Тригонометрия. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
§ 13. Чему равно sin x + cos x? В этом параграфе мы попытаемся решить такую задачу: какое самое большое значение может принимать выражение sin x+cos x? Ясно, что sin x + cos x 6 2 при всех x: ведь как sin x, так и cos x не превосходят 1. Впрочем, значения 2 ни при каком x получиться не может: чтобы так вышло, нужно, чтобы sin x и cos x оба равня- лись 1, а это невозможно, поскольку формула sin 2 x + cos 2 x = 1 говорит нам, что когда sin x = 1, тогда cos x = 0 (и вообще, что когда sin x велик, тогда cos x мал). Хорошо было бы найти такое x, для которого оба слагаемых как бы уравновесили друг друга: и то, и другое было бы не слишком велико. Советуем вам, прежде чем читать дальше, поискать такое x с помощью таблицы из § 3. Если вы правильно считали, у вас должно было выйти, что из всех x, входящих в эту таблицу, наибольшее значение sin x + cos x получается при x, близких к 45 ◦ , или, в радианной мере, к π/4. Если x = π/4, точное значение sin x+cos x равно √ 2. Оказывается, что наш результат, полученный экспериментальным путем, и в самом деле верен: при всех x верно неравенство sin x + cos x 6 √ 2, так что √ 2 — самое большое из значений, принимаемых этим выражением. Рис. 13.1. У нас еще не хватает средств, чтобы до- казать это неравенство наиболее естествен- ным способом. Пока что мы покажем, как свести его к задаче по планиметрии. 63 Если 0 < x < π/2, то sin x и cos x — катеты прямоугольного треугольника с ги- потенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ). Поэтому наша задача переформулируется так: доказать, что сум- ма длин катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 будет максимальной, если этот треугольник — равнобедренный. Задача 13.1. Докажите это утверждение. Так как у равнобедренного прямоугольного треугольника с ги- потенузой 1 сумма длин катетов равна √ 2, из результата этой задачи вытекает неравенство sin x + cos x 6 √ 2 для всех x, лежа- щих в интервале (0; π/2). Отсюда уже нетрудно заключить, что это неравенство выполнено и вообще для всех x. Результат задачи 13.1 верен не только для прямоугольных треугольни- ков. Задача 13.2. Докажите, что среди всех треугольников с данными вели- чинами стороны AC и угла ∠B наибольшая сумма AB + BC будет у равнобедренного треугольника с основанием AC. Вернемся к тригонометрии. Задача 13.3. Пользуясь таблицей синусов из § 3, постройте по точ- кам график функции y = sin x + cos x. Указание. Не забудьте, что x должен быть выражен в радианах; для значений x за пределами отрезка [0; π/2] воспользуйтесь фор- мулами приведения. Если вы все сделали правильно, у вас должна была полу- читься кривая, похожая на синусоиду. Позже мы увидим, что эта кривая не просто похожа, а является синусоидой. Научимся мы также находить и наибольшие значения таких выражений, как 3 sin x + 4 cos x (кстати, график функции y = 3 sin x + 4 cos x тоже является синусоидой!). 64 Глава 3 Решение треугольников § 14. Теорема косинусов Определения тригонометрических функций острых углов, кото- рые мы давали в начале нашей книжки, можно рассматривать как соотношения между сторонами и углами прямоугольного тре- угольника. В этой главе речь пойдет о произвольных треуголь- никах (не обязательно прямоугольных). Ход мыслей будет вот каким. С каждым треугольником связаны шесть чисел: величины трех сторон и трех углов. Между этими числами есть соотно- шения. Одно из этих соотношений вы уже знаете: сумма углов треугольника равна 180 ◦ . Если, например, два угла в треуголь- нике равны 75 ◦ и 55 ◦ , то третий угол уже не может быть каким попало, он обязательно равен 180 ◦ − 75 ◦ − 55 ◦ = 50 ◦ . Этим со- отношением, однако, дело не исчерпывается. Пусть, например, у некоторого треугольника мы знаем величины двух сторон и уг- ла между ними. Тогда, согласно одному из признаков равенства треугольников, оставшаяся сторона и остальные два угла уже пол- ностью определены. Наша цель — найти формулы, по которым они выражаются через уже известные стороны и угол. Другие признаки равенства треугольников также ведут к соот- ношениям между сторонами и углами, и эти соотношения также можно задать формулами. Кроме того, если известны стороны и углы треугольника, то этим однозначно определяются площадь 65 а) б) Рис. 14.1. треугольника, радиусы вписанной и описанной окружности и то- му подобное. Для них тоже имеет смысл поискать формулы, вы- ражающие их через стороны и углы треугольника. Начнем же мы как раз с соотношения, связанного с «первым признаком равенства треугольников» (по двум сторонам и углу между ними) 1 . Итак, пусть заданы две стороны a и b треугольни- ка и угол γ между ними. Попробуем выразить через эти данные длину третьей стороны. Обозначим эту сторону c. План действий таков: опустим высоту AM ⊥ BC (рис. 14.1 а — чертеж для случая, когда угол γ острый, 14.1 б — для случая, когда он тупой). По тео- реме Пифагора для треугольника AM B имеем c 2 = AM 2 + M B 2 ; если мы теперь выразим AM и M B через известные нам a, b и γ, то задача будет решена. Теперь конкретно: • Пусть угол γ острый (рис. 14.1 а). Тогда: AM = b sin γ (из прямоугольного треугольника AM C); CM = b cos γ (из того же треугольника); BM = BC − CM = a − b cos γ. Теперь по теореме Пифагора c 2 = AM 2 + BM 2 = (b sin γ) 2 + (a − b cos γ) 2 После упрощений, которые предоставляем вам провести са- мостоятельно, получаем: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ. 1 В некоторых учебниках этот признак имеет другой номер. 66 • Пусть угол γ тупой (рис. 14.1 б). Тогда: AM = b sin(180 ◦ − γ) = b sin γ; BM = BC + CM = a + b cos(180 ◦ − γ) = a − b cos γ. (мы воспользовались формулами приведения). Отсюда c 2 = AM 2 + BM 2 = (b sin γ) 2 + (a − b cos γ) 2 Получилось то же самое выражение, что и в первом случае; тем самым для всех случаев мы доказали такую формулу: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ. Эта формула называется теоремой косинусов. В нашем доказательстве мы не рассмотрели случай, когда угол γ прямой. В этом случае теорема косинусов также верна и, более то- го, была вам уже известна: если γ = 90 ◦ , то cos γ = 0, и теорема косинусов приобретает вид c 2 = a 2 +b 2 , то есть сводится к обычной теореме Пифагора. Итак, часть программы по переводу первого признака равен- ства треугольников на язык формул мы выполнили: формула для вычисления третьей стороны по двум сторонам и углу между ними у нас уже есть. Надо еще найти два оставшихся угла тре- угольника, при том что один из углов и все стороны мы уже знаем. Собственно говоря, угол даже и не нужен: «третий признак ра- венства треугольников» гласит, что треугольник полностью опре- деляется своими тремя сторонами 1 Стало быть, зададимся такой задачей: даны три стороны тре- угольника, найти его углы. Оказывается, ее решение дает та же теорема косинусов: надо только в формуле, выражающей эту тео- рему, выразить cos γ через a, b и c: cos γ = a 2 + b 2 − c 2 2ab ; cos β = a 2 + c 2 − b 2 2ac ; cos α = b 2 + c 2 − a 2 2bc Вторая и третья формулы получаются аналогично первой. 1 В некоторых учебниках этот признак также идет под другим номером. 67 Мы нашли не сами углы, а только их косинусы, но углы тре- угольника этим полностью определяются: когда α меняется от 0 ◦ до 180 ◦ (то есть от 0 до π радиан), значение cos α изменяется от 1 до −1, принимая каждое значение ровно один раз. Таким образом, можно записать: α = arccos b 2 + c 2 − a 2 2bc Задача 14.1. В треугольнике со сторонами a, b и c против стороны c лежит угол γ. Докажите, что угол γ острый тогда и только тогда, когда a 2 + b 2 > c 2 , и тупой тогда и только тогда, когда a 2 + b 2 < c 2 Рис. 14.2. С помощью теоремы косинусов легко по- лучить формулу, выражающую длину меди- аны треугольника через длины его сторон. Именно, пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a, AC = b, и пусть AM — медиана, проведенная к стороне BC. Чтобы найти ее длину, заметим, что по теореме ко- синусов для треугольника ABM (рис. 14.2 ) имеем AM = p AB 2 + BM 2 − 2AB · BM · cos β = = r c 2 + a 2 4 − ac cos β. С другой стороны, по теореме косинусов уже для всего треуголь- ника ABC имеем cos β = a 2 + c 2 − b 2 2ac Подставляя это в предыдущую формулу, получим (после упроще- ний) вот что: 68 В треугольнике со сторонами a, b и c длина медианы, проведен- ной к стороне a, равна 1 2 p 2b 2 + 2c 2 − a 2 В задаче 14.4 мы предложим другой способ вывода этой фор- мулы. Задача 14.2. Докажите что сумма квадратов диагоналей парал- лелограмма равна сумме квадратов его сторон. Задача 14.3. Две стороны треугольника равны b и c, угол между ними равен α. Докажите, что длина медианы, проведенной к тре- тьей стороне, равна 1 2 √ b 2 + c 2 + 2bc cos α. Указание. Достройте треугольник до параллелограмма. Задача 14.4. Используя результат задачи 14.2 , дайте новое дока- зательство формулы, выражающей медиану треугольника через три его стороны. Задача 14.5. В треугольнике ABC даны стороны AB = c, BC = = a, AC = b. Точка M выбрана на стороне BC таким образом, что BM/M C = 1/2. Найдите длину отрезка AM . § 15. Вокруг площади треугольника Пусть опять в треугольнике известны стороны a и b и угол между ними γ. Выразим через эти данные — которые полностью опреде- ляют треугольник — его площадь. Для этого опустим из вершины A высоту AM ⊥ BC (рис. 15.1 а); пусть AM = h. Как известно, площадь треугольника равна ah/2. С другой стороны, если угол γ острый, то из прямоугольного треугольника AM C находим, что h = b sin γ (рис. 15.1 а); если же угол γ тупой (рис. 15.1 б), то из треугольника AM C опять же получаем h = b sin(180 ◦ − γ) = b sin γ. Стало быть, в любом случае площадь равна 1 2 ah = 1 2 ab sin γ. 69 а) б) Рис. 15.1. Площадь треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Мы пропустили случай, когда угол γ прямой. В этом случае sin γ = 1, и формула принимает вид S = 1 2 ab, что, очевидно, спра- ведливо. Задача 15.1. Докажите, что площадь четырехугольника равна по- ловине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Задача 15.2. Диагонали четырехугольника делят его на четыре треугольника, площади которых равны S 1 , S 2 , S 3 и S 4 (рис. 15.2 ). Докажите, что S 1 S 3 = S 2 S 4 Рис. 15.2. Итак, мы знаем, как находить пло- щадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними. А что де- лать, если даны три стороны a, b и c? Надо найти угол между сторонами a и b, бла- го мы это уже умеем. Точнее, нам нужен не сам угол, а его синус. Его мы най- дем так: из теоремы косинусов запишем cos γ = a 2 + b 2 − c 2 2ab и воспользуемся фор- мулой sin γ = p 1 − cos 2 γ (для произвольных γ, как вы помните, в правой части может стоять минус, но если γ — угол в пределах от 0 ◦ до 180 ◦ , то sin γ > 0, так что в этом случае минус не нужен). 70 Подставляя все это в нашу формулу для площади треугольника, получим вот что (S — площадь треугольника): S = ab 2 · s 1 − a 2 + b 2 − c 2 2ab 2 Это выражение можно преобразовать к более приятному виду. Для этого обозначим буквой p величину (a+b+c)/2 (p — половина периметра треугольника, коротко — полупериметр). Тогда после упрощений получим: Площадь треугольника со сторонами a, b и c равна pp(p − a)(p − b)(p − c), где p = (a + b + c)/2. Эта формула называется формулой Герона. Задача 15.3. Проведите преобразования, с помощью которых из нашей формулы для площади получается формула Герона. Существует полезная формула, связывающая площадь тре- угольника с радиусом вписанной в него окружности. Именно, пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC со сторо- нами AB = c, BC = a, CA = b, r — ее радиус. Расстояние от O до каждой из сторон треугольника равно, очевидно, r (рис. 15.3 ). Поэтому, если разбить наш треугольник на треугольники AOB, BOC и COA, то высоты, опущенные в них из точки O, все равны r; следовательно, площади этих треугольников равны cr/2, ar/2 и br/2, а площадь всего треугольника ABC равна cr/2 + ar/2 + br/2 = (a + b + c)/2 · r = pr, где p — полупериметр. Словами: Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Задача 15.4. Даны стороны a, b, c треугольника. Найдите: а) радиус вписанной окружности; б) высоту, опущенную на сторону a. 71 а) б) Рис. 15.3. Рис. 15.4. Задача 15.5. Пусть стороны треугольника равны a, b, c. Найдите радиус окружности, касающейся сто- роны a и продолжений сторон b и c. (Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продол- жений двух других сторон, называется вневписан- ной окружностью — рис. 15.4 .) Мы уже умеем находить медианы, площадь, высоты и радиус Рис. 15.5. Теорема о биссек- трисе. вписанной окружности треугольни- ка по его трем сторонам (или по двум сторонам и углу между ними). Давайте научимся находить и бис- сектрису треугольника. Основным средством у нас будет такая теоре- ма: Теорема. Если AM — биссектри- са угла A в треугольнике ABC (рис. 15.5 ), то BM/CM = AB/AC. Словами эту теорему можно сфор- мулировать так: «биссектриса угла в треугольнике делит проти- воположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам». Проще всего доказать эту теорему, используя площади. Имен- но, обозначим AB = c, AC = b, AM = l, ∠BAC = α, BM = x, 72 Рис. 15.6. CM = y. Биссектриса AM делит треугольник ABC на два: ABM и ACM . Найдем двумя способами отношение их площадей. Тре- угольники ABM и ACM имеют общую высоту h, поэтому их площади пропорциональны основаниям: площадь ABM площадь ACM = x y С другой стороны, так как AM — биссектриса, то ∠BAM = ∠CAM = α/2. Пользуясь нашей формулой для площади, получаем: площадь ABM площадь ACM = c b Сопоставляя два выражения для отношения площадей треуголь- ников ABM и ACM , получаем, что x/y = c/b, или BM/CM = = AB/CB, что и утверждалось. Задача 15.6. а) В треугольнике со сторонами AB = c, BC = a, CA = b проведена биссектриса AM угла A. Чему равны отрезки BM и M C? б) В каком отношении точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла A этого же треугольника? Задача 15.7. Стороны треугольника равны 7, 8 и 12. Найдите дли- ну биссектрисы 1 , проведенной к стороне длиной 12. 1 Замечание для педантов: под длиной биссектрисы в треугольнике пони- мают длину отрезка биссектрисы от вершины угла до пересечения с проти- воположной стороной. 73 Задача 15.8. В треугольнике биссектриса угла между сторонами длиной a и b имеет длину l и делит противоположную сторону на отрезки длиной x и y. Докажите формулу: l 2 = ab − xy. Задача 15.9. В треугольнике ABC биссектриса угла, смежного к углу BAC, пересекает прямую BC в точке M (рис. 15.6 ). Дока- жите, что M B/M C = AB/AC. Задача 15.10. Высоты треугольника равны 2, 3 и 4. Найдите углы этого треугольника. § 16. Теорема синусов Мы уже перевели на язык формул первый и третий признаки равенства треугольников (то есть мы можем восстановить все эле- менты треугольника, если даны две его стороны и угол между Рис. 16.1. ними или же три стороны). А те- перь давайте выясним, какие формулы будут соответствовать второму при- знаку равенства треугольников, кото- рый гласит, что треугольник полно- стью определяется стороной и двумя прилежащими к ней углами. Чтобы получить соответствующие формулы, рассмотрим стороны a и b треуголь- ника ABC, выходящие из вершины C, и опустим из C высоту h на сторону AB (рис. 16.1 ). Тогда h = a sin β (независимо от того, будет ли чертеж таким, как на рисун- ке, или же угол β будет тупым или прямым). Точно так же можно записать равенство h = b sin α. Значит, a sin β = b sin α, откуда, де- ля обе части на sin α sin β, получаем равенство a/ sin α = b/ sin β: отношение длины стороны к синусу противолежащего угла будет одно и то же для стороны a и стороны b. Однако то же самое можно сделать и для любых двух сторон, так что эти отношения для всех трех сторон равны. Получилось у нас вот что: 74 Теорема синусов (предварительная форма). Если в треуголь- нике против сторон a, b, c лежат углы α, β, γ соответственно, то a sin α = b sin β = c sin γ Задача 16.1. К стороне a треугольника прилегают углы β и γ. а) Найдите остальные стороны и углы этого треугольника. б) Найдите площадь этого треугольника. Рис. 16.2. В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присут- ствует недоговоренность: мы узна- ли, что отношения сторон к сину- сам противолежащих им углов рав- ны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы отве- тить на этот вопрос, вспомним кое- что из геометрии. Для начала вспомним, как свя- заны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из равнобедренного треугольника ABO на рис. 16.2 видно, что если дуга AB имеет угловую величину α, а радиус окружности ра- вен R, то AB = 2 · AM = 2R sin(α/2) (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, допол- няющей дугу AB до полной окружности, равна β = 360 ◦ − α и sin(β/2) = sin(180 ◦ − α/2) = sin(α/2), так что формулой можно пользоваться для любых дуг). Второй факт из геометрии, который нам понадобится, — это теорема о вписанном угле. Пусть на окружности даны дуга AB и точка M , не лежащая на ней (рис. 16.3 а), тогда угол AM B назы- вается вписанным углом 1 , опирающимся на дугу AB. Теорема о 1 Если дуга AB больше половины окружности, угол AM B становится боль- ше 180 ◦ , что нынешние учебники запрещают. Мы опускаем необходимые уточнения. 75 а) б) Рис. 16.3. Вписанные углы вписанном угле гласит, что величина вписанного угла равна по- ловине угловой величины дуги, на которую он опирается. Из этой теоремы следует, в частности, что величина угла AM B, где точ- ки A, M , B лежат на одной окружности, полностью определяется дугой AB и не зависит от положения точки M вне дуги AB: на рис. 16.3 б углы AM 1 B, AM 2 B, AM 3 B, и т. д. равны. Рис. 16.4. Теперь, когда в нашем распоряжении есть теорема о вписанном угле, мы можем нако- нец уточнить теорему синусов. Именно, рас- смотрим треугольник ABC с углами ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ и сторонами AB = c, BC = a, CA = b, и опишем около него окруж- ность. Радиус окружности обозначим через R (рис. 16.4 ). В этой окружности длина хорды BC равна, как мы видели, 2R sin( ^ BC /2) (име- ется в виду та из дуг BC, что не содержит точки A). С другой стороны, по теореме о впи- санном угле ^ BC /2 = α, хорда же BC — не что иное, как сторона a треугольника ABC. Подставляя эти равенства в выражение для BC, получаем, что a = 2R sin α, или a/ sin α = 2R. Проделывая то же для двух других сторон, получаем: 76 Если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы α, β, γ соответственно, то a sin α = b sin β = c sin γ = 2R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника. Задача 16.2. Треугольник с углами α, β, γ вписан в окружность радиуса R. Найдите площадь треугольника. Задача 16.3. а) Докажите, что площадь треугольника со сторона- ми a, b и c, вписанного в окружность радиуса R, равна abc/4R. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольни- ка со сторонами a, b и c. Задача 16.4. Сторона квадрата ABCD равна a. Найдите радиус окружности, проходящей через вершину A, центр квадрата и се- редину стороны BC. Задача 16.5. В окружности проведены три хорды, каждая из кото- рых пересекается с двумя другими. Каждая из этих хорд делится точками пересечения на три отрезка равной длины a. Найдите радиус окружности. Задача 16.6. Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных око- ло этих треугольников, одинаковы и равны R. Найдите стороны четырехугольника. Задача 16.7. В круг радиуса R вписана трапеция, основания ко- торой видны из центра под углами α и β. Найдите площадь тра- пеции. Задача 16.8. Диагонали трапеции, вписанной в круг радиуса R, образуют с ее боковыми сторонами углы α и 2α. Найдите площадь трапеции. Задача 16.9. Вокруг треугольника ABC со стороной BC = a и уг- лами ∠ABC = β и ∠ACB = γ, описана окружность. Биссектриса угла A пересекает окружность в точке K. Найдите длину хорды AK. 77 Задача 16.10. Внутри угла величины α лежит точка, находящаяся на расстояниях m и n от сторон угла. Найдите ее расстояние от вершины угла. 78 Глава 4 Формулы сложения и их следствия § 17. Векторы Повторить: Свойства параллелограмма. Прямоугольные координаты на плоскости (по любому пособию). 17.1. Направленные отрезки и векторы Чтобы как следует понять важный раздел тригонометрии, которо- му посвящена эта глава, нам придется познакомиться с векторами на плоскости. Рис. 17.1. Давайте рассматривать отрезки, у которых один из концов назван началом отрезка (а дру- гой так и остался концом). Такие отрезки на- зываются направленными отрезками. На чер- тежах их принято изображать в виде стрелки, идущей от начала отрезка к его концу. Направ- ленный отрезок с началом A и концом B обозначается AB. Главное отличие направленных отрезков от обычных — это то, в каких случаях два направленных отрезка считаются равными. 79 Рис. 17.2. AB = CD = KL. Если обычные отрезки равны в том случае, когда равны их длины, то для направленных отрезков мы будем учитывать еще и направ- ление. Именно: Определение. Два направленных отрезка AB и CD считаются равными, если: 1) Равны их длины, т. е. AB = CD; 2) Прямые AB и CD параллельны (или совпадают), и при этом отрезки AB и CD направлены в одну сторону. Например, на рис. 17.2 длины направленных отрезков AB, CD, KL, P Q и M N равны друг другу; тем не менее верны только равенства AB = CD = KL; направленные отрезки P Q и M N не равны друг другу и этим трем (P Q хоть и лежит на прямой, па- раллельной AB, но направлен в сторону, противоположную AB). Рис. 17.3. Если два направленных отрезка не лежат на одной прямой, то определение их равенства можно сформулировать и короче: AB = CD тогда и только тогда, когда четырехугольник ABDC является параллелограммом (рис 17.3 ). (Вспомним, что четырехугольник является па- раллелограммом тогда и только тогда, когда две его стороны равны и параллельны.) Обратите внимание, что вершины паралле- лограмма идут в порядке ABDC: именно это обеспечивает выпол- нение того условия, что направленные отрезки AB и CD направ- лены в одну сторону, а не в противоположные. 80 Рис. 17.4. Координаты направленного отрезка. Предположим теперь, что на плоскости задана система коор- динат. Тогда можно определить, что такое координаты направ- ленного отрезка. По определению, координаты направленного отрезка получа- ются, если из координат его конца вычесть координаты начала. Точнее говоря: Если точка A имеет координаты (x 1 ; y 1 ), а точка B имеет ко- ординаты (x 2 ; y 2 ), то координатами направленного отрезка AB называется пара чисел (x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ). В частности, если начало направленного отрезка OA совпа- дает с началом координат, то координаты OA — не что иное, как координаты точки A. Геометрически можно представить координаты направленно- го отрезка так: проведем через его концы прямые, параллельные осям координат (рис. 17.4 ). Вместе с самим отрезком эти прямые ограничивают прямоугольный треугольник (AM B на рисунке) 1 Координаты AB — это длины катетов этого треугольника, взя- тые с подходящим знаком («плюс», если при движении по кате- там треугольника из начала в конец отрезка мы движемся в том же направлении, куда указывает соответствующая ось координат, и «минус» в противном случае). 1 Если отрезок AB параллелен одной из осей, этот «треугольник» будет отрезком. 81 Можно еще сказать, что координаты направленного отрезка AB — это числа, указывающие, на какие расстояния надо сдви- нуться вдоль осей координат, чтобы попасть из A в B. Главное свойство координат направленного отрезка таково: Направленные отрезки равны тогда и только тогда, ко- гда равны их координаты. Рис. 17.5. В самом деле, пусть AB = CD. Достраивая эти отрезки до пря- моугольных треугольников ABM и CDN (рис. 17.5 ), получаем, что в этих треугольниках AB = CD и ∠BAM = ∠DCN : первое равен- ство — это часть определения на- правленных отрезков, второе выте- кает из того, что AB k CD и AM k CN . Значит, прямоугольные тре- угольники ABM и CDN равны, стало быть, равны и их катеты: AM = CN , BM = DN . А ка- теты этих треугольников — это и есть координаты AB и CD. Напротив, пусть нам известно, что у направленных отрезков AB и CD равны координаты. Тогда, построив те же треугольники ABM и CDN , получаем, что они равны (по двум катетам), откуда ∠BAM = ∠DCN ; так как AM k CN , из этого следует, что AB k CD. С формальной точки зрения наши рассуждения неполны: например, из равенства направленных отрезков мы вывели лишь равенство аб- солютных величин их координат, ни словом не обмолвившись об их знаках. Это — неизбежное следствие того, что в определении равен- ства направленных отрезков мы пользовались наглядно очевидным, но не определенным формально понятием «отрезки направлены в одну сторону». Давайте сформулируем определение равенства направленных отрезков более строго. Для случая, когда отрезки AB и CD не лежат на одной прямой, равенство AB = CD равносильно, как мы знаем, тому, что ABDC — па- раллелограмм. Однако четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делят- ся пополам, поэтому определение можно сформулировать еще и так: 82 AB = CD если и только если середины отрезков AD и BC совпадают. В таком виде это определение имеет смысл и в том случае, когда точки A, B, C и D лежат на одной прямой; легко убедиться, что и в этом случае оно равносильно нашему исходному определению. Такое опреде- ление равенства направленных отрезков уже безупречно с формальной точки зрения. С помощью нового определения легко дать аккуратное доказатель- ство того факта, что равенство направленных отрезков равносильно равенству их координат. В самом деле, пусть точки A, B, C, D име- ют координаты соответственно (a 1 ; a 2 ), (b 1 ; b 2 ), (c 1 ; c 2 ), (d 1 ; d 2 ). Так как координаты середины отрезка являются полусуммами координат его концов, равенство AB = CD (то есть, по нашему определению, совпа- дение середин отрезков AD и BC) равносильно равенствам a 1 + d 1 2 = b 1 + c 1 2 ; a 2 + d 2 2 = b 2 + c 2 2 Эти равенства, в свою очередь, равносильны равенствам b 1 −a 1 = d 1 −c 1 , b 2 − a 2 = d 2 − c 2 , то есть равенству координат AB и CD. Задача 17.1. Точки M , N и P таковы, что координаты направлен- ного отрезка M N равны (10; −14), а координаты направленного отрезка N P равны (−6; 26). Найдите координаты направленного отрезка M P . Задача 17.2. Докажите, что длина направленного отрезка с коор- динатами (x; y) равна p x 2 + y 2 Указание. Воспользуйтесь формулой, выражающей расстояние меж- ду точками через их координаты, или теоремой Пифагора. Задача 17.3. Рассмотрим на плоскости наряду с той системой ко- ординат OXY , которая у нас уже есть (назовем ее «системой коор- динат номер 1»), еще две следующие системы координат (рис. 17.6 ): Система координат номер 2. Ее начало координат O 0 имеет в си- стеме номер 1 координаты (3; 2), а оси O 0 X 0 и O 0 Y 0 парал- лельны осям OX и OY и направлены в ту же сторону. Система координат номер 3. Ее начало координат совпадает с O, а оси OX 00 и OY 00 повернуты на 45 ◦ в положительном на- правлении относительно осей OX и OY . 83 |