Тригонометрия. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
− 2π 6 x 6 a. Для каких a из отрезка [0; π/2] эта задача будет иметь единственное решение? 110 Рис. 21.1. Задача 21.7. В треугольнике против сторон a, b, c лежат углы A, B, C. Докажите следующие формулы: а) sin A 2 = r (p − b)(p − c) bc ; б) cos A 2 = r p(p − a) bc (p = (a + b + c)/2 — полупериметр). Второй пример применения формул понижения степени отно- сится к физике. Как известно, если «нагрузка» (например, лам- почка) сопротивлением R находится под напряжением U , то на ней выделяется мощность U 2 /R. Если ток у нас переменный, то напряжение U , а стало быть, и мощность все время меняются; практический интерес представляет среднее значение этой мощ- ности. Давайте его найдем. Пусть напряжение зависит от времени по закону U = U 0 cos ωt, где U 0 — амплитуда (максимальное зна- чение напряжения). Тогда по формуле понижения степени имеем: U 2 /R = (U 2 0 /R) cos 2 ωt = (U 2 0 /R) 1 + cos 2ωt 2 = = U 2 0 /2R + (U 2 0 /R) cos 2ωt. В этой сумме меняется со временем только второе слагаемое, но при этом его среднее значение равно нулю: половину времени чис- ло cos 2ωt положительно, другую половину — отрицательно, а при усреднении эти положительные и отрицательные значения ком- пенсируют друг друга (см. рис. 21.1 ). Поэтому среднее значение мощности равно первому слагаемо- му, то есть U 2 0 /2R. Если обозначить U = U 0 / √ 2, то получится, 111 что средняя мощность равна (U 2 )/R. Стало быть, средняя мощ- ность, выделяемая на сопротивлении R в цепи переменного тока с амплитудой напряжения U 0 , такая же, как если бы ток был по- стоянен, а напряжение было в √ 2 раз меньше, чем U 0 . Величину U называют среднеквадратичным значением напряжения; именно его имеют в виду, когда говорят, что напряжение равно 220 . Задача 21.8. Докажите тождества: а) sin 2 (α + β) + sin 2 (α − β) + cos 2α · cos 2β = 1; б) cos 2 (α + β) + cos 2 (α − β) − cos 2α · cos 2β = 1; в) cos 6 x + sin 6 x = 5 8 + 3 8 cos 4x. Задача 21.9. Упростите выражение sin 4 x + cos 4 x и постройте гра- фик функции y = sin 4 x + cos 4 x. Мы уже выписывали формулы для | sin(α/2)| и | cos(α/2)|, так что формулу для | tg(α/2)| можно получить, просто поделив эти формулы друг на друга: tg α 2 = s 1 − cos α 2 1 + cos α 2 Можно, однако, получить для тангенса половинного угла фор- мулы и поинтереснее. Для этого в равенстве tg(α/2) = sin(α/2) cos(α/2) умножим числитель и знаменатель на 2 cos(α/2): tg α 2 = 2 sin(α/2) cos(α/2) 2 cos 2 (α/2) = sin α 1 + cos α (мы воспользовались формулами синуса двойного угла и пониже- ния степени). Можно было бы также умножить числитель и зна- менатель на 2 sin(α/2): tg α 2 = 2 sin 2 (α/2) 2 sin(α/2) cos(α/2) = 1 − cos α sin α Итак: tg α 2 = sin α 1 + cos α ; tg α 2 = 1 − cos α sin α 112 Задача 21.10. Формулу tg α 2 = sin α 1 + cos α можно (по крайней ме- ре для острых углов α) доказать геометрически. Сделайте это, руководствуясь рис. 21.2 Рис. 21.2. Тангенс половинного угла играет в тригонометрии особую роль: через него можно выразить все остальные тригоно- метрические функции. Это делается так. Рассмотрим такую цепочку равенств: sin α = sin(2 · (α/2)) 1 = 2 sin(α/2) cos(α/2) cos 2 (α/2) + sin 2 (α/2) = 2 tg(α/2) 1 + tg 2 (α/2) (мы поделили числитель и знаменатель на cos(α/2)). Обработаем аналогичным образом косинус: cos α = cos(2 · (α/2)) 1 = cos 2 (α/2) − sin 2 (α/2) cos 2 (α/2) + sin 2 (α/2) = 1 − tg 2 (α/2) 1 + tg 2 (α/2) Деля формулу для sin α на формулу для cos α, получим: tg α = 2 tg(α/2) 1 − tg 2 (α/2) Впрочем, в этой последней формуле ничего нового как раз нет: ес- ли записать tg α = tg(2 · (α/2)), то это — просто формула тангенса двойного угла. Запишем три наши формулы вместе: sin α = 2 tg(α/2) 1 + tg 2 (α/2) ; cos α = 1 − tg 2 (α/2) 1 + tg 2 (α/2) ; tg α = 2 tg(α/2) 1 − tg 2 (α/2) Формулы, которые мы только что получили, в принципе поз- воляют чисто механически проверить любое тригонометрическое 113 тождество, в обеих частях которого стоят выражения относитель- но sin α и cos α: надо только выразить всюду sin α и cos α через tg(α/2), после чего, если обозначить tg(α/2) через t, получится алгебраическое тождество с одной переменной t, проверка кото- рого может потребовать времени, но не изобретательности. Точно так же любое тригонометрическое уравнение, в котором левая и правая части выражены через sin x и cos x, сводится с помо- щью этих формул к алгебраическому уравнению относительно tg(x/2) (впрочем, для решения уравнений в «школьном» смысле эта подстановка мало что дает, поскольку при этом, как правило, получаются алгебраические уравнения высокой степени). Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла, называются «формулами универсаль- ной подстановки». На формулы универсальной подстановки можно посмотреть и еще с одной стороны. Рассмотрим нашу старую знакомую — окружность ра- диуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности x 2 +y 2 = 1 можно рассматривать как рецепт проверки, принадлежит ли окружности данная точка: «подставь ее координаты (x; y) в уравнение; точка будет лежать на окружности, если при этом получится верное равенство». После того, как мы определили функции синус и косинус, появляется возможность описать окружность, что называется, парамет- рически, а именно задать координаты всех ее точек формулами: «точки окружности — это точки с координатами (cos α; sin α) для всевозможных чисел α». Если теперь выразить cos α и sin α через t = tg(α/2), то точки окружности окажутся заданными с помощью формул, не использую- щих тригонометрии: точки окружности с уравнением x 2 + y 2 = 1 — это точки с координатами 1 − t 2 1 + t 2 ; 2t 1 + t 2 для всевозможных t. 1 Как говорят, координаты точек окружности задаются с помощью «рацио- нальных функций» от t (рациональная функция — это функция, для вычисления значения которой достаточно четырех действий арифмети- ки и возведения в целую степень). Представим теперь, что кривая задается не уравнением x 2 +y 2 = 1, а каким-то другим алгебраическим уравнением. Спрашивается, можно ли 1 Строго говоря, эти формулы задают все точки окружности, кроме (−1; 0). Мы не будем обращать внимания, если конечное число точек формулой не охватывается. 114 в этом случае координаты ее точек задать рациональными выражения- ми от переменной t? Ответ на этот вопрос зависит от уравнения кривой. Если в обеих частях уравнения стоят многочлены от x и y степени не выше второй, то задать точки кривой с помощью рациональных функ- ций от одной переменной всегда удается (примеры — в задаче 21.11 ). Если же кривая задана уравнением степени больше 2, то, как правило, задать координаты ее точек рациональными функциями невозможно: так обстоит дело уже для кривой x 3 + y 3 = 1. Задача 21.11. Задайте с помощью рациональных функций координаты точек следующих кривых: а) эллипса с уравнением x 2 + 4y 2 = 1; б) гиперболы с уравнением xy = 1; в) гиперболы с уравнением x 2 − y 2 = 1. Указания. б) Если x = t, то y = 1/t. в) Разложите левую часть на множители. Задача 21.12. а) Укажите пять решений уравнения x 2 + y 2 = 1 в поло- жительных рациональных числах. б) Укажите пять решений уравнения a 2 + b 2 = c 2 в натуральных числах. § 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение Напишем одну под другой формулы синуса суммы и синуса раз- ности: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Сложив эти формулы, получим sin(α+β)+sin(α−β) = 2 sin α cos β, или sin α cos β = 1 2 (sin(α + β) + sin(α − β)). 115 Поступая аналогичным образом с формулами косинуса суммы и разности, получим: cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β; cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sin α sin β, откуда получаются такие формулы: cos α cos β = 1 2 (cos(α − β) + cos(α + β)) sin α sin β = 1 2 (cos(α − β) − cos(α + β)) Мы получили формулы, позволяющие переходить от произве- дения тригонометрических функций к их сумме. Давайте теперь научимся делать переход в другую сторону: от суммы к произве- дению. Рассмотрим, например, формулу 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β). Обозначим в правой части этой формулы α + β через x, а α − β через y. Складывая и вычитая равенства α + β = x и α − β = y, находим, что α = (x + y)/2, β = (x − y)/2. Подставляя эти выра- жения в левую часть формулы и читая формулу справа налево, получаем окончательно: sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x − y 2 Подставляя в только что полученную формулу −y вместо y, по- лучаем: sin x − sin y = 2 sin x − y 2 cos x + y 2 Если обработать формулы для cos α cos β и для sin α sin β так же, как мы это сделали с формулой для sin α cos β, то получится вот что: cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x − y 2 ; cos x − cos y = −2 sin x + y 2 sin x − y 2 (обратите внимание на знак «минус» во второй формуле). 116 Задача 22.1. Докажите эти формулы. Формулы преобразования суммы тригонометрических функ- ций в произведение можно получить и геометрически. В самом Рис. 22.1. деле, отложим от начала координат векто- ры OA и OB, имеющие длину 1 и образу- ющие с положительным направлением оси абсцисс углы α и β соответственно; пусть OC = OA + OB (рис. 22.1 ). Тогда, очевид- но, OA = (cos α; sin α), OB = (cos β; sin β), OC = (cos α + cos β; sin α + sin β). С другой стороны, так как OA = OB = 1, параллелограмм OACB является ромбом. Следовательно, OC — биссектриса угла AOB, откуда ∠BOC = α−β 2 , и для равнобедренного треугольника OBC имеем OC = 2 · OB · cos ∠BOC = 2 cos α − β 2 Так как вектор OC составляет с осью абсцисс угол β + α − β 2 = = α + β 2 , то OC = OC cos α + β 2 ; OC sin α + β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 ; 2 sin α + β 2 cos α − β 2 Сопоставляя два выражения для координат вектора OC, получа- ем cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 ; sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 в согласии с выведенными нами формулами. 117 Задача 22.2. Докажите тождества: а) sin(α + β) sin(α − β) + sin(β + γ) sin(β − γ) + + sin(γ + α) sin(γ − α) = 0; б) 4 sin α sin(π/3 − α) sin(π/3 + α) = sin 3α; в) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α = 4 cos α 2 cos 5α 2 cos 4α. Задача 22.3. В предположении, что α + β + γ = π, докажите ра- венства: а) sin α + sin β cos α + cos β = ctg γ 2 ; б) sin α + sin β + sin γ = 4 cos α 2 cos β 2 cos γ 2 ; в) sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ. Задача 22.4. Пусть в треугольнике против сторон a, b, c лежат соответственно углы α, β, γ. Докажите формулы: a + b a − b = tg α+β 2 tg α−β 2 = ctg γ 2 tg α−β 2 Эти формулы называются формулами Региомонтана, или теоре- мой тангенсов. Задача 22.5. а) В предположении, что α + β + γ + δ = π, докажите тождество: sin α sin γ + sin β sin δ = sin(α + β) sin(β + γ). б) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что AB ·CD+BC ·AD = AC ·BD (во вписанном четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведе- нию диагоналей — теорема Птолемея). Формулы, которыми мы занимались в этом параграфе, при- меняются в радиотехнике. Пусть нам надо передать по радио голос диктора частотой, скажем, 300 . На таких низких частотах вести радиопередачу невозможно: частоты радиоволн, применяе- мых для радиовещания, могут измеряться миллионами . Волны 118 а) Диктор молчит. б) Диктор заговорил. Рис. 22.2. таких частот используют так. Пока диктор молчит, в эфир идут только радиоволны высокой частоты ω (несущая частота — см. график на рис. 22.2 а). Никакой информации с этим сигналом не передается. Пусть теперь диктор начал издавать звуки с частотой η (η много меньше, чем ω); тогда в эфир идет сигнал u = (A sin ηt) sin ωt. Примерный график его представлен на рис. 22.2 б. Можно сказать, что ампли- туда колебаний высокой частоты ω сама претерпевает колебания с низкой частотой η. Как говорят, высокочастотный сигнал мо- дулируется низкочастотным (все сказанное — лишь грубая схема того, что на самом деле происходит в приемнике). Преобразуем выражение для модулированного сигнала: u = A sin ηt sin ωt = A 2 cos(ω − η)t − A 2 cos(ω + η)t. Как видите, наш модулированный сигнал — не что иное, как сум- ма сигналов с частотами ω + η и ω − η. Так что когда говорят, что радиостанция ведет передачу на частоте, скажем, ω = 10, то надо помнить, что фактически в эфир идут не только радиоволны ча- стоты ω, но и волны всех частот из интервала [ω − η; ω + η] где η — максимальная частота полезного сигнала, передаваемого радио- станцией. Значит, несущие частоты разных радиостанций не мо- гут быть слишком близки друг к другу: если отрезки [ω − η; ω + η] будут перекрываться, то радиостанции будут мешать друг друж- ке. Еще одно приложение формул из этого параграфа — вычис- ление суммы косинусов или синусов чисел, образующих арифме- 119 тическую прогрессию (в физике такие вычисления используются при исследовании явления дифракции). Пусть нам надо упростить выражение cos α + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h). Для начала решим эту задачу геометрически, а потом покажем, как к ней можно применить наши формулы. Рассмотрим следую- щие векторы: a 0 = (cos α; sin α), a 1 = (cos(α + h); sin(α + h)), . . . , a 10 = (cos(α + 10h); sin(α + 10h)). Очевидно, искомая сумма — это абсцисса вектора a 0 + a 1 + . . . + a 10 . Найдем эту сумму векторов. Для этого отложим OA 1 = a 0 от начала координат, A 1 A 2 = a 1 от точки A 1 и т. д. (рис. 22.3 ). Тогда a 0 + a 1 + . . . + a 10 = OA 11 Рис. 22.3. OA 1 = a 0 , A 1 A 2 = a 1 ,. . . , A 10 A 11 = a 10 Чтобы найти координаты вектора OA, найдем его длину и угол наклона к оси абсцисс. Для этого заметим, что каждый из от- резков OA 1 , A 1 A 2 ,. . . имеет длину 1 и повернут относительно предыдущего на один и тот же угол h радиан. Следовательно, точки O, A 1 , A 2 , . . . , A 11 лежат на одной окружности. Ее центр Z является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам OA 1 и A 1 A 2 . Если F Z и GZ — эти перпендикуляры, то ∠F ZG = h, так что ∠F ZA 1 = h/2 и радиус окружности R равен F A 1 / sin ∠F ZA 1 = 1/2 sin(h/2) (напомним, что длины от- 120 резков OA 1 и A 1 A 2 равны единице). Так как, очевидно, ∠OZA 1 = = ∠A 1 ZA 2 = . . . = ∠A 10 ZA 11 = h, то ∠OZA 11 = 11h, и из равнобедренного треугольника OZA 11 имеем OA 11 = 2R sin ∠OZA 11 2 = sin(11h/2) sin(h/2) Чтобы найти угол наклона вектора OA 11 к оси абсцисс, заме- тим, что центральный угол ∠A 1 ZA 11 = 10h, так что вписанный угол ∠A 11 OA 1 , опирающийся на дугу ^ A 1 A 11 , равен 10h/2 = 5h, а ∠A 11 OX = ∠A 11 OA 1 + α = α + 5h. Стало быть, OA 11 = (OA 11 cos(α + 5h); OA 11 sin(α + 5h)) = = sin 11h 2 cos(α + 5h) sin(h/2) ; sin 11h 2 sin(α + 5h) sin(h/2) Сопоставляя две записи для координат вектора OA 11 , получаем формулы: cos α + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h) = = sin 11h 2 cos(α + 5h) sin(h/2) ; sin α + sin(α + h) + sin(α + 2h) + . . . + sin(α + 10h) = = sin 11h 2 sin(α + 5h) sin(h/2) Первая из этих формул — это то, к чему мы стремились, вторая получилась в качестве побочного продукта. Как видите, вычисления оказались довольно длинными. К то- му же читатель-педант может заметить, что чертеж на рис. 22.3 получается только для достаточно малых h, а при больших h ло- маная OA 1 · · · A 10 A 11 может обойти всю окружность, и не один раз, так что чертеж будет другой. На самом деле наша формула верна при всех α и h (если только знаменатель sin(h/2) не равен нулю; но последнее возможно только если h = 2πn для некоторо- го целого n, а тогда и без всякой формулы ясно, что сумма равна 121 11 cos α). Чтобы в этом убедиться, давайте подсчитаем нашу сум- му, не используя чертеж. Именно, умножим и разделим нашу сумму на 2 sin(h/2): cos α + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h) = = 1 2 sin(h/2) (2 sin(h/2) cos α + 2 sin(h/2) cos(α + h) + + 2 sin(h/2) cos(α + 2h) + . . . + 2 sin(h/2) cos(α + 10h)) . Каждое из слагаемых в скобках вида 2 sin(h/2) cos(α + mh) пре- образуем так: 2 sin(h/2) cos(α + mh) = sin α + mh + h 2 + sin −α − mh + h 2 = = sin α + m + 1 2 h − sin α + m − 1 2 h Подставляя это в нашу формулу, видим, что сумма равна 1 2 sin(h/2) sin α + h 2 − sin α − h 2 + sin α + 3h 2 + . . . + + sin α + 10 + 1 2 h − sin α + 9 + 1 2 h ; если раскрыть скобки, то сократятся все слагаемые, за исключе- нием − sin α − h 2 и sin α + 10 + 1 2 h , и сумма будет равна sin(α + (10 + 1 2 )h) − sin(α − h 2 ) 2 sin(h/2) = 2 sin 11h 2 cos(α + 5h) 2 sin(h/2) (мы преобразовали сумму в произведение). Сокращая двойки в числителе и знаменателе, получаем ту же формулу, что мы нашли геометрически. Наше второе вычисление короче и проще первого, но менее естественно. Когда мы познакомимся с комплексными числами, мы научимся находить такие суммы наиболее естественным (хотя и не наиболее коротким) способом. 122 Задача 22.6. Докажите, что на рис. 22.3 точки O, A 1 , A 2 , . . . , A 11 действительно лежат на одной окружности. Задача 22.7. Упростите выражения: а) cos x − cos(x + h) + cos(x + 2h) − − cos(x + 3h) + . . . − cos(x + 9h) + cos(x + 10h); б) sin x + sin 2x + . . . + sin 100x. Задача 22.8. Через центр окружности, описанной около правиль- ного многоугольника, проведена прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой. § 23. Производные тригонометрических функций Повторить: § 4: малые углы; § 5: часы, или современный взгляд на тригонометрию; § 11: графики синуса и косинуса. Для начала вспомним, что такое вообще производная. Посмотрим на таблицу значений функции y = 0,7x + 0,4: x 3 4 5 6 7 8 9 0,7x + 0,4 2,5 3,2 3,9 4,6 5,3 Чтобы продолжить заполнение этой таблицы, не нужно даже под- ставлять x = 8, x = 9. . . в выражение 0,7x + 0,4: достаточно заметить, что при увеличении x на 1 значение y увеличивается на 0, 7. Это и не удивительно: ведь наша функция линейна, а у линей- ных функций одинаковым изменениям аргумента соответствуют одинаковые изменения функции. Если, однако, функция линейной не является, то положение будет другим. Посмотрим, для тех же значений x, на таблицу значений функции y = √ x (приближенные значения даны с тремя знаками после запятой): x 3 4 5 6 7 8 9 √ x 1,732 2,000 2,234 2,449 123 На сей раз при увеличении x на 1 значение √ x увеличивается то на 0,268, то на 0,234, то еще как-нибудь. Исходя только из этой таблицы, предсказать значение √ 7 будет затруднительно. Возь- мем, однако, значения x с меньшим шагом, скажем, отстоящие друг от друга на 0,01: x 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 √ x 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000 1,005 1,010 (значения √ x вновь взяты с тремя знаками после запятой). Чудесным образом вновь возникла та же ситуация, что была у нас с линейной функцией: при увеличении x на 0,01 значение √ x увеличивается всегда на 0,005. Точные значения приращений друг другу все равно, конечно, не равны, но приближенно можно сказать, что при изменениях x на отрезке [0,95; 1,02] функция y = √ x ведет себя как линейная функция. Таким свойством обладает не только функция g(x) = √ x. Большинство интересных функций при изменении аргумента на малых промежутках ведут себя почти как линейные функции: равным изменениям аргумента соответствуют приближенно рав- ные изменения функции. По-ученому такие функции называются «дифференцируемыми» или «гладкими». В эпоху, предшествовавшую распространению калькуляторов и компьютеров, этим свойством пользовались при нахождении значений функций с помощью таблиц. Если, допустим, в таблице были приближенные значения для √ 1,93 и √ 1,94, а требовалось найти √ 1,931, то поступали так: к табличному значению √ 1,93 прибавляли одну десятую от разности приведенных в таблице зна- чений √ 1,94 и √ 1,93, как если бы функция y = √ x на отрезке [1,93; 1,94] была линейна. Такой способ обращения с таблицами назывался линейной интерполяцией. Давайте выразим то, что мы узнали про функцию y = √ x, с помощью формулы. Если x близко к 1, то при увеличении x на 0,01 значение x увеличивается примерно на 0,005, т. е. на в два раза меньшую величину. Если x отстоит от 1 на малую величину h, то √ x отстоит от 1 примерно на h/2. Стало быть, для малых h верна приближенная формула √ 1 + h ≈ 1 + h 2 124 Рассмотрим теперь вместо y = √ x произвольную «достаточно хорошую» функцию y = f (x) и число a из ее области определе- ния. При x, близких к a, изменения значений f (x) приблизительно пропорциональны изменениям значений x. Обозначим коэффици- ент пропорциональности буквой c; тогда если x отстоит от a на малую величину h, то f (x) отстоит от f (a) приблизительно на ch, так что f (a + h) ≈ f (a) + ch. Если при малых h верна приближенная формула f (a + h) ≈ ≈ f (a) + ch, то число c называется производной функции f в точке a. Производная функции f в точке a обозначается f 0 (a). Результат наших экспериментов над функцией y = √ x можно теперь записать так: производная функции y = √ x в точке 1 равна 1/2. Как искать производные функций, не обращаясь к таблицам их значений? Рассмотрим произвольную функцию y = f (x). Из приближенной формулы f (a + h) ≈ f (a) + ch число c = f (a) вы- ражается так: f (a) ≈ f (a + h) − f (a) h Чем меньше a, тем эта формула точнее. Стало быть, f 0 (a) — это число, к которому приближается отношение f (a + h) − f (a) h при h, приближающемся к нулю. Говоря по-ученому, f (a) равна «пределу f (a + h) − f (a) h при h, стремящемся к нулю». Еще раз повторим, что этот предел может не существовать, но он существует для большинства интересных функций (и в большинстве точек). Вот как можно найти этим способом производную функции f (x) = x 3 . Чтобы найти ее производную в точке a, надо узнать, к чему приближается отношение (a + h) 3 − a 3 h при приближении 125 h к нулю. После упрощений с использованием формулы куба сум- мы это выражение примет вид 3a 2 + 3ah + h 2 . Ясно, что при стремлении h к нулю это выражение приближается к 3a 2 , так что f 0 (a) = 3a 2 , если f (x) = x 3 Теперь найдем производную функции y = √ x. Чтобы найти эту производную в точке a, надо узнать, к чему приближается отношение √ a + h − √ a h при приближении h к нулю. Для этого обозначим √ a через b, √ a + h − √ a через t; тогда √ a + h будет равен b + t; запишем еще число h в виде h = (a + h) − a = ( √ a + h) 2 − ( √ a) 2 = (b + t) 2 − b 2 Тогда получается: √ a + h − √ a h = t (b + t) 2 − b 2 = t 2bt − b 2 = 1 2b − t Когда h приближается к нулю, число t = √ a + h − √ a тоже при- ближается к нулю, так что √ a + h − √ a h приближается к 1/2h = = 1/2 √ a. Стало быть, производная функции y = √ x в точке a равна 1/2 √ a. При a = 1 получается 1/2, что согласуется с резуль- татами нашего эксперимента. Более подробно о производной вы прочитаете в книжках, по- священных основам анализа. Мы же еще напомним только, как производная связана с графиками функций. Рассмотрим на графике функции y = f (x) секущую, соединя- ющую точки (a; f (a)) и (a + h; f (a + h)) (рис. 23.1 ). Если ϕ — угол наклона этой секущей к оси абсцисс, то из треугольника P QR имеем f (a + h) − f (a) h = tg ϕ. Когда h уменьшается до нуля, точ- ка R(a + h; f (a + h)) сливается с точкой P (a; f (a)), секущая P R превращается в касательную к графику в точке P , а отношение f (a + h) − f (a) h превращается в f (a). Стало быть: производная функции y = f (x) в точке a равна тангенсу угла между касательной к графику функции в точке (a; f (a)) и осью абсцисс. 126 Рис. 23.1. Теперь перейдем к производным синуса и косинуса. Первое, что тут надо сказать, — это что производную функции y = cos x мы уже вычисляли. В самом деле, в § 5, где шла речь о наших фир- менных часах, мы вычисляли скорость движения проекции конца стрелки на ось абсцисс. Для этого мы делили путь, пройденный этой проекцией за малое время τ , на само τ , то есть вычисляли (для малых τ ) отношение cos(t + τ ) − cos t τ . С точностью до обо- значений это то же отношение, что используется для вычисления производной. Как мы выяснили в § 5, при уменьшении τ это отно- шение стремится к − sin t, так что производная функции y = cos x в точке t равна − sin t, или, короче: (cos x) 0 = − sin x. Рассуждая аналогичным образом, но рассматривая проекцию на ось ординат, а не абсцисс, можно было бы установить, что (sin x) 0 = cos x. Од- нако рассуждения в § 5 были не слишком аккуратными: по ходу дела мы заменяли длину дуги на длину хорды, считали перпенди- кулярными прямые, которые перпендикулярными не являются, и тому подобное. Поэтому мы сейчас подсчитаем производные си- нуса и косинуса другим способом. Начнем с того, что подсчитаем производную от синуса в точке 0. Согласно определению, для этого надо узнать, к чему прибли- жается отношение sin(0 + h) − sin h h = sin h h , когда h приближается к нулю. Если вспомнить, что для малых 127 h есть приближенная формула sin h ≈ h, то естественно пред- положить, что это отношение будет приближаться к 1. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что для всех h от 0 до π/2 верны неравенства sin h < h и tg h > h. Из первого неравенства следует, что sin h/h < 1, а из неравенства tg h > h (т. е. sin h/ cos h > h) получаем, что sin h/h > cos h. Итак, отношение sin h/h заключено между единицей и числом cos h, которое при стремлении h к нулю также приближается к единице. Стало быть, и отношению sin h/h при приближении h к нулю ничего не остается, как приближаться к единице. Итак, в точке 0 производная синуса равна единице. Теперь можно найти производную функции y = sin x в любой точке a. Для этого сделаем такие преобразования: sin(a + h) − sin a h = 2 sin h 2 cos a + h 2 h = sin h 2 h/2 · cos a + h 2 Когда h приближается к нулю, величина h/2 также приближается к нулю. Поэтому первый сомножитель, как мы только что уста- новили, приближается к единице, а второй приближается к cos a, так что значение всего выражения приближается к cos a. Итак, производная функции sin x в точке a равна cos a, или: (sin x) 0 = cos x. Производную функции y = cos x можно найти с помощью ана- логичных выкладок, преобразуя разность в произведение. Для разнообразия поступим иначе: воспользуемся тем, что cos x = = sin π 2 + x . Тогда производная косинуса в точке a будет вы- числяться так: cos(a + h) − cos a h = sin π 2 + a + h − sin π 2 + a h ; при стремлении h к нулю это последнее выражение стремится, очевидно, к производной функции синус в точке π 2 + a, равной, как мы только что вычислили, cos π 2 + a . Так как cos π 2 + a = = − sin a, получаем окончательно, что производная функции y = = cos x в точке a равна − sin a, или: (cos x) 0 = − sin x. 128 Рис. 23.2. Наше рассуждение, сводящее вычисление производной косинуса к производной синуса, имеет простой геометрический смысл. В са- мом деле, как мы помним из § 11, график функции y = cos x получается из графика функции y = sin x параллельным пере- носом на − π 2 вдоль оси абсцисс; стало быть, и касательная к графику y = cos x в точке с абсциссой a получается параллельным переносом из касательной к графику y = sin x в точке с абсцис- сой a + π 2 (рис. 23.2 ). Эти две прямые образуют, очевидно, равные углы с осью абсцисс; однако тангенс угла наклона пунктирной прямой равен производной синуса в точке a + π 2 , то есть равен cos a + π 2 или − sin a. Значит, таков же и тангенс угла наклона сплошной прямой, равный производной косинуса в точке a. Теперь, когда мы нашли производные синуса и косинуса в лю- бой точке a, мы можем выписать приближенные формулы, при- годные при малых h: sin(a + h) ≈ sin a + h cos a; cos(a + h) ≈ cos a − h sin a. Однако, чтобы иметь возможность ими пользоваться, необходимо знать их погрешность. Выясним это. Начнем опять со случая, когда a = 0. Тогда формулы при- нимают вид sin h ≈ h, cos h ≈ 1. Для малых h значение cos h положительно, так что можно записать cos h = p 1 − sin 2 h. С дру- 129 гой стороны, если 0 6 h 6 π 2 , то sin h 6 h. Отсюда cos h = p 1 − sin 2 h > p 1 − h 2 > 1 − h 2 (последнее — так как √ x > x при 0 6 x 6 1). Стало быть, 1 − cos h 6 h 2 , то есть погрешность формулы cos h ≈ 1 не превос- ходит h 2 . Чтобы оценить погрешность формулы sin h ≈ h, снова воспользуемся неравенствами sin h 6 h 6 tg h: h − sin h 6 tg h − sin h = sin h cos h − sin h = sin h 1 cos h − 1 6 6 h 1 1 − h 2 − 1 (мы заменили sin h и 1 cos h на б´ ольшие числа h и 1 1−h 2 соответствен- но). Далее, h 1 1−h 2 − 1 = h 3 1−h 2 . Если h 6 0,1, то 1 − h 2 > 0,99, 1 1−h 2 6 1,02, и h−sin h 6 1,02h 3 , так что при |h| 6 0,1 погрешность формулы sin h ≈ h не превосходит 1,02|h| 3 Теперь можно оценить погрешность формулы sin(a + h) ≈ sin a + h cos a. Чтобы это сделать, заметим, что погрешность равна sin a + h cos a − sin(a + h), и раскроем sin(a + h) по формуле синуса суммы: sin a + h cos a − sin(a + h) = = sin a + h cos a − sin a cos h − sin h cos a = = sin a(1 − cos h) + cos a(h − sin h) 6 h 2 sin a + 1,02h 3 cos a (мы молчаливо предполагаем, что 0 6 a 6 π 2 , так что sin a и cos a неотрицательны; с помощью формул приведения к этому сводятся любые приближенные вычисления синуса и косинуса). Посколь- ку при h 6 0,1 будет выполнено неравенство 1,02h 3 < h 2 , нашу погрешность можно далее оценить так: h 2 sin a + 1,02h 3 cos a 6 h 2 sin a + h 2 cos a 6 h 2 + h 2 = 2h 2 130 Стало быть, погрешность формулы sin(a + h) 6 sin a + h cos a не превосходит 2h 2 (при 0 6 a 6 π 2 и 0 6 h 6 0,1). Например, если h = 0,01, то погрешность не превосходит 0,0002, так что при пользовании формулой sin(a + h) ≈ sin a + h cos a три знака после запятой будут верны. Результат, который мы получили, — иллюстрация общего факта: если f — «достаточно хорошая» гладкая функция, то для малых h погреш- ность приближенной формулы f (a + h) ≈ f (a) + hf 0 (a) не превосходит M h 2 для некоторого числа M , не зависящего от h. Задача 23.1. Докажите, что погрешность приближенной формулы cos(a + h) ≈ cos a − h sin a также не превосходит 2h 2 при всех достаточно малых h. Укажите какую-нибудь конкретную границу для h, наподобие 0 6 h 6 0,1 в нашей формуле для синуса (не стремитесь найти наиболее экономную). Мы ничего не говорили о производных тангенса и котангенса. Они легко находятся из формул для производных синуса и коси- нуса и следующей формулы для производной частного: f (x) g(x) 0 = f 0 (x)g(x) − g 0 (x)f (x) g(x) 2 Применяя эту формулу к tg x = sin x/ cos x, получим: (tg x) 0 = sin x cos x 0 = (sin x) 0 cos x − (cos x) 0 sin x (cos x) 2 = 1 (cos x) 2 Задача 23.2. Докажите, что (ctg x) 0 = − 1 sin 2 x В заключение покажем, как искать производные от обрат- ных тригонометрических функций. Найдем, например, производ- ную от функции y = arcsin x. Пусть мы ищем эту производную в точке a. Составим отношение arcsin(a + h) − arcsin a h и обозна- чим arcsin a = b, arcsin(a + h) − arcsin a = t; тогда arcsin(a + h) = b + t, поэтому h = (a + h) − a = sin(b + t) − sin b, так что arcsin(a + h) − arcsin a h = t sin(b + t) − sin b 131 Когда h приближается к нулю, t тоже приближается к нулю; ве- личина, обратная к нашему отношению, стремится к производной синуса в точке b, то есть к cos b, а само отношение стремится к 1/ cos b; так как b = arcsin a ∈ h − π 2 ; π 2 i , то cos b = p 1 − sin 2 b = q 1 − sin 2 (arcsin a) = p 1 − a 2 , так что производная в точке a равна 1/ √ 1 − a 2 . Итак: (arcsin x) 0 = 1 √ 1 − x 2 Задача 23.3. Докажите формулы: а) (arccos x) 0 = − 1 √ 1 − x 2 ; б) (arctg x) 0 = 1 1 + x 2 Способ, которым мы нашли производную арксинуса, аналоги- чен способу, с помощью которого мы нашли производную функ- ции y = √ x. Если известна производная от какой-то функции, то таким способом можно найти производную от обратной к ней (функции y = √ x и y = arcsin x обратны к функциям y = x 2 и y = sin x соответственно). 132 Глава 5 Тригонометрия для абитуриентов § 24. Как решать тригонометрические уравнения Повторить: § 10. Простейшие тригонометрические уравнения. § 19. Тригонометрические формулы сложения. § 20. Формула вспомогательного угла. § 21. Двойные, тройные и половинные углы. § 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведе- ние. С точки зрения поступающего в вуз, важным применением тригонометрии является ее использование в задачах вступитель- ного экзамена. Кроме хорошего знания тригонометрии как тако- вой, для успешного решения экзаменационных задач необходимо освоить несколько стандартных приемов. Изучению этих приемов и посвящена настоящая глава. Предполагая, что вы уже умеете решать простейшие триго- нометрические уравнения наподобие cos x = 0 или sin x = 1/3, пойдем дальше. В простых случаях тригонометрическое уравнение можно по- чти сразу свести заменой переменной к алгебраическому. 133 Пример 24.1. cos 2 x 3 − 7 cos x 3 + 4 = sin 2 x 3 Решение. Если бы в правой части не было sin 2 x 3 , можно было бы сразу же обозначать cos x 3 новой буквой. В данном же случае придется предварительно выразить в правой части sin 2 x 3 через cos 2 x 3 . Заменим sin 2 x 3 на 1 − cos 2 x 3 : cos 2 x 3 − 7 cos x 3 + 4 = 1 − cos 2 x 3 Обозначая cos x 3 через t, получаем, после упрощений, 2t 2 −7t+3 = = 0. Корни этого уравнения: t 1 = 3, t 2 = 1/2, так что cos x 3 = 3 или cos x 3 = 1/2. Первое из этих уравнений не имеет решений, так как cos x 3 6 1; решая второе, получаем x 3 = ± π 3 + 2πk, откуда x = ±π + 6πk (k ∈ Z). Ответ: ±π + 6πk (k ∈ Z). Вот еще пример, когда уравнение сводится к простейшим с по- мощью разложения левой части на множители. Пример 24.2. sin 2x + 4 cos x − 1 2 sin x = 1. Решение. Заменим sin 2x по формуле синуса двойного угла и пе- ренесем все в левую часть: sin 2x + 4 cos x − 1 2 sin x − 1 = 0; 2 cos x(sin x + 2) − 1 2 (sin x + 2) = 0; 2 cos x − 1 2 (sin x + 2) = 0, откуда 2 cos x− 1 2 = 0 или sin x+2 = 0, то есть cos x = 1 2 или sin x = = −2. Решениями первого уравнения будут числа x = ± arccos 1 4 + +2πn (n ∈ Z), второе уравнение решений не имеет, так как sin x 6 134 6 1. Ответ: ± arccos 1 4 + 2πn (n ∈ Z). Теперь перейдем к более специфическим приемам. Часто решение тригонометрического уравнения находится, если воспользоваться формулой для косинуса двойного угла в одном из следующих вариантов: cos 2α = 2 cos 2 α − 1; cos 2α = 1 − 2 sin 2 α. Пример 24.3. 2 sin x 2 + cos x + 2 = 0. Решение. Так как cos x = cos 2 · x 2 = 1 − 2 sin 2 x 2 , то, обозначая sin x 2 через t, получаем уравнение 2t + 1 − 2t 2 + 2 = 0 ⇔ 2t 2 − 2t − 3 = 0. Корни этого уравнения равны 1 ± √ 7 2 , так что наше уравнение равносильно совокупности уравнений sin x 2 = 1 + √ 7 2 и sin x 2 = = 1 − √ 7 2 . Первое из этих уравнений не имеет решений, так как 1 + √ 7 2 > 1; из второго имеем x 2 = (−1) n arcsin 1 − √ 7 2 +πn (n ∈ Z), откуда Ответ: (−1) n · 2 arcsin 1 − √ 7 2 + 2πn (n ∈ Z). Задача 24.1. Решите уравнения: а) cos 2x − 5 sin x − 3 = 0; б) 2 cos x = 5 − 9 sin x 2 Некоторые уравнения рассчитаны на то, что их будут решать с помощью формул синуса и косинуса тройного угла: cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α; sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α. 135 Задача 24.2. Решите уравнения: а) cos 3x − 18 cos x + 10 = 0; б) 5 sin x = sin 3x; в) 8 cos 6x cos 3x − cos 9x − cos 3x = 0. Следующий тип тригонометрических уравнений, с которыми нам надо познакомиться, — это однородные тригонометрические уравнения. Вообще, однородным уравнением от двух неизвестных u и v называют уравнение a 0 u n + a 1 u n−1 v + a 2 u n−2 v 2 + . . . + a n v n = 0, (∗) в котором во всех слагаемых сумма степеней при u и v одна и та же (она называется степенью однородного уравнения). Одно- родным тригонометрическим уравнением называется уравнение, которое получится из (∗), если вместо u и v подставить синус и косинус одного и того же выражения. Вот пример однородного тригонометрического уравнения степени 2: Пример 24.4. sin 2 x − 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0. Решение. Поделим обе части уравнения на cos x. Чтобы это дей- ствие было законным, надо убедиться, что выражение, на которое мы делим, не может обращаться в нуль для тех x, которые яв- ляются корнями уравнения. В самом деле, если cos 2 x = 0, то cos x = 0; в нашем уравнении второе и третье слагаемые обратятся в нуль, а потому и первое слагаемое обращается в нуль: sin 2 x = 0. Однако cos 2 x и sin 2 x не могут одновременно равняться нулю, так что деление на cos 2 x законно. Поделив, после очевидных упроще- ний получим: tg 2 x − 4 tg x + 3 = 0. Обозначая tg x = t, получаем квадратное уравнение, из которого находим t, а затем и сам x. Ответ: (π/4) + πn; arctg 3 + πn (n ∈ Z). Рассуждение, оправдывающее законность деления на cos 2 x, проходит всегда, если только в уравнении присутствует слагаемое с sin 2 x. В противном случае делить на cos 2 x нельзя, но в этом и нет необходимости, так как можно сразу вынести cos x за скобку. Приведем пример. Пример 24.5. 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0. 136 Решение. Переписав уравнение в виде cos x(3 sin x + 2 cos x) = 0, получаем, что оно равносильно совокупности уравнений: " cos x = 0; (1) 3 sin x + 2 cos x = 0. (2) Решениями уравнения (1) являются x = π 2 + πk, k ∈ Z; для ре- шения уравнения (2) поделим обе части на cos x (на сей раз это можно, так как если cos x = 0, то из (2) вытекало бы, что sin x = 0, а sin x и cos x не могут одновременно равняться нулю) и получим 3 tg x + 2 = 0, откуда tg x = − 2 3 и x = arctg − 2 3 + πn (n ∈ Z). Ответ: π 2 + πn; arctg − 2 3 + πn (n ∈ Z). Кстати, уравнение (2), которое мы решили по ходу дела, — то- же однородное уравнение относительно sin x и cos x, только первой степени. Наряду с уравнениями, которые сразу записаны в виде одно- родных относительно синуса и косинуса, существуют и уравнения, которые можно свести к однородным с помощью следующего при- ема: Если в каждой из частей тригонометрического уравнения сто- ит сумма выражений вида sin 2 x, cos 2 x, sin x cos x, sin 2x, cos 2x (возможно, с какими-то коэффициентами) и свободных членов, то это уравнение сведется к однородному, если всюду заменить sin 2x на 2 sin x cos x, cos 2x на cos 2 x − sin 2 x, а каждый свобод- ный член a заменить на a(cos 2 x + sin 2 x). Пример 24.6. 2 − 4,5 sin 3x + 5 cos 2 3x 2 = cos 3x + sin 3x 2 cos 3x 2 Решение. Заметим, что sin 3x = sin 2 · 3x 2 = 2 sin 3x 2 cos 3x 2 , cos 3x = cos 2 · 3x 2 = cos 2 3x 2 − sin 2 3x 2 , 2 = 2 cos 2 3x 2 + sin 2 3x 2 137 С учетом этого уравнение запишется так: 2 cos 2 3x 2 + 2 sin 2 3x 2 − 4,5 · 2 sin 3x 2 cos 3x 2 + 5 cos 2 3x 2 = = cos 2 3x 2 − sin 2 3x 2 + sin 3x 2 cos 3x 2 , или, после упрощений: 3 sin 2 3x 2 − 10 sin 3x 2 cos 3x 2 + 6 cos 2 3x 2 = 0. Получилось однородное уравнение относительно sin 3x 2 и cos 3x 2 Дальнейшее ясно. Ответ: 2 3 arctg 5 ± √ 7 3 + 2 3 πn (n ∈ Z). С помощью описанного приема можно решать и уравнения вида a sin x + b cos x = c, которые мы решали в § 20 с помощью формулы вспомогательного угла: надо только заменить sin x на 2 sin x 2 cos x 2 , cos x — на cos 2 x 2 − sin 2 x 2 , c — на c cos 2 x 2 + sin 2 x 2 Задача 24.3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 10x 2 − 13xy + 3y 2 = 0. Задача 24.4. Решите уравнение 10x 4 − 7x 2 (x 2 + x + 1) + (x + x + 1) 2 = 0. Задача 24.5. Решите уравнения: а) 7 sin 2 x − 5 sin x cos x − cos 2 x = 0; б) sin 2 x + 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 1; в) sin x − cos x = 1; г) 4 sin 3 x − 5 sin 2 x cos x + sin x = cos 3 x; д) 2 sin 3 x + sin 3x + 3 sin 2 x cos x + cos 3 x = 0; е) 3(cos x − sin x) = 1 + cos 2x − sin 2x. 138 |