Тригонометрия. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
в) секундная стрелка часов? Решение. Разберем только пункт а). Полный оборот часовая стрелка делает за 12 часов; стало быть, за час она поворачива- ется на 360/12 = 30 ◦ . Следовательно, за минуту часовая стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за час, то есть на 30 0 ; в свою очередь, за секунду стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за минуту, то есть на 30 00 . Теперь вы видите, на- сколько мала угловая секунда: ведь даже угол, в тридцать раз больший (поворот часовой стрелки за секунду времени) мы не в состоянии заметить. Представление об угловой минуте дает такой факт: «разре- шающая способность» человеческого глаза (при стопроцентном зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой ми- нуте. Это означает, что две точки, которые видны под углом 1 0 или меньше, на глаз воспринимаются как одна. Посмотрим, что можно сказать о синусе, косинусе и тангенсе малых углов. Если на рис. 4.2 угол α мал, то высота BC, дуга BD и отрезок BE, перпендикулярный AB, очень близки. Их длины — это sin α, радианная мера α и tg α. Стало быть, для малых углов синус, тангенс и радианная мера приближенно равны друг другу: 15 Рис. 4.1. Разрешающая способность. Рис. 4.2. Малые углы. Если α — малый угол, измеренный в радианах, то sin α ≈ α; tg α ≈ α. Задача 4.2. Запишите приближенные формулы для синуса и тан- генса малых углов, считая, что угол измеряется в градусах. Ответ. sin α ◦ ≈ πα/180. Видно, что формулы сложнее, чем для радианной меры — еще один довод в ее пользу! Задача 4.3. Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров? Дайте ответ: а) в радианах; б) в угло- вых минутах. Задача 4.4. Чему равно расстояние, равное одной минуте дуги земного меридиана? Радиус Земли равен примерно 6370 . Расстояние, о котором идет речь в этой задаче, примерно рав- но морской миле (именно так и появилась эта мера длины). 16 Рис. 4.3. Парсек. Рис. 4.4. Формула тысячных. Задача 4.5. В астрономии применяется единица измерения рассто- яний, называемая парсек. По определению, расстояние в 1 пар- сек — это расстояние с которого радиус земной орбиты 1 виден под углом 1 00 (рис. 4.3 ). Сколько километров в одном парсеке? (Радиус земной орбиты равен примерно 150 миллионам километ- ров.) Задача 4.6. Военные пользуются единицей измерения углов, на- зываемой «тысячная». По определению, тысячная — это 1/3000 развернутого угла. Такое измерение углов военные применяют в следующей формуле для определения расстояния до удаленных предметов: = (/) · 1000. Здесь — расстояние до предмета, — его высота, — угол, под которым он виден, измеренный в тысячных (рис. 4.4 ). Точна ли эта формула? Почему ей можно пользоваться на практике? Чему равно число π, по мнению военных? Мы видим, что формулы sin α ≈ α, tg α ≈ α верны с хоро- шей точностью для малых углов. Посмотрим, что произойдет, 1 Астрономы поправили бы нас: не радиус (орбита Земли — не круг, а эл- липс), а большая полуось (половина расстояния между наиболее удаленными друг от друга точками орбиты). 17 если угол не столь мал. Для угла в 30 ◦ точное значение сину- са равно 0,5, а радианная мера равна π/6 ≈ 0,52. Ошибка (или, как еще говорят, погрешность), которую дает формула sin α ≈ α, равна примерно 0,02, что составляет 4% от значения синуса. Мож- но сказать, что относительная погрешность при таком вычисле- нии (отношение погрешности к значению синуса) составляет 4%. Для углов, меньших 10 ◦ , относительная погрешность формулы sin α ≈ α меньше одного процента. Чем меньше угол α, тем мень- ше относительная погрешность формулы sin α ≈ α. Существуют и другие формулы, позволяющие вычислять си- нусы и тангенсы — и не только малых углов — с хорошей точно- стью. Например, формула sin α ≈ α − α 3 /6 (напоминаем, что α измеряется в радианах!) дает относительную погрешность менее 1% уже для всех углов, не превосходящих 50 ◦ . Позднее мы уви- дим, как оценить погрешность наших формул. Задача 4.7. Пусть α — острый угол, измеренный в радианах. До- кажите неравенство cos α > 1 − α 2 Указание. Воспользуйтесь формулой cos α = p 1 − sin 2 α, нера- венством sin α < α и неравенством √ t > t (для 0 < t < 1). Задача 4.8. Для косинусов малых углов в качестве приближен- ного значения можно брать 1. Докажите, что при величине угла менее 5 ◦ относительная погрешность этого приближения будет ме- нее 1%. 18 Глава 2 Начальные свойства тригонометрических функций § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию 5.1. Часы и процессы До сих пор тригонометрия была для нас наукой о соотношени- ях сторон в треугольниках. Именно с этого развитие тригоно- метрии и начиналось (слово «тригонометрия» означает в пере- воде с древнегреческого «измерение треугольников»). Позднее, однако, акценты сместились, и сейчас тригонометрию правильнее рассматривать как науку не о треугольниках, а о периодических процессах. Чтобы понять, при чем тут периодические процессы, рассмотрим простейший из них — движение стрелок часов. Задача 5.1. Предположим, что все стрелки часов имеют длину 1 см (видимо, это женские наручные часики). Какой путь прохо- дит за сутки: а) секундная стрелка; б) минутная стрелка; в) часовая стрелка? 19 Рис. 5.1. Часы фирмы «Тригонометрия». (Мы имеем в виду, конечно, путь, проходимый концом стрелки.) Задача 5.2. Секундная стрелка часов имеет длину 1 см. Часы за- вели в 12 часов дня 1 января. В котором часу и какого числа путь, пройденный концом секундной стрелки, составит 1 км? С какой точностью надо знать пройденный стрелкой путь, чтобы иметь возможность ответить на вопрос о дате? Часы нам еще сослужат добрую службу, но чтобы не входить в противоречие с общепринятой терминологией и обозначениями, нам нужны часы не совсем обычные. Наши «часы для любителей тригонометрии» имеют всего одну стрелку. Эта стрелка движет- ся в обратном (по сравнению с обычными часами) направлении. В момент пуска часов стрелка указывает вправо (туда, где на обычных часах написана цифра 3). За час стрелка поворачива- ется на 1 радиан. Будем считать, что длина стрелки равна 1. Тогда, согласно определению радианной меры угла, длина дуги, описываемой кон- цом стрелки за час, равна 1, за два часа — 2 и т. д. Объясним теперь, какое отношение эти часы имеют к синусам и косинусам. Для этого рассмотрим систему координат, располо- женную, как показано на рис. 5.2 а. 20 а) б) Рис. 5.2. Часы и тригонометрия. Каковы будут координаты конца стрелки в момент t (через t часов после запуска)? Из рис. 5.2 б ясно, что, пока стрелка не успела выйти за пределы первой координатной четверти, ее коор- динаты будут (cos t; sin t) (имеются в виду косинус и синус угла в t радиан). В самом деле, из прямоугольного треугольника M AP видно, что cos ∠M AP = AP , sin ∠M AP = M P , а радианная мера угла ∠M AP равна t. Пусть теперь стрелка вышла за пределы первой координатной четверти (это означает, что пройденный ей путь t превысил π/2). Формально мы не можем сказать, что координаты конца стрелки равны (cos t; sin t), так как t больше не является радианной ме- рой острого угла, а синус и косинус мы определили только для острых углов. Однако мы можем обобщить наши определения. Можно определить косинус числа t как абсциссу конца стрелки в тот момент, когда пройденное этим концом расстояние составит t. Аналогично синус t определяется как ордината конца стрелки в тот же момент. Как мы видели, в тех случаях, когда t является радианной мерой острого угла, новые определения согласуются с прежними. Задача 5.3. Как бы вы определили синус и косинус отрицатель- ного числа t? Задача 5.4. Найдите: 21 а) cos(π/2) и sin(π/2); б) cos π и sin π; в) cos(3π/2) и sin(3π/2); г) cos(5π/2) и sin(5π/2). В следующем параграфе мы дадим более формальные опреде- ления синуса и косинуса произвольного числа и начнем системати- ческое изучение тригонометрии. Но некоторые важные свойства синуса и косинуса можно увидеть уже сейчас. Заметим, что за время 2π стрелка наших часов делает полный круг и оказывается на прежнем месте. Поэтому координаты ее конца в моменты t и t + 2π одинаковы. Другими словами: cos(t + 2π) = cos t sin(t + 2π) = sin t Как говорят, функции синус и косинус имеют период 2π. Задача 5.5. Как меняется положение стрелки за время π? Чему равны cos(t + π) и sin(t + π)? 5.2. Скорость Посмотрим теперь, как изменяются cos t и sin t при изменении t. Сделаем это для косинуса (ситуация с синусом аналогична). Стрелка часов равномерно вращается, при этом в тот момент, когда конец стрелки прошел расстояние t, проекция этого конца на ось абсцисс отмечает число cos t (рис. 5.3 а). Видно, что эта про- екция совершает колебания от 1 до −1 и обратно. Далее, движение конца стрелки по окружности равномерно, но движение его про- екции равномерным уже не будет. Чтобы это увидеть, нанесем на окружность положения конца стрелки через равные промежут- ки времени, а на ось абсцисс — их проекции (рис. 5.3 б). Хорошо видно, что вблизи концов отрезка [−1; 1] точки идут гуще, чем в его середине. Однако отмеченные точки — не что иное, как про- екции конца стрелки через равные промежутки времени. Стало быть, в середине отрезка [−1; 1] наша точка движется быстрее, чем у его краев. Это и понятно: в своих колебаниях по отрезку наша точка в концах разворачивается, а чтобы развернуться, надо сначала затормозить. 22 а) б) Рис. 5.3. Как меняется косинус. Задача 5.6. а) Если для каждого целого n найти число sin(πn/30), сколько различных чисел получится? б*) Каким должно быть число a, чтобы множество чисел вида cos(πna), где n пробегает все целые числа, было конечно? в**) Существует ли такое натуральное число n, что | cos n| < < 1/1000? Давайте подсчитаем поточнее, с какой скоростью движется проекция конца стрелки. Будем опять-таки рассматривать проекцию на гори- зонтальную ось, соответствующую косинусу. Мы считали, что стрелка движется со скоростью 1 / и имеет длину 1, так что ее конец движет- ся со скоростью 1. Пусть в данный момент стрелка повернута на угол t (рис. 5.4 ) Через маленькое время τ конец стрелки переместится из точки A в точку B, а его проекция — из точки M в точку N . Найдем отрезок M N . Для этого заметим, что угол CAB можно приближенно считать прямым, так как хорда AB мала. Поэтому ∠BAK ≈ π/2 − ∠CAK = π/2 − t (углы измеряются в радианах). Следовательно, M N ≈ AB cos(π/2 − t) = AB · sin t. Далее, так как хорда AB мала, ее длина приближенно равна длине ду- ги AB, то есть τ . Следовательно, M N ≈ τ · sin t, и средняя скорость проекции конца стрелки на участке от M до N приблизительно равна M N/τ = sin t. На самом деле чем меньше, тем меньше ошибки наших 23 Рис. 5.4. приближенных вычислений и тем ближе средняя скорость к sin t. Как говорят, мгновенная скорость проекции конца стрелки в тот момент, когда стрелка прошла расстояние t, равна sin t. Точнее говоря, эта мгно- венная скорость равна − sin t, так как при возрастании пройденного расстояния от t до t + τ проекция конца стрелки движется по оси абс- цисс в «отрицательном направлении» (от б´ ольших чисел к меньшим). Говоря по-ученому, производная от функции y = cos t — это функция y = − sin t. § 6. Определение тригонометрических функций В этом параграфе мы аккуратно сформулируем определения три- гонометрических функций. Для этого введем на плоскости прямоугольную систему коор- динат и рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 6.1 а). Такой чертеж принято называть тригонометрическим кругом (или тригонометрической окружностью). Точку с координатами (1; 0), лежащую на этой окружности, будем называть началом отсчета или точкой ноль (не путайте с началом координат!). Направление движения против часовой стрелки будем называть положительным направлением (рис. 6.1 б). Тригонометрическая окружность служит для того, чтобы на- 24 носить на нее числа. Это делается так. Пусть у нас есть число t. Начав с начала отсчета, пройдем по тригонометрической окруж- ности путь длиной |t|: если t > 0 — в положительном направле- нии, если t < 0 — в отрицательном (возможно, нам придется при этом несколько раз пройти по одному и тому же месту). Точка, в которой мы остановились, и есть точка на окружности, соответ- ствующая числу t. По-другому точку на окружности, соответствующую числу t, можно себе представить как второй конец намотанной на окруж- ность нерастяжимой нити длины |t|, один конец которой закреп- лен в начале отсчета, или как положение стрелки часов, о которых мы говорили в предыдущем параграфе, в момент t. На рис. 6.2 отмечено, какая точка соответствует числу π/2 (длина дуги от 0 до этой точки составляет как раз 1/4 всей длины окружности, т. е. 2π/4 = π/2). Впрочем, в ту же точку попадут и числа π 2 + 2π, π 2 − 2π, π 2 + 4π — при движении по окружности мы сделаем один или несколько лишних кругов, но остановимся все в той же точке. Задача 6.1. Нанесите на тригонометрический круг числа 3π/2, π/4, −π/4, −π/2, −7π/4, −7π/2. Сколько различных точек у вас получилось? Задача 6.2. Нанесите на тригонометрическую окружность точки, соответствующие числам πn/2 для всех целых n. Сколько различ- а) б) Рис. 6.1. Тригонометрический круг. 25 Рис. 6.2. ных точек у вас получилось? Задача 6.3. Выполните задание предыдущей задачи для чисел: а) −π/4 + πn; б) π/3 + 2πn (n — любое целое число). Задача 6.4. В какой четверти будет находиться точка тригономет- рической окружности, соответствующая числу 1000? Задача 6.5. Сколько точек получится, если нанести на тригоно- метрический круг все числа вида 73πn/107, где n — целое число? Задача 6.6. Каким должно быть число a, чтобы среди точек, со- ответствующих числам вида 2πan при всех целых n, было бы конечное число различных? Задача 6.7. Пусть числу t соответствует на тригонометрической окружности точка P . Запишите какое-нибудь другое число, кото- рому на тригонометрической окружности соответствуют: а) та же самая точка P ; б) точка, симметричная точке P относительно начала коорди- нат; в) точка, симметричная точке P относительно оси абсцисс; г) точка, симметричная точке P относительно оси ординат; 26 д) точка, симметричная точке P относительно биссектрисы пер- вого и третьего координатных углов. Задача 6.8. Как выглядит на тригонометрическом круге множе- ство точек, соответствующих числам из промежутков: а) [0; π/2]; б) [π/2; 2π]; в) (−π; π); г) (2; 9). Рис. 6.3. Если 0 < t < π/2, то число t на круге будет расположено так, что отрезок, соединяющий соот- ветствующую точку с началом координат, составит угол t радиан с осью абсцисс. В самом деле, в этом случае длина дуги от 0 до t будет как раз равна t (рис. 6.3 ). Теперь все готово для того, чтобы ввести основ- ные определения тригонометрии. Определение. Косинусом числа t называется абсцисса точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу t. Если t — радианная мера острого угла, то косинус этого угла в нашем прежнем смысле равен косинусу числа t в новом смысле. Косинус числа t обозначается cos t. Определение. Синусом числа t называется ордината точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу t. Если t — радианная мера острого угла, то синус этого угла в нашем прежнем смысле равен синусу числа t в новом смысле. Синус числа t обозначается sin t. Определение. Тангенсом числа t называется отношение синуса числа t к его косинусу. Если t — радианная мера острого угла, то тангенс этого угла в нашем прежнем смысле равен тангенсу числа t в новом смысле (так как для острых углов верна формула tg t = sin t/ cos t). Тангенс числа t обозначается tg t. Определения синуса и косинуса, которые вы сейчас прочита- ли, — это те же самые определения, что были даны в предыдущем 27 параграфе, только сформулированные более аккуратно. В преды- дущем же параграфе было объяснено, почему для острых углов эти определения согласуются с прежними. Кроме синуса, косинуса и тангенса используются также и ме- нее употребительные функции котангенс, секанс и косеканс, ко- торые определяются так: ctg t = cos t sin t ; sec t = 1 cos t ; cosec t = 1 sin t Теперь, когда мы определили тригонометрические функции числового аргумента, можно узнать, чему равны тригонометри- ческие функции не только острых, но и прямого и тупых углов: надо перевести величину угла в радианы и взять синус, косинус или тангенс от получившегося числа. Задача 6.9. Заполните пустые места в следующей таблице: α 0 ◦ 90 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 150 ◦ 180 ◦ sin α cos α tg α — Замечание. В графе для tg 90 ◦ мы сразу поставили прочерк, так как, по определению, tg 90 ◦ = sin 90 ◦ / cos 90 ◦ , но cos 90 ◦ = 0, так что tg 90 ◦ не определен. Задача 6.10. Определите котангенс, секанс и косеканс острых уг- лов с помощью прямоугольных треугольников (аналогично тому, как мы определяли синус, косинус и тангенс). Задача 6.11. Одна из вершин правильного шестиугольника, впи- санного в тригонометрическую окружность, расположена в нача- ле отсчета. Найдите координаты остальных его вершин. 28 Задача 6.12. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для правильного пятиугольника (указание: см. задачу 3.5 ). Задача 6.13. В задаче 4.8 было сказано, что в качестве прибли- женного значения косинуса малого угла α можно взять число 1, то есть значение функции косинус в нуле. Что, если в качестве приближенного значения для синуса малого угла α, не мудрствуя лукаво, взять 0 = sin 0? Чем это плохо? Рис. 6.4. Точка M движется по циклоиде. Задача 6.14. Рассмотрим колесо радиуса 1, касающееся оси абс- цисс в начале координат (рис. 6.4 ). Предположим, что колесо покатилось по оси абсцисс в положительном направлении со ско- ростью 1 (т. е. за время t его центр смещается на t вправо). а) Нарисуйте (примерно) кривую, которую будет описывать точка M , касающаяся в первый момент оси абсцисс. б) Найдите, каковы будут абсцисса и ордината точки M через время t после начала движения. 6.1. Ось тангенсов Синус и косинус мы в этом параграфе определили геометриче- ски, как ординату и абсциссу точки, а тангенс — алгебраически, как sin t/ cos t. Можно, однако, и тангенсу придать геометриче- ский смысл. Для этого проведем через точку с координатами (1; 0) (на- чало отсчета на тригонометрической окружности) касательную к тригонометрической окружности — прямую, параллельную оси 29 Рис. 6.5. Ось тангенсов. ординат. Назовем эту прямую осью тангенсов (рис. 6.5 ). Название это оправдывается так: пусть M — точка на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Продолжим радиус SM до пересечения с осью тангенсов. Тогда оказывается, что ордина- та точки пересечения равна tg t. В самом деле, треугольники N OS и M P S на рис. 6.5 , очевид- но, подобны. Отсюда tg t = sin t cos t = M P P S = N O OS = N O 1 = N O, что и утверждалось. Если точка M имеет координаты (0; 1) или (0; −1), то пря- мая SM параллельна оси тангенсов, и тангенс нашим способом определить нельзя. Это и не удивительно: абсцисса этих точек равна 0, так что cos t = 0 при соответствующих значениях t, и tg t = sin t/ cos t не определен. 6.2. Знаки тригонометрических функций Разберемся, при каких значениях t синус, косинус и тангенс поло- жительны, а при каких — отрицательны. Согласно определению, sin t — это ордината точки на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Поэтому sin t > 0, если точка t на 30 а) б) Рис. 6.6. Знаки синуса и косинуса. Рис. 6.7. Знаки тангенса. окружности лежит выше оси абсцисс, и sin t < 0, если точка t на окружности лежит ниже оси абсцисс (рис. 6.6 а). На рис. 6.6 б аналогичным образом изображено, когда положителен и когда от- рицателен cos t. Увидеть, когда положителен, а когда отрицателен tg t, проще всего с помощью оси тангенсов: tg t положителен, если точка на окружности, соответствующая числу t, лежит в первой или третьей четверти, и отрицателен, если эта точка лежит во второй или четвертой четверти. Схематически это изображено на рис. 6.7 Задача 6.15. Нарисуйте картинки, аналогичные рис. 6.7 , для зна- ков ctg t. Задача 6.16. а) Изобразите на числовой оси множество точек t, 31 удовлетворяющих системе неравенств: sin t > 0, 0 6 t 6 4π. б) Рассмотрим множество чисел на числовой оси, удовлетво- ряющих системе неравенств: sin x 6 0, 0 6 x 6 20π. Найдите сумму длин отрезков, из которых состоит это множество. § 7. Простейшие формулы В § 3 мы установили для острых углов α такую формулу: sin 2 α + cos 2 α = 1. Рис. 7.1. Эта же формула верна и в случае, когда α — любое число. В самом де- ле, пусть M — точка на тригонометри- ческой окружности, соответствующая числу α (рис. 7.1 ). Тогда M имеет ко- ординаты x = cos α, y = sin α. Од- нако всякая точка (x; y), лежащая на окружности единичного радиуса с цен- тром в начале координат, удовлетво- ряет уравнению x 2 + y 2 = 1, откуда cos 2 α + sin 2 α = 1, что и требовалось. Итак, формула cos 2 α + sin 2 α = 1 вытекает из уравнения окружности. Может показаться, что тем самым для острых углов мы дали новое доказательство этой формулы (по сравнению с указанным в § 3, где мы пользовались теоремой Пифагора). Отличие, однако, чисто внеш- нее: при выводе уравнения окружности x 2 + y 2 = 1 используется та же теорема Пифагора. 32 Для острых углов мы получали и другие формулы, напри- мер cos α = 1/ p 1 + tg 2 α. Для произвольных углов эта формула в таком виде верна быть не может: согласно общепринятому по- ниманию символа √ , правая часть всегда неотрицательна, в то время как левая часть вполне может быть и отрицательной. Что- бы формула была верна при всех α, надо ее возвести в квадрат. Получится равенство: cos 2 α = 1/(1 + tg 2 α). Докажем, что эта формула верна при всех α: 1 1/(1 + tg 2 α) = 1 1 + sin 2 α cos 2 α = cos 2 α sin 2 α + cos 2 α = cos 2 α. Задача 7.1. Выведите все формулы, приведенные ниже, из опре- делений и формулы sin 2 α + cos 2 α = 1 (некоторые из них мы уже доказали): sin 2 α + cos 2 α = 1; tg 2 α = sin α cos α ; ctg α = cos α sin α ; 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α ; sin 2 α = tg 2 α 1 + tg 2 α ; tg α · ctg α = 1; 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α ; cos 2 α = ctg 2 α 1 + ctg 2 α Эти формулы позволяют, зная значение одной из тригоно- метрических функций данного числа, почти найти все осталь- ные. Пусть, например, мы знаем, что sin x = 1/2. Тогда cos 2 x = = 1−sin 2 x = 3/4, так что cos x равен или √ 3/2, или − √ 3/2. Чтобы узнать, какому именно из этих двух чисел равен cos x, нужна до- полнительная информация. Задача 7.2. Покажите на примерах, что оба вышеуказанных слу- чая возможны. |