Диплом Лоренц Степанова. Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич

• Название: Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич
• Дата: 14.12.2022
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: Диплом Лоренц Степанова.docx
• Тип: Исследование; #844826
• страница: 4 из 11

1.3. Билинейное преобразование.

Билинейное преобразование 

(1.11)

или

(1.12)

переводит точки единичной окружности на плоскости zв точки, лежащие на мнимой оси плоскости w, и наоборот. Любой точке, распложенной внутри этой окружности, согласно соответствует точка левой полуплоскости w, а точки, находящиеся вне окружности, отображаются в точки, принадлежащие правой полуплоскости w. Следовательно, условие устойчивости дискретной САУ, связанное с принадлежностью z-корней характеристического уравнения C(z)=0 единичному кругу, равносильно условию принадлежности левой w-полуплоскости корней уравненияC(w)=0, полученного из исходного уравнения путем билинейного преобразования:

(1.13)

Расположение полюса в плоскости z определяет характер протекания процесса во временной области, так же как и местонахождение полюса в плоскости s [3].

Утверждение 1. При преобразовании

(1.14)

внутренность единичного круга на z-плоскости преобразуется в левую полуплоскость, его внешность — в правую полуплоскость и окружность (единичного радиуса) — в мнимую ось на w-плоскости.

Доказательство. Представим комплексную переменную z в тригонометрической форме и подставим в (1.11):

(1.15)

Преобразовав и разделив выражение справа на вещественную и мнимую части, получим

(1.16)

Так как при то вещественная часть

(1.17)

отрицательна при |z|<1, положительна при |z|>1 и равна нулю при |z|=1.

Следовательно, при преобразовании (1.9) внутренность единичного круга z -плоскости переходит в левую полуплоскость, а его внешняя часть — в правую полуплоскость z-плоскости. Окружность единичного радиуса |z|= 1 переходит в мнимую ось. Действительно, при |z|=1

(1.18)

и при изменении от до переменная v пробегает значения от до . Утверждение доказано.

Разрешим равенство (1.12) относительно z и подставим полученное выражение в характеристическое уравнение (1.12):

(1.19)

Представим это преобразованное характеристическое уравнение в стандартной форме:

(1.20)

Выражения для коэффициентов этого уравнения через коэффициенты исходного характеристического уравнения получим, если в (1.19) раскроем скобки и произведем приведение подобных членов, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в (1.19) и (1.20).

Для п = 1,2,3 имеем:

п = 1: с_о = a_o - a₁, c₁=a_o + a₁;(1.21а)

п = 2: с₀ = a₀ - a₁ + а₂,c₁ = 2(а₀ - а₂), с₂ = а₀ + a₁ + а₂; (1.22б)

п = 3: с₀ = а₀ - a₁ + а₂ - а₃,c₁ = 3(а₀ + а₃) - а₁ -а₂,

с₂ = 3(а₀ - а₃) + а₁ - а₂, с₃ = а₀ + a₁ + а₂ + а₃. (1.23в)

В силу утверждения 1, если корни исходного характеристического уравнения располагаются внутри единичного круга, то корни преобразованного характеристического уравнения (1.20) располагаются в левой полуплоскости.

Таким образом, для того чтобы дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни преобразованного характеристического уравнения (1.20)располагались в левой полуплоскости (имели отрицательную вещественную часть).

Использование z-преобразования позволяет преобразовать трансцендентный полином в степенной, что позволяет упростить процесс исследования дискретных систем управления. Кроме того, отображает основную полосу на плоскость Z, отрезок мнимой оси в окружность единичного радиуса, а левую часть полосы в круг единичного радиуса.

Решение такой задачи может быть осуществлено с использованием известных критериев, разработанных для оценки устойчивости непрерывных систем, например, критерий Гурвица или Льенара-Шипара, которые будут рассмотрены ниже.