Диплом Лоренц Степанова. Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич

• Название: Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич
• Дата: 14.12.2022
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: Диплом Лоренц Степанова.docx
• Тип: Исследование; #844826
• страница: 5 из 11

ГЛАВА 2. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

2.1 Определение критериев устойчивости

Критерии устойчивости – это косвенные методы анализа устойчивости, которые дают ответ об устойчивости системы без определения корней характеристических уравнений четвертого и более высокого порядка.

Критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные [3, 16].

Алгебраическими критерияминазываются критерии, которые основаны на проверке определенных соотношений, составленных из коэффициентов характеристического уравнения. Поэтому при использовании алгебраических критериев нужно иметь только характеристическое уравнение. Если исследование устой­чивости проводится с помощью алгебраических критериев, нужно, прежде всего, проверить выполнение необходимого условия устой­чивости, так как его проверка не требует никаких вычислений и при невыполнении этого условия дальнейших исследований проводить не нужно [15, 16].

Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы коэффициенты ее характери­стического уравнения были одного знака:

 

           a₀ > 0, a₁ > 0 … a_n > 0,   (2.1)

 

Если необходимое условие не выполняется, то система неустой­чива. Если же необходимое условие выполняется, то система при п ≥ 3 (п — порядок системы) может быть устойчивой и неустой­чивой и для установления устойчивости нужно воспользоваться каким-либо критерием устойчивости. Как уже установлено, в слу­чае систем первого и второго порядков необходимое условие является и достаточным.

К алгебраическим критериям относятся такие критерии, как критерий Джури, Гурвица и Льенара-Шипара, который еще называют модификацией критерия Гурвица.

Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на построении частотных характеристик и так назы­ваемой кривой Михайлова. Частотными называют такие критерии, как критерий Михайлова,   Найквиста и  логарифмический  частотный   крите­рий. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, т.к. позволяют легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а также имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.

Рассмотрим принципы применения алгоритмов на тестовых примерах реальных объектов с различной конфигурацией нулей и полюсов.

2.2. Критерий устойчивости Джури

Данный критерий был назван в честь американского ученого Калифорнийского университета Э. Джури в 1955 году [11, 14].

В настоящее время нет принципиальных трудностей вычисления корней характеристического уравнения с использованием электронно-вычислительных машин, однако при необходимости экономить машинное время целесообразно пользоваться критерием устойчивости Джури, алгоритм которого состоит в следующем:

1) Пусть задан  характеристический полином (1.9) при a₀ > 0. Введём понятие обратного полинома, получаемого путём перестановки коэффициентов исходного в обратном порядке.

(2.2)

2)Разделим (1.9) на обратный ему полином (2.2). В итоге получим частное от деления число   и остаток   - полином n-1 степени:

(2.3)

Домножая полученный результат  , получаем:

(2.4)

3) Затем делим остаток   на обратный ему

(2.5)

и определяем новые   и  :

 (2.6)

Выполняя деление полиномов   на обратные или  , получаем последовательность 

(2.7)

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы являются неравенства:

(2.8)