ргр. РГР по дисциплине Финансовая математика (2022-2023). Имени В. Г

• Название: Имени В. Г
• Дата: 18.12.2022
• Размер: 0.8 Mb.
• Имя файла: РГР по дисциплине Финансовая математика (2022-2023).docx
• Тип: Документы; #850689
• страница: 7 из 22

Пример

(НАМЕК: пример похож на задание 1)

Как изменятся наращенные суммы финансовых операций, описанных в предыдущем примере, если операции проводились не в 2013, а в 2012 году? То есть, задачу можно сформулировать так:

25 мая 2012 года открывается краткосрочный депозит на 45 000 руб. под 9% годовых сроком до 14 октября того же года. Определить наращенную сумму для трех вариантов начисления процентов: по германской, французской и британской практикам наращения.

Решение

2012 год високосный. Что это меняет?

Решим сначала задачу полностью, а потом прокомментируем, что об- щего, а что отличается для случаев високосного и не високосного годов.

Определим точное и приближенное число дней указанной операции. Точное число дней:

7 дней в мае (25, 26, 27, 28, 29, 30, 31);

30. 
    дней в июне;
    
31. 
    день в июле;
    

31 день в августе;

30 дней в сентябре;

14 дней в октябре (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14).

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры- тия и закрытия операции считаются одним днем.

В итоге получаем точное число дней: t_т  7  30  31 31 30 14 1  142.

Приближенное число дней:

7 дней в мае (25, 26, 27, 28, 29, 30, 31);

30 дней в июне;

30 день в июле;

30 день в августе;

30 дней в сентябре;

14 дней в октябре (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14).

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры- тия и закрытия операции считаются одним днем.

Получаем приближенное число дней: t_п  7  30  30  30  30 14 1  140 .

Так как 2012 год високосный, то точное число дней в году равно

T_т  366 . Приближенное число дней в любом году равно T_п  360 .

Таким образом, наращенные суммы будут равны: по германской практике:

FV PV ^1 ^tп  i^  45000  ^1 ¹⁴⁰  0, 09 ^  46575, 00


руб.;

г ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по французской практике:

FV  PV ^1 ^tт  i^  45000  ^1 ¹⁴²  0, 09 ^  46597, 50


руб.;

ф ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по британской практике:

FV PV ^1 ^tт  i^  45000  ^1 ¹⁴²  0, 09^  46571, 31 руб.

б ^ _T ^ 

366 ^

 т  ^{ }

Итак, в данном примере точное и приближенное число дней операции осталось неизменным. Это будет справедливо всегда, когда в операцию не по- падает февраль месяц или операция заканчивается в феврале не в последний день. (Пример, когда в операции присутствует февраль, будет рассмотрен ниже).

Так как приближенное число дней всегда равно 360, то наращенные суммы, рассчитанные по германской и французской практикам, совпали.

Наращенная сумма, рассчитанная по британской практике, изменилась, так как точное число дней в году стало другим.

Пример

(НАМЕК: пример похож на задание 1)

16 февраля 2015 года открывается краткосрочный депозит на 100 000 руб. под 14% годовых сроком до 10 августа того же года. Определить наращенную сумму для трех вариантов начисления процентов: по германской, французской и британской практикам наращения.

Решение

Определим точное и приближенное число дней указанной операции. Точное число дней:

13 дней в феврале (16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28);

31 день в марте; 30 дней в апреле; 31 день в мае;

30. 
    дней в июне;
    
31. 
    день в июле;
    

10 дней в августе.

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры-

тия и закрытия операции считаются одним днем.

Получаем точное число дней: t_т  13  31  30  31  30  31  10  1  175 . Приближенное число дней:

13 дней в феврале (16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28);

30 дней в пяти месяцах: марте, апреле, мае, июне и июле; 10 дней в августе.

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры-

тия и закрытия операции считаются одним днем.

Получаем приближенное число дней: t_п 13  305 10 1 172 .

Так как 2015 год не високосный, то точное число дней в году равно

T_т  365 . Приближенное число дней в любом году равно T_п  360 .

Таким образом, наращенные суммы будут равны: по германской практике:

FV PV ^1 ^tп  i^  100000  ^1 ¹⁷²  0,14 ^  106688,89 руб.;

г ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по французской практике:

FV PV^1 ^tт  i^  100000  ^1 ¹⁷⁵  0,14 ^  106805, 56


руб.;

ф ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по британской практике:

FV PV ^1 ^tт  i^  100000  ^1 ¹⁷⁵  0,14 ^  106712, 33 руб.

б ^ _T ^ 

365 ^

 т  ^{ }

Пример

(НАМЕК: пример похож на задание 1)

16 февраля 2016 года открывается краткосрочный депозит на 100 000 руб. под 14% годовых сроком до 10 августа того же года. Определить наращенную сумму для трех вариантов начисления процентов: по германской, французской и британской практикам наращения.

То есть рассматриваются операции, идентичные предыдущему примеру, но в високосном 2016 году.

Решение

Определим точное и приближенное число дней указанной операции. Точное число дней:

14 дней в феврале (16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29);

31 день в марте; 30 дней в апреле; 31 день в мае;

30. 
    дней в июне;
    
31. 
    день в июле;
    

10 дней в августе.

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры-

тия и закрытия операции считаются одним днем.

Точное число дней равно: t_т  14  31  30  31  30  31  10  1  176 .

Приближенное число дней:

14 дней в феврале (16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29);

30 дней в пяти месяцах: марте, апреле, мае, июне и июле; 10 дней в августе.

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры-

тия и закрытия операции считаются одним днем.

Получаем приближенное число дней: t_п 14  305 10 1 173.

Так как 2016 год високосный, то точное число дней в году равно

T_т  366 . Приближенное число дней в любом году равно T_п  360 .

Таким образом, наращенные суммы будут равны: по германской практике:

FV PV^1 ^tп  i^  100000  ^1 ¹⁷³  0,14 ^  106727, 78


руб.;

г ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по французской практике:

FV PV ^1 ^tт  i^  100000  ^1 ¹⁷⁶  0,14 ^  106844, 44 руб.;

ф ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по британской практике:

FV PV ^1 ^tт  i^  100000  ^1 ¹⁷⁶  0,14 ^  106732, 24


руб.

б ^ _T ^ 

366 ^

 т  ^{ }

Как видно из сравнения примеров 3 и 4, при начале финансовой опера- ции в феврале и закрытии ее позже февраля наращенные суммы в високосном и не високосном годах отличаются для всех практик начисления.

В следующих двух примерах рассмотрим случай, когда февраль попа- дает полностью в срок финансовой операции.

Пример

(НАМЕК: пример похож на задание 1)

20 января 2014 года открывается краткосрочный депозит на 60 000 руб. под 21% годовых сроком до 4 марта того же года. Определить наращенную сумму для трех вариантов начисления процентов: по германской, французской и британской практикам наращения.

Решение

Определим точное и приближенное число дней указанной операции. Точное число дней:

12 дней в январе; 28 дней в феврале; 4 дня в марте.

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры-

тия и закрытия операции считаются одним днем.

Получаем точное число дней: t_т

Приближенное число дней: 12 дней в январе;

30 дней в феврале; 4 дня в марте.

 12  28  4  1  43.

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры-

тия и закрытия операции считаются одним днем.

Получаем приближенное число дней: t_п 12  30  4 1  45.

Так как 2014 год не високосный, то точное число дней в году равно

T_т  365 . Приближенное число дней в любом году равно T_п  360 .

Таким образом, наращенные суммы будут равны: по германской практике:

FV PV^1 ^tп  i^  60000  ^1


⁴⁵  0, 21^  61575, 00


руб.;

г ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по французской практике:

FV PV ^1 ^tт  i^  60000  ^1


⁴³  0, 21^  61505, 00


руб.;

ф ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по британской практике:

FV PV ^1 ^tт  i^  60000  ^1


⁴³  0, 21^  61484,38


руб.

б ^ _T ^ 

365 ^

 т  ^{ }

Пример

(НАМЕК: пример похож на задание 1)

20 января 2016 года открывается краткосрочный депозит на 60 000 руб. под 21% годовых сроком до 4 марта того же года. Определить наращенную сумму для трех вариантов начисления процентов: по германской, французской и британской практикам наращения. (Пример, аналогичный предыдущему, но для високосного года).

Решение

Определим точное и приближенное число дней указанной операции. Точное число дней:

12 дней в январе; 26 дней в феврале; 4 дня в марте.

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры- тия и закрытия операции считаются одним днем.

^{Получаем точное число дней:} t_т

Приближенное число дней: 12 дней в январе;

30 дней в феврале; 4 дня в марте.

 12  29  4  1  44 ^.

Из общего количества дней необходимо вычесть 1, так как день откры- тия и закрытия операции считаются одним днем.

Получаем приближенное число дней:

t_п 12  30  4 1  45^.

Так как 2016 год високосный, то точное число дней в году равно

T_т  366 ^{. Приближенное число дней в любом году равно} T_п  360 ^.

Таким образом, наращенные суммы будут равны: по германской практике:

FV PV ^1 ^tп  i^  60000  ^1


⁴⁵  0, 21^  61575, 00


руб.;

г ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по французской практике:

FV  PV ^1 ^tт  i^  60000  ^1


⁴⁴  0, 21^  61540, 00

руб.;

ф ^ _T ^ 

360 ^

 п  ^{ }

по британской практике:

FV PV ^1 ^tт  i^  60000  ^1


⁴⁴  0, 21^  61514, 75


руб.

б ^ _T ^ 

366 ^

 т  ^{ }

Как видим, в этом случае в високосном году «ситуация» меняется для французской и британской практик, а для германской остается неизменной.

Эффективная ставка для схемы простых процентов. Сравнение краткосрочных финансовых операций


Сравнение краткосрочных финансовых операций проводится на основе сравнения эффективной процентной ставки для схемы простого процента:

_ FV

^ PV

1^

_{i }  

f _n

^где PV^{– сумма вначале сделки (взятая в долг сумма),} FV^{– сумма в конце} сделки (возвращаемая сумма), ⁿ – срок кредита. Эффективная ставка будет приведена к интервалу времени, в котором вычисляется ⁿ, например, если ⁿ

будем вычислять в месяцах, то получим эффективную месячную ставку.

Пример

(НАМЕК: пример похож на задание 3)

Коммерсант рассматривает два варианта краткосрочного займа:

1. 
   взять 5 000 000 руб. на 5 месяцев и отдать 6 000 000 руб.
   
2. 
   взять 4 000 000 руб. на 6 месяцев и отдать 5 000 000 руб.
   

Определить, какая из схем выгоднее для коммерсанта как заемщика средств с экономической точки зрения.

Решение

Рассчитаем эффективные ставки для нашего примера. Для первой возможности:

PV₁  5000000

руб.;

FV₁  6000000

руб.;

n₁  5

мес.

Тогда эффективная ставка равна:

_ 6000000 _1




^ 5000000 ^

ⁱf1

 ^{ }  0,04  4%

5

Для второй возможности:

PV₂  4000000 ^руб.;

FV₂  5000000

руб.;

n₂  6

мес.

Тогда эффективная ставка равна:

_ 5000000 _1




^ 4000000 ^

ⁱf2

 ^{ }  0,0417  4,17%

6

Таким образом, эффективная ставка первой операции 4% в месяц, а вто-

рой 4,17% в месяц. Для заемщика операция тем выгоднее, чем ниже процент. Значит для коммерсанта выгоднее 1 вариант операции.

Для более наглядного сравнения можно привести обе ставки к годовым. В первом случае получаем:

j_f1  12  i_f1  12  4%  48%

во втором:

j_f2  12  i_f2  12  4,17%  50,04%

Пример

(НАМЕК: пример похож на задание 3)

Два заёмщика предлагают ростовщику взять у него в долг.

Первый предлагает взять 300 000 руб. на 45 дней и обещает вернуть 340 000 руб.

Второй хочет взять 420 000 руб. на 60 дней и обязуется вернуть 500 000 руб.

У ростовщика есть возможность выдать только один кредит. Какой из вариантов выгоднее для него с экономический точки зрения?

Решение

Определим эффективный дневной процент для обоих вариантов. Для первого варианта

PV₁  300000

руб.,

FV₁  340000

руб.,

n₁  45

дней, тогда:

_ 340000 _1




^ 300000 ^

ⁱf1

 ^{ }  0,00296 .

45

Для второго варианта

PV₂  420000

руб.,

FV₂  500000

руб.,

n₂  60

дней, тогда:

_ 500000 _1




^ 420000 ^

ⁱf2

 ^{ }  0,00317 .

60

Для ростовщика наиболее выгодной является операция с наибольшей процентной ставкой. Значит он выберет для выдачи кредита второго заем- щика.

Определим для наглядности годовые ставки указанных операций для продолжительности года 365 дней.

^{jf1  365  if1  365  0,00296  1,0804  100,04%} в год;

^{jf2  365  if2  365  0,00317  1,15705  115,70%} в год.

Сложные проценты

Наращение по схеме сложных процентов

Формула наращения имеет вид:

^{FV PV} ^{1  i}n ^;

I FV PV

^где PV ^{– сумма вложенных средств;} FV ^{– наращенная сумма;} I ^{– процент;} i ^– процентная ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (год, квартал, ме- сяц и т.п.); ⁿ– продолжительность времени между началом и концом финансо- вой операции.

Наращение по схеме сложных процентов используется как правило для долгосрочных операций с капитализацией наращенных процентов.

Наращение процентов по схеме сложных процентов несколько раз в год.

Эффективная ставка для схемы сложных процентов

Формула наращения имеет вид:

_{ j}mn


m
FV PV _1  _ ;

 

I FV PV

где PV– сумма вложенных средств; FV– наращенная сумма; I– процент; _j

– годовая процентная ставка; n– продолжительность времени (в годах) между началом и концом финансовой операции, m – число начислений процентов в год.

Для непрерывного начисления процентов ( ^{m }) формула приобретает

следующий вид:

FV PV e^jn,

тут ^e– показатель натурального логарифма (функция e^x

MS Excel с помощью функции EXP(X)).

вычисляется в

Для определения эффективной годовой процентной ставки можно вос- пользоваться общей формулой, справедливой для любых вариантов изменения денежных величин:

_{ FV}1 n


PV
j_f _{ } 1

 

Можно использовать также частную формулу для годовой эффективной процентной ставки для многократных начислений процентов:

 ^j^m


m
j_f _1  _ 1

 

Для случая непрерывного начисления процентов частная формула имеет

вид:

j_f e^j1

Общая формула универсальна, не зависит от схемы наращения и требует знания лишь начальной и конечной величин и интервала времени. Частные формулы хороши тем, что могут быть использованы сразу, без знания и вы- числения сумм, на основе только параметров операции. Результаты расчетов по формулам будут одинаковыми.

Пример

(НАМЕК: пример похож на задание 4)

Банк предоставляет заводу кредит в размере 300 000 000 €. под 4% годо-

вых.

Какая сумма будет возвращена заводом через 20лет? Сделать расчеты

для следующих схем наращения:

1. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в два года
   
2. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в год;
   
3. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в полгода;
   
4. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в 4 месяца;
   
5. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в квартал;
   
6. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в месяц;
   
7. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в 10 дней;
   
8. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в 5 дней;
   
9. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в день;
   
10. 
    проценты начисляются и капитализируются непрерывно. Считать, что в году 365 дней.
    

Построить график зависимости наращенной суммы от числа наращений

в год.

Определить эффективную годовую процентную ставку для всех указан-

ных вариантов.

Решение

Во всех указанных случаях для расчета наращенной суммы необходимо использовать правило сложного процента.

В случаях 1) – 9) используется формула:

_{ j}mn


m
FV PV _1 _ ,

 

В нашем примере

PV 300000000 ^€,

j 4%  0,04 ,

n 20^.

Число mзависит от схемы наращения:

1. 
   проценты начисляются и капитализируются раз в два года, тогда:
   

m ¹  0,5 _;