Диплом Лоренц Степанова. Исследование устойчивости математических моделей цифровых систем управления Лоренц Ян Дмитриевич
![]()
|
ГЛАВА 3. МОДЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ3.1. Исследование устойчивости с помощью корней характеристического уравненияВ работе для исследования устойчивости динамических объектов с различными алгебраическими критериями использовались так называемые тестовые объекты, являющиеся моделями реальных объектов с различными конфигурациями нулей и полюсов дискретной передаточной функции Пример 1. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией ![]() Характеристическое уравнение имеет вид ![]() Разложим уравнение на множители и получим: ![]() Определим корни характеристического уравнения ![]() Система находится на границе устойчивости, так как один из корней ее характеристического уравнения по модулю равен единице. Пример 2. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией ![]() Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: ![]() Определим корни характеристического уравнения: ![]() Определим модуль корней: ![]() Система неустойчива, так как два последних корня ее характеристического уравнения по модулю больше единицы, что опровергает условие устойчивости. Пример 3. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией ![]() Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: ![]() Определим корни характеристического уравнения: ![]() Система устойчива, так как корни ее характеристического уравнения по модулю меньше единицы, что соответствует условию устойчивости. 3.2. Исследование устойчивости с помощью билинейного преобразованияПример 4. С помощью билинейного преобразования исследовать на устойчивость дискретную функцию вида: ![]() Решение: 1) В характеристическое уравнение подставим ![]() ![]() 2) Поученное уравнение умножим на ![]() ![]() 3) Определяем устойчивость по критерию Гурвица: ![]() Все определители Гурвица будут равны нулю, так как коэффициенты с нечетными индексами a1 и a3 равны нулю. Следовательно, система является неустойчивой. Пример 5. С помощью билинейного преобразования исследовать на устойчивость дискретную функцию вида: ![]() Решение: 1) В характеристическое уравнение подставим ![]() ![]() 2) Поученное уравнение умножим на ![]() ![]() ![]() Все определители оказались положительными, что соответствует условию устойчивости. Следовательно, система устойчива. 3.3. Применение критерия устойчивости ДжуриПример 6. С помощью критерия Джури определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция в форме z – преобразования имеет вид: ![]() Решение: Характеристическое уравнение функции имеет вид: ![]() Проверяем необходимые условия критерия: ![]() Поскольку эти легко вычисляемые неравенства удовлетворяются, то имеет смысл вычислять коэффициент ![]() Составим обратный полином путём перестановки коэффициентов в обратном примере. ![]() Разделим A(z) на A0(z): ![]() ![]() ![]() ![]() Умножив его на ![]() ![]() Делим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Результаты расчёта показывают, что ![]() ![]() Пример 7. С помощью критерия Джури определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция в форме z – преобразования имеет вид: ![]() Решение: Характеристическое уравнение функции имеет вид: ![]() Здесь выполняется необходимое условие устойчивости, т.к. все коэффициенты положительны. Следовательно, мы можем проверить условия данного критерия: ![]() Поскольку эти легко вычисляемые неравенства удовлетворяются, то имеет смысл вычислять коэффициент ![]() Составим обратный полином путём перестановки коэффициентов в обратном примере. ![]() Разделим A(z) на A0(z): ![]() ![]() ![]() ![]() Умножив его на ![]() ![]() Делим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Результаты расчёта показывают, что ![]() ![]() |