Тригонометрия. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
1 координаты (1; 1). Каковы будут его координаты: а) в системе номер 2? б) в системе номер 3? Указание. Так как равные направленные отрезки имеют равные координаты, удобно рассмотреть равный данному направленный отрезок, имеющий своим началом точку O. В тех случаях, когда все равно, о котором из равных направ- ленных отрезков идет речь (в трех последних задачах так и было), направленные отрезки часто называют векторами. Например, на рис. 17.2 изображено 5 различных направлен- ных отрезков, но всего 3 различных вектора. Так как с точностью до равенства направленный отрезок полностью определяется ко- ординатами, для задания вектора не обязательно рисовать на- правленный отрезок: если есть система координат, то достаточно указать координаты, и вектор будет полностью определен. В большинстве интересных задач, в которых встречаются на- правленные отрезки, равные направленные отрезки взаимозаме- няемы, так что обычно предпочитают говорить именно о векто- рах, а не о направленных отрезках. Наряду с векторами, соответствующими настоящим отрезкам, рассматривают еще «нулевой вектор», имеющий координаты (0; 0). Можно сказать, что нулевой вектор соответствует любому из «от- резков» AA, у которого начало и конец совпадают. Как мы вскоре увидим, нулевой вектор играет роль, аналогичную роли нуля сре- ди чисел. Обозначать векторы можно так же, как и направленные от- резки; кроме того, иногда их обозначают латинскими буквами 84 с черточкой сверху, например a. Можно также в качестве обо- значения вектора записать его координаты: если вектор a имеет координаты (x; y), пишем a = (x; y). Нулевой вектор обозначается 0 или (0; 0). Длина вектора a обозначается |a|. И еще одна особенность терминологии: если про направленные отрезки говорят «отрезки параллельны», то векторы принято на- зывать не «параллельными», а «коллинеарными». Задача 17.4. Рассмотрим всевозможные векторы вида AB, где A и B — две вершины данного правильного шестиугольника. Сколь- ко среди этих векторов различных? Рис. 17.7. Если нам даны вектор a и точка M , то однозначно определена такая точка N , что a = M N (рис. 17.7 ). В этом случае говорят, что M N получен откладыванием вектора a от точки M . Говорят также, что точка N по- лучена из точки M переносом на вектор a. Задача 17.5. Каждую точку квадрата с вер- шинами (1; 0), (0; 1), (−1; 0), (0; −1) подвергли переносу на вектор (−1; 2). Изобразите фигуру, которая при этом получилась. 17.2. Сложение векторов С векторами можно производить различные действия, немного похожие на арифметические действия с числами. Сначала мы на- учимся векторы складывать. Рис. 17.8. Сложение векто- ров. Пусть нам даны векторы a и b. Чтобы их сложить, надо сделать следующее. Возьмем произвольную точку M и отложим от нее век- тор M N = a; от конца этого вектора отложим вектор N P = b. Тогда суммой векторов a и b называется вектор M P . Сумма векторов a и b обозначается a + b — так же, как сумма чисел. Вкратце наше определение сложения век- торов можно записать так: M N + N P = M P . 85 Строго говоря, надо еще проверить, что a + b зависит только от самих векторов a и b. Предположим, мы начали построение не с точки M , а с другой точки M 0 , построив N 0 и P 0 ; где гарантия, что полученный в результате вектор M 0 P 0 будет равен вектору M P ? Интуитивно ясно, что так оно и будет; вскоре мы увидим, как это доказать формально. Координаты суммы векторов очень просто выражаются через координаты слагаемых. Именно, по определению координат на- правленного отрезка (вектора) мы можем записать: ( координаты a) = ( координаты точки N ) − ( координаты точки M ); ( координаты b) = ( координаты точки P ) − ( координаты точки N ). Сложим эти два равенства. При этом координаты точки N сокра- тятся, и получится вот что: (координаты a) + (координаты b) = = (координаты P ) − (координаты M ). В правой части стоит не что иное, как координаты вектора M P , то есть, по нашему определению, a + b. Стало быть, координа- ты вектора a + b являются суммами координат векторов a и b. Запишем это же формулой: Если a 1 = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ), то a + b = (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ). (a 1 ; a 2 ) + (b 1 ; b 2 ) = (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ). Эта формула показывает, в частности, что координаты вектора a + b зависят только от координат a и b, так что сумма векторов действи- тельно не зависит от выбора точки M , использованной на рис. 17.8 для ее построения. Итак, операция сложения векторов вполне соответствует свое- му названию: при сложении векторов координаты складываются. Из этого следует также, что сложение векторов подчиняется тем же законам, что и сложение чисел: 86 а) б) Рис. 17.9. a + b = b + a (переместительность, или коммутативность); a + (b + c) = (a + b) + c (сочетательность, или ассоциативность); a + 0 = a (свойство нуля). Задача 17.6. Через точку O, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены отрезки M N и P Q, параллельные его сторо- нам (рис. 17.9 а). Если от точки A отложить вектор a = DN + + AP + M B + ON , где окажется конец этого вектора? Задача 17.7. ABCDE — пятиугольник (рис. 17.9 б). Найдите сумму векторов AD + CE + BC + DB. Задача 17.8. На плоскости задана точка O. Изобразите множество таких точек C, что OC = a + b, где a и b — всевозможные векторы, для которых: а) | a| 6 1, |b| 6 2; б) |a| = 1, |b| = 2. Рис. 17.10. Если векторы a и b неколлинеарны (непа- раллельны), то существует еще один способ построить их сумму. Именно, если отложить a и b от точки O так, что OA = a, OB = b, то a + b = OC, где C — такая точка, что OACB — параллелограмм (рис. 17.10 ). В са- мом деле, OB = AC, так что OC = OA + + AC = OA + AB = a + b, что и утверждалось. В старых учебниках это построение называ- лось «сложение векторов по правилу паралле- лограмма». 87 17.3. Вычитание и умножение на число Раз уж мы умеем складывать векторы, давайте научимся их вы- читать. Для начала найдем для вектора a = M N противополож- ный ему, то есть такой вектор −a, что a + (−a) = 0. Ясно, что Рис. 17.11. OA − − OB = BA. таковым будет вектор N M : ведь M N + + N M = 0. Таким образом, чтобы полу- чить вектор, противоположный данному, надо просто поменять местами его конец и начало. Координаты a = M N получают- ся, если из координат N вычесть коорди- наты M , а координаты −a = N M — если из координат M вычесть координаты N . Стало быть, координаты −a получаются из координат a переменой знака. Что же до разности векторов a и b, то это, конечно, такой век- тор c, что c + b = a (вычитание — действие, обратное сложению). Разностью векторов a и b будет, очевидно, вектор a + (−b) = a − b; ясно, что координаты разности векторов a и b равны разности их координат. Если векторы a = OA и b = OB отложены от одной точки O, то a − b = BA (так как OB + BA = OA). Подытожим: Если a = M N , то −a = N M . a + (−a) = 0. Если a = (a 1 ; a 2 ), то −a = (−a 1 ; −a 2 ). a − b = a + (−b); (a − b) + b = a. Если a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ), то a − b = (a 1 − b 1 ; a 2 − b 2 ). Разобравшись со сложением и вычитанием, перейдем к умно- жению. Из начальной школы мы помним, что перемножить нату- ральные числа a и b — это найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a. Например, 5a = a + a + a + a + a. Рассмотрим теперь не число a, но вектор a. Для него также будет 5a = a + a + a + a + a (рис. 17.12 ). Мы видим, что вектор P Q = 5a коллинеарен (параллелен) вектору a, что его длина в 5 раз больше длины a, и направлен он в ту же сторону, что и a. Ясно также, что в качестве −5a разумно взять вектор, противоположный вектору 5a. 88 Рис. 17.12. M N = a; P Q = 5a. Итак, мы описали, что значит умножить вектор на число 5 или −5. Число 5 можно заменить на любое другое. Тогда получится такое Определение. Произведением вектора a 6= 0 на число k 6= 0 назы- вается такой вектор b, что: 1) |b| = |k| · |a|; 2) b коллинеарен a; 3) b направлен в ту же сторону, что и a, если k > 0, и в проти- воположную сторону, если k < 0. Произведение вектора a на число k обозначается ka. По опреде- лению полагаем ka = 0, если k = 0 или a = 0. Вектор ka этим определением задается однозначно: условие 1 определяет его длину, а условия 2 и 3 — его направление. Чтобы определить формально, что такое «коллинеарные векторы a и b направлены в одну сторону», отложим a = OA и b = OB от одной точки O. Тогда точки O, A и B окажутся на одной прямой, и мы скажем, что a и b направлены в противоположные стороны, если точка O лежит между A и B, и в одну сторону — в противном случае. Посмотрим, как меняются координаты вектора при умноже- нии его на число. Пусть мы умножаем вектор a = AB на число k, получая в результате ka = AB (рис. 17.13 а для случая k > 0 и рис. 17.13 б для случая k < 0). Проведем через концы отрезков AB и AB 1 прямые, параллельные осям координат. Получающие- ся прямоугольные треугольники ABM и AB 1 M 1 будут, очевидно, подобны. Коэффициент подобия равен, очевидно, AB 1 /AB = |k|; поэтому катеты треугольника AB 1 M получаются из катетов тре- угольника ABM умножением на |k|, и, стало быть, координаты 89 а) б) Рис. 17.13. вектора ka получаются из координат вектора a умножением на k (знаки совпадают, если k > 0, и противоположны, если k < 0). Запишем это формулой: Если a = (a 1 ; a 2 ), то ka = (ka 1 ; ka 2 ). Или: k(a 1 ; a 2 ) = (ka 1 ; ka 2 ). Из этой формулы следует, что умножение вектора на число подчиняется законам, аналогичным законам умножения чисел: k · (la) = (k · l)a (ассоциативность); k(a + b) = ka + kb (k + l)a = ka + la ) (распределительность, или дистрибутивность). Задача 17.9. Докажите эти законы для векторов. Обратите внимание, что у нас два различных распределительных за- кона. Так получилось потому, что сомножители неравноправны: один из них — число, другой — вектор. Наверное, было бы более естественно, если бы мы определили умножение вектора на вектор так, чтобы про- изведение тоже было вектором. Однако же для векторов на плоскости вообще невозможно геометрически определить такое умножение (если мы хотим, чтобы выполнялся распределительный закон). В следующем параграфе мы определим умножение вектора на вектор, но результат при этом будет не вектором, а числом. Действия над векторами позволяют дать еще одно объяснение того, что такое координаты вектора. Именно: пусть на плоско- сти задана система координат. Рассмотрим два вектора e 1 и e 2 , 90 имеющие длину 1, параллельные осям абсцисс и ординат и на- правленные в сторону положительного направления этих осей. Эти векторы называются единичными координатными вектора- ми. Очевидно, e 1 = (1; 0), e 2 = (0; 1). Рассмотрим теперь про- извольный вектор a = (a 1 ; a 2 ) и запишем такие равенства: a = = (a 1 ; a 2 ) = (a 1 ; 0) + (0; a 2 ) = a 1 · (1; 0) + a 2 · (0; 1) = a 1 e 1 + a 2 e 2 Как видите, координаты вектора a — это коэффициенты, с по- мощью которых он выражается через единичные координатные векторы. Если e 1 и e 2 — единичные координатные векторы, то вектор a имеет координаты (a 1 ; a 2 ) тогда и только тогда, когда a = a 1 e 1 + a 2 e 2 Задача 17.10. Даны векторы a = (2; −1), b = (1; −6), c = (2; 24). Найдите такие числа x и y, что c = xa + yb. 17.4. О векторах в физике Многие физические величины представляют собой векторы. В са- мом деле, такие величины, как скорость, ускорение, сила, напря- женность электрического поля, характеризуются не только вели- чиной, но и направлением (если нам известно, из какого порта и с какой скоростью вышел корабль, то мы не можем сказать, где он будет через час, не зная направления его движения). Поэто- му, например, скорость изображают в виде вектора, длина кото- рого соответствует величине скорости, а направление указывает на направление движения. При этом формулировка многих фи- зических законов использует те самые операции над векторами, которые мы только что определили. Простейший пример вектор- ной величины в физике — это перемещение. Если тело, размерами и формой которого мы пренебрегаем, передвинулось из точки A в точку B, то говорят, что перемещение нашего тела равно век- тору AB (если не пренебрегать размерами тела, то вектора для описания передвижения тела будет недостаточно: по дороге тело может и повернуться). Если тело сначала переместилось на век- тор S 1 , а затем на вектор S 2 , то в результате его перемещение 91 а) б) Рис. 17.14. Перемещение. будет равно S 1 + S 2 (рис. 17.14 а). Точно так же складываются перемещения, если тело совершило перемещение S относительно платформы, которая за это время сама совершила относитель- но нас перемещение S: перемещение тела относительно нас будет равно S 1 + S 2 (рис. 17.14 б). Так как скорость — это перемещение за единицу времени, то скорость тоже является векторной величиной. Свойство переме- щений, изображенное на рис. 17.14 б, для скоростей будет выгля- деть так: если платформа движется относительно нас со скоро- стью u, а тело движется относительно платформы со скоростью v, то относительно нас тело движется со скоростью u + v. Задача 17.11. а) Скорость течения реки равна 5 /, ширина ре- ки равна 80 , гребец в лодке развивает скорость 3 / относительно воды. Гребец переправляется через реку, направив лодку перпен- дикулярно берегу. На какое расстояние снесет лодку? б*) Как надо направить лодку, чтобы ее снесло течением как можно меньше? На какое расстояние ее при этом снесет? Задача 17.12. Два корабля, находящиеся друг от друга на расстоя- нии 30 миль, движутся со скоростью 10 узлов 1 (каждый) курсами, указанными на рис. 17.15 . На какое наименьшее расстояние они сблизятся? Через какое время после момента, показанного на ри- сунке, это произойдет? 1 Узел — единица скорости, равная одной морской миле в час. 92 Рис. 17.15. Указание. Перейдите в систему отсчета, связанную с одним из кораблей, и вос- пользуйтесь тем, что если одно тело движется со скоростью v, другое — со скоростью w, то второе тело движет- ся относительно первого со скоростью w − v. § 18. Скалярное произведение Пусть тело, на которое действует сила F , совершило перемещение s. При этом, как говорят физики, сила совершает работу. Если Рис. 18.1. Работа. сила параллельна перемещению, работа рав- на произведению силы и перемещения, взято- му со знаком «+», если сила действует в на- правлении перемещения, и со знаком «−» в противном случае. В общем случае, когда F и s образуют угол ϕ, работа равна |F |·|s| cos ϕ. Это объясняется тем, что силу F можно пред- ставить в виде суммы сил F k и F ⊥ , парал- лельной и перпендикулярной направлению перемещения, причем работа равна работе силы F k (сила, перпендикулярная пути, ра- боты не совершает). Великий английский физик и математик прошлого века У. Гамильтон понял, что действие над векторами, используемое в определении работы, заслуживает названия умно- жения, так как для него, как и для умножения чисел, выполняется распределительный закон. Давайте и мы изучим эту операцию. Рис. 18.2. Определение. Скалярным произведением векторов a 6= 0, b 6= 0 называется число |a| · |b| cos ϕ, где ϕ — угол между векторами a и b (если a и b коллинеарны, то полага- ют ϕ = 0, если векторы направлены в одну сторону, и ϕ = π, если векторы направ- лены в противоположные стороны). Если один из векторов равен нулю, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение 93 векторов a и b обозначается a · b. Основное свойство скалярного произведения — это распреде- лительный закон a · (b + c) = a · b + a · c. Чтобы его доказать, установим прежде всего следующий факт: если a = (a 1 ; 0), где a 1 > 0, b = (b 1 ; b 2 ), то a · b = a 1 · b 1 . В самом деле, в этом случае |a| = a 1 , |b| · cos ϕ = b 1 (рис. 18.2 ), так что требуемое равенство непосредственно следует из определения скалярного произ- ведения; чтобы теперь доказать распределительный закон для векторов a, b и c, выберем систему координат так, чтобы вектор a был паралле- лен оси абсцисс и направлен в положительную сторону. В этой систе- ме координат имеем a = (a 1 ; 0), где a 1 > 0; если в этой же системе b = (b 1 ; b 2 ), c = (c 1 ; c 2 ), то из доказанного нами факта вытекает: b + c = (b 1 + b 2 ; c 1 + c 2 ), a · b = a 1 · b 1 , a · c = a 1 · c 1 , a · (b + c) = a 1 · (b 1 + c 1 ), так что распределительный закон для векторов вытекает из обычного распределительного закона a 1 (b 1 + c 1 ) = a 1 · b 1 + a 1 · c 1 Еще одно важное свойство скалярного умножения — это аналог сочетательного закона: если k — число, a и b — векторы, то (ka)·b = k(a · b) (в самом деле, если ϕ — угол между a и b, то обе части равенства равны k · | a| · |b| · cos ϕ). Наконец, уж совсем очевидно, что для скалярного умножения выполняется переместительный закон: a · b = b · a. Подытожим: a · b = b · a (a + b) · c = a · c + b · c a · (b + c) = a · b + a · c (ka) · b = k(a · b) Выписанные свойства показывают, что при проведении выкла- док с участием скалярного произведения, как и при действиях с числами, можно раскрывать скобки, приводить подобные члены и так далее. Нужно только не забывать, что скалярное произве- дение векторов — не вектор, а число. 94 |