Диплом Лоренц Степанова. Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич

• Название: Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич
• Дата: 14.12.2022
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: Диплом Лоренц Степанова.docx
• Тип: Исследование; #844826
• страница: 8 из 11

ГЛАВА 3. МОДЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Исследование устойчивости с помощью корней характеристического уравнения

В работе для исследования устойчивости динамических объектов с различными алгебраическими критериями использовались так называемые тестовые объекты, являющиеся моделями реальных объектов с различными конфигурациями нулей и полюсов дискретной передаточной функции

Пример 1. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией

.

Характеристическое уравнение имеет вид

.

Разложим уравнение на множители и получим:



Определим корни характеристического уравнения

.

Система находится на границе устойчивости, так как один из корней ее характеристического уравнения по модулю равен единице.

Пример 2. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией

.

Решение: Характеристическое уравнение имеет вид:



Определим корни характеристического уравнения:



Определим модуль корней:



Система неустойчива, так как два последних корня ее характеристического уравнения по модулю больше единицы, что опровергает условие устойчивости.

Пример 3. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией

.

Решение: Характеристическое уравнение имеет вид:



Определим корни характеристического уравнения:



Система устойчива, так как корни ее характеристического уравнения по модулю меньше единицы, что соответствует условию устойчивости.

3.2. Исследование устойчивости с помощью билинейного преобразования

Пример 4. С помощью билинейного преобразования исследовать на устойчивость дискретную функцию вида:



Решение:

1) В характеристическое уравнение подставим :



2) Поученное уравнение умножим на :



3) Определяем устойчивость по критерию Гурвица:



Все определители Гурвица будут равны нулю, так как коэффициенты с нечетными индексами a₁ и a₃ равны нулю. Следовательно, система является неустойчивой.

Пример 5. С помощью билинейного преобразования исследовать на устойчивость дискретную функцию вида:



Решение:

1) В характеристическое уравнение подставим :



2) Поученное уравнение умножим на :





Все определители оказались положительными, что соответствует условию устойчивости. Следовательно, система устойчива.

3.3. Применение критерия устойчивости Джури

Пример 6. С помощью критерия Джури определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция в форме z – преобразования имеет вид:



Решение: Характеристическое уравнение функции имеет вид:



Проверяем необходимые условия критерия:



Поскольку эти легко вычисляемые неравенства удовлетворяются, то имеет смысл вычислять коэффициент  .

Составим обратный полином путём перестановки коэффициентов в обратном примере.



Разделим A(z) на A₀(z):

;



Умножив его на   получаем:



Делим   на  :





Результаты расчёта показывают, что  по модулю меньше единицы, а по модулю больше единицы, что опровергает последнее условие устойчивости. Следовательно, цифровая система неустойчива.

Пример 7. С помощью критерия Джури определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция в форме z – преобразования имеет вид:



Решение: Характеристическое уравнение функции имеет вид:



Здесь выполняется необходимое условие устойчивости, т.к. все коэффициенты положительны. Следовательно, мы можем проверить условия данного критерия:



Поскольку эти легко вычисляемые неравенства удовлетворяются, то имеет смысл вычислять коэффициент  .

Составим обратный полином путём перестановки коэффициентов в обратном примере.



Разделим A(z) на A₀(z):

;



Умножив его на   получаем:



Делим   на  :





Результаты расчёта показывают, что  и по модулю меньше единицы, что соответствуют условиям устойчивости. Следовательно, цифровая система устойчива.