Лекц комплекс СМИОСУ 2017. Конспект лекций для магистрантов специальности 6М070200 Автоматизация и управление
 Скачать 4.07 Mb.
|
Лекция 10 Статические модели в форме управления регрессии и методы их определения (часть 4)Регрессионный анализ в матричной форме. (См.[1] стр.146) Использование матричной формы записи значительно упрощает как запись, так и решение задачи определения коэффициентов уравнения регрессии. Введем следующие обозначения (см. таблицу 10.1). 1). Матрица независимых переменных X – она содержит исходный статистический материал (см. таблицу в предыдущей теме, кроме последнего столбца) в ней n – строк и k+1 столбец: 2). Матрица (вектор) наблюдений Y (вектор – столбец): в нем n – строк. X и Y известны в результате проведенного пассивного эксперимента. Матрица (вектор) искомых коэффициентов уравнения регрессии B (вектор – столбец): в нем k+1 – строк. Целью является определение вектора B по известным X и Y по формуле (10.2). Таблица 10.1 Элементы матричной записи при регрессионном анализе
Матрицу  называют информационной матрицей (матрицей моментов), а  матрицей ошибок или ковариационной матрицей. В матричной форме система нормальных уравнений запишется:  (10.1)Решение этого уравнения имеет вид (хорошо запомните эту формулу!):  (10.2)Уравнение (4.15) легко реализуется, например, на Mathcad и широко применяется также и в методах планирования эксперимента. Однако вычисление вектора коэффициентов В иногда не может быть вычислено из-за вырожденности матрицы  . Это может происходить, например, если элементы матрицы Х очень сильно отличаются друг от друга. Например, когда один из элементов равен 0.00005, в другой 100000.0.Для определения остаточной дисперсии определяют матрицу столбец  (10.3)Числитель остаточной дисперсии получают по формуле:  (10.4)Рассмотрим пример применения регрессионного анализа для построения математической модели с тремя входами и одним выходом в виде (10.5):  (10.5)Или, что-то же, в виде:  (10.5А)Исходные данные для построения математической модели приведены в таблице 10.2. На основе эксперимента в ней заполнены столбец 2 (значения выхода – Y) и столбцы 4-6 (значения входов Х1, Х2 и Х3). Эти значения выделены в таблице жирным шрифтом. Столбец 3 заполнен значениями равными 1, а столбцы 7-13 значениями, вычисленными на основе значений столбцов 4-4. Проведено 20 опытов. Таблица 10.2 Исходные данные для примера построения математической модели
Таким образом, заданы значения вектора Y (столбец 2) и матрицы X (столбцы 3-13) имеющие значения:   Далее вычислив, например, в системе Mathcad по формуле (10.2)  получаем вектор одиннадцати значений коэффициентов В: Можно произвести проверку, результаты которой сведены в таблицу 4.3. Расчетное значение выхода  можно получить, применив формулу (10.5А) или её матричный аналог в виде: . Полученную нами математическую модель можно считать адекватной, т.к. Значение критерия R2 = 0,9724 достаточно близко к единице.Таблица 4.1 Результат проверки адекватности математической модели
Основная литература Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии: Учебное пособие для вузов. - 2-е изд., перераб. и дополненное. -М.: Высшая школа, 1985. -327с. Построение математических моделей химико-технологических процессов. Под ред. Дудникова Е.Г. - Л.: Химия, 1970. –312 с. Практикум по автоматике и системам управления производственными процессами: учеб. пособие для вузов /под ред. И.М.Масленникова. -М.: Химия, 1986. -336с. Дополнительная литература Толчеев В.О., Ягодкина Т.В. Методы идентификации линейных одномерных динамических систем. -М.: Изд-во МЭИ, 1997 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
