Диплом Лоренц Степанова. Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич
![]()
|
3.5. Критерий устойчивости Шур - КонаПример 10. Определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция в форме z – преобразования, имеет вид: ![]() Решение: По условию данного критерия, линейная дискретная система устойчива, если коэффициенты характеристического уравнения удовлетворяют всем отрицательным определителям с нечетными индексами и положительными определителям с четными индексами. Характеристическое уравнение имеет вид: ![]() Составляем определители Шур - Кона по формулам (2.29), (2.30): ![]() Следовательно ![]() ![]() ![]() Все полученные определители оказались отрицательными, что опровергает условию критерия Шур - Кона. Следовательно, система является неустойчивой. Пример 11. Определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция в форме z – преобразования, имеет вид: ![]() Решение: По условию данного критерия, линейная дискретная система устойчива, если коэффициенты характеристического уравнения удовлетворяют всем отрицательным определителям с нечетными индексами и положительными определителям с четными индексами. Составляем определители Шур - Кона по формулам (2.29), (2.30): ![]() Следовательно ![]() ![]() ![]() Определители с нечетными индексами оказались отрицательными, а с определитель с четным индексом – положительным, что подтверждает условию критерия Шур - Кона. Следовательно, система является устойчивой. 3.6. Применение критерия устойчивости ГурвицаПример 12. С помощью критерия Гурвица определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция дискретной системы имеет вид: ![]() Решение: Согласно данному критерию линейная дискретная система устойчива, если при ![]() Характеристическое уравнение системы имеет вид: ![]() Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, следовательно, выполняется необходимое условие устойчивости. Но оно является недостаточным, т.к. характеристическое уравнение имеет 4-й порядок. Следующим шагом будет нахождение всех диагональных миноров определителя Гурвица 4-го порядка. В характеристическом уравнении выше a0=2>0. Теперь проверяем главные миноры данной матрицы: ![]() Таким образом, при a0>0 все главные миноры определителя Гурвица положительны, что соответствует условию критерия устойчивости. Следовательно, система является устойчивой. Пример 13. С помощью критерия Гурвица определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция дискретной системы в форме z – преобразования: ![]() Решение: Согласно данному критерию линейная дискретная система устойчива, если при ![]() Характеристическое уравнение системы имеет вид: ![]() Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, следовательно, выполняется необходимое условие устойчивости. Но оно является недостаточным, т.к. характеристическое уравнение имеет 4-й порядок. Следующим шагом будет нахождение всех диагональных миноров определителя Гурвица 4-го порядка. В характеристическом уравнении выше a0=2>0. Теперь проверяем главные миноры данной матрицы: ![]() Таким образом, при a0>0 все главные миноры определителя Гурвица, кроме первого отрицательны, что не соответствует условию критерия устойчивости. Следовательно, система является неустойчивой. |