Диплом Лоренц Степанова. Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич

• Название: Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич
• Дата: 14.12.2022
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: Диплом Лоренц Степанова.docx
• Тип: Исследование; #844826
• страница: 7 из 11

2.4. Критерий устойчивости Шур - Кона

Данный критерий позволяет анализировать устойчивость дискретных систем по характеристическому уравнению системы, записанному в форме z-преобразования.

По уравнению (1.9) запишем коэффициенты в виде определителя

(2.29)

где

(2.30)

Дискретная система управления будет устойчивой, если коэффициенты уравнения (1.9) удовлетворяют всем определителям Шур-Кона, имеющего ∆_k < 0 для нечетных k и ∆_k > 0 для четных k. В этом случае система будет устойчивой [16].

Рассмотрим частные случаи:

1) При k = 1 уравнение (2.29) будет иметь вид:

(2.30)

где A₁₁ = a_n, A₂₁ = 1.

2) При k = 2 уравнение (2.29) будет иметь вид:

(2.31)

где

(2.32)

Тогда (2.31) записывается в виде

(2.33)

3) При k = 3 уравнение (2.29) будет иметь вид:

(2.34)

где

(2.35)

Тогда (2.34) записывается в виде

(2.36)

4) При k = 4 уравнение (2.29) будет иметь вид:

(2.37)

где

(2.38)

Тогда (2.34) записывается в виде

(2.39)

2.5. Критерий устойчивости Гурвица

Он был разработан немецким математиком Адольфом Гурвицом в 1895 году. Данные критерий был представлен в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Рассмотри алгоритм его использования:

1. 
   Записываем характеристическое уравнение вида (1.9).
   

2. Составляем определитель Гурвица.

(2.12)

3. Определяем устойчивость также как и для непрерывных систем.

Линейная дискретная система устойчива, если при определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны [15, 16].

Рассмотрим частные случаи.

При n = 1 характеристическое уравнение имеет вид:

(2.13)

Определитель Гурвица имеет вид:

(2.14)

При n = 2 характеристическое уравнение имеет вид:

(2.15)

Определители Гурвица имеют вид:

(2.16)

Как видно из рассмотренных выше случаев, при n≤2 необходимое условие устойчивости также является достаточным.

При n = 3 характеристическое уравнение имеет вид:

(2.17)

Определители Гурвица имеют вид:

(2.18)

При n = 4 характеристическое уравнение имеет вид:

(2.19)

Определители Гурвица имеют вид:

(2.20)

При 2
Критерий Гурвица применяется при n ≤ 4, т.к. при больших порядках возрастает число определителей, и процесс их нахождения становится более трудоемким. В этом случае используют ряд модификаций данного критерия, одна из которых называется критерием Льенара-Шипара.

2.6. Критерий устойчивости Льенара – Шипара

Критерий устойчивости Льенара-Шипара, являющийся модификацией рассмотренного выше критерия Гурвица, был предложен П. Льенаром и Р. Шипаром в 1914 году. Его используют для определения устойчивости характеристических уравнений высоких порядков (n ≥ 5).

Рассмотри алгоритм его использования:

1. Записываем характеристическое уравнение (1.9).

2. Составляем определитель Гурвица (2.12).

3. Определяем устойчивость также как и для непрерывных систем.

Линейная дискретная система устойчива, если при определитель Гурвица и его четные (нечетные) диагональные миноры положительны, т.е.:

При n=2m:

(2.21)

При n=2m+1:

(2.22)

Рассмотрим частные случаи.

При n = 5 характеристическое уравнение имеет вид:

(2.23)

Вычисляем определители с четными индексами:

(2.24)

(2.25)

При n = 6 характеристическое уравнение имеет вид:

(2.26)

Вычисляем определители с нечетными индексами:

(2.27)

(2.28)

Данный критерий требует раскрытие меньшего числа определителей, чем у критерия Гурвица, поэтому особенно удобен при исследовании устойчивости систем управления высших порядков [15, 16].