Тригонометрия. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
Задача 7.3. а) Пусть tg x = −1. Найдите sin x. Сколько ответов у этой задачи? б) Пусть в дополнение к условиям пункта а) нам известно, что sin x < 0. Сколько теперь ответов у задачи? 1 Для которых tg α определен, т. е. cos α 6= 0. 33 Задача 7.4. Пусть sin x = 3/5, x ∈ [π/2; 3π/2]. Найдите tg x. Задача 7.5. Пусть tg x = 3, cos x > sin x. Найдите cos x, sin x. Задача 7.6. Пусть tg x = 3/5. Найдите sin x + 2 cos x cos x − 3 sin x Задача 7.7. Докажите тождества: а) tg α + ctg β ctg α + tg β = tg α tg β ; б) tg α sin α tg α + sin α = tg α − sin α tg α sin α ; в) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α = 1 sin α + 1 cos α Задача 7.8. Упростите выражения: а) (sin α + cos α) 2 + (sin α − cos α) 2 ; б) (tg α + ctg α) 2 + (tg α − ctg α) 2 ; в) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α. § 8. Периоды тригонометрических функций Числам x, x+2π, x−2π соответствует одна и та же точка на триго- нометрической окружности (если пройти по тригонометрической окружности лишний круг, то придешь туда, где был). Отсюда вы- текают такие тождества, о которых уже шла речь в § 5: sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x. В связи с этими тождествами мы уже употребляли термин «пе- риод». Дадим теперь точные определения. Определение. Число T 6= 0 называют периодом функции f , если для всех x верны равенства f (x − T ) = f (x + T ) = f (x) (под- разумевается, что x + T и x − T входят в область определения функции, если в нее входит x). Функцию называют периодиче- ской, если она имеет период (хотя бы один). 34 Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов. Об одном из таких процессов речь уже шла в § 5. Вот еще примеры: 1) Пусть ϕ = ϕ(t) — угол отклонения качающегося маятника часов от вертикали в момент t. Тогда ϕ — периодическая функция от t. 2) Напряжение («разность потенциалов», как сказал бы физик) между двумя гнездами розетки в сети переменного тока, ес- ли его рассматривать как функцию от времени, является периодической функцией 1 3) Пусть мы слышим музыкальный звук. Тогда давление воз- духа в данной точке — периодическая функция от времени. Если функция имеет период T , то периодами этой функции будут и числа −T , 2T , −2T . . . — одним словом, все числа nT , где n — целое число, не равное нулю. В самом деле, проверим, напри- мер, что f (x + 2T ) = f (x): f (x + 2T ) = f ((x + T ) + T ) = f (x + T ) = f (x). Определение. Наименьшим положительным периодом функции f называется — в соответствии с буквальным смыслом слов — такое положительное число T , что T — период f и ни одно по- ложительное число, меньшее T , периодом f уже не является. Периодическая функция не обязана иметь наименьший поло- жительный период (например, функция, являющаяся постоянной, имеет периодом вообще любое число и, стало быть, наименьшего положительного периода у нее нет). Можно привести примеры и непостоянных периодических функций, не имеющих наимень- шего положительного периода. Тем не менее в большинстве инте- ресных случаев наименьший положительный период у периоди- ческих функций существует. 1 Когда говорят «напряжение в сети 220 вольт», имеют в виду его «сред- неквадратичное значение», о котором мы будем говорить в § 21. Само же напряжение все время меняется. 35 Рис. 8.1. Период тангенса и котангенса. В частности, наименьший положительный период как синуса, так и косинуса равен 2π. Докажем это, например, для функции y = sin x. Пусть вопреки тому, что мы утверждаем, у синуса есть такой период T , что 0 < T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично. Наименьший положительный период функции, описывающей колебания (как в наших примерах 1–3), называется просто пери- одом этих колебаний. Поскольку число 2π является периодом синуса и косинуса, оно будет также периодом тангенса и котангенса. Однако для этих функций 2π — не наименьший период: наименьшим положи- тельным периодом тангенса и котангенса будет π. В самом деле, точки, соответствующие числам x и x + π на тригонометриче- ской окружности, диаметрально противоположны: от точки x до точки x + 2π надо пройти расстояние π, в точности равное по- ловине окружности. Теперь, если воспользоваться определением тангенса и котангенса с помощью осей тангенсов и котангенсов, равенства tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x станут очевидными (рис. 8.1 ). Легко проверить (мы предложим это сделать в зада- чах), что π — действительно наименьший положительный период тангенса и котангенса. 36 Одно замечание по поводу терминологии. Часто слова «период функции» употребляют в значении «наименьший положительный период». Так что если на экзамене у вас спросят: «Является ли 100π периодом функции синус?», не торопитесь с ответом, а уточ- ните, имеется в виду наименьший положительный период или просто один из периодов. Тригонометрические функции — типичный пример периодиче- ских функций: любую «не очень плохую» периодическую функ- цию можно в некотором смысле выразить через тригонометриче- ские. Задача 8.1. Найдите наименьшие положительные периоды функ- ций: а) y = sin 3x; б) y = cos x 2 ; в) y = cos πx; г) y = cos x + cos(1,01x). Задача 8.2. Зависимость напряжения в сети переменного тока от времени задается формулой U = U 0 sin ωt (здесь t — время, U — напряжение, U 0 и ω — постоянные величины). Частота перемен- ного тока — 50 Герц (это означает, что напряжение совершает 50 колебаний в секунду). а) Найдите ω, считая, что t измеряется в секундах; б) Найдите (наименьший положительный) период U как функ- ции от t. Задача 8.3. а) Докажите, что наименьший положительный период косинуса равен 2π; б) Докажите, что наименьший положительный период танген- са равен π. Задача 8.4. Пусть наименьший положительный период функции f равен T . Докажите, что все остальные ее периоды имеют вид nT для некоторых целых чисел n. Задача 8.5. Докажите, что следующие функции не являются пе- риодическими: 37 а) y = x 2 ; б) y = sin(x 2 ); в) y = x + sin x; г) y = sin |x|; д*) y = cos x + cos(kx), где k — иррациональное число. Задача 8.6. Числа 5 и 8 являются периодами функции f . Дока- жите, что число 1 — тоже ее период. Задача 8.7. Функция y = f (x) имеет наименьший положительный период 2, а функция y = g(x) имеет наименьший положительный период 6. Может ли функция y = f (x) + g(x) иметь наименьший положительный период 3? Задача 8.8. Определим функцию f так: f (x) = 1, если x — рациональное число; 0, если x — иррациональное число. Докажите, что всякое рациональное число будет периодом функ- ции f (отсюда следует, что у нее нет наименьшего положительного периода). § 9. Формулы приведения Нанесем на тригонометрическую окружность точку M , соответ- ствующую числу x. Ее координатами будут (cos x; sin x). Опустим из точки M перпендикуляр на ось абсцисс. У нас получится прямоугольный треугольник (на рис. 9.1 а он заштри- хован). Теперь повернем этот треугольник на 90 ◦ против часовой стрел- ки. Он займет положение, показанное на рис. 9.1 б. Точка M на этом рисунке соответствует числу x + π/2 (так как угол M ZM 0 , очевидно, прямой) и имеет координаты (− sin x; cos x). Поскольку координаты точки на тригонометрической окружности — это ко- синус и синус соответствующего этой точке числа, получаем такие формулы: cos(x + π/2) = − sin x; sin(x + π/2) = cos x. 38 а) б) Рис. 9.1. Точка M соответствует числу x, точка M 0 соответствует числу x + π/2. Поделим эти равенства одно на другое. Получится вот что: tg(x + π/2) = − ctg x; ctg(x + π/2) = − tg x. Строго говоря, мы доказали эти формулы лишь в одном случае — если точка, соответствующая числу x, лежит в первой четверти. Проверьте сами, что эти формулы верны и в других случаях. Итак, сравнив два положения треугольника на рис. 9.1 а, мы получили несколько формул. Прикладывать этот треугольник к осям можно и разными другими способами, и каждый из этих способов дает свой набор формул. На рис. 9.2 изображены разные способы перекладывания треугольника, а под ними выписаны соответству- ющие формулы. Задача 9.1. Заполните пустые места в подписях к чертежам на рис. 9.2 Формулы, которые мы получили с помощью перекладывания треугольника, называются формулами приведения. Точнее гово- ря, пусть у нас есть число a, равное nπ/2 для какого-то целого числа n. Формулами приведения называются формулы, связыва- ющие тригонометрические функции от x + a, x − a или a − x с тригонометрическими функциями от x. Как видите, этих формул много, и заучивать их наизусть было бы неразумно. На практике, 39 Рис. 9.2. Формулы приведения. 40 если требуется воспользоваться формулой приведения, удобно на- рисовать картинку наподобие тех, из которых составлен рис. 9.2 , и посмотреть по ней, как должна выглядеть формула. Кроме то- го, есть и мнемоническое правило, позволяющее выписать любую формулу приведения. Сформулируем это правило. 1) Пусть в левой части стоит тригонометрическая функция от x + a, x − a или a − x, где a = nπ/2. Если π укладывается в числе a целое число раз (a = 0, π, −π, 2π, −2π,. . . ), то в правой части надо записать ту же тригонометрическую функцию, что и в левой части. Если же π укладывается в числе a не целое, а «полуцелое» число раз (a = π/2, −π/2, 3π/2, 5π/2,. . . ), то название тригонометрической функции надо заменить на похожее (синус на косинус и наоборот, тан- генс на котангенс и наоборот). 2) Если при x, принадлежащем первой четверти, левая часть положительна, то перед правой частью надо поставить знак плюс, в противном случае — знак минус. Рис. 9.3. Вот как по этим правилам получается фор- мула для sin(3π/2+x): 3π/2 скобках указывает, что название функции меняется, так что в пра- вой части будет стоять косинус; так как при x, лежащем в первой четверти, sin(3π/2 + x) отрицателен (рис. 9.3 ), перед косинусом будет стоять знак минус. В итоге: sin(3π/2 + x) = − cos x. С помощью формул приведения тригонометрические функции любого числа можно выразить через тригонометрические функ- ции чисел, лежащих на отрезке [0; π/2] (от 0 ◦ до 90 ◦ , если из- мерять углы в градусах). Поэтому тригонометрические таблицы составляются только для углов от 0 ◦ до 90 ◦ ; в современных каль- куляторах и компьютерах программы, вычисляющие тригономет- рические функции, также предварительно «приводят» аргумент к промежутку [0; π/2]. 41 Из множества формул приведения стоит, возможно, отметить такие: sin π 2 − x = cos x; cos π 2 − x = sin x; tg π 2 − x = ctg x; ctg π 2 − x = tg x. Эти формулы называются «формулами дополнительного угла»; для острых углов они нам уже знакомы. Полезно также запомнить, как меняются тригонометрические функции при изменении знака аргумента: sin(−x) = − sin x; cos(−x) = cos x; tg(−x) = − tg x; ctg(−x) = − ctg x. Иными словами, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции, косинус — четная функция. Задача 9.2. Упростите выражения: а) sin(x − π/2); б) sin(x − 1998π); в) sin(x − 1991π/2); г) sin(x − 3π/2); д) sin(2π − x); е) tg(x − π/2); ж) sin(x − 111π); з) cos(x + 7π/2); и) tg(−x − 3π/2). Задача 9.3. Вычислите: а) cos(13π/6); б) sin(44π/3); в) cos(−21π/2); г) tg(77π/4); д) sin(123π/2); е) sin(−19π/3); ж) sin 3540 ◦ ; з) tg(−1050 ◦ ); и) cos 1575 ◦ ; к) sin(−1200 ◦ ). Задача 9.4. Выразите через тригонометрическую функцию числ´ а, лежащего на отрезке [0; π/2]: а) tg 19, 3π; б) tg 10; в) sin 46π/9; г) cos 114; д) sin(−9); е) sin 22π/7. Задача 9.5. Определите знаки следующих выражений: а) sin(127π/5); б) cos(−26, 17π); в) tg 83, 1π; г) cos 17; д) sin(−46). 42 Задача 9.6. Пусть на плоскости задана система координат и точка M с координатами (a; b). Запишите координаты точки, в которую M переходит при следующих преобразованиях: а) симметрии относительно оси абсцисс; б) симметрии относительно оси ординат; в) симметрии относительно начала координат; г) повороте относительно начала координат на 90 ◦ в положи- тельном направлении; д) симметрии относительно прямой с уравнением y = x. § 10. Простейшие тригонометрические уравнения Будем учиться решать тригонометрические уравнения. Начнем с самого простого: уравнения sin x = 1. Мы помним, что sin x — ор- дината точки x на тригонометрической окружности. На ней есть только одна точка с ординатой 1 — точка M на рис. 10.1 а. Одно а) б) Рис. 10.1. Простейшие уравнения. из чисел, соответствующих точке M , — это число π/2. Кроме π/2 этой точке соответствуют, очевидно, все числа вида π/2 + 2πn, где n — целое число, и только они. Вместо «n — целое число» принято писать «n ∈ Z» (буквальный перевод: «n принадлежит множеству 43 Рис. 10.2. Простейшие уравнения: систематизация. всех целых чисел, обозначаемому Z»). Итак, решения уравнения sin x = 1 можно записать так: x = π/2 + 2πn, n ∈ Z. Можно запи- сать решения этого уравнения и в виде множества: n π 2 + 2πn; n ∈ Z o Можно, наконец, написать так: Ответ: π 2 + 2πn; n ∈ Z. Решим еще уравнение cos x = 0. Так как cos x — абсцисса точ- ки, соответствующей x, на тригонометрическом круге числу x могут соответствовать точки M и N (рис. 10.1 б), и только они. Точке M , как мы только что выяснили, соответствуют числа вида π/2+2πn, n ∈ Z. Точке N соответствует, в частности, число −π/2, а значит, и все числа вида −π/2 + 2πm (m ∈ Z). Можно записать оба эти множества чисел одной формулой, а именно x = π/2πn (n ∈ Z). Убедитесь, что эта формула дает в точности все числа, которым соответствует точка M или N на рис 10.1 б. Решения этих и аналогичных тригонометрических уравнений изображены на рис. 10.2 44 Прежде чем читать дальше, убедитесь, что решения уравне- ний на рис 10.2 соответствуют рисункам. Рис. 10.3. Теперь займемся уравнениями послож- нее. Решим уравнение sin x = 1/2. Снача- ла мы опять-таки найдем не сами решения, а соответствующие им точки на тригономет- рическом круге. Это — точки с ординатой 1/2, их, очевидно, две (точки M 1 и M 2 на рис. 10.3 ). Выясним, какие числа соответствуют этим точкам. Точка M 1 соответствует (в частности) числу π/6 (π/6 радиан — это 30 ◦ , sin 30 ◦ = 1/2), а точ- ка M 2 — числу π − π/6 = 5π/6 (чтобы пройти путь от начала отсчета O до точки M 2 , можно сначала пройти в положительном направлении расстояние π до точки S, а затем вернуться из S в M 2 , пройдя расстояние π/6 — д´ уги SM 2 и OM 1 равны). Числа, соответствующие точке M 1 , имеют вид π/6 + 2πn, а числа, соот- ветствующие точке M 2 , имеют вид 5π/6+2πn (n ∈ Z). Итак, ответ к уравнению sin x = 1/2 готов: x = π/6 + 2πn; x = 5π/6a + 2πn (n ∈ Z). С уравнением sin x = 1/2 нам повезло в том отношении, что мы смогли явно указать число, синус которого равен 1/2. Чтобы решить уравнение sin x = a для произвольного a, нам нужно как- то обозначить число, синус которого равен a. При этом, если такие числа есть, то их много, так что нужно еще выбрать из них одно. Эти проблемы принято решать следующим образом: Определение. Арксинусом числа a называется такое число x, что sin x = a и −π/2 6 x 6 π/2. Это число обозначается arcsin a. Из рис. 10.4 видно, что arcsin a существует и однозначно опре- делен, если −1 6 a 6 1. Если |a| > 1 (то есть a > 1 или a < −1), то arcsin a не определен, поскольку sin x не бывает больше 1 или меньше −1. Теперь мы можем записать в общем виде решения 45 Рис. 10.4. Арксинус. Рис. 10.5. sin x = a. 46 уравнения sin x = a. Будем для начала считать, что −1 < a < 1. Тогда на тригонометрической окружности есть две точки с орди- натой a (рис. 10.5 ). Точка M 1 соответствует, очевидно, числу arcsin a (а также чис- лам, отличающимся от него на кратные 2π). Точка M 2 соответ- ствует числу π−arcsin a (вспомните уравнение sin x = 1/2, а также формулу приведения sin(π − x) = sin x). Все числа, соответствую- щие этим двум точкам, — это числа arcsin a+2πn и π−arcsin a+2πn (n ∈ Z). Стало быть, при |a| < 1 ответ к уравнению sin x = a та- ков: x = arcsin a + 2πn; x = π − arcsin a + 2πn (n ∈ Z). (10.1) Когда a приближается к 1, две точки с ординатой a на тригоно- метрической окружности приближаются друг к дружке, а когда a становится равным 1, они сливаются. Сливаются в одну и две «серии» решений уравнения sin x = a: каждая из двух формул пе- реходит в знакомую нам π/2+2πn. Если же a > 1 (или a < −1), то уравнение sin x = a не имеет решений: точек с соответствующей ординатой на тригонометрической окружности просто нет. Это напоминает положение дел с уравнением x 2 = a: если a > 0, то кор- ня два; когда a приближается к нулю, эти корни приближаются друг к другу, когда a = 0, два корня сливаются в один, а когда a отрица- тельно, то корней у уравнения x 2 = a нет. Если, однако, рассматривать наряду с обычными еще и так называемые «комплексные числа», то окажется, что при a < 0 у уравнения x 2 = a тоже есть два корня, но только комплексных. Аналогичным образом у уравнения sin x = a при a > 1 есть решения, являющиеся комплексными числами. Об этом у нас пойдет речь в главе 6. Решения уравнения sin x = a можно записать и одной форму- лой: x = (−1) n arcsin a + πn, n ∈ Z. (10.2) Проверьте, что формула ( 10.2 ) дает другую запись того же ответа, что и формула ( 10.1 ) (для этого полезно отдельно разобрать слу- чай четных n, когда (−1) n = 1, и нечетных n, когда (−1) n = −1). 47 Рис. 10.6. Арккосинус. Запись ответа к уравнению sin x = a в виде ( 10.2 ) удобна, если ничего, кроме ответа, от нас не требуется. Если же нужен даль- нейший анализ решений (как, например, в задаче 10.10 в конце параграфа), то запись ( 10.1 ) (в виде двух «серий») удобнее. Разберемся теперь с уравнением cos x = a. Для записи его решений используется функция арккосинус. Определение. Арккосинусом числа a называется такое число x, что cos x = a и 0 6 x 6 π. Это число обозначается arccos a. Из рисунка 10.6 видно, что arccos a существует и однозначно определен, если −1 6 a 6 1, и не определен, если a > 1. Теперь запишем решения уравнения cos x = a. Опять будем сначала считать, что −1 < a < 1. Решениям этого уравнения соответствуют точки с абсциссой a на тригонометрической окруж- ности (рис. 10.7 ). Точка M 1 соответствует числу arccos a, а точка M 2 — числу − arccos a (вспомните формулу cos(−x) = cos x). Вспо- миная, что числа, отличающиеся на кратные 2π, соответствуют одной и той же точке, получаем, что при |a| < 1 ответ к уравне- нию cos x = a таков: x = arccos a + 2πn; x = − arccos a + 2πn (n ∈ Z). 48 Рис. 10.7. cos x = a. Если a = 1 или −1, этот ответ тоже верен, причем обе «серии» сливаются в одну (т. е. одни и те же значения x встречаются в обе- их сериях); впрочем, при этих значениях a пользоваться общими формулами неразумно. Если же a > 1, то уравнение cos x = a не имеет решений. Часто решения уравнения cos x = a кратко записывают так: x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z. Эта запись имеет те же преимущества и недостатки, что и запись решений уравнения sin x = a с помощью одной формулы. Для записи решений уравнения tg x = a используется функция арктангенс. Определение. Арктангенсом числа a называется такое число x, что tg x = a и −π/2 < x < π/2. Это число обозначается arctg a. Из рис. 10.8 видно, что arctg a существует и однозначно опре- делен для всех a. Теперь решим уравнение tg x = a. Очевидно, что оно имеет решения для всех a и что его решения — числа, соответствующие точкам M 1 и M 2 на рис. 10.8 . Точке M 1 , очевидно, соответствуют числа arctg a+2πn, а точке M 2 — числа (arctg a+π)+2πk (если на- нести на тригонометрическую окружность числа, отличающиеся на π, то получатся две диаметрально противоположные точки). Получилось две серии решений. Проще, однако, ответ записать так: x = arctg a + πn (n ∈ Z). 49 Рис. 10.8. Арктангенс. Эта запись дает верный ответ, так как при четных n получается точка M 1 , а при нечетных — точка M 2 . Впрочем, это также следует из того, что период тангенса равен π. Осталось еще сказать про уравнение ctg x = a. Для его реше- ния используется малоупотребительная функция арккотангенс. Определение. Арккотангенсом числа a называется такое число x, что ctg x = a и 0 < x < π. Обозначается это число arcctg a. Арккотангенс, как и арктангенс, определен для всех чисел и связан с арктангенсом простой формулой (см. задачу 10.5 ). Решениями уравнения ctg x = a являются числа x = arcctg a + + πn, n ∈ Z. 50 Задача 10.1. Заполните таблицы: a −1 − √ 3/2 − √ 2/2 −1/2 0 1/2 √ 2/2 √ 3/2 1 arcsin a arccos a a √ 3 −1 − √ 3/3 0 √ 3/3 1 √ 3 arctg a arcctg a Задача 10.2. Решите уравнения: а) sin 2x = 1 2 ; б) sin 3x − π 4 = − √ 3 2 ; в) sin x + π 4 = √ 3; г) sin x 2 + π 8 = √ 2 2 ; д) cos 2x + π 4 = − 1 2 ; е) cos x 3 + π 12 = √ 3 2 ; ж) cos 2x − π 3 = − √ 2 2 ; з) tg (x + π/4) = − √ 3 3 ; и) ctg x 2 = −1. Задача 10.3. Решите уравнения: а) sin x = 1 − √ 5 2 ; б) sin 2x = 1 + √ 5 2 ; в) cos x 2 + π 4 = 4 − √ 7; г) cos 2x − π 3 = 1 3 ; д) 6 sin 2 x + sin x − 2 = 0; е) 3 sin 2 x − 10 sin x + 3 = 0; ж) 2 sin 2 x = 4 sin x + cos 2 x; з) 3 sin 2 2x + cos 2 2x + 5 cos 2x = 0; и) cos 2 y − 3 cos y + 1 = 0; к) tg x = 3; л) ctg x = 4 − √ 7. Задача 10.4. Решите уравнения: а) arcsin x = π/6; б) arcsin x = 5π/6; в) arccos x = 5π/6. Задача 10.5. Докажите формулы: 51 а) arcsin(−x) = − arcsin x; б) arccos(−x) = π − arccos x; в) arctg(−x) = − arctg x; г) arctg x + arcctg x = π/2. Задача 10.6. Постройте графики функций: а) y = sin(arcsin x); б) y = cos(arccos x); в) y = arcsin(sin x); г) y = arccos(cos x); д) y = tg(arctg x). Задача 10.7. Упростите выражения: а) arctg tg 17π 5 ; б) arcsin cos 31π 5 ; в) arcctg(ctg 8); г) arccos(cos 11); д) arccos(sin 11). Задача 10.8. Для каких x верны равенства: а) arcsin √ 1 − x 2 = arccos x; б) arctg(1/x) = arcctg x; в) arcsin(sin x) = x; г) sin(arcsin x) = x. Задача 10.9. Упростите выражения: а) sin arctg 2 3 ; б) cos arctg 3 5 ; в) tg arcsin 1 √ 10 ; г) sin arccos − 1 3 ; д) cos arcsin − 1 3 Задача 10.10. а) Сколько решений уравнения sin x = 1/2 лежит на отрезке [0; 10π]? б) Сколько решений уравнения sin x = 1/3 лежит на отрезке [0; 100π]? в) Найдите сумму решений уравнения sin x = − √ 2/2, лежа- щих на отрезке [0; 64π]. 52 § 11. Графики синуса и косинуса Повторить: § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию. Построим график функции y = sin x. При этом нам опять при- годятся часы из § 5. Рис. 11.1. Если x = 0, то, очевидно, y = 0. Когда x воз- растает от 0 до π/2, число sin x возрастает от 0 до 1 (представьте себе, как меняется ордината кон- ца стрелки на наших фирменных часах). Участок графика для x от 0 до π/2 изображен на рис. 11.1 При малых x наш график близок к прямой y = x: вспомним, что при малых x верна при- ближенная формула sin x ≈ x. Можно сказать, что прямая y = x касается кривой с уравнением y = sin x в точке (0; 0). Заметим также, что наш участок графика расположен ниже этой прямой: ведь для острых углов x, измерен- ных в радианах, выполнено неравенство sin x < x. Чем ближе x к π/2, тем более полого идет наша кривая. Это происходит потому, что проекция конца стрелки на ось ординат, колеблясь по отрезку [−1; 1], быстрее всего движется в середине отрезка и замедляется у его краев: мы это уже обсуждали в § 5. а) б) Рис. 11.2. Пусть далее, π/2 6 x 6 2π (стрелка часов продолжает дви- жение). Тогда, очевидно, ордината конца стрелки, то есть sin x, уменьшается от 1 до 0 — рис. 11.2 а. Далее, когда x возрастает 53 от π до 3π/2, sin x уменьшается от 0 до −1, а когда x возраста- ет от 3π/2 до 2π, возрастает от −1 до 0. Итак, участок графика для 0 6 x 6 2π готов (рис. 11.2 б). Заметим, кстати, что кри- вая на рис 11.2 а симметрична относительно вертикальной пря- мой с уравнением x = π/2. В самом деле, формула приведения sin(π/2 − x) = sin x показывает, что точки с абсциссами x и π − x имеют на графике одинаковые ординаты и, стало быть, симмет- ричны относительно прямой x = π/2 (рис. 11.3 а). а) б) Рис. 11.3. Задача 11.1. Запишите уравнение прямой, касающейся графика функции y = sin x в точке с координатами (π; 0). Кривая на рис 11.2 б центрально симметрична относительно точки с координатами (π; 0); это следует из другой формулы при- ведения: sin(2π − x) = − sin x (рис. 11.3 б). После того, как у нас есть участок графика функции y = sin x для 0 6 x 6 2π, весь график строится уже просто. В самом деле, когда конец стрелки прошел путь 2π, стрелка вернулась в исходное положение; при дальнейшем движении все будет по- вторяться. Значит, график будет состоять из таких же кусков, как на рис 11.2 б. Окончательно график функции y = sin x выглядит так, как на рис. 11.4 . При этом участки графика при x ∈ [2π; 4π], [4π; 6π], [−2π; 0],. . . получаются из графика на рис 11.2 б сдвигом вдоль оси абсцисс на 2π, 4π, −2π,. . . соответственно. Это — про- сто переформулировка того факта, что функция y = sin x имеет период 2π. 54 Рис. 11.4. y = sin x. Рис. 11.5. y = cos x. Теперь построим график функции y = cos x. Можно было бы строить его так же, как мы строили график синуса. Мы, однако, изберем другой путь, который позволит использовать уже имею- щуюся у нас информацию. Именно, воспользуемся формулой приведения sin(x + π/2) = = cos x. Эту формулу можно понимать так: функция y = cos x принимает те же значения, что и функция y = sin x, но на π/2 раньше. Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = π/2, а функция y = cos x = sin(x + π/2) принимает это же значение уже при x = 0. На графике это означает следующее: для каждой точки графика y = sin x есть точка графика y = cos x, у которой ордината та же, а абсцисса на π/2 меньше (рис. 11.5 ). Стало быть, график y = cos x получится, если сдвинуть график y = sin x вдоль оси абсцисс на π/2 влево. На рис. 11.5 график функции y = cos x изображен сплошной кривой. Итак, мы выяснили, что график косинуса получается преобра- 55 зованием (сдвигом) из графика синуса. Случаи, когда график од- ной функции можно получить преобразованием из графика дру- гой функции, интересны и сами по себе, поэтому скажем о них несколько слов. Как, например, будет выглядеть график функции y = 2 sin x? Ясно, что ординаты точек этого графика получаются из ординат соответствующих точек графика y = sin x умножением на 2, так что наш график изобразится сплошной кривой на рис. 11.6 . Мож- но сказать, что график y = 2 sin x получается из графика y = sin x растяжением в два раза вдоль оси ординат. Рис. 11.6. y = 2 sin x. Рис. 11.7. y = sin 2x. Теперь построим график функции y = sin 2x. Легко понять, 56 Рис. 11.8. y = sin(2x + π/3). что функция y = sin 2x принимает те же самые значения, что и функция y = sin x, но при в два раза меньших значениях x. Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = π/2, а функция y = sin 2x — уже при x = π/4; иными словами, чтобы получить график y = sin 2x, надо абсциссы всех точек графика y = sin x уменьшить в два раза, а ординаты оставить неизменны- ми. То, что получается, изображено на рис. 11.7 . Можно сказать, что график y = sin 2x (сплошная линия на рис. 11.7 ) получается из графика y = sin x сжатием в 2 раза к оси ординат. Попробуем еще построить график функции y = sin(2x + π/3). Понятно, что он должен получаться каким-то преобразованием из графика y = sin 2x. На первый взгляд может показаться, что это преобразование — сдвиг влево на π/3 вдоль оси абсцисс, по аналогии с тем, что изображено на рис. 11.5 . Однако, если бы это было так, то вышло бы, например, что функция y = sin(2x + π/3) принимает значение 1 при x = π/4 − π/3 = π/12, что не со- ответствует действительности (проверьте!). Правильно рассуж- дать так: sin(2x + π/3) = sin 2(x + π/6), так что функция y = sin(2x+π/3) принимает те же значения, что и функция y = sin 2x, но на π/6 раньше. Так что сдвиг влево — не на π/3, а на π/6 (рис. 11.8 ). Кривые, являющиеся графиками функций y = a sin bx, где a 6= 0, b 6= 0, называются синусоидами. Заметим, что кривой «ко- синусоида» вводить не надо: как мы видели, график косинуса — это та же кривая, что и график синуса, только иначе расположен- 57 ная относительно осей координат. Задача 11.2. Каковы координаты точек, помеченных на рис. 11.8 вопросительными знаками? Задача 11.3. Возьмите свечу, тонкий лист бумаги и острый нож. Намотайте лист бумаги на свечу в несколько слоев и аккуратно разрежьте эту свечу вместе с бумагой наискосок ножом. Теперь разверните бумагу. Вы увидите, что она оказалась разрезанной по волнистой линии. Докажите, что эта волнистая линия является синусоидой. Задача 11.4. Постройте графики функций: а) y = − sin x; б) y = sin x − π 4 ; в) y = cos(x/2); г) y = 3 cos 2x; д) y = cos 2x − π 4 ; е) y = sin x 2 − π 4 ; ж) y = sin(πx). Замечание. Если вы строите графики тригонометрических функ- ций на клетчатой бумаге, удобно выбрать немного разные масшта- бы по осям, с тем чтобы на оси абсцисс числу π соответствовало целое число клеточек. Например, часто выбирают такой масштаб: по оси ординат отрезок длины 1 занимает две клеточки, по оси абсцисс отрезок длины π занимает 6 клеточек. Задача 11.5. Постройте графики функций: а) y = arcsin x; б) y = arccos x. Посмотрим, как выглядят на графиках уже известные нам решения уравнений sin x = a и cos x = a. Эти решения являют- ся абсциссами точек пересечения горизонтальной прямой y = a с графиком функций y = sin x (соответственно y = cos x). На рис. 11.9 , 11.10 хорошо видны две серии решений, получающихся при −1 < a < 1. По графикам синуса и косинуса видно, на каких промежут- ках эти функции возрастают, а на каких убывают. Ясно, напри- мер, что функция y = sin x возрастает на отрезках [−π/2; π/2], 58 Рис. 11.9. Рис. 11.10. 59 а) б) Рис. 12.1. [3π/2; 5π/2], [−5π/2; −3π/2],. . . — одним словом, на всех отрезках [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], где k ∈ Z, и убывает на всех отрезках [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], где n ∈ Z. Задача 11.6. На каких отрезках возрастает и на каких убывает функция y = cos x? Задача 11.7. Сравните числа: а) sin(17π/5) и cos(−6π/7); б) sin(11, 2π) и cos(−6, 4π); в) cos(19π/9) и cos(−13π/6); г) sin 7 и cos 7; д) cos 7 и cos 10. Задача 11.8. Расположите в порядке возрастания: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6. § 12. Графики тангенса и котангенса Построим график функции y = tg x. Для начала построим его для чисел x, принадлежащих интервалу (−π/2; π/2). Если x = 0, то tg x = 0; когда x возрастает от 0 до π/2, tg x тоже возрастает — это видно, если посмотреть на ось танген- сов (рис. 12.1 а). Когда x приближается к π/2, оставаясь меньше 60 Рис. 12.2. y = tg x. π/2, значение tg x возрастает (точка M на рис. 12.1 а убегает все выше) и может, очевидно, стать сколь угодно большим положи- тельным числом. Аналогично, когда x убывает от 0 до −π/2, tg x становится отрицательным числом, абсолютная величина которо- го возрастает при приближении x к −π/2. При x = π/2 или −π/2 функция tg x не определена. Стало быть, график y = tg x при x ∈ (−π/2; π/2) выглядит примерно как на рис. 12.1 б. Вблизи начала координат наша кривая близка к прямой y = x x: ведь для малых острых углов верно приближенное равнество tg x ≈ x. Можно сказать, что прямая y = x касается графика функции y = tg x в начале координат. Кроме того, кривая на рис 12.1 б симметрична относительно начала координат. Это объ- ясняется тем, что функция y = tg x нечетная, то есть выполнено тождество tg(−x) = − tg x. Чтобы построить график функции y = tg x для всех x, вспом- ним, что tg x — периодическая функция с периодом π. Стало быть, чтобы получить полный график функции y = tg x, надо повто- рить бесконечно много раз кривую рис. 12.1 б, перенося ее вдоль оси абсцисс на расстояния πn, где n — целое число. Окончатель- ный вид графика функции y = tg x — на рис. 12.2 По графику мы в очередной раз видим, что функция y = tg x 61 Рис. 12.3. y = ctg x. не определена при x = π/2 + πn, n ∈ Z, то есть при тех x, при которых cos x = 0. Вертикальные прямые с уравнениями x = π/2, 3π/2,. . . , к которым приближаются ветви графика, называются асимптотами графика. На том же рис. 12.2 мы изобразили решения уравнения tg x = a. Построим график функции y = ctg x. Проще всего, воспользо- вавшись формулой приведения ctg x = tg(π/2 − x), получить этот график из графика функции y = tg x с помощью преобразова- ний наподобие тех, что мы описывали в предыдущем параграфе. Результат — на рис. 12.3 Задача 12.1. График функции y = ctg x получается из графика функции y = tg x с помощью симметрии относительно некото- рой прямой. Какой именно? Есть ли другие прямые с указанным свойством? Задача 12.2. Как выглядит уравнение прямой, касающейся гра- фика функции y = ctg x в точке с координатами (π/2; 0)? Задача 12.3. Сравните числа: а) tg(13π/11) и tg 3,3π; б) tg 9,6π и ctg(−11,3π). 62 Задача 12.4. Расположите числа в порядке возрастания: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5. Задача 12.5. Постройте графики функций: а) y = tg(2x − π/3); б) y = 2 ctg(π/4 − x). Задача 12.6. Постройте графики функций: а) y = arctg x; б) y = arcctg x. Задача 12.7. Постройте график функции y = arctg x + arctg(1/x). |