Тригонометрия. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
б) При каких значениях a уравнение cos x + cos(ax) = 2 имеет бесконечно много решений? Приложение. Линейные неопределенные уравнения с двумя неизвестными При отборе корней тригонометрических уравнений иногда прихо- дится отвечать на вопросы наподобие: «для каких k ∈ Z существу- ет такое n ∈ Z, что 44k + 6 = 166n»? Посмотрим на этот вопрос немного с другой стороны: выясним, для каких вообще целых k и n выполняется равенство 166n − 44k = 6. Такого рода задачи называются неопределенными уравнениями (точнее говоря, ли- нейными неопределенными уравнениями с двумя неизвестными, но эти уточняющие слова мы будем опускать, поскольку других неопределенных уравнений нам не встретится). Расскажем, как можно решать такие уравнения. Первое, что надо сделать для решения неопределенного урав- нения, — это найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных и попробовать сократить на него обе части урав- нения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Рассмотрим, например, уравнение 21k − 24n = 8. Наибольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сокра- тить на него не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не име- ет. В самом деле, если (k; n) — решение этого уравнения 1 , то левая 1 В этом приложении под «решением» мы всегда понимаем целочисленное решение. 152 часть делится на 3 (так как на 3 делятся оба коэффициента), а правая часть на 3 не делится. Значит, у этого уравнения реше- ний нет. Сформулируем примененное нами соображение в общем виде: Если в уравнении ax+by = c (с целыми a, b и c) коэффициенты a и b делятся на некоторое число d, а свободный член c не делится на d, то это уравнение не имеет решений в целых числах. Мы указали одну причину, по которой наше неопределенное уравнение может не иметь решений. Оказывается, во всех осталь- ных случаях решения обязательно будут. Если в неопределенном уравнении ax + by = c свободный член c делится на наибольший общий делитель коэффициентов a и b (в частности, так будет, если a и b вообще не имеют общих делите- лей, кроме единицы), то уравнение обязательно имеет решения в целых числах. Мы не будем доказывать это утверждение, а просто покажем, как искать решения. Решим уравнение 166n − 44k = 6. Для начала, как мы уже говорили, поделим обе части на 2: 83n − 22k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине — в нашем случае это k, — и выразим ее через другую неизвестную: k = 83n − 3 22 . Выделим в этой дроби целую часть: k = 83n − 3 22 = 66n + 17n − 3 22 = 3n + 17n − 3 22 (∗) Как видите, целочисленные решения нашего уравнения будут по- лучаться, если подставлять в него все те целые n, для которых число 17n − 3 22 тоже будет целым: ведь тогда из (∗) получается, что и k — целое число. Но как же узнать, когда число 17n − 3 22 будет целым? Для этого обозначим 17n − 3 22 буквой t и запишем: 153 17n − 3 22 = t, или 17n − 3 = 22t. Как видите, снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного. Проделаем с этим новым уравнением ту же опе- рацию, что и c исходным: выразим из него ту неизвестную, коэф- фициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть: n = 22t + 3 17 = 17t + 5t + 3 17 = t + 5t + 3 17 (∗∗) Из (∗∗) видно, что число 5t + 3 17 обязано быть целым. Обозначим его буквой s: 5t + 3 17 = s, 5t + 3 = 17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s: t = 17s − 3 5 = 3s + 2s − 3 5 Обозначим, далее, 2s − 3 5 буквой v: 2s − 3 5 = v, 2s − 3 = 5v, s = 5v + 3 2 = 2v + v + 3 2 . Обозначим, наконец, v + 3 2 буквой u: v + 3 2 = u, v = 2u − 3. В этом месте наши мучения и кончают- ся. В самом деле, нам надо выяснить, для каких целых v чис- ло v + 3 2 будет целым, и ответ на этот вопрос уже готов: если v = 2u − 3, где u — любое целое число! (дело тут, конечно, в том, что в неопределенном уравнении v = 2u − 3 коэффициент при v равен единице). Теперь, чтобы получить решения исходного урав- нения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t и k через n. Отправимся в обратный путь: v = 2u − 3; s = 2v + v + 3 2 = 5u − 6; t = 3s + 2s − 3 5 = 17u − 21; n = t + 5t + 3 17 = 22u − 27; k = 3n + 17n − 3 22 = 83u − 102. Итак, ре- шение получено: k = 83u − 102, n = 22u − 27, где u — произвольное целое число. Стало быть, ответ на наш исходный вопрос таков: пусть k — целое число. Тогда 44k + 6 = 166n для некоторого n ∈ Z тогда и только тогда, когда k = 83u − 102, где u ∈ Z. 154 Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопре- деленного уравнения с целыми коэффициентами называется ал- горитмом Евклида. Задача 25.5. Для каких целых k существует такое целое n, что 7k − 19 = 5n? Задача 25.6. Решите уравнения в целых числах: а) 17x + 19y = 1; б) 26x − 78y = 143; в*) 7x 2 − 4y = 5. Задача 25.7. При решении в целых числах уравнения 166n−44k = = 6 нам пришлось ввести помимо n и k четыре дополнительные переменные (t, s, v и u). Приведите пример неопределенного урав- нения вида ax + by = c, в котором a и b — двузначные числа, для решения которого по изложенному методу надо ввести во- семь дополнительных переменных. Попробуйте также доказать, что большего количества дополнительных переменных при дву- значных a и b никогда не потребуется. § 26. Как решать тригонометрические неравенства Повторить: § 6. Определение тригонометрических функций. § 11. Графики синуса и косинуса. Рис. 26.1. Мы начнем с простейших неравенств, к которым любое тригонометрическое неравенство в конечном счете сводится. Пример 26.1. sin x > 1/2. Решение. Для начала выясним, какие точки на тригонометрической окружно- сти соответствуют решениям неравен- ства. Это — точки, ордината которых больше 1/2, и на окружности они запол- няют дугу P Q, отмеченную на рис. 26.1 Теперь можно записать множество чисел, соответствующих точкам на дуге P Q. Ясно, что это множество содержит интервал 155 (π/6; 5π/6) (π/6 соответствует точке P , 5π/6 — точке Q), а вооб- ще наше множество состоит из всех интервалов (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), где k — целое: ведь если точке на тригонометрической окруж- ности соответствует число x, то ей же соответствуют и все числа вида x + 2πk (k ∈ Z) (рис. 26.2 ). Рис. 26.2. Ответ к неравенству можно записать так: (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk) (k ∈ Z) или еще проще: π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk. Пример 26.2. sin x 6 1/3. Рис. 26.3. Решение. На тригонометрической окружности множество решений неравенства изобразится ду- гой P Q, отмеченной на рис. 26.3 . Нам нужно выбрать на числовой оси какой-нибудь отрезок, соответствующий этой дуге, и тогда останется только прибавить к его границам 2πn. Выберем какое-нибудь число, соответствующее одному из концов дуги. Очевидно, точке P соответствует arcsin 1 3 . Раз это число выбрано, выбор числа, соответствующего другому концу, уже предопределен. Чтобы найти это число, надо сдвинуться из точки arcsin 1 3 на числовой оси в отрицательном направлении на расстояние, равное длине дуги P Q. Точке O на окружно- сти соответствует ноль, точке B — число −π, а точке Q — чис- ло, расположенное еще на arcsin 1 3 левее, то есть −π − arcsin 1 3 Стало быть, один из отрезков, соответствующих дуге P Q, будет h −π −arcsin 1 3 ; arcsin 1 3 i , а ответом к неравенству sin x 6 1/3 будет 156 объединение отрезков h −π − arcsin 1 3 + 2πk; arcsin 1 3 + 2πk i (k ∈ Z). Разумеется, тот же ответ можно представить и по-иному, напри- мер h − π 2 + 2πk; arcsin 1 3 + 2πk i ; h π − arcsin 1 3 + 2πk; 3π 2 + 2πk i Рис. 26.4. Пример 26.3. tg x > − 3 4 Решение. Используя ось тангенсов, легко убедить- ся, что на тригонометрической окружности ре- шения неравенства изображаются двумя дугами, отмеченными на рис. 26.4 . Дуге P Q соответству- ет интервал − π 2 ; arctg − 3 4 , а дуге M N — ин- тервал π 2 ; π + arctg − 3 4 . Второй из этих ин- тервалов получается из первого сдвигом на π, так что ясно, что ответ к неравенству — это объединение интервалов − π 2 + πn; arctg − 3 4 + πn (n ∈ Z). При решении простейших тригонометрических неравенств мож- но также пользоваться не тригонометрическим кругом, а графи- ками. Например, чтобы решить то же неравенство sin x 6 1/3, достаточно отметить на числовой оси такие точки, что лежащие над ними точки графика y = sin x имеют ординату не более 1/3 (рис. 26.5 ). По этому рисунку легко записать ответ. При оформлении решений простейших тригонометрических неравенств не надо записывать рассуждений наподобие тех, что мы проводили в этих примерах: достаточно рисунка наподобие рис. 26.3 и ответа. Можно также нарисовать рисунок наподобие рис. 26.5 и опять же записать ответ. Задача 26.1. Решите неравенства: 157 Рис. 26.5. а) cos x > 0; б) sin x < 0; в) cos 100x > 0; г) cos x 100 6 0; д) tg 2x < 0. Задача 26.2. Решите неравенства: а) sin 2x > √ 2 2 ; б) sin x < − 1 2 ; в) | sin x| 6 √ 3 2 ; г) tg x > 1; д) | tg x| > √ 3 3 Задача 26.3. Решите неравенства: а) sin x < 1 4 ; б) cos 3x > − 2 9 ; в) | sin x| 6 √ 10 10 ; г) tg x > √ 5. Задача 26.4. Решите неравенства: а) sin x > sin 1; б) sin x 6 sin 7; в) cos x > cos 10; г) cos x 6 sin 2; д) tg x < ctg 10. Задача 26.5. Решите неравенства: а) 2 sin 2 x − 3 cos x − 1 > 0; б) 9 cos 4x + 6 cos 2x + 5 < 0; в) cos 2x − 2 sin x + 5 > 0. Задача 26.6. Решите неравенства: 158 а) arccos x > π 3 ; б) arccos x < 2; в) arcsin x 6 − 1 4 ; г) arccos x < π 6 Приведем пример решения более сложного неравенства. Пример 26.4. 2 sin x + 1 2 cos x 2 − 1 > 0. Решение. Мы применим «метод интервалов», который должен быть вам знаком по решению рациональных неравенств. Рецепт таков: надо на числовой оси отметить те точки, в которых обраща- ются в нуль числитель и знаменатель; на каждом из интервалов, на которые делится этими точками числовая ось, знак левой части будет постоянен, и останется только записать ответ как объедине- ние интервалов с нужным знаком. В случае тригонометрических неравенств точек и интервалов будет, как правило, бесконечно много, однако они будут периодически повторяться, поэтому до- статочно все проделать на отрезке длиной в период. В нашем случае наименьшим периодом числителя будет 2π, а знаменателя 4π. Будем поэтому рассматривать знак левой ча- сти на отрезке [0; 4π]: его длина равна 4π, а это число служит периодом как числителя, так и знаменателя. Легко видеть, что на отрезке [0; 4π] числитель обращается в нуль в точках 7π 6 , 11π 6 , 19π 6 и 23π 6 , а знаменатель — в точках 2π 3 и 10π 3 . Знаки числителя, знаменателя и левой части удобно записать в таблице (точки, в которых знаменатель обращается в нуль, мы в интервалы не включили). Интервал h 0; 2π 3 2π 3 ; 7π 6 i h 7π 6 ; 11π 6 i h 11π 6 ; 19π 6 i 2 sin x + 1 + + − + 2 cos x 2 − 1 + − − − Левая часть + − + − 159 Интервал h 19π 6 ; 10π 3 h 10π 3 ; 23π 6 i h 23π 6 ; 4π i 2 sin x + 1 − − + 2 cos x 2 − 1 − + + Левая часть + − + Теперь, выделяя промежутки, на которых левая часть неот- рицательна, и прибавляя к их концам 4πk, получаем Ответ: h 4πk; 2π 3 + 4πk ; h 7π 6 + 4πk; 11π 6 + 4πk i ; h 19π 6 + 4πk; 10π 3 + + 4πk i ; h 23π 6 + 4πk; 4π + 4πk i (k ∈ Z). Задача 26.7. Ответ к неравенству из примера 26.4 можно записать и так: h 7π 6 + 4πk; 11π 6 + 4πk i ; h 19π 6 + 4πk; 10π 3 + 4πk i ; h 23π 6 + + 4πk; 14π 3 + 4πk (k ∈ Z). Убедитесь, что ответ в этой форме задает то же самое множество значений x. Задача 26.8. Решите неравенства: а) sin 3x sin 5x 6 0; б) cos 2x > cos x + π 6 ; в) 3 sin x + 1 2 cos x + 1 < 1. § 27. Задачи на повторение Задача 27.1. Решите уравнения: а) sin x + cos x = cos 2x; б) sin 2 x + cos 2 3x = 1; в) cos 2 3t tg t + cos 2 t tg 3t = 0; г) sin 6 x + cos 6 x = sin 2x; д) ctg x + ctg 3x = tg 2x; е) tg 3x − tg x = 4 sin x; ж) 5 sin x + 12 cos x = 13 sin 3x; 160 з) cos 2 x − cos 4 x = sin 2 x sin 3x − 1; и) 3 ctg t − 3 tg t + 4 sin 2t = 0; к) sin x − cos x + 5 sin x cos x = 1; л) sin x(3 sin 2x sin 3 x + 12 sin 2x sin x − 16 cos x) + 2 sin 4x = 0; м) 2 cos 2x − π 3 + 1 = cos x + π 3 ; н) sin 3x sin x + 1 = cos 2x; о) cos 2x + 2 cos x + 7 = 2 sin 7π 2 + x + 4 sin 2 x 2 ; п) 4(sin 4x − sin 2x) = sin x(4 cos 2 3x + 3); р) sin 3x − sin x + cos 2x = 1; с) √ 3 sin x + 2 cos x = √ 3 + sin 2x; т) sin x + cos 4x + 2 sin 5x = 4. Задача 27.2. Решите уравнения а) √ 5 cos x − cos 2x + 2 sin x = 0; б) √ 1 − 4 sin x = √ 1 − 4 cos 2x; в) (1 + 2 cos x) psin(x + π/4) = 0; г) r 1 2 + sin x = r 1 2 + sin 3x; д) √ 2 sin x sin 2x = √ 5 cos x + 4 sin 2x; е) √ 5 sin x − cos 2x + 2 cos x = 0; ж) r cos 2x + sin x 2 = r sin x + sin x 2 Указание. Уравнение √ a = b равносильно системе a = b 2 ; b > 0, урав- нение √ a = √ b равносильно любой из систем a = b; a > 0 или a = b; b > 0. Задача 27.3. Решите уравнения: а) cos 2 x 2 − 1 3 = 3 cos x + 1; б) | cos x| cos x = cos 2x − 1; 161 в) 4| cos x| + 3 = 4 sin 2 x; г) cos 1 sin x = 1 2 ; д) sin π √ 8 cos x = cos π √ 8 sin x ; е) cos(π arcctg 2 x) = 1 2 ; ж) sin 13π 9 · sin x = − √ 3 2 Задача 27.4. Решите системы уравнений: а) ( tg x + ctg x = 2 sin y − 3π 4 ; tg y + ctg y = 2 sin x + 3π 4 б) (√ cos 2x cos x = 0; 2 sin 2 x − cos 2y − π 3 = 0. в) ( sin x cos y = − 1 2 ; tg x ctg y = 1. г) ( sin(x − y) = 2 cos x sin y; cos(2x + y) + cos x cos y = 0. д) ( 4 sin x − 2 sin y = 3; 2 cos x − cos y = 0. е) ( p 1 + sin x sin y = cos x; 2 sin x ctg y + 1 = 0. Задача 27.5. Решите неравенства: а) cos 2x > sin x; б) cos 2x > cos x − sin x; в) 2 cos x(cos x − √ 8 tg x) < 5; г) 4 sin x sin 2x sin 3x > sin 4x; д) (cos x − cos 5x)(2 sin x + 3 cos x + 4) > 0; е) 1 cos 2 x − 1 > | tg x − √ 3| + √ 3 ctg x 162 Задача 27.6. Решите уравнения: а) sin 2 x + cos 2 14x = sin x + cos 14x − 1 2 ; б) x 2 + 2x sin(xy) + 1 = 0; в) sin 10 x + cos 16 x = 1; г) sin 2 x − 2 sin x sin y − 2 cos 2 y + cos 4 y + 1 4 = 0; д) 2 √ 3 sin 5x − √ 3 sin x = cos 24x cos x + 2 cos 5x − 6. Задача 27.7. Найдите sin α, если sin 2α > 3 5 и tg α 6 1 3 Задача 27.8. При каждом значении параметра a решите уравнение 3 cos x sin a − sin x cos a − 4 cos a = 3 √ 3. Задача 27.9. Найдите множество значений функции y = sin 2 x − 12 sin x cos x + 3 cos 2 x + 1. 163 Глава 6 Комплексные числа § 28. Что такое комплексные числа Повторить: § 17: векторы на плоскости. В этой главе мы познакомимся с комплексными числами, о ко- торых уже неоднократно упоминали. Итак, что же это такое? Как известно, из отрицательного числа извлечь квадратный корень невозможно: квадраты всех чисел неотрицательны. Да- вайте, однако, вообразим, что нашлось такое необычное число i, квадрат которого равняется −1. Посмотрим, что получится, если это число i добавить к обычным числам. Для начала поумножаем i на само себя: i 2 = −1 (как мы и договаривались), тогда i 3 = (i 2 ) · i = (−1) · i = −i; i 4 = i 3 i = = (−i) · i = −i 2 = −(−1) = 1 и т. д. Задача 28.1. Чему равно i 5 ? i 6 ? i 2003 ? Теперь давайте умножать число i на обычные числа и скла- дывать его с обычными числами. При этом будут получаться выражения наподобие 1 − i, −4i, 2 + 5i и т.д. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, такие выражения можно складывать и перемножать; поскольку i 2 всякий раз можно заменять на −1, 164 в выражения, получающиеся после упрощений, i будет входить не более чем в первой степени: (2 + 5i) + (3 − i) = 2 + 3 + 5i − i = 5 + 4i; (2 + 5i)(3 − i) = 6 + 15i − 2i − 5i 2 = 6 + 13i − 5(−1) = 11 + 13i. Задача 28.2. Упростите выражения: а) √ 3 + i 3 ; б) (1 + i) 20 Имея в распоряжении число i, мы можем извлечь корень не только из −1, но и из любого отрицательного числа. Например, в качестве √ −2 подойдет число i √ 2, поскольку (i √ 2) 2 = i 2 · 2 = −2. Впрочем, −i √ 2 также даст в квадрате −2; число −i √ 2 мы тоже будем называть квадратным корнем из −2. Выделять из этих двух квадратных корней один «арифметический корень» мы не будем: для чисел, в записи которых участвует i, не удается разумным образом определить, какие из них следует считать положитель- ными, а какие — отрицательными. Задача 28.3. Пользуясь формулой для корней квадратного урав- нения, найдите корни уравнения x 2 − 4x + 5 = 0 (дискриминант этого уравнения отрицателен, так что в их записи будет участво- вать i). Проверьте найденные значения x, подставив их в уравне- ние. А если выражение с i стоит в знаменателе? Сейчас мы увидим, что всякую дробь, в знаменателе которой присутствует i, можно преобразовать так, чтобы в знаменателе были только обычные числа. Покажем это на примере. Пусть требуется упростить выражение 1 2 + 3i . Поступим так же, как мы делали, когда в школьных примерах избавлялись от иррациональности в знаменателе: домножим числитель и знаме- натель на «сопряженное выражение» 2 − 3i: 1 2 + 3i = 2 − 3i (2 + 3i)(2 − 3i) = 2 − 3i 4 − (−9) = 2 13 + 3 13 i. Задача 28.4. Упростите выражения: а) 7 − 11i 3 + i ; б) 1 i 165 Теперь можно ответить на вопрос, стоящий в заглавии этого параграфа: комплексные числа — это те самые выражения с уча- стием i, которыми мы до сих пор занимались. Точнее говоря: Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — обычные (действительные, или вещественные) числа. Комплексные числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d. Чтобы сложить или перемножить два комплекс- ных числа, надо раскрыть скобки и привести подобные члены, заменяя i 2 на −1. Если провести это приведение подобных в общем виде, полу- чится вот что: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Чтобы поделить одно комплексное число на другое, надо «до- множить на сопряженные»: a + bi c + di = (a + bi)(c − di) (c + di)(c − di) = ac + bd c 2 + d 2 + i bc − ad c 2 + d 2 Задача 28.5. Умножьте a + bi c + di , вычисленное по вышеприведенной формуле, на c+di и убедитесь, что действительно получится a+bi (то есть что деление комплексных чисел действительно является действием, обратным к умножению). Комплексное число a+bi удобно изображать точкой на плоско- сти с координатами (a; b) (рис. 28.1 ). Абсцисса этой точки, то есть a, называется вещественной (или действительной) частью числа a+bi, а ордината этой точки, то есть b, называется мнимой частью числа a + bi. Плоскость с системой координат, на которой изобра- жаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, рас- полагаются при таком изображении на оси абсцисс (когда речь 166 Рис. 28.1. Комплексная плоскость. идет о таком изображении комплексных чисел, ось абсцисс при- нято называть вещественной, или действительной, осью, а ось ор- динат — мнимой осью). Комплексные числа, лежащие на действи- тельной оси, складываются и умножаются так же, как обычные действительные числа: ведь в их записи i не участвует. Поэто- му можно считать, что действительные числа — частный случай комплексных, а действительная ось, которую они заполняют, — это знакомая нам с младших классов числовая прямая. Задача 28.6. Докажите, что уравнение z 2 = −1 не имеет (в ком- плексных числах) других решений, кроме i и −i. Указание. Пусть z = x + iy. Тогда z 2 = x 2 − y 2 + i · 2xy. По условию, z 2 = −1. Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, получаем: ( x 2 − y 2 = 1; 2xy = 0. Решите эту систему уравнений. Задача 28.7. Найдите все комплексные решения уравнения z 3 = 1 и изобразите их на комплексной плоскости. Указание. Решений три; на комплексной плоскости они ока- жутся вершинами правильного треугольника. Задача 28.8. Найдите все комплексные решения уравнения z 2 = = 5 − 12i. 167 Задача 28.9. Докажите, что для всякого отличного от нуля ком- плексного числа a + bi существуют ровно два решения уравнения z 2 = a + bi. Результат задачи 28.9 показывает, что, имея в своем распоря- жении комплексные числа, можно извлекать квадратные корни не только из отрицательных, но и вообще из любых комплексных чисел. Если дано комплексное число z = a + bi, то сопряженным к нему называется число a − bi. Мы уже сталкивались с сопря- женными комплексными числами, когда обсуждали деление ком- плексных чисел. Число, сопряженное к комплексному числу z, обозначается ¯ z. Говорят еще, что числа z и ¯ z сопряжены друг дру- гу. Сопряженные числа изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно действительной оси. Задача 28.10. Докажите тождества: а) ¯ (¯) z = z; б) (z + w) = ¯ z + ¯ w; в) (zw) = ¯ z + ¯ w. Задача 28.11. Пусть z и w — комплексные числа, не являющиеся действительными. Докажите, что z и w сопряжены тогда и только тогда, когда z + w и zw — действительные числа. Задача 28.12. Докажите, что всякое квадратное уравнение с дей- ствительными коэффициентами и отрицательным дискриминан- том имеет два комплексных корня, сопряженных друг с другом. |