Диплом Лоренц Степанова. Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич

• Название: Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич
• Дата: 14.12.2022
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: Диплом Лоренц Степанова.docx
• Тип: Исследование; #844826
• страница: 3 из 11

1.2. Определение устойчивости цифровых систем в форме z-преобразования

Для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения замкнутой системы (полюса передаточной функции замкнутой дискретной системы) удовлетворяли условию:

(1.1)

Если хотя бы один корень  , система будет неустойчивой. Значением какого-либо корня при всех остальных определяется граница устойчивости дискретной системы [3, 10, 13].

Графически область устойчивости дискретной системы на плоскости Z корней характеристического уравнения изображается единичным кругом на рисунке 1.



Рис. 1. Области устойчивости на плоскости Z: a – устойчивой, б – неустойчивой, в – на границе устойчивости.

Таким образом, исследование устойчивости сводится к изучению расположения корней характеристического уравнения дискретной системы относительно единичной окружности. Сопоставим, как выглядят передаточные функции для дискретных и непрерывных систем.

Передаточная функция – функция комплексного переменного z, произведение которого на z - преобразование входного сигнала системы дает z -преобразование выходной величины.

Для непрерывных систем передаточная функция имеет вид дробно-рациональной функции от s преобразования Лапласа:

(1.2)

где a₀, a₁, …, a_n, b_0,b_1, …, b_n - коэффициенты; A(s) и B(s) – изображение по Лапласу; m, n – целые положительные числа (m ≤ n).

Характеристическое уравнение представляет собой степенное уравнение, при этом число корней уравнения равно степени полинома - n.

Для того чтобы получить преобразование Лапласа импульсивного сигнала на выходе системы, воспользуемся уравнением последовательности идеальных импульсов:

(1.3)

где T₀ – такт квантования; k, n – индексы дискретного времени k = t / T₀ = 0, 1, 2, …; g - импульсная реакция (весовая функция); s – переменная преобразования Лапласа (s = σ + iω) или сигнал, u – входной сигнал объекта.

Подставив в эту формулу параметр q = n - k:

(1.4)

Отсюда

(1.5)

Переходя к переменной , введем дискретную функцию по переменной z:

(1.6)

Динамические свойства линейной стационарной системы с сосредоточенными параметрами полностью определяются его дифференциальным уравнением, имеющим вид

(1.7)

Тогда дискретная передаточная функция будет иметь вид:

(1.8)

Характеристическое уравнение

(1.9)

представляет собой трансцендентное уравнение, при этом число корней уравнения бесконечно, так как они имеют периодический характер [3, 12].

Устойчивость линейных дискретных систем с постоянными коэффициентами может быть изучена как в плоскости s, так и в плоскости z. В плоскости s критерием устойчивости может быть то, что полюсы системы находятся в ее левой половине. В дискретных системах предполагают, что система является устойчивой, если полюс расположен на плоскости z в области меньшей единице. Этот критерий плоскости z вытекает из того факта, что левая половина плоскости s отображается внутренней частью единичной окружности по плоскости z[4, 11]. Это следует из рисунка 1 и соотношения

(1.10)