Тригонометрия. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом ТРИГОНОМЕТРИЯ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений МЦНМО АО «Московские учебники» Москва 2002 ББК 22.151.0 Г32 Г32 И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом. Три- гонометрия. М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. ISBN 5-94057-050-X Эта книга, написанная группой авторов под руко- водством одного из крупнейших математиков 20 века академика И. М. Гельфанда, призвана опровергнуть расхожее мнение о три- гонометрии как скучном и непонятном разделе школьного кур- са математики. Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по-новому. Изложение, сопровождающееся большим ко- личеством задач, начинается «с нуля» и доходит до материала, выходящего довольно далеко за рамки школьной программы; три- гонометрические формулы иллюстрируются примерами из физи- ки и геометрии. Отдельная глава посвящена типичным приемам решения три- гонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаме- нах в высшие учебные заведения. Книга будет незаменимым помощником для школьников стар- ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой. ISBN 5-94057-050-X ©И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом, 2002 ©МЦНМО, 2002 Предисловие Что такое тригонометрия? Скучные и никому не нужные форму- лы — скажут почти все старшеклассники. Тем не менее, мы хотим вас в этом разубедить. Чтобы взглянуть на тригонометрию по-новому, мы рассказы- ваем о ней «с нуля». Поэтому читать пособие лучше с самого начала и подряд, хотя кое-что вы, скорее всего, уже знаете. Наши определения равносильны определениям из школьных учебников, но не всегда дословно с ними совпадают. Не надо стремиться перерешать все задачи из книги (мы со- знательно поместили их с запасом), но сколько-то задач после каждого параграфа порешать стоит. Если задачи к параграфу совсем не выходят, значит, что-то вы не усвоили, и есть смысл перечитать этот параграф. Более трудные задачи отмечены звездочкой, более трудный текст напечатан мелким шрифтом. При первом чтении все это можно пропустить. Теперь более подробно о содержании книги. В первых двух главах речь идет о начальных понятиях тригонометрии (точнее говоря, о той ее части, в которой не участвуют формулы сложе- ния). Третья глава («Решение треугольников») посвящена при- менениям тригонометрии к планиметрии. (Имейте в виду, что решение треугольников — не единственный раздел геометрии; не следует думать, что, проработав только нашу книжку, вы уже научитесь решать геометрические задачи.) Четвертая глава посвящена формулам сложения и их след- ствиям. Это — центральная часть тригонометрии (и книги), и имен- но здесь сосредоточены основные тригонометрические формулы. Мы надеемся, что после изучения этой главы вы поймете, откуда они берутся, и научитесь в них ориентироваться. Мы начина- ем эту главу с параграфов, в которых рассказано о векторах на плоскости, а сами тригонометрические формулы иллюстрируем примерами из физики. Тригонометрия по традиции занимает большое место в мате- риалах конкурсных экзаменов в вузы; чтобы научиться уверенно 3 решать экзаменационные задачи по тригонометрии, нужна трени- ровка. В пятой главе мы описываем типичные приемы решения тригонометрических уравнений и неравенств. Многие из задач к этой главе взяты из материалов приемных экзаменов в Мос- ковский государственный университет и ведущие вузы. Заключительная шестая глава, напротив, посвящена теме, не входящей в программу вступительных экзаменов, но тесно свя- занной с тригонометрией — комплексным числам. Мы надеемся, что наши читатели получат удовольствие от знакомства с этим красивым и важным разделом математики. При написании пятой главы нам помогли беседы с Ж. М. Раб- ботом; часть задач к этой главе мы позаимствовали из известного «Сборника задач по математике для конкурсных экзаменов в ву- зы» под редакцией М. И. Сканави. Многие задачи по планиметрии взяты из сборников И. Ф. Шарыгина. Обсуждение примеров из физики и комплексных чисел многим обязано заслуженно попу- лярным «Фейнмановским лекциям по физике». Работа над этой книгой никогда не была бы завершена, если бы мы не ощущали постоянного внимания и поддержки и не поль- зовались помощью многих и многих людей. Пользуемся случаем выразить им всем глубокую благодарность. Особенно тепло мы хотим поблагодарить Н. Б. Васильева, Ж. М. Раббота и А. Ше- ня, потративших много сил и времени на улучшение рукописи этого пособия. Предисловие ко второму и третьему изданиям Второе издание этого пособия готовилось без участия И. М. Гель- фанда и А. Л. Тоома, поэтому отличия от первого издания неве- лики (самое существенное — иное изложение дистрибутивности скалярного произведения в § 18). Само собой разумеется, что вся ответственность за эти изменения лежит только на мне. В третьем издании исправлен ряд ошибок и добавлены указания и решения к некоторым задачам. С. Львовский 4 Глава 1 Первое знакомство с тригонометрией § 1. Как измерить крутизну Классификация углов из книги по альпи- низму: «Перпендикулярно» — 60 градусов; «Мой дорогой сэр, абсолютно перпендику- лярно!» — 65 градусов; «Нависающе»— 70 градусов. Дж. Литтлвуд. «Математическая смесь». 1.1. Синус Пусть человек поднимается в гору. Будем считать, что склон го- ры — это гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC (рис. 1.1 ). Можно предложить по крайней мере два способа измерения кру- тизны подъема: 1) измерить высоту подъема (отрезок BC на рис. 1.1 а); 2) провести дугу с центром в точке (рис. 1.1 б) и измерить ее дли- ну. Конечно, сама по себе высота подъема ничего не характери- зует: если вы долго идете по склону, то можно подняться высоко даже при пологом склоне. Поэтому нужно рассматривать отно- 5 а) б) Рис. 1.1. шение длины подъема к длине пути (соответственно отношение длины дуги к радиусу) 1 . Эти отношения от длины пути уже не зависят. Вот формальное доказательство того, что отношение длины подъ- ема к длине пути не зависит от этой длины. Пусть человек прошел не весь путь, а дошел только до точки B 0 (рис. 1.2 ). Тогда крутизна подъ- ема на отрезке AB 0 равна B 0 C 0 /A 0 B 0 , а на отрезке AB равна BC/AB. Рис. 1.2. Однако B 0 C 0 k BC как два перпендику- ляра к одной прямой, так что ∠AC 0 B = = ∠ACB = 90 ◦ , ∠AB 0 C = ∠ABC. Стало быть, треугольники ABC и AB 0 C 0 подоб- ны по двум углам, и BC/AB = B 0 C 0 /AB 0 Таким образом, отношение высоты подъ- ема к длине пути не зависит от длины пути. Доказать, что отношение длины ду- ги к радиусу не зависит от радиуса, также можно, но для этого надо формально определить, что такое длина дуги. В этой книжке мы этим заниматься не будем. Определение. Синусом острого угла в прямоугольном треуголь- нике называется отношение катета этого треугольника, лежа- щего против угла, к гипотенузе треугольника (рис. 1.3 ). От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол, это отношение не зависит. 1 Физик объяснил бы это так: высота подъема имеет размерность длины, а крутизна — безразмерное число. 6 Рис. 1.3. sin α = BC/AB. Рис. 1.4. Радианная мера угла AOB — отношение длины дуги AB к радиусу AO. 1.2. Измерение углов Вторая из введенных нами характеристик крутизны называется радианной мерой угла. Определение. Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и с центром в вершине угла, к радиусу этой окружности (рис. 1.4 ). От радиуса окружности это отношение не зависит. Например, когда говорят, что «радианная мера угла равна Рис. 1.5. 1/2», или «величина угла равна 1/2 ра- диана», или попросту «угол равен 1/2 радиана», это значит, что заключенная внутри него дуга вдвое короче радиуса. Если радиус окружности равен 1, то ра- дианная мера угла равна длине дуги. Вычислим радианную меру прямого угла. В соответствии с нашим определе- нием проведем дугу окружности радиу- са r с центром в вершине прямого уг- ла (рис. 1.5 ). Дуга AB составляет чет- верть всей окружности. Коль скоро дли- на окружности радиуса r равна 2πr, дли- на нашей дуги равна 2πr/4 = πr/2, а радианная мера прямого угла равна (πr/2)/r = π/2 ≈ 1,57. 7 Обе введенные нами характеристики крутизны (синус и ра- дианная мера угла) имеют то преимущество перед привычным измерением углов в градусах, что являются естественными; про измерение углов в градусах этого не скажешь: как бы вы стали объяснять представителю внеземной цивилизации, почему один градус составляет именно одну девяностую прямого угла? Кстати, во время Великой французской революции, когда пытались изме- нить все, включая календарь и названия игральных карт, была предложена и новая единица измерения углов — одна сотая пря- мого угла, что ничуть не хуже и не лучше одной девяностой. Выясним, как связаны между собой радианная и градусная меры угла. Как мы уже знаем, величина прямого угла равна π 2 радиан. Так как угол 1 ◦ в 90 раз меньше прямого угла, то и его радианная мера в 90 раз меньше радианной меры прямого угла, то есть равна π 2 : 90 = π/180 ≈ 0,017. Угол в k градусов имеет меру (π/180)k радиан. Чтобы узнать, сколько градусов содержит угол в 1 радиан, надо найти такое k, что (π/180)k = 1. Стало быть, в одном радиане содержится 180/π ≈ 57,29 ◦ Задача 1.1. Заполните пустые места в таблице, после чего выучите таблицу наизусть: градусы 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 150 ◦ 180 ◦ 360 ◦ радианы Задача 1.2. Для каждого из углов 10 ◦ , 30 ◦ , 60 ◦ найдите прибли- женные значения синуса и радианной меры (с двумя значащими цифрами). На сколько процентов отличаются синус и радианная мера для этих углов? Задача 1.3. Пусть радианная мера острого угла равна α. Дока- жите неравенство: sin α < α (словами: синус острого угла меньше его радианной меры). Указание. См. рис. 1.6 8 Рис. 1.6. Рис. 2.1. Тангенс. § 2. Тангенс В предыдущем параграфе мы научились измерять крутизну с по- мощью синуса угла. Есть и другой способ измерения крутизны, составляющий, как пока еще говорят, альтернативу синусу. Представим себе, что человек, поднимаясь по тропе, прибли- жается к крутому берегу (рис. 2.1 ). Если измерять крутизну подъ- ема с помощью отношения высоты подъема к длине пути, то по- лучится уже знакомый нам синус. Давайте теперь вместо длины пройденного человеком пути измерять, насколько он приблизился к берегу по горизонтали. Иными словами, рассмотрим расстояние AC — проекцию пути на горизонталь. В качестве характеристики крутизны возьмем отношение BC/AC. Это отношение называется тангенсом угла. Определение. Тангенсом острого угла в прямоугольном тре- угольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к катету треугольника, прилежащему к углу (рис. 2.1 ). Как и синус угла, тангенс не зависит от выбора прямоуголь- ного треугольника, содержащего этот угол. Обозначается тангенс угла α так: tg α (читается «тангенс альфа»). Задача 2.1. Докажите, что тангенс угла не зависит от размеров прямоугольного треугольника, содержащего этот угол. Задача 2.2. Для данного острого угла α что больше: sin α или tg α? 9 Выясним, как связаны синус и тангенс угла. Пусть, например, известен тангенс угла α; как найти его синус? Воспользуемся тем, что для вычисления tg α годится любой прямоугольный треуголь- ник с углом α; выберем тот из них, что изображен на рис. 2.1 . По теореме Пифагора его гипотенуза равна p 1 + tg 2 α, так что sin α = tg α p 1 + tg 2 α Рис. 2.1. Задача 2.3. Пусть α — острый угол; выведите формулу, выража- ющую tg α через sin α. Задача 2.4. Для каждого из углов 10 ◦ , 30 ◦ , 60 ◦ найдите прибли- женные значения их тангенса. Что больше: тангенс или радианная мера? И на сколько процентов больше? Из предыдущей задачи вы должны были увидеть, что танген- сы фигурировавших в ней углов больше, чем их радианная мера. На самом деле это верно для любых острых углов. Наглядно это можно пояснить с помощью рис. 2.2 а. На нем AC = 1, так что длина дуги CM C 0 равна 2α (мы считаем, что угол измерен в ра- дианах), а длина ломаной CBC 0 равна 2 tg α. Из рисунка ясно, что длина ломаной CBC 0 больше, чем длина дуги CM C 0 , 1 так что 2 tg α > 2α, откуда tg α > α. Аккуратное доказательство этого неравенства вы узнаете, ре- шив следующую задачу. Задача 2.5. Докажите неравенство tg α > α. Указание. Сравните площадь треугольника ABC и сектора AM C (рис. 2.2 б). Площадь сектора равна половине произведения длины дуги, ограничивающей этот сектор, на радиус окружности. 1 Веревочку CBC 0 надо укоротить, чтобы она облегала дугу CM C 0 вплот- ную. 10 а) б) Рис. 2.2. tg α > α. § 3. Косинус Определение. Косинусом острого угла α в прямоугольном тре- угольнике называется отношение катета, прилежащего к углу α, к гипотенузе треугольника (рис. 3.1 ). Рис. 3.1. cos α = AC/AB. От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол α, это отношение не зависит. Косинус угла α обозначается cos α («косинус альфа»). Задача 3.1. Докажите следующие формулы: а) sin(90 ◦ − α) = cos α; б) cos(90 ◦ − α) = sin α; в) tg α = sin α/ cos α. 11 Рис. 3.2. Функции угла 45 ◦ Рис. 3.3. Углы 30 ◦ и 60 ◦ Задача 3.2. Докажите формулу: sin 2 α + cos 2 α = 1. Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора. Задача 3.3. Пусть α — острый угол. Выведите формулу, выража- ющую cos α через tg α: cos α = 1/ p 1 + tg 2 α. Указание. Воспользуйтесь рис. 2.1 из предыдущего параграфа. Задача 3.4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, угол при основании равен α. Найдите: а) основание; б) высоту, опущенную на боковую сторону; в) высоту, опущенную на осно- вание. Не существует простой формулы, позволяющей по величине угла найти точное значение его синуса или косинуса. Тем не менее для некоторых углов точные значения синуса, косинуса и тангенса легко вычислить. Сделаем это для углов 30 ◦ , 45 ◦ и 60 ◦ Начнем с угла 45 ◦ . Чтобы посчитать его синус, косинус и тан- генс, надо, согласно нашим определениям, взять прямоугольный треугольник с углом 45 ◦ . В качестве такого треугольника можно взять половинку квадрата со стороной 1 (рис. 3.2 ). Из теоремы Пифагора ясно, что диагональ этого квадрата рав- на √ 2. Следовательно, из треугольника ACD получаем: sin 45 ◦ = CD/AC = 1/ √ 2 = √ 2/2; cos 45 ◦ = AD/AC = √ 2/2; tg 45 ◦ = CD/AD = 1. 12 Теперь займемся углами 30 ◦ и 60 ◦ . Рассмотрим равносторон- ний треугольник со стороной 1 и опустим в нем высоту (рис. 3.3 ). Эта высота разделит его на два прямоугольных треугольника с ги- потенузой 1 и острыми углами 60 ◦ и 30 ◦ ; при этом AD = 1/2 (высота BD в равностороннем треугольнике является также бис- сектрисой и медианой). По теореме Пифагора находим BD = √ AB 2 − AD 2 = √ 3/2. Теперь, когда длины всех сторон треуголь- ника ABD нам известны, остается только выписать: sin 30 ◦ = AD/AB = 1/2; sin 60 ◦ = BD/AB = √ 3/2; cos 30 ◦ = BD/AB = √ 3/2; cos 60 ◦ = AD/AB = 1/2; tg 30 ◦ = AD/BD = 1/ √ 3 = √ 3/3; tg 60 ◦ = BD/AD = √ 3. Кстати, тот факт, что sin 30 ◦ = 1/2, был известен вам и рань- ше, только в другом обличье, как теорема о том, что катет, лежа- щий против угла 30 ◦ , равен половине гипотенузы. Приведем более сложный пример явного вычисления синуса и коси- нуса. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при основании 72 ◦ и углом при вершине 36 ◦ (рис 3.4 ). Проведем в нем биссектрису AM угла A и подсчитаем все углы. Из рисунка видно, что треугольники ABM и ACM равнобедренные и AC = AM = BM . Если AB = a, то AC = 2a cos 72 ◦ , M C = 2AC cos 72 ◦ = 4a cos 2 72 ◦ ; так как AB = BC = M C + BM = M C + AC, получаем равенство Рис. 3.4. a = 4a cos 2 72 ◦ + 2a cos 72 ◦ , откуда 4 cos 2 72 ◦ + 2 cos 72 ◦ − 1 = 0. Решая это (квадратное) уравнение относительно cos 72 ◦ , получаем cos 72 ◦ = √ 5 − 1 4 Задача 3.5. Найдите cos 36 ◦ Задача 3.6. В окружность вписан правильный пятиугольник. Найдите отношение его стороны к радиусу окружности. Можно доказать, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда 13 отношение его стороны к радиусу описанной окружности можно выра- зить через целые числа с помощью четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня. Решив задачу 3.6 , вы убедитесь, что правильный пятиугольник именно таков. В 1796 году К. Ф. Гаусс окон- чательно выяснил, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки (будущему великому немецкому матема- тику было тогда всего 19 лет, и это была его первая научная работа). В частности, оказалось, что циркулем и линейкой можно построить пра- вильный 17-угольник. Для практических применений нужны не столько точные фор- мулы, сколько приближенные значения синусов и косинусов кон- кретных углов. В прежние времена эти значения собирались в таб- лицы тригонометрических функций. Пример такой таблицы мы приводим ниже. Излишне объяснять, что таблицы, использовав- шиеся на практике, давали значения тригонометрических функ- ций не через 5 ◦ , а с гораздо более мелким шагом. В настоящее вре- мя тригонометрические таблицы утратили былое значение: чтобы приближенно найти синус или косинус угла, достаточно нажать несколько клавиш на микрокалькуляторе или компьютере. Таблица 3.1. Значения тригонометрических функций (с двумя знаками после запятой) α 5 ◦ 10 ◦ 15 ◦ 20 ◦ 25 ◦ 30 ◦ 35 ◦ 40 ◦ sin α 0,09 0,17 0,26 0,34 0,42 0,50 0,57 0,64 tg α 0,09 0,18 0,27 0,36 0,47 0,58 0,70 0,84 α 45 ◦ 50 ◦ 55 ◦ 60 ◦ 65 ◦ 70 ◦ 75 ◦ 80 ◦ 85 ◦ sin α 0,71 0,77 0,82 0,87 0,91 0,94 0,97 0,98 0,99 tg α 1,00 1,19 1,43 1,73 2,14 2,75 3,73 5,67 11,43 Задача 3.7. Найдите с помощью таблицы 3.1 приближенное зна- чение cos 25 ◦ 14 § 4. Малые углы В принципе можно было бы мерить все углы в радианах. На практике широко используется и градусное измерение углов, хо- тя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При этом для малых углов используются специальные единицы: угло- вая минута и угловая секунда. Угловая минута — это 1/60 часть градуса; угловая секунда — это 1/60 часть угловой минуты. Если, например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и 16 секундам, то пишут: 129 ◦ 34 0 16 00 Задача 4.1. На какой угол поворачивается за одну секунду: а) часовая стрелка часов; б) минутная стрелка часов; |