Тригонометрия. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
Верна ли для таких уравнений теорема Виета? Если изобразить комплексные числа точками на плоскости, то оказывается, что у действий над комплексными числами есть геометрический смысл. Давайте выясним, какой геометрический операции соответствует сложение комплексных чисел. Соединим начало координат 0 (соответствующее числу нуль) с точкой на плоскости, соответствующей комплексному числу z = x + iy — получится вектор OZ, имеющий координаты (x; y). Так как при сложении векторов их координаты складываются, то ра- венство z 1 + z 2 = z 3 равносильно равенству OZ 1 + OZ 2 = OZ 3 (рис. 28.2 ). Итак, сложить комплексные числа — все равно что сложить соответствующие векторы. 168 Рис. 28.2. Сложение комплексных чисел. Умножение комплексных чисел также имеет геометрический смысл; мы выясним его в следующем параграфе. § 29. Модуль и аргумент комплексного числа Повторить: § 25: отбор чисел на круге. В этом параграфе мы выясним геометрический смысл умно- жения комплексных чисел. Сначала — небольшая подготовка. Рис. 29.1. Расстояние на комплексной плоскости от начала координат (точки O) до точки z называется модулем комплексного числа z. Модуль комплексного числа z обозначает- ся |z|, как и модуль действительного числа. Такое совпадение обозначений не приводит к путанице, поскольку модуль действитель- ного числа также равен расстоянию от со- ответствующей точки на числовой оси до точки O. Если z = a + bi, то, очевидно, |z| = √ a 2 + b 2 (рис. 29.1 ). Задача 29.1. Докажите, что для любых комплексных чисел z и w верно неравенство |z + w| 6 |z| + |w|. Теперь соединим точку z с точкой O. Угол, образуемый полу- ченным отрезком с действительной осью (точнее говоря, с поло- 169 а) б) Рис. 29.2. жительным направлением действительной оси), называется аргу- ментом числа z (рис. 29.2 а). Этот угол принято выражать в ра- дианах. Если z = a + bi, |z| = r, аргумент z равен ϕ, то, очевидно, a = r cos ϕ; b = r sin ϕ. Стало быть, z = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ). Запись комплексного числа в виде r(cos ϕ + i sin ϕ), где r > 0, называется тригонометрической формой комплексного числа. В тригонометрической форме можно записать любое комплексное число, кроме нуля (аргумент нуля мы не определяем). Запишем, например, в тригонометрической форме число z = = −1 − i. Очевидно, |z| = √ 2, и из рис. 29.2 б видно, что в качестве аргумента можно взять 5π/4: −1 − i = 2 cos 5π 4 + i sin 5π 4 Впрочем, с тем же успехом можно было бы сказать, что аргу- мент −1 − i равен − 3π 4 : ведь равенство −1 − i = √ 2 cos − 3π 4 + +i sin − 3π 4 также верно. Вообще, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до прибавления 2πn, где n — целое число. В качестве аргумента числа z можно взять любое число ϕ, для которого z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ). 170 Задача 29.2. Найдите аргументы следующих чисел, после чего за- пишите эти числа в тригонометрической форме: а) i; б) −1; в) √ 3 + i; г) √ 3 − i; д) −(cos ϕ + i sin ϕ); е) cos ϕ − i sin ϕ. Задача 29.3. Докажите, что 1 cos ϕ + i sin ϕ = cos ϕ − i sin ϕ. Пусть теперь нам даны комплексные числа z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + + i sin ϕ 1 ) и z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). Давайте их перемножим: z 1 z 2 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = = r 1 r 2 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = = r 1 r 2 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2 )+ + i(sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2 ) = = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )). (мы воспользовались формулами синуса и косинуса суммы). Как видите, если перейти к тригонометрической форме, то умножение комплексных чисел запишется простой формулой: r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )). Или словами: При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Поскольку деление — действие, обратное к умножению, то: При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргумен- ты вычитаются. Итак, мы придали геометрический смысл умножению комплексных чи- сел, рассматриваемых как векторы на плоскости. На первый взгляд это противоречит сказанному в § 17, где мы говорили, что геометрически 171 определить умножение векторов на плоскости невозможно. Представь- те себе, однако, что у нас даны два вектора и мы хотим их умножить «как комплексные числа»— тут же выяснится, что для того, чтобы сло- жить аргументы, надо сначала иметь ось, от которой эти аргументы отсчитывать, причем если выбрать «действительную ось» по-другому, то произведение изменится! Рассматривая умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, мы убедились, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. Запишем это свой- ство комплексных чисел в виде формулы |zw| = |z| · |w|. (29.1) Задача 29.4. Докажите формулу ( 29.1 ), исходя из определения умножения комплексных чисел. Задача 29.5. а) Докажите, что |z| = z · ¯ z; б) выведите из этой формулы тождество ( 29.1 ). Формулу ( 29.1 ) можно переписать и не используя комплекс- ных чисел. В самом деле, если z = a 1 + b 1 i и w = a 2 + b 2 i, то, возводя ( 29.1 ) в квадрат, получаем такое тождество: (a 2 1 + b 2 1 )(a 2 2 + b 2 2 ) = (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) 2 + (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) 2 (29.2) Разумеется, это тождество легко проверить и непосредственно. Задача 29.6. Докажите, что число 32858969712941053630927296788431704044342041015625 = 5 31 ·13 25 является суммой квадратов двух целых чисел. Задача 29.7. Докажите, что число 73734314159378042035384049570 = = 2 · 5 · 13 · 29 · 37 · 41 · 53 · 61 · 73 · 89 · 97 · 101 · 113 · 137 · 149 · 157 · 173 также является суммой квадратов двух целых чисел. 172 Указание. 2 = 1 2 + 1 2 ; 5 = 1 2 + 2 2 Существует аналог тождества ( 29.2 ) для сумм четырех квадратов, по- казывающий, что произведение двух сумм четырех квадратов также равно сумме четырех квадратов: (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 )(b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 + b 2 4 ) = = (a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 ) 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 ) 2 + + (a 1 b 3 + a 3 b 1 − a 2 b 4 + a 4 b 2 ) 2 + (a 1 b 4 + a 4 b 1 + a 2 b 3 − a 3 b 2 ) 2 Задача 29.8. Докажите это тождество. Имеется также аналог этих двух тождеств для сумм восьми квадра- тов, но на этом все и кончается: при n 6= 2, 4, 8 тождеств типа «произве- дение двух сумм n квадратов равно сумме n квадратов» не существует. Теперь посмотрим, что вытекает из того, что аргументы ком- плексных чисел при умножении складываются. Если возвести комплексное число в степень n, то есть умно- жить его на себя n раз, то его модуль возведется в степень n, а аргумент умножится на n: (r(cos ϕ + i sin ϕ)) n = r n (cos nϕ + i sin nϕ). В частности, при r = 1 получится вот что: (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ. Эта формула называется формулой Муавра. Из формулы Муавра легко вывести формулы, выражающие cos nϕ и sin nϕ через cos ϕ и sin ϕ. Для этого надо в ее левой ча- сти раскрыть скобки и привести подобные. При n = 5, например, получится вот что: (cos ϕ + i sin ϕ) 5 = (cos 5 ϕ − 10 cos 3 ϕ sin 2 ϕ + 5 cos ϕ sin 4 ϕ) + + i(5 cos 4 ϕ sin ϕ − 10 cos 2 ϕ sin 3 ϕ + sin 5 ϕ) = = cos 5ϕ + i sin 5ϕ. 173 Так как выражения слева и справа равны, то равны по отдельно- сти их вещественные и мнимые части, откуда: cos 5ϕ = cos 5 ϕ − 10 cos 3 ϕ sin 2 ϕ + 5 cos ϕ sin 4 ϕ, sin 5ϕ = 5 cos 4 ϕ sin ϕ − 10 cos 2 ϕ sin 3 ϕ + sin 5 ϕ. Чтобы получить такие формулы для произвольного n, надо рас- крывать скобки в (cos ϕ + i sin ϕ) n , а для этого требуется общая формула для раскрытия скобок в выражении (a + b) n . Мы вы- пишем эту формулу, но не будем ее доказывать. Выглядит она так: (a + b) n = a n + na n−1 b + n(n − 1) 1 · 2 a n−2 b 2 + + n(n − 1)(n − 2) 1 · 2 · 3 a n−3 b 3 + . . . + n(n − 1)(n − 2) . . . 2 1 · 2 · . . . (n − 1) a 1 b n−1 + b n Иными словами, в правой части коэффициент при a n−k b k равен n(n − 1) . . . (n − k + 1) 1 · 2 · · · · · k : в знаменателе стоит произведение первых k натуральных чисел, а в числителе — произведение k идущих подряд целых чисел в убывающем порядке, начиная с n. Хотя коэффициенты в нашей формуле записаны как дроби, на самом деле все они — целые числа. Формула для (a + b) n , которую мы выписали, называется фор- мулой бинома Ньютона. Задача 29.9. Проверьте формулу бинома Ньютона для n = 3, 4, 5. Задача 29.10. а) Выпишите формулу бинома Ньютона для n = 6. б) Выпишите формулы для cos 6ϕ и sin 6ϕ. Задача 29.11. Убедитесь, что в формуле бинома Ньютона коэф- фициент при ab n−1 равен n. Задача 29.12. Докажите, что в формуле бинома Ньютона коэф- фициенты при a n−k b k и a k b n−k равны (что и не удивительно: если левая часть тождества не меняется, когда меняешь местами a и b, то такой же должна быть и правая часть). 174 Другое приложение формулы Муавра — еще один вывод фор- мулы для суммы косинусов или синусов углов, образующих ариф- метическую прогрессию (§ 22). В самом деле, пусть нам надо вы- числить сумму cos α + cos(α + β) + cos(α + 2β) + . . . + cos(α + nβ). Рассмотрим комплексные числа a = cos α + i sin α, b = cos β + + i sin β. Тогда, очевидно, ab k = cos(α + kβ) + i sin(α + kβ). Сле- довательно, a + ab + ab 2 + . . . + ab n = (cos + cos(α + β) + . . . + cos(α + nβ)) + + i(α sin + sin(α + β) + . . . + sin(α + nβ)). Однако правую часть можно вычислить по формуле для суммы геометрической прогрессии: a + ab + ab 2 + . . . + ab n = a 1 − b n+1 1 − b = = (cos α + i sin α) 1 − cos(n + 1)β − i sin(n + 1)β 1 − cos α − i sin α (Если вас смущает, что мы применяем эту формулу к комплекс- ным числам, посмотрите в вашем школьном учебнике, как она доказывается, и убедитесь, что дословно то же доказательство годится и для комплексных чисел.) Теперь осталось упростить выражение в правой части (для этого, как обычно при делении комплексных чисел, надо умно- жить числитель и знаменатель дроби на (1−cos α)+i sin α и выде- лить в полученном выражении действительную и мнимую части). Действительная часть будет равна cos α + cos(α + β) + . . . + cos(α + + nβ), а мнимая часть будет равна sin α + sin(α + β) + . . . + sin(α + + nβ). Задача 29.13. Проведите эти выкладки и убедитесь, что ответы совпадают с полученными в § 22. Раз с помощью тригонометрической формы комплексные чис- ла удобно возводить в степень, естественно надеяться, что та же 175 тригонометрическая форма поможет и в выполнении обратной операции — извлечения корней из комплексных чисел. Покажем на примере, какие новые явления при этом возникают. Давайте извлечем корень пятой степени из 32, то есть найдем число, которое, будучи возведенным в пятую степень, даст 32. Среди действительных чисел такое число одно — это число 2. По- смотрим, что будет, если рассматривать любые комплексные чис- ла. Мы ищем такие числа z, что z 5 = 32. Проще всего найти модуль числа z: если z 5 = 32, то |z 5 | = |z| 5 = 32 (при перемно- жении чисел модули перемножаются), откуда |z| = 2 (уж |z|-то — это обычное действительное число, так что тут никаких разно- чтений не будет). Осталось найти аргумент z. Для этого запи- шем z в тригонометрической форме: z = 2(cos ϕ + i sin ϕ). То- гда z 5 = 32(cos 5ϕ + i sin 5ϕ), откуда 32(cos 5ϕ + i sin 5ϕ) = 32, cos 5ϕ + i sin 5ϕ = 1, что, в свою очередь, равносильно системе тригонометрических уравнений ( cos 5ϕ = 1; sin 5ϕ = 0. Этой системе, очевидно, удовлетворяют в точности те и только те числа ϕ, для которых числу 5ϕ соответствует начало отсче- та на тригонометрической окружности, то есть 5ϕ = 2kπ, или ϕ = 2πk/5 (k ∈ Z). Стало быть, решения уравнения z 5 = 32 — это числа вида 2(cos 2πk/5 + i sin 2πk/5), где k ∈ Z. Не все эти числа различны: так как комплексные числа с аргументами, от- личающимися на 2π, совпадают, то разные комплексные числа получаются только при k = 0, 1, 2, 3, 4, а дальше значения z будут повторяться. Итак, все корни уравнения z 5 = 32 или, если угодно, все корни пятой степени из 32 таковы: z 1 = 2(cos 0 + i sin 0); z 2 = 2(cos 2π/5 + i sin 2π/5); z 3 = 2(cos 4π/5 + i sin 4π/5); z 4 = 2(cos 6π/5 + i sin 6π/5); z 5 = 2(cos 8π/5 + i sin 8π/5); 176 Рис. 29.3. Здесь z 1 — это просто число 2, действитель- ный корень уравнения z 5 = 32. Прочие кор- ни этого уравнения действительными уже не являются. Если изобразить все корни пятой степени из 32 на комплексной плос- кости, то окажется, что они расположены в вершинах правильного пятиугольника. В наших рассуждениях не играло ника- кой роли ни то, что мы извлекали корень именно степени 5, ни то, что мы извлекали его из 32. На самом деле для всякого комплексного числа a 6= 0 существует ровно n решений уравнения z n = a (эти решения называются корня- ми степени n из a). При изображении на комплексной плоскости корни степени n из a располагаются в вершинах правильного n- угольника с центром в точке 0. Задача 29.14. Найдите: а) все три кубических корня из i; б) все шесть корней степени 6 из 1 и изобразите их на комплексной плос- кости. Задача 29.15. а) Докажите, что произведение двух корней степени n из 1 — тоже корень степени n из 1. б*) Пусть z 1 , z 2 , . . . , z n — все корни степени n из 1, k — целое число. Докажите, что z k 1 + z k 2 + · · · + z k n = 0, если k не делится на n; n, если k делится на n. Мы добавили к обычным вещественным числам число i для того, чтобы можно было извлекать квадратные корни из отрица- тельных чисел; при этом оказалось, что в комплексных числах можно решить любое квадратное уравнение. Замечательно, что и вообще любое алгебраическое уравнение имеет корень в ком- плексных числах: никаких новых чисел помимо i ради этого вво- дить не надо. Этот важный факт, который по традиции называ- ют основной теоремой алгебры, доказал в конце 18 века великий немецкий математик К. Ф. Гаусс. 177 § 30. Показательная функция и формула Эйлера Повторить: § 23. Производная. Хороший физик пользуется формализмом, как поэт — естественным языком. Ю.И. Манин. «Математика и физика» В предыдущих параграфах мы видели, что с комплексными числами можно так же, как и с действительными, проделывать такие операции, как сложение, умножение, возведение в степень и извлечение корня. Цель этого параграфа — придать смысл таким выражениям, как 2 z или sin z, где z — комплексное число. В последующем тексте не будет ни аккуратных математиче- ских определений, ни (тем более) строгих доказательств: мы бу- дем обращаться с математикой примерно так же вольно, как это делают физики. Тем не менее обмана не будет: все последующие определения и рассуждения можно довести до математическо- го уровня строгости, и в абзацах, набранных мелким шрифтом, объясняется, как это сделать. Руководствуясь этими указаниями, заинтересованный читатель сможет навести строгость в нашем тексте (если не сейчас, то тогда, когда он овладеет основами ма- тематического анализа). Теперь приступим к делу. Удобнее начать с показательной функции. Пусть a — положительное действительное число; чему должно быть равно a z для комплексных чисел z? Вспомним для начала, как определяется a z для действительных z. Если z — целое число, то a z — это произведение z сомножителей, каждый из кото- рых равен a; если z = m/n, где m и n — целые числа, то a z = n √ a m Как распространить такие определения на случай комплексных z — неясно: что такое «умножить на себя i раз» или «извлечь ко- рень i-й степени»?! Поэтому придется пойти другим путем. Для начала заметим, что если x мало, то для a x можно за- писать приближенную формулу. В самом деле, если обозначить буквой l производную функции y = a x в точке x = 0, то, согласно § 23, для малых x получается: a x = a 0+x ≈ a 0 + lx = 1 + lx. Итак, 178 Если x мало, то a x ≈ 1+lx, где l — производная функции y = a x в точке x = 0. Разумеется, как мы уже объясняли в § 23, приближенную фор- мулу такого типа можно получить для любой «достаточно хо- рошей» функции, и действовать она будет только для малых x. К счастью, свойства показательной функции позволяют перей- ти к формуле, пригодной при любых x. Вот как это делается. Пусть x — любое число. Выберем большое целое число n и запи- шем a x = a (x/n)n = (a x/n ) n ; если n велико, то x/n уже мало, и можно с помощью нашей приближенной формулы заменить a x/n на 1 + lx/n. Подставляя это выражение для a x/n , получаем: Для больших целых n верна приближенная формула a x ≈ (1 + lx/n) n , где l — производная функции y = a x в точке x = 0. Добросовестный читатель скажет, что наше рассуждение не очень убедительно: при умножении погрешности могут накапли- ваться, и где гарантия, что после перемножения n штук формул a x/n ≈ 1 + lx/n они не накопятся настолько, что a x не будет иметь с (1 + lx/n) n ничего общего? Это действительно могло бы слу- читься, но, к счастью, в данном случае накопление погрешностей к опасным последствиям не приводит: при больших n прибли- женное равенство a x ≈ (1 + lx/n) n имеет место, причем, выбрав n достаточно большим, погрешность этой формулы можно сделать сколь угодно малой. Вот как это устанавливается. В § 23 мы уже говорили, что для «доста- точно хороших» функций погрешность формулы f (a+h) ≈ f (a)+hf 0 (a) не превосходит M h 2 для некоторого числа M , не зависящего от h. Если применить это соображение к функции f (x) = a x , выйдет, что погреш- ность формулы a x/n ≈ 1+lx/n не превосходит M l 2 x 2 /n 2 для некоторого M . Обозначая, для сокращения письма, M l 2 x 2 буквой c, получаем, что погрешность формулы a x/n ≈ 1 + lx/n не превосходит c/n 2 , где число c от n не зависит. При возведении обеих частей этой формулы в степень n эта погрешность возрастает, но не слишком сильно: можно показать, 179 что при возведении в n-ую степень обеих частей приближенной форму- лы, в которой левая и правая части близки к 1 (а именно таковы a x/n и 1 + lx/n), погрешность возрастает примерно в n раз. Стало быть, погрешность формулы a x ≈ (1 + lx/n) n не превосходит n · (c/n 2 ) = c/n, и чем больше n, тем эта погрешность меньше, так что наша формула действительно позволяет вычислить a x с любой степе- нью точности. Теперь мы готовы определить a z для комплексных значений z. В самом деле, правая часть нашей приближенной формулы имеет смысл и при комплексных значениях x. Теперь для любого ком- плексного z определим a z как (1 + lz/n) n для большого целого числа n. Точнее говоря, это будет не само a z , но его приближен- ное значение, а точное значение a z — это то, к чему стремится (1 + lz/n) n при росте n (по-ученому говоря, «предел (1 + lz/n) n при n, стремящемся к бесконечности»). Напомним, что через l обозначена производная функции y = a x в нуле. Сейчас мы исследуем свойства показательной функции ком- плексного аргумента, но сперва — одно замечание. В наших фор- мулах постоянно присутствует число l. Наиболее простые фор- мулы получатся, если взять основание степени, для которого l равняется 1. Это число так часто встречается в математике, что для его есть специальное обозначение: его обозначают буквой e; повторим еще раз, что e — это, по определению, положительное число, для которого производная в нуле функции y = e x равна единице. Задача 30.1. Покажите, что производная функции y = a x в точ- ке 0 равна логарифму числа a по основанию e. Приближенно e равно 2,718. Таким образом, имеем формулу: e z ≈ 1 + z n n при больших целых n. Для действительных z эта формула выражает свойство по- казательной функции с основанием e, а для произвольного ком- плексного z представляет собой определение. 180 Если в нашей формуле для e z положить z = 1, то получим приближенную формулу для e = e 1 : e ≈ 1 + 1 n n . Можно так- же показать, что при нашем определении показательной функции от комплексных чисел основное свойство показательной функции e z+w = e z e w будет верно для любых комплексных z и w. Давайте теперь посмотрим, каковы будут свойства функции e z при z, не являющихся действительными. Выясним, например, как подсчитать e ix , где x — действительное число. Согласно нашему определению, надо взять большое целое чис- ло n, и тогда e ix будет примерно равно (1 + ix/n) n . Чтобы узнать, к чему будет приближаться это число при росте n, заметим, что при больших n число x/n мало, так что действуют приближенные формулы sin(x/n) ≈ x/n, cos(x/n) ≈ 1. Поэтому (1 + ix/n) n ≈ ≈ cos(x/n) + i sin(x/n), откуда, возводя в степень n, получаем: 1 + ix n n ≈ cos x n + i sin x n n = cos x + i sin x. Иными словами, при больших n верна приближенная формула (1 + ix/n) n ≈ cos x + i sin x. Можно показать, что с ростом n по- грешность этой формулы уменьшается. Это следует из того, что в формулах sin(x/n) ≈ x/n, cos(x/n) ≈ 1 по- грешность, как мы видели в § 23, не превосходит (x/n) 2 (при достаточно больших n); стало быть, можно сказать, что и у приближенной форму- лы 1 + ix n ≈ cos x n + i sin x n погрешность не превосходит (по модулю) c/n 2 , где c не зависит от n. После возведения обеих частей этой формулы в степень n погрешность увеличится примерно в n раз (это свойство возведения в степень вер- но и для комплексных чисел) и станет равняться примерно c/n, что стремится к нулю с ростом n. Итак, то число, к которому (1 + ix/n) n приближается с ростом n, — это cos x + i sin x. Значит, это и есть e ix . Итак: e ix = cos x + i sin x. Это — не что иное, как знаменитая формула Эйлера. 181 Посмотрим, что из нее можно вывести. Для начала, теперь мы можем найти значение показательной функции от любого комплексного числа a + bi: e a+bi = e a e b i = e a (cos b + i sin b). (∗) Задача 30.2. Выведите из формулы (∗) тождество e z+w = e z e w для произвольных комплексных z и w. Задача 30.3. Вычислите: а) e πi/2 ; б) e πi Задача 30.4. Найдите все комплексные числа z, для которых вы- полнено равенство e z = −1. Из формулы Эйлера следует, что e 2πi = cos 2πi + i sin 2πi = 1. Следовательно, для любого комплексного числа z имеем: e z+2πi = e z e 2πi = e z Значит, 2πi — период функции f (z) = e z . Как видите, показа- тельная функция тоже является периодической, только мы этого не видели, пока ограничивались действительными числами. Задача 30.5. Докажите, что всякий период функции f (z) = e z имеет вид 2πin для некоторого целого числа n (так что 2πi явля- ется чем-то вроде наименьшего положительного периода для этой функции). Следующее, что мы сделаем с помощью формулы Эйлера — это покажем, что тригонометрические и показательные функции — фактически одно и то же (как и было обещано в § 19). Точнее говоря, мы выразим тригонометрические функции через показа- тельные. Для этого запишем формулу Эйлера, а под ней — ту же фор- мулу, в которую вместо x подставлено −x: e ix = cos x + i sin x; e −ix = cos x − i sin x 182 (мы воспользовались тем, что cos(−x) = cos x, sin(−x) = − sin x). Если сложить и вычесть эти два равенства, получится e ix +e −ix = = 2 cos x, e ix − e −ix = 2i sin x, откуда выходит: cos x = e ix + e −ix 2 ; sin x = e ix − e −ix 2i Таким образом, мы выразили тригонометрические функции через показательную, а формула Эйлера, наоборот, выражает по- казательную функцию через тригонометрические. Так что если в нашем распоряжении есть комплексные числа, то тригономет- рические функции выражаются через показательные, и наоборот. У наших формул, выражающих синус и косинус через пока- зательную функцию, есть еще одно применение. Именно, правые части этих формул имеют смысл, если вместо x подставить лю- бое комплексное число. Поэтому их можно использовать для того, чтобы определить, что такое синус и косинус от любого комплекс- ного числа. Именно: если z — комплексное число, то положим по определению: cos z = e iz + e −iz 2 ; sin z = e iz − e −iz 2i Формулы, выражающие синус и косинус от действительных чисел через показательную функцию, показывают, что для дей- ствительного числа z наше определение дает обычные синус и ко- синус. Задача 30.6. Найдите sin i и cos i. Задача 30.7. Докажите, что формула Эйлера e iz = cos z + i sin z верна для произвольных комплексных значений z. Задача 30.8. Докажите, что cos(a + bi) = e b + e −b 2 cos a + i e b − e −b 2 sin a. Задача 30.9. а) Докажите, что все комплексные решения уравне- ния sin z = 0 имеют вид z = πn, где n — целое (так что дополни- тельных комплексных решений у этого уравнения нет). 183 б) Решите в комплексных числах уравнение cos z = 0. в) Решите в комплексных числах остальные простейшие три- гонометрические уравнения из начала § 10. Задача 30.10. Верно ли, что для всех комплексных чисел z выпол- нено неравенство | sin z| 6 1? Задача 30.11. Докажите, что для всех комплексных z верны тож- дества: а) cos(z + 2π) = cos z; б) sin(z + 2π) = sin z; в) cos(−z) = cos z; г) sin(−z) = − sin z. Задача 30.12. Докажите, что для всех комплексных чисел верны тождества: cos 2 z + sin 2 z = 1; cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w; sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w. Все тригонометрические тождества, которые мы выводили в гла- ве 4, следуют из трех тождеств, перечисленных в этой задаче (а также из свойств четности и нечетности синуса и косинуса, кото- рые в комплексных числах также верны — см. задачу 30.11 ). По- этому все эти тождества верны и для тригонометрических функ- ций комплексного переменного. Задача 30.13. Решите в комплексных числах уравнение sin z = 2 (решить уравнение — найти все его решения). Задача 30.14. Верны ли для тригонометрических функций ком- плексного аргумента формулы приведения? Задача 30.15. Докажите, что уравнения sin z = a и cos z = a имеют решения (возможно, комплексные) при любом a. Ответы и указания к некоторым задачам 1.2. sin 10 ◦ ≈ 0,17, sin 30 ◦ = 0,5, sin 60 ◦ ≈ 0,87. Радианные меры углов в 10, 30 и 60 градусов приближенно равны 0,17, 0,52 и 1,05. Ради- анные меры углов в 30 и 60 градусов больше их синусов приблизительно на 4% и 21% соответственно; радианная мера угла в 10 градусов совпа- дает с его синусом с точностью до двух знаков после запятой. 2.1. Указание: два прямоугольных треугольника с равными острыми углами подобны. 2.2. sin α < tg α. 2.3. tg α = sin α/ p 1 − tg 2 α. 2.4. tg 10 ◦ ≈ 0,18, tg 30 ◦ ≈ 0,58, tg 60 ◦ ≈ 1,73. Тангенсы углов в 10, 30 и 60 градусов больше их радианных мер приблизительно на 1%, 10% и 65% соответственно. 3.4. а) 2a cos α. б) a sin α. в) a sin 2α, если α < 45 ◦ , и a sin(180 ◦ − − 2α), если α > 45 ◦ (когда мы познакомимся с тригонометрическими функциями произвольного угла, вы увидите, что этот ответ во всех случаях записать в виде a sin 2α). 3.5. ( √ 5 + 1)/4. 3.6. 2 sin(36 ◦ ) = p 10 − 2 √ 5/2. 3.7. cos 25 ◦ = sin 65 ◦ ≈ 0,91. 4.1. б) 6 0 . в) 6 ◦ 4.3. 0,012 радиана, или приблизительно 43 0 4.4. Примерно 1850 метров. 4.6. Указание. Тысячная равна π/3000 ≈ 1/1000 радиана (если при- нять, что π ≈ 3, что при таких измерениях и делают). И не надо считать военных неучами: ошибка порядка 15%, получающаяся при вычисле- ниях по формуле тысячных, несущественна, поскольку измерить угол подручными средствами с б´ ольшей точностью нереально. 5.1. а) Примерно 90 метров. б) Примерно полтора метра. 5.2. 12 января, в двенадцать часов три минуты пополуночи. Чтобы не ошибиться с датой, достаточно знать путь, пройденный секундной стрелкой за сутки, с точностью до 4 метров. 5.4. а) cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1. г) cos(5π/2) = 0, sin(5π/2) = 1. 5.6. а) 30 различных чисел. б) Число a должно быть рациональным. в) Да. 6.1. Если вы не ошиблись, должно получиться 4 различных точки. 6.3. а) Две точки. б) Одна точка. 6.4. В первой четверти. 6.5. 214 точек. 6.6. Рациональным. 185 6.11. (1/2; √ 3/2), (−1/2; √ 3/2), (−1; 0), (−1/2; − √ 3/2), (1/2; − √ 3/2). 6.12. (( √ 5 − 1)/4; p 10 + 2 √ 5/4), (−(1 + √ 5)/4; p 10 − 2 √ 5/4), (−(1 + + √ 5)/4; − p 10 − 2 √ 5/4), (( √ 5 − 1)/4; − p 10 + 2 √ 5/4). 6.13. При пользовании формулой cos α ≈ 1 для малых углов α отно- сительная погрешность (отношение погрешности к точному значению) будет мала, а если для столь же малых углов использовать форму- лу sin α ≈ 0, то погрешность будет близка к 100% точного значения — столь грубые приближенные формулы в этой ситуации бесполезны. 6.14. б) (t − sin t, 1 − cos t). 6.16. б) 10π. 7.3. а) √ 2/2 или − √ 2/2. б) Только − √ 2/2. 7.5. cos x = − √ 10/10, sin x = −3 √ 10/10. 7.6. 13/5. 7.8. а) 2. б) 2(tg 2 α + ctg 2 α). в) 2/ sin α. 8.1. а) 2π/3. б) 4π. в) 2. г) 200π. 8.2. а) 100π. б) 1/50. 8.6. Указание. 2 · 8 − 3 · 5 = 1. 8.7. Ответ: да. Когда вы освоите § 22, вы сможете проверить, что такими свойствами обладают функции f (x) = sin πx, g(x) = sin 2πx 3 − − sin πx. Можно, однако, построить пример, в котором тригонометри- ческие функции вообще не используются. 9.2. а) − cos x. б) sin x. е) − ctg x. ж) − sin x. 9.3. а) √ 3/2. в) 0. д) −1. ж) − √ 3/2. и) − √ 2/2. 9.4. б) tg(10 − 3π). г) cos(114 − 36π). е) − sin(π/7). 9.5. а) −. д) −. 9.6. а) (−a; b). в) (−a; −b). д) (b; a). 10.2. а) (−1) n π 12 + πn 2 , n ∈ Z. в) Решений нет. д) − π 8 ± π 3 +πn, n ∈ Z. ж) π 6 ± 3π 8 + πn, n ∈ Z. 10.3. а) (−1) n arcsin 1 − √ 5 2 +πn, n ∈ Z. б) Решений нет. д) Указание: положите sin x = t; ответ: (−1) n arcsin − 2 3 + πn n ∈ Z. ж) Указание: замените cos 2 x на 1 − sin 2 x; ответ: (−1) n arcsin 2 − √ 5 3 + πn, n ∈ Z. к) arctg 3 + πn, n ∈ Z; л) arcctg(4 − √ 7) + πn, n ∈ Z. 10.4. а) 1/2. б) Нет решений. в) − √ 3/2. 10.6. а) Указание: sin(arcsin x) = x по самом´ у определению аркси- нуса, но не от всякого числа можно взять арксинус. в) Указание: эта 186 функция — периодическая с периодом 2π. 10.7. а) 2π/5. б) 3π/10. д) 9π 2 − 11. 10.8. а) −1 6 x 6 1. б) x > 0. в) − π 2 6 x 6 π 2 . г) −1 6 x 6 1. 10.9. а) 2 √ 13/13. в) 1/3. д) 2 √ 2/3. 10.10. а) 10. 11.1. y = π − x. 11.2. (0; √ 3/2), (5π/6; 0). 11.7. б) sin(11,2π) < cos(−6,4π). г) sin 7 < cos 7; 11.8. sin 5 < cos 4 < cos 2 < sin 3 < sin 1 < cos 6. 12.1. Например, относительно прямой с уравнением x = π/4. 12.2. y = π/2 − x. 12.3. а) tg(13π/11) < tg 3,3π. 12.4. tg 5 < tg 2 < tg 3 < tg 4 < tg 1. 12.7. Указание: эта функция нечетная. 14.1. Указание: каковы знаки косинуса острых и тупых углов? 14.2. Указание: обозначьте стороны параллелограмма буквами a и b, а угол между ними буквой α; выразите диагонали через a, b и α. 14.5. Указание: выразите косинус угла ∠ABM через стороны тре- угольника, после чего примените теорему косинусов еще раз. 15.1. Указание: диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника. 15.4. а) r = p(p − a)(p − b)(p − c)/p. 15.7. 6 √ 14/5. 15.10. arccos(43/48), arccos(29/36), arccos(−11/24). 16.2. 2R 2 sin α sin β sin γ. 16.4. a √ 10/4. 16.5. a √ 21/6. 16.6. Указание: докажите, что четырехугольник является ромбом. 16.7. R 2 sin α 2 + sin β 2 cos α 2 ± cos β 2 (у задачи, вообще говоря, два ответа!). 16.8. R 2 (sin α + sin 2α) q 4 sin 2 3α − (sin 2α − sin α) 2 16.9. a cos β−γ 2 sin(β + γ) 16.10. √ m 2 + n 2 + 2mn cos α sin α 17.1. (4; 12). 17.3. а) (1; 1). б) ( √ 2; 0). 17.4. 19 (не забудьте про нулевой вектор!). 187 17.10. x = 36 11 , y = − 50 11 17.11. а) На 400/3 ≈ 133,9 м. б) Лодку надо направить против тече- ния под углом arctg(4/3) к берегу; при этом ее снесет на 320/3 ≈ 106,7 м. 17.12. Наименьшее расстояние — 15 миль; на этом расстоянии ко- рабли окажутся через 3 √ 3/2 ≈ 2,6 часов. 19.4. а) 1/2. 19.5. а) (3 + 4 √ 3)/10. б) π/4. 19.8. 4a/( √ 2 + √ 6), 2a √ 2/( √ 2 + √ 6). 19.9. 22 √ 5/5. 19.12. (x cos ϕ + y sin ϕ; y cos ϕ − x sin ϕ). 20.2. [− √ 5; √ 5]. 20.3. б) − π 4 + (−1) n π 4 + πn, n ∈ Z. 21.2. а) m 2 − 1. 21.4. а) 1/8. б) 1/8. 21.6. а) − √ 6/3. б) √ 6/4. в) 0 6 a < 2 arcsin( √ 6/4). 22.7. а) cos(11h/2) cos(x + 5h) cos(h/2) . б) sin 50x sin(101x/2) cos(x/2) 23.1. Годится, например, та же граница 0 6 h 6 0,1. 24.1. б) (−1) n · 2 arcsin 9 − √ 33 8 + 2πn, n ∈ Z. 24.2. а) ± π 3 + 2πn, n ∈ Z. б) πn, n ∈ Z. 24.3. Объединение прямых, заданных уравнениями y = x и y = = 10x/3. 24.4. 1 ± √ 5 2 ; 1 ± √ 17 8 24.5. а) arctg 5 ± √ 53 14 + πn, n ∈ Z. в) π + 2πn; π 2 + 2πk, n, k ∈ Z. д) − π 4 + πn, n ∈ Z. 24.6. a > 0. 24.7. а) πn; πk 4 , n, k ∈ Z (на самом деле здесь можно было и не выписывать серии x = πn; см. § 25). в) πn 2 , n ∈ Z. е) − π 24 + πn 2 , π 12 + + πk 7 , n, k ∈ Z. 24.8. б) π 3 + (−1) n arcsin −1 ± √ 33 8 + 2πn, n ∈ Z. 24.9. а) 2πn, ± arccos − 3 4 + 2πk, n, k ∈ Z. в) π 2 + πn, (−1) n π 6 + 188 + πk, n, k ∈ Z. д) πn 2 , 2πk 7 , π 5 + 2πm 5 , n, k, m ∈ Z. ж) 2π 3 + πn, 4π 3 + + 2πk, n, k ∈ Z. 24.10. а) π 4 + πn 2 , π 6 + πk, n, k ∈ Z. в) (−1) n π 6 + πn, n ∈ Z. д) π + + 4πn, n ∈ Z. 24.11. К первой группе относятся тождества (а), (б), (г) и (е), ко второй группе относится тождество (д), к третьей — тождество (в). 24.13. а) 2πn, π 2 + 2πk, n, k ∈ Z. б) πn, arctg(5 ± √ 34) + πk, n, k ∈ Z. в) πn, π 3 + πk, π 6 + πm, n, k, m ∈ Z. г) arctg − 1 6 √ 3 − 1 6 ± 1 6 p 4 + 14 √ 3 + + πn, n ∈ Z. 25.1. а) πn 3 , n ∈ Z. г) π 10 + 2πn, 9π 10 + 2πk, 13π 10 + 2πm, 17π 10 + + 2πl, n, k, m, l ∈ Z. 25.2. а) − π 2 + 2πn, n ∈ Z. г) Решений нет. д) Решений нет. 25.3. а) 3π 4 + πn, n ∈ Z. г) 15π + 60πn, n ∈ Z. 25.4. а) 0. б) При рациональных a и только при них. 25.5. k = 2 + 5t, t ∈ Z. 25.6. а) x = −10 + 19t, y = 9 − 17t, t ∈ Z. б) Решений нет. в) Решений нет. 26.1. а) h − π 2 + 2πn; π 2 + 2πn i , n ∈ Z. д) − π 4 + πn 2 ; πn 2 , n ∈ Z. 26.2. а) h π 8 + πn; 3π 8 + πn i , n ∈ Z. в) h − π 3 + πn; π 3 + πn i , n ∈ Z. г) h π 4 + πn; π 2 + πn , n ∈ Z. 26.3. а) −π−arcsin 1 4 +2πn; arcsin 1 4 +2πn , n ∈ Z. б) − 1 3 arccos 2 9 + + 2πn 3 ; 1 3 arccos 2 9 + 2πn 3 , n ∈ Z. в) h − arcsin √ 10 10 + πn; arcsin √ 10 10 + + πn i , n ∈ Z. 26.4. а) (−π −1+2πn; 1+2πn), n ∈ Z. б) [3π −7+2πn; 7+2πn], n ∈ Z. в) (10 + 2πn; 8π − 10 + 2πn), n ∈ Z. 26.5. а) h arccos −3 + √ 17 4 + 2πn; 2π − arccos −3 + √ 17 4 + 2πn i , n ∈ Z. 26.6. а) h −1; 1 2 i . б) (cos 2; 1]. в) h −1; − sin 1 4 i . г) √ 3 3 ; 1 i 26.8. а) π 5 + πn; π 3 + πn i , 2π 5 + πn; 3π 5 + πn , h 2π 3 + πn; 4π 5 , n ∈ Z. б) h π 6 + 2πn; 11π 18 + 2πn i , h 23π 18 + 2πn; 35π 18 + 2πn i , n ∈ Z. в) 2π 3 + 189 + 2πn; arctg 2 3 + π + 2πn , 4π 3 + 2πn; arctg 2 3 + 2π + 2πn n ∈ Z. 28.1. i 5 = i, i 6 = −1, i 1999 = −i. 28.2. а) ( √ 3 + i) 3 = 8i. 28.3. 2 ± i. 28.4. а) 8 − 10i. б) −i. 28.7. 1, − 1 2 + i √ 3 2 , − 1 2 − i √ 3 2 28.8. ±(3 − 2i). 29.2. а) cos π 2 + i sin π 2 . в) 2 cos π 6 + i sin π 6 . г) cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π). 29.10. а) (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 б) cos 6ϕ = cos 6 ϕ − 15 cos 4 ϕ sin 2 ϕ + 15 cos 2 ϕ sin 4 ϕ − sin 6 ϕ. sin 6ϕ = = 6 cos 5 ϕ sin ϕ − 20 cos 3 ϕ sin 3 ϕ + 6 cos ϕ sin 5 ϕ. 30.4. а) πi + 2πin, n ∈ Z. 30.9. б) π 2 + πn, n ∈ Z. 30.10. Нет. 190 Предметный указатель Алгоритм Евклида 156 Аргумент комплексного числа 171 Арккосинус 48 Арккотангенс 51 Арксинус 46 производная 133 Арктангенс 50 производная 133 Бином Ньютона 175 Биссектриса 72–74 Векторная диаграмма 107 Векторы 79–97, 101, 105–108, 118, 121 вычитание 88 координатные 91 координаты 81, 91 нулевой вектор 85 определение 84 противоположный вектор 88 равенство 80 скалярное произведение 94–97 запись в координатах 96 определение 94 распределительный закон 94 сложение 86 запись в координатах 87 правило параллелограмма 88 умножение на число 89 запись в координатах 90 Вписанный угол 76 Вычитание векторов 88 Герона формула 71 Двойного угла формулы 109 Деление комплексных чисел 166, 167 геометрический смысл 172 Дополнительного угла формулы 11, 42 Евклида алгоритм 156 Комплексные числа аргумент 171 возведение в комплексную степень 181, 182 геометрическое изображение 167 деление 166, 167 геометрический смысл 172 извлечение корней 177–178 модуль 170 определение 167 сложение 167 геометрический смысл 169 сопряжение 169 тригонометрическая форма 171 умножение 166 геометрический смысл 172 191 Координатные векторы 91 Координаты вектора 81, 91 Корни из комплексных чисел 177–178 Косеканс 28 Косинус график 55–56 знаки 31 значения для некоторых углов 13 комплексного числа 184 малых углов 18, 131 общее определение 21, 27 острого угла 11 период 36 производная 23–24, 130 четность 42 Косинусов теорема 67, 95 Котангенс 28 график 62 нечетность 42 производная 132 Круг тригонометрический 25–27 Медиана 69 Минута угловая 15 Модуль комплексного числа 170 Модуляция 120 Муавра формула 174–175 Нулевой вектор 85 Ось тангенсов 30 Период 35 комплексной показательной функции 183 наименьший положительный 35 синуса и косинуса 36 тангенса и котангенса 36 Периодическая функция 35 Площадь треугольника, формулы: Герона 71 через две стороны и угол между ними 70 через радиус вписанной окружности 71 Показательная функция 179–181 Половинного угла формулы 111, 113 Понижения степени формулы 110 Правило параллелограмма 88 Преобразование произведения в сумму 117 Преобразование произведения в сумму 116 Преобразование суммы в произведение геометрический смысл 118 для углов, образующих арифметическую прогрессию 121 Преобразование суммы в произведение 117 Преобразование суммы в произведение 117 для углов, образующих арифметическую прогрессию 176 Приведения формулы 40 мнемоническое правило 41 Производная 126 обратных тригонометрических функций 133 связь с касательными 127 синуса и косинуса 128 тангенса и котангенса 132 Простейшие формулы 33 Противоположный вектор 88 Птолемея теорема 119 Работа силы 93 Равенство векторов 80 Радианная мера угла 192 определение 7 связь с градусной мерой 8 Региомонтана формулы 119 Секанс 28 Секунда угловая 15 Синус график 55 значения для некоторых углов 13 комплексного числа 184 малых углов 16, 29, 131 нечетность 42 общее определение 21, 27 острого угла 6 период 36 производная 129 Синусов теорема 77 Системы тригонометрических уравнений 147–148, 163 Скалярное произведение, см. векторы Сложение векторов 86 запись в координатах 87 правило параллелограмма 88 комплексных чисел 167 геометрический смысл 169 Сложения формулы 98, 99 Сопряженные комплексные числа 169 Среднеквадратичное значение 112 Тангенс геометрическое определение 30 график 61 знаки 32 значения для некоторых углов 13 малых углов 16 нечетность 42 общее определение 27 острого угла 9 половинного угла 113 производная 132 Тангенсов теорема 119 Теорема косинусов 95 о вписанном угле 76 Птолемея 119 синусов 77 тангенсов 119 Теорема косинусов 67 Тригонометрическая форма комплексного числа 171 Тригонометрические неравенства 156–161 использование графиков 159 метод интервалов 160 простейшие 156 Тригонометрические уравнения борьба с потерей корней 143–146 простейшие 45, 46, 49–51 cos x = a 49 ctg x = a 51 sin x = a 46 tg x = a 50 использование графиков 59, 61 Тригонометрический круг 25–27 Тройного угла формулы 110 Угловая минута 15 Угловая секунда 15 Умножение вектора на число 89 запись в координатах 90 комплексных чисел 166 геометрический смысл 172 Универсальная подстановка 114 Уравнение линейное неопределенное 153–156 193 однородное 137, 138 Формула вспомогательного угла 104 геометрический смысл 105 Герона 71 двойного угла использование в уравнениях 136, 138 Муавра 174–175 Эйлера 182 Формулы двойного угла 109 дополнительного угла 11, 42 половинного угла 111, 113 понижения степени 110 приведения 40 мнемоническое правило 41 простейшие 33 Региомонтана 119 сложения 98, 99 тройного угла 110 универсальной подстановки 114 Число e 181 Эйлера формула 182 Оглавление 1. Первое знакомство с тригонометрией 5 § 1. Как измерить крутизну 5 1.1. Синус 5 1.2. Измерение углов 7 § 2. Тангенс 9 § 3. Косинус 11 § 4. Малые углы 15 2. Начальные свойства тригонометрических функций 19 § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию 19 5.1. Часы и процессы 19 5.2. Скорость 22 § 6. Определение тригонометрических функций 24 6.1. Ось тангенсов 29 6.2. Знаки тригонометрических функций 30 § 7. Простейшие формулы 32 § 8. Периоды тригонометрических функций 34 § 9. Формулы приведения 38 § 10. Простейшие тригонометрические уравнения 43 § 11. Графики синуса и косинуса 53 § 12. Графики тангенса и котангенса 60 § 13. Чему равно sin x + cos x? 63 3. Решение треугольников 65 § 14. Теорема косинусов 65 § 15. Вокруг площади треугольника 69 195 § 16. Теорема синусов 74 4. Формулы сложения и их следствия 79 § 17. Векторы 79 17.1. Направленные отрезки и векторы 79 17.2. Сложение векторов 85 17.3. Вычитание и умножение на число 88 17.4. О векторах в физике 91 § 18. Скалярное произведение 93 § 19. Тригонометрические формулы сложения 96 § 20. Формула вспомогательного угла, или сложение ко- лебаний равной частоты . . . . . . . . . . . . . . . . 102 § 21. Двойные, тройные и половинные углы . . . . . . . . 108 § 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение . . . . . . . . . . . . . . . . 115 § 23. Производные тригонометрических функций . . . . . 123 5. Тригонометрия для абитуриентов 133 § 24. Как решать тригонометрические уравнения . . . . . 133 § 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге . . . . . 147 § 26. Как решать тригонометрические неравенства . . . . 155 § 27. Задачи на повторение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6. Комплексные числа 164 § 28. Что такое комплексные числа . . . . . . . . . . . . . 164 § 29. Модуль и аргумент комплексного числа . . . . . . . 169 § 30. Показательная функция и формула Эйлера . . . . . 178 Ответы и указания к некоторым задачам 185 Предметный указатель 191 Израиль Моисеевич Гельфанд, Сергей Михайлович Львовский, Андрей Леонович Тоом тригонометрия Издательство Московского Центра непрерывного математического образования АО «Московские учебники» Лицензия ИД №01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать Формат 60 × 90 1/16. Печать офсетная. Печ. л. 12,5. Тираж 10000 экз. Заказ № МЦНМО 121002, Москва, Большой Власьевский пер., 11 Отпечатано с готовых диапозитивов в АО «Московские учебники и картолитография» 125252, г. Москва, ул. Зорге, 15 |