB a AB с см a O B a O B O с см a O B a O B с = ω = → ⋅ = ε = ⊥ = ω = → ⋅ = ε = ⊥ Построив в точке B механизма замкнутый многоугольник ускорений на рис. 9 в масштабе ускорений, измеряем значения неизвестных векторов: 2 0,0620 ВР B см a с = ; 2 0.6078 ВР BA см a с = ; 2 0.4502 B см a с = Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом: Из точки B проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса Ц A A a a = . Из конца вектора Ц A a откладываем параллельно BA вектор ускоре- ния Ц BA a , из конца которого проводим линию AB ⊥ , определяющую возмож- ное направление вектора ВР BA a . Из точки В , в направлении прямой 1 O B , от- кладываем вектор Ц B a , а из его конца линию перпендикулярную 1 O B , опреде- ляющую возможное направление вектора ВР B a Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной AB , характеризующей направление вектора ВР BA a 41 Точка "b" пересечения этих прямых является точкой, в которой сходятся концы векторов ВР BA a , ВР B a и B a . Угловые ускорения звеньев определяем по формулам 1 2 1 2 2 1 0.063 , 0.0009 ВР BA AB ВР B O B a с AB a с O B − − ε = ε = = ε = ε = = Направления угловых ускорений, которые определяем по направлению векторов ВР BA a и ВР B a соответственно, показаны на рис. 9. Полное ускорение точки C звена 1 O B , совершающего вращательное дви- жение, определим по формуле , Ц ВР C C C a a a = + где ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 4 2 1 2 2 2 0.1612 , , 0.0225 , , 0.1724 , 8 . Ц Ц C O B C ВР ВР C O B C O B C O B O B O B см a O C a O B O с см a O C a O B с см a O C arctg с = ω = → ⋅ = ε = ⊥ ⎛ ⎞ ε ⎜ ⎟ = ω + ε = γ = = ° ⎜ ⎟ ω ⎝ ⎠ Изображаем вектор С a в масштабе ускорений a M на рис. 9. Ускорение точки D звена CD определим с использованием теоремы о сложении ускорений, приняв точку C за полюс , Ц ВР Ц ВР D C DC C DC C DC a a a a a a a = + = + + + где ( ) 2 2 2 2 0.0196 , , ? , , ? , Ц Ц DC CD DC ВР ВР DC CD DC D D см a CD a CD C с см a CD a CD с см a a Oy с = ω = → ⋅ = ε = ⊥ = Аналогично способу, изложенному ранее, изображаем многоугольник ус- корений для точки D (рис. 9). Измеряя неизвестные векторы, получаем значе- 42 ния ускорений: 2 0.1433 ВР DC см a с = ; 2 0.1018 D см a с = Затем вычисляем угловое ускорение звена CD 2 3 0.0017 ВР DC CD a с CD − ε = ε = = и изображаем его направление на рис. 9. Для определения ускорений точек M и K строим план ускорений (рис. 10), который проводим следующим образом: Из произвольной точки O проводим, в масштабе ускорений a M , отрезок " " O a , определяющий модуль и направление вектора ускорения полюса Ц A A a a = . Из конца вектора Ц A a откладываем вектор ускорения Ц BA a , из конца которого проводим линию AB ⊥ , определяющую возможное направление век- тора ВР BA a Из точки O , в направлении прямой 1 O B , откладываем вектор Ц B a , а из его конца линию, определяющую возможное направление вектора ВР B a . Дан- ная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной AB , харак- теризующей направление вектора ВР BA a . Точка пересечения этих прямых " " b является точкой, в которой сходятся концы векторов ВР BA a , ВР B a и B a . Отрезок " " Ob определяет модуль и направление вектора ускорения точки B . Для нахождения ускорения точки M звена AB разделим отрезок " ab " точкой " " m в соотношении MA BA am AM a ab AB a = = 43 Рис. 10. План ускорений Измеряя длины отрезков " " a m и " " O m , вычисляем, с использованием масштаба ускорений, ускорения 2 2 0,2923 , 0,3029 MA a M a см см a M a m a M O m с с = ⋅ = = ⋅ = Треугольник o a m на плане ускорений определяет теорему о сложении ускорений для точки M Ц ВР M A MA MA a a a a = + + Ускорение точки C определим, разделив отрезок " " Ob на плане ускоре- A v 0 ω K M D C B A 1 O O y x 1 O B ⊥ b OA AB AB ⊥ m a k CD CD ⊥ c d O 2 0.05 a см с M см = 44 ний в соотношении 1 1 C B a Oc O C Ob O B a = = Измеряя длину отрезка " " oc , получим 2 0,1667 C a см a M O c с = ⋅ = Для нахождения ускорения точки D проведем из точки C отрезок, за- дающий, в масштабе ускорений, модуль и направление вектора Ц DC a , а из его конца линию, определяющую направление ускорения ВР DC a Поскольку траектория ползуна D – прямая параллельная оси Oy , уско- рение точки D направлено вдоль траектории. Из точки O плана ускорений проводим линию, характеризующую направление ускорения ползуна D . Точка " " d , полученная в результате пересечения проведенных линий оп- ределяет концы векторов ускорений D a , ВР DC a и DC a . Измеряя в масштабе ус- корений, получим: 2 2 2 3 2 0,1387 , 0,1008 , 0,1373 , 0.0016 DC A D A ВР ВР DC DC DC см см a M c d a M o d с с a см a c с CD − = ⋅ = = ⋅ = = ε = ε = = Ускорение точки K получим по аналогии с определением ускорения точ- ки M звена AB . Имеем KC DC a ck CK cd CD a = = Измеряя длины отрезков " " c k и " " O k , вычисляем, с использованием мас- штаба ускорений, ускорения 2 2 0,0758 , 0,1167 KC a K a см см a M c k a M O k с с = ⋅ = = ⋅ = |