Тригонометрия. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
Задача 18.1. Пусть a и b — ненулевые векторы. В каких случаях a·b положительно, в каких — отрицательно, а в каких равно нулю? Попробуем скалярно умножить вектор a на самого себя. Так как он образует сам с собой нулевой угол и cos 0 = 1, получаем, что скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: a · a = |a| 2 Рис. 18.3. В качестве примера применения свойств скалярного произведения дадим новое до- казательство теоремы косинусов. Для это- го рассмотрим треугольник ABC с углом ∠BAC = α и попробуем выразить сторону BC через AB и AC. Так как скалярное про- изведение вектора на себя равно квадрату его длины, то BC 2 = BC · BC; с другой стороны, если обозначить векторы AB = b и AC = c, то BC = c − b. Стало быть, BC 2 = BC · BC = (c − b)(c − b) = = c · c − b · c − c · b + (−b) · (−b) = = c · c − 2b · c + b · b = = AC 2 − 2b · c + AB 2 = AC 2 − 2AB · AC · cos α + AB 2 , что и утверждает теорема косинусов. Задача 18.2. Пусть a и b — векторы. Докажите формулу: a · b = (|a + b| 2 − |a| 2 − |b| 2 ). Указание. Можно вывести эту формулу из теоремы косинусов и определения скалярного произведения, можно и раскрыть скобки в равенстве |a + b| 2 = (a + b)(a + b). Задача 18.3. Пусть ABC — равносторонний треугольник и O — его центр. Докажите, что для любой точки M верно равенство M A 2 + M B 2 + M C 2 = OA 2 + OB 2 + OC 2 + 3 · M O 2 Указание. Положите M O = x, OA = a, OB = b, OC = c и вос- пользуйтесь тем, что M A 2 = M A · M A, M B 2 = M B · M B, M C 2 = M C · M C. 95 Давайте теперь выясним, как вычислять скалярное произве- дение векторов, если даны их координаты. Пусть a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ). Рассмотрим на плоскости единичные координатные векторы e 1 = (1; 0), e 2 = (0; 1), о которых шла речь в предыду- щем параграфе. Тогда a · b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 ) · (b 1 e 1 + b 2 e 2 ) = = a 1 a 2 (e 1 · e 2 ) + a 1 b 2 (e 1 · e 2 ) + a 2 b 1 (e 2 · e 1 ) + a 2 b 2 (e 2 · e 2 ). Однако же e 1 e 2 = e 2 e 1 = 0, так как e 1 и e 2 перпендикулярны; с другой стороны, e 1 e 1 = e 2 e 2 = 1; с учетом этих равенств полу- чаем, что a · b = a 1 b 1 + a 2 b 2 . Запишем эту формулу еще раз: Если a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ), то a · b = a 1 b 1 + a 2 b 2 Частный случай этой формулы (когда a 2 = 0) мы уже установили, когда доказывали распределительный закон для скалярного произведения. Задача 18.4. Выведите формулу, выражающую скалярное про- изведение векторов через их координаты, используя результат задачи 18.2 § 19. Тригонометрические формулы сложения Формула, выражающая скалярное произведение векторов через их координаты, — это главное, ради чего мы занялись векторами. Рис. 19.1. Сейчас мы будем пожинать плоды нашей работы. Для начала давайте научимся на- ходить синус и косинус суммы чисел, если известны синус и косинус слагаемых. Нам будет удобнее начать с формулы для коси- нуса разности. Итак, пусть нам даны числа α и β. Рас- смотрим на тригонометрической окруж- ности точку A, соответствующую числу α, и точку B, соответствующую числу β (рис. 19.1 ). Обозначим начало координат буквой Z и рассмотрим векторы a = ZA, 96 b = ZB. Из определения тригонометрических функций ясно, что координаты векторов a и b таковы: a = (cos α; sin α); b = = (cos β; sin β). Стало быть, скалярное произведение векторов a и b равно, по формуле из предыдущего параграфа, a · b = cos α cos β + sin α sin β. С другой стороны, длина каждого из векторов a и b равна едини- це, а угол между ними равен α − β (точнее говоря, (α − β) + 2πn для некоторого целого n, так как число α − β может оказаться от- рицательным или б´ ольшим π). Так или иначе косинус угла между векторами a и b равен cos(α − β), так что a · b = |a| · |b| · cos(α − β) = = cos(α − β). Сопоставляя два выражения для a · b, получаем: cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Чтобы получить теперь формулу для косинуса суммы, надо в формулу для cos(α − β) подставить −β вместо β: cos(α + β) = cos(α − (−β)) = = cos α cos(−β) + sin α sin(−β) = = cos α cos β − sin α sin β. Чтобы получить формулы для синуса суммы и разности, восполь- зуемся формулами приведения. Вот формула синуса суммы: sin(α + β) = cos(π/2 − (α + β)) = = cos((π/2 − α) − β) = = cos(π/2 − α) cos β + sin(π/2 − α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β. Аналогичным способом получается и формула синуса разности. Предлагаем вам вывести ее самостоятельно и свериться с ответом: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β; cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. 97 Из формул для синуса и косинуса суммы и разности получа- ются и формулы для тангенса суммы и разности. Вот, например, как получается формула для тангенса суммы: tg(α + β) = sin(α + β) cos(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β − sin α sin β = = (sin α cos β + cos α sin β)/ cos α cos β (cos α cos β − sin α sin β)/ cos α cos β = = (sin α/ cos α) + (sin β/ cos β) 1 − (sin α sin β/ cos α cos β) = = tg α + tg β 1 − tg α tg β Выпишем еще раз формулы для тангенса суммы и разности: tg(α + β) = tg α + tg β 1 − tg α tg β ; tg(α − β) = tg α − tg β 1 + tg α tg β В этой книжке уже шла речь о периодических, или колебатель- ных, процессах. В простейшем и типичном случае колебательного процесса график зависимости величины (скажем, силы тока) от времени является синусоидой. Если отсчитывать время от того момента, когда значение величины равно нулю, то зависимость величины u, совершающей колебания, от времени t задается фор- мулой u = A sin ωt, где A и ω — постоянные. В общем же случае, когда отсчет времени начинается через время τ после этого мо- мента, вместо t в формулу надо будет подставить t + τ , и фор- мула примет вид u = A sin ω(t + τ ) = A sin(ωt + ϕ), где через ϕ мы обозначили величину ωτ . Постоянные ω, A и ϕ называют- ся соответственно частотой, амплитудой и фазой, и этими тремя параметрами синусоидальное колебание полностью определяется. Амплитуда показывает, какого наибольшего значения достигает величина в процессе колебаний, а фаза показывает, на каком эта- пе колебаний мы начали отсчет времени: если ϕ = 0, то в момент, когда u = 0, а если, допустим, ϕ = π/2, то в момент, когда u достигло наибольшего значения. 98 Если преобразовать выражение u = A sin(ωt + ϕ), то мы полу- чим: u = A cos ϕ sin ωt + A sin ϕ cos ωt = P sin ωt + Q cos ωt, где P = A cos ϕ, Q = A sin ϕ — постоянные. Учитывая, что вместо Рис. 19.2. cos ωt можно написать sin(ωt+π/2), получаем, что всякое синусоидальное колебание можно представить в виде суммы колебаний с фаза- ми 0 и π/2. Задача 19.1. Если α, β и α + β — острые уг- лы, то формулу для синуса суммы можно по- лучить геометрически, без всяких векторов. Сделайте это, руководствуясь рис. 19.2 Задача 19.2. а) Докажите тождество tg α + tg β = sin(α + β) cos α cos β б) Выведите аналогичное тождество для ctg α + ctg β. Задача 19.3. Докажите тождество sin α + sin(α + 120 ◦ ) + sin(α − 120 ◦ ) = 0. Задача 19.4. Найдите значения следующих выражений: а) cos 78 ◦ cos 18 ◦ + cos 12 ◦ cos 72 ◦ ; б) cos 76 ◦ cos 31 ◦ + cos 14 ◦ cos 59 ◦ ; в) tg 22 ◦ + tg 113 ◦ 1 + tg 158 ◦ ctg 23 ◦ Задача 19.5. а) Найдите sin α, если sin(π/6 + α) = 4/5, π/2 6 6 α 6 π/2. б) Дано, что 0 < α < β < π/2, tg α + tg β = 3, tg(α + β) = −3. Найдите α. Задача 19.6. Докажите тождества: 99 а) arctg 2 + arctg 3 = 3π/4; б) arctg 1 3 + arctg 1 5 + arctg 1 7 + arctg 1 8 = π/4. Задача 19.7. а) Докажите тождество sin(60 ◦ − α) + sin α = sin(60 ◦ + α). б) Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность. На дуге BC взята точка M . Докажите, что AM = BM + CM . Задача 19.8. Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей равно a, общая хорда видна из центров под углами 90 ◦ и 60 ◦ . Найдите радиусы окружностей. Задача 19.9. Остроугольный треугольник вписан в окружность радиусом 10 . Центр окружности удален от двух сторон треуголь- ника на 2 √ 5 и 8 . Чему равно расстояние от центра окружности до третьей стороны треугольника? Задача 19.10. а) На клетчатой бумаге нарисован треугольник, вер- шины которого расположены в узлах (точках пересечения линий). Докажите, что тангенсы углов этого треугольника являются ра- циональными числами. б) Докажите, что на клетчатой бумаге нельзя нарисовать рав- носторонний треугольник с вершинами в узлах. Задача 19.11. Величина u зависит от времени t по закону u = P cos ωt + Q sin ωt. Сдвинем начало отсчета на постоянную величину τ (то есть под- ставим t = t 0 + τ и выразим u через t 0 ); получится формула u = P 0 cos ωt 0 + Q sin ωt 0 . Выразите P 0 и Q 0 через P , Q и число ϕ = ωτ . Если говорить не о колебательных процессах, а просто о функциях, то эта задача говорит, что функция y = a sin x + b cos x после сдвига ар- гумента на постоянное число c (замены x на x + c) остается функцией того же вида, только с другими коэффициентами a и b. Существует и более простой пример такого рода: показательная функция y = ka x 100 Рис. 19.3. после замены x на x + c остается функцией того же вида, только с дру- гим коэффициентом k. Великий математик XVIII века Леонард Эйлер открыл, что эти два примера — фактически одно и то же. У нас пойдет об этом речь, когда мы займемся комплексными числами. Задача 19.12. Точку M , имеющую координаты (x; y), поверну- ли относительно начала координат на угол ϕ в положительном направлении. Получилась точка M 0 (рис. 19.3 ). Каковы ее коор- динаты? Указание. Если e 1 и e 2 — единичные координатные векторы, то OM = xe 1 + ye 2 ; пусть e 1 0 и e 2 0 — векторы, полученные из e 1 и e 2 соответственно поворотом на угол ϕ (относительно нача- ла координат в положительном направлении). Тогда, очевидно, OM 0 = xe 1 0 + ye 2 0 Формулы, выражающие координаты точки M 0 через координаты точки M , совпадают с формулами из предыдущей задачи, выражающими P 0 и Q 0 через P и Q. Причины такого совпадения мы обсудим в следующем параграфе. Задача 19.13. а) Пусть a и b — положительные числа, меньшие 1. Покажите, что arctg a + arctg b = arctg a + b 1 − ab б) Что нужно подставить вместо многоточия в правую часть равенства arcsin a + arcsin b = arcsin(. . .), 101 чтобы получилось тождество, верное при всех достаточно малых положительных a и b? § 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты Повторить: § 13: Чему равно sin x + cos x? В предыдущем параграфе мы с помощью формул сложения перешли от записи колебаний в виде u = A sin(ωt+ϕ) к записи u = = P cos t + Q sin t. Давайте теперь научимся переходить от второй записи к первой. Если вместо t написать α, то задача будет такова: дано выра- жение P sin α + Q cos α; требуется найти такие числа A и ϕ, чтобы выполнялось тождество P sin α+Q cos α = A sin(α+ϕ) (мы можем, очевидно, считать, что P и Q не равны одновременно нулю). Предположим сначала, что нам удалось найти такое ϕ, что P = cos ϕ, Q = sin ϕ. Тогда наша задача решалась бы просто: P sin α + Q cos α = cos ϕ sin α + sin ϕ cos α = sin(α + ϕ). Однако в общем случае такого числа может и не существовать: ведь если P = cos ϕ, Q = sin ϕ, то P 2 + Q 2 = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1, а сумма квадратов двух произвольных чисел P и Q равняться единице не обязана. Поэтому применим небольшой трюк, а именно умножим и поделим наше выражение на p P 2 + Q 2 : P sin α+Q cos α = p P 2 + Q 2 P p P 2 + Q 2 sin α+ Q p P 2 + Q 2 cos α Заметим, что P p P 2 + Q 2 2 + Q p P 2 + Q 2 2 102 Стало быть, точка с координатами P √ P 2 +Q 2 ; Q √ P 2 +Q 2 лежит на тригонометрической окружности; пусть ϕ — какое-нибудь из соот- ветствующих ей чисел. Тогда выполнены равенства cos ϕ = P p P 2 + Q 2 , sin ϕ = Q p P 2 + Q 2 , и наше выражение запишется так: P sin α + Q cos α = p P 2 + Q 2 (cos ϕ sin α + sin ϕ cos α) = = p P 2 + Q 2 sin(α + ϕ). Итак, наша цель достигнута. Если числа P и Q не равны 0, то P sin α + Q cos α = p P 2 + Q 2 sin(α + ϕ), где cos ϕ = P √ P 2 +Q 2 , sin ϕ = Q √ P 2 +Q 2 Эта формула называется формулой вспомогательного угла (вспо- могательный угол — это ϕ). Если поделить друг на друга выражения для sin ϕ и cos ϕ, то получится равенство tg ϕ = Q/P , так что возникает искушение написать попросту ϕ = arctg(Q/P ). К сожалению, так писать можно только если P > 0: в этом случае точка, соответствующая ϕ, лежит правее оси ординат, и поэтому ей соответствует число из интервала (−π/2; π/2), в котором лежат арктангенсы всех углов. Если P < 0, то это уже не так (тогда в качестве ϕ годится число arctg((Q/P ) + π)). Теперь мы можем довести до конца исследование функции y = sin x + cos x, начатое в § 13. Если преобразовать выражение sin x + cos x по нашему рецепту, то получится вот что: sin x + cos x = √ 2 1 √ 2 sin x + 1 √ 2 cos x = = √ 2(sin x · cos(π/4) + sin(π/4) cos x) = √ 2 sin(x + π/4). 103 а) б) Рис. 20.1. Стало быть, график нашей функции — действительно синусоида; заодно мы еще раз убеждаемся, что наибольшее значение выра- жения sin x + cos x равно √ 2, а наименьшее значение равно − √ 2. Задача 20.1. Постройте графики функций: а) y = sin x + cos x; б) y = sin x − cos x; в) y = sin x − √ 3 cos x. Задача 20.2. Найдите множество значений функции y = sin x − − 2 cos x. Задача 20.3. Решите уравнения: а) 6 cos x − 5 sin x = 8; б) sin x + cos x = 1. Нашу формулу вспомогательного угла можно получить и гео- метрически. Напомним для начала, что вектор длины r, образу- ющий с осью абсцисс угол α, имеет координаты (r cos α; r sin α) (рис. 20.1 а). Теперь рассмотрим вектор OA, имеющий длину P и образую- щий с осью абсцисс угол α, и перпендикулярный ему вектор OB, имеющий длину Q и образующий с осью абсцисс угол α + π/2 (рис. 20.1 б). Тогда OA = (P cos α; P sin α), OB = (−Q sin α; Q cos α) (второе равенство вытекает из формул приведения sin(α + π/2) = = cos α, cos(α + π/2) = − sin α), откуда OA + OB = (P cos α − Q sin α; P sin α + Q cos α). 104 Однако сумму можно найти и по правилу параллелограмма: OA+ + OB = OC, где точка C — вершина прямоугольника OACB. По теореме Пифагора имеем OC = √ OA 2 + OB 2 = p P 2 + Q 2 ; если обозначить ∠AOC через ϕ, то вектор OC образует с осью абсцисс угол α + ϕ, откуда OC = p P 2 + Q 2 cos(α + φ); p P 2 + Q 2 sin(α + φ) . Приравнивая ординаты векторов OC и OA + OB, получаем, что P sin α + Q cos α = p P 2 + Q 2 sin(α + ϕ). Угол ϕ найдем также геометрически: из прямоугольного треуголь- ника OAC видим, что tg ϕ = AC/OA = Q/P . Это также согласу- ется с предыдущими результатами (напомним, что числа P и Q положительны). Задача 20.4. Если приравнять абсциссы векторов OC и OA + OB, то для положительных P и Q получится формула P cos α − Q sin α = p P 2 + Q 2 cos(α + ϕ), где ϕ = arctg(Q/P ). Выведите эту формулу, не используя векто- ров. Прием, которым мы воспользовались, позволяет придать гео- метрический смысл и другим тригонометрическим выкладкам. Давайте, например, упростим выражение sin α + sin(α + 120 ◦ ) + +sin(α−120 ◦ ) (задача 19.3 из предыдущего параграфа). Для этого отложим от начала координат следующие три вектора a, b и c, со- ответствующие точкам α, α − 120 ◦ , α − 120 ◦ тригонометрической окружности: a = (cos α; sin α), b = (cos(α − 120 ◦ ); sin(α − 120 ◦ )), c = (cos(α + 120 ◦ ); sin(α + 120 ◦ )) (рис. 20.2 а). Если искать сумму a + b + c геометрически (откладывая b от конца a и т. д.), то ясно, что наша ломаная из трех звеньев замкнется в правильный тре- угольник, так что a + b + c = 0 (рис. 20.2 б). Записывая же сумму a + b + c в координатах, получаем равенства sin α + sin(α + 120 ◦ ) + sin(α − 120 ◦ ) = 0, cos α + cos(α + 120 ◦ ) + cos(α − 120 ◦ ) = 0. 105 а) б) Рис. 20.2. а) б) Рис. 20.3. Векторные диаграммы. Таким образом, мы доказали тождество из задачи 19.3 (а заодно и аналогичное тождество для косинусов). Впрочем, в данном слу- чае ничего не стоит доказать эти тождества без всяких векторов, с помощью формул сложения. Приведем более серьезный пример. Рассмотрим синусоидальное колебание с амплитудой A > 0, частотой ω и фазой ϕ: u = A sin(ωt + ϕ). Тогда значение u в мо- мент времени t есть ордината вектора длины A, образующего угол ωt + ϕ с осью абсцисс. Иными словами, значение u в момент t равно ординате вектора длины A, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью ω. На рисунках принято изобра- жать положение этого вращающегося вектора в момент t = 0. При этом угол, образованный им с осью абсцисс, будет равняться фа- зе (рис. 20.3 а). Рассмотрим теперь два колебания одной частоты: 106 u 1 = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ), u 2 = A 2 sin(ωt + ϕ 2 ). Как найти амплитуду и фазу их суммы u 1 + u 2 ? Если изобразить u 1 и u 2 вращающи- мися векторами, то очевидно, что сумма этих векторов также будет вращаться со скоростью ω, и u 1 + u 2 будет равно ордина- те их суммы. Стало быть, при изображении колебаний векторами сумме колебаний соответствует сумма векторов. В частности, из рис. 20.3 б и теоремы косинусов ясно, что длина суммы векторов равна pA 2 1 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ), так что A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) = = q A 2 1 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) sin(ωt + ψ), где угол ψ также может быть найден геометрически (например, с помощью теоремы синусов). При таком соответствии между колебаниями и векторами разложение A sin(ωt + ϕ) = P sin ωt + Q cos ωt соответствует разложению вектора на сумму векторов, параллельных осям абсцисс и ординат (так что коэффициенты P и Q — не что иное, как координаты вектора). Сдвиг начала отсчета времени на τ , в результате которого к фазе прибавляется число ωτ = ψ, соответствует повороту на угол ψ. Теперь становится понятным, почему полностью аналогичны ответы к задачам 19.11 и 19.12 Описанное нами изображение колебаний с помощью векторов применяется в электротехнических расчетах; там его называют методом векторных диаграмм. Задача 20.5. Рассмотрим колебания, заданные формулами u 1 = = A 1 sin ωt и u 2 = A 2 sin(ωt + ϕ). Найдите с помощью векторной диаграммы амплитуду и фазу для u 1 + u 2 107 § 21. Двойные, тройные и половинные углы Запишем формулы синуса, косинуса и тангенса суммы для част- ного случая, когда слагаемые равны. Получится вот что: sin 2α = sin(α + α) = sin α · cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos α cos α − sin α sin α = cos 2 α − sin 2 α; tg 2α = tg(α + α) = tg α + tg α 1 − tg α · tg α = 2 tg α 1 − 2 tg 2 α Стало быть, мы получили формулы, выражающие тригоно- метрические функции от 2α через тригонометрические функции от α: sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos 2 α − sin 2 α; tg 2α = 2 tg α 1 − tg 2 α Формулу для cos 2α можно немного преобразовать. Если заме- нить в ней sin 2 α на 1 − cos 2 α, то получится формула, выражаю- щая cos 2α через cos α: cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = cos 2 α − (1 − cos 2 α) = 2 cos 2 α − 1. Можно, наоборот, заменить cos 2 α на 1−sin 2 α. В итоге получается вот что: cos 2α = 2 cos 2 α − 1; cos 2α = 1 − 2 sin 2 α. Задача 21.1. Формулу cos 2α = 1 − 2 sin 2 α можно доказать (для острых углов α) геометрически. Сделайте это, найдя двумя раз- ными способами основание равнобедренного треугольника с углом при вершине 2α и боковой стороной 1. Задача 21.2. а) Пусть sin α + cos α = m; найдите sin 2α. б) Пусть sin α − cos α = n; найдите sin 2α. 108 Задача 21.3. Докажите тождество: cos α cos 2α cos 4α = sin 8α/8 sin α. Указание. Умножьте и поделите левую часть на 8 sin α. Задача 21.4. Найдите значения выражений, не используя кальку- лятор или таблицы: а) cos(π/9) cos(2π/9) cos(4π/9); б) sin 10 ◦ sin 50 ◦ sin 70 ◦ Подобно формулам для функций двойного угла, можно полу- чать формулы для синуса и косинуса 3α, 4α и т.д. Например: cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α − sin 2α sin α = = (cos 2 α − sin 2 α) cos α − 2 sin α cos α sin α = = cos 3 α − 3 sin 2 α cos α = (заменяем sin 2 α на 1 − cos 2 α) = cos 3 α − 3 sin 2 α cos α = cos 3 α − 3(1 − cos 2 α) cos α = = 4 cos 3 α − 3 cos α. Задача 21.5. Выведите вторую из нижеприведенных формул: cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α; sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α. Мы не будем выписывать формулы для синуса и косинуса nα при n, больших 3. Для небольших значений n читатель легко сде- лает это сам; как устроена формула для произвольного n, мы узнаем, когда познакомимся с комплексными числами. На наши формулы для cos 2α можно посмотреть и с другой стороны. Именно, выразим в этих формулах cos 2 α или sin 2 α че- рез cos 2α. Получается вот что: cos 2 α = 1 + cos 2α 2 ; sin 2 α = 1 − cos 2α 2 109 Эти формулы часто называют формулами понижения степе- ни; вот два их применения. Во-первых, давайте заменим всюду в этих формулах α на α/2. Получится вот что: cos 2 (α/2) = (1 + cos α)/2; sin 2 (α/2) = (1 − cos α)/2. Если теперь извлечь из обеих частей квадратные корни, то полу- чатся такие «формулы половинного угла»: cos α 2 = r 1 + cos α 2 sin α 2 = r 1 − cos α 2 Стало быть, если нам известен косинус числа α, то — с точностью до знака — мы можем найти также синус и косинус числа α/2. Если отбросить в формулах половинного угла знаки абсолют- ной величины и записать, например, cos α 2 = r 1 + cos α 2 , то по- лучится неверная формула: правая часть у нее всегда неотрица- тельна (по определению квадратного корня), а левая часть может быть отрицательной. Если мы знаем только значения тригоно- метрических функций от угла α, то для определения знаков sin α и cos α нужна дополнительная информация. Такая неоднозначность в определении значений функций половинного угла не удивительна: если мы знаем только sin α и cos α, то нам известно расположение точки, соответствующей числу α, на тригонометрической окружности, но узнать, где на окружности находится число α/2, без дополнительной информации нельзя: если числа α и β отличаются на 2π, то сами они занимают на тригонометрической окружности одно и то же место, а числа α/2 и β/2 диаметрально противоположны. Задача 21.6. а) Найдите cos(x/2), если cos x = 1/3, 2π < x < 3π. б) Найдите sin(x/2), если cos x = 1/4, 0 6 x 6 π. в) Пусть нам требуется найти sin(x/2), если cos x = 1/4 и a − |