ТВ. и МС.( ЧТЮ) МЕТОДИЧКА 1,2 раздел. кубанский государственный аграрный университет

• Название: кубанский государственный аграрный университет
• Анкор: ТВ. и МС.( ЧТЮ) МЕТОДИЧКА 1,2 раздел.docx
• Дата: 27.09.2017
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: ТВ. и МС.( ЧТЮ) МЕТОДИЧКА 1,2 раздел.docx
• Тип: Документы; #9017
• страница: 5 из 15

Составить закон распределения случайных величин: а) Z=Х+У; б) V=ХУ. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайных величин Z и V.

23. 
    В бригаде два звена тракторов. В первом звене 3 трактора, причем вероятность безотказной работы каждого из них в течение смены равна 0,9. Во втором звене 2 трактора, вероятность безотказной работы первого из них равна 0,8, а второго 0,7. Составить закон распределения случайной величины Х – числа тракторов, работавших безотказно в бригаде. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
    
24. 
    Два стрелка производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна N: (N+5), вторым N: (N+2). Составить закон распределения случайной величины Z=Х+У, где Х - число поражений мишени первым стрелком, У – число поражений мишени вторым стрелком. Найти числовые характеристики случайной величины Z.
    
25. 
    Случайные величины Х – площадь посева овощей на хозяйство (га) и У – урожайность овощей с 1 га (т) имеют следующие распределения:
    

Х	1	2	3		У	10	15	20
рх	0,1	0,6	0,3		ру	0,2	0,5	0,3

Определить средний валовой сбор овощей на хозяйство, дисперсию и среднее квадратическое отклонение валового сбора овощей.

26. 
    Два независимо работающих станка могут выпускать бракованные изделия за 1 час в соответствии со следующими законами распределения:
    

1 станок 2 станок

Х	0	1	2		У	0	1	2
рх	0,1	0,6	0,3		ру	0,2	0,6	0,2

Найти закон распределения случайной величины Z – числа единиц выпуска бракованных изделий для двух одновременно работающих станков. Построить график распределения случайной величины Z . Найти M(Z), D(Z), σ(Z).

27. 
    В учреждении заработная плата служащих на начало января текущего года имела следующий закон распределения:
    

Х	13000	14000	15000	16000
р	0,1	0,15	0,6	0,15

где x – величина заработной платы для определенной категории служащих, руб.; р – доля служащих определенной категории.

В первом полугодии заработную плату повысили на 30 %, во втором полугодии заработная плата выросла по каждой категории служащих на 300 руб. Cоставить закон распределения случайной величины У - заработной платы на конец года. Определить изменение среднего уровня заработной платы за год.

28. 
    Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=1 с вероятностью р₁=0,2; х₃=5 с вероятностью 0,3 и х₂ с вероятностью р₂. Найти х₂ и р₂, если известно, что М (Х)=3.
    
29. 
    Вероятность сдать экзамен студентом на «отлично» равна 0,3, на «хорошо» – 0,4. Определить вероятности получения других оценок (2;3), если известно, что М(Х)=3,9.
    
30. 
    Вероятность выигрыша по лотерейному билету составляет 0,02. Найти М(Х) и (Х) - числа выигранных билетов, если их было приобретено 100.
    
31. 
    По одному тиражу лотереи куплено 100 билетов. Среднее квадратическое отклонение числа выигранных билетов равно трем. Найти вероятность выигрыша по одному билету лотереи.
    
32. 
    Подброшены две игральные кости. Найти М(Х), где Х - случайная величина – сумма числа очков, которые могут появиться на двух выпавших гранях.
    
33. 
    Хозяйство продает крупный рогатый скот живым весом х₁ и х₂ (х₂ > x₁). Вероятность того, что крупный рогатый скот будет продан весом х₁ равна 0,4. Найти закон распределения случайной величины Х – веса крупного рогатого скота, если математическое ожидание составило 4,60 ц, а дисперсия 0,24.
    
34. 
    Совокупность семей имеет следующее распределение по числу детей:
    

Х	х1	х2	2	3
р	0,1	р2	0,4	0,35

Определить х₁, х₂, р₂, если известно, что М(Х)=2, D(Х)=0,9.

35. 
    Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
    

Х	1	х2	х3	8
р	0,1	р2	0,5	0,1

Найти х₂, х₃, р₂, если известно, что М(Х)=4, М(Х²)=20,2.

36. 
    Совокупность студентов имеет следующее распределение по результатам сдачи сессии:
    

Х	2	3	4	5
р	0,1	р2	р3	р4

Найти вероятности получения удовлетворительных, хороших и отличных оценок, если известно, что математическое ожидание (среднее значение) результатов сдачи экзаменов составило 3,7, а среднее квадратическое отклонение 0,9.

37. 
    По данным задачи 14 определить модальное и медианное значения случайной величины Х, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
    
38. 
    По данным задачи 25 определить модальное и медианное значение валового сбора, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
    

5 НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Непрерывная случайная величина X принимает значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Она может быть задана функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) или плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией).

Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения Х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х, т.е. . Функция распределения имеет следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) . (5.1)

Плотностью распределения вероятностей называют первую производную от функции распределения: . Функция плотности вероятностей имеет следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) ; (5.2)

4) . (5.3)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется по формуле:

. Если . (5.4)

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, определяется по формуле:

, или . (5.5)

Если . (5.6)

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии:

(5.7)
1 Даны законы распределения дискретной случайной величины:

а)

Х	1	4	6	8
р	0,1	0,3	0,4	0,2

б)

Х	-2	5	7	9
р	0,4	0,3	0,2	0,1

Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее

график.

2. 
   По данным задачи 5, темы 4 составить функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.
   
3. 
   По данным задачи 6, темы 4 составить функцию распределения случайной величины Х и начертить ее график
   
4. 
   По одному варианту задачи 14, темы 4 составить функцию распределения случайной величины Х и начертить ее график.
   
5. 
   Найти функцию распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель, если произведено три выстрела с вероятностью попадания в цель при каждом выстреле 0,8.
   
6. 
   Вероятность сдачи первого экзамена студентом составляет 0,7, второго 0,6 и третьего 0,8. Найти функцию распределения случайной величины Х-числа экзаменов, сданных студентом. Определить М(Х).
   
7. 
   Случайная величина Х задана функцией распределения:
   

а) б)

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина

Х примет значение: а) меньше 0; б) меньше 1; в) не меньше 1;

г) заключенное в интервале (0;2).

2. 
   Дана функция распределения случайной величины Х:
   

а) б)

Найти вероятность того, что в результате шести испытаний случайная величина Х два раза примет значение, принадлежащее интервалу (0;1).

2. 
   Случайная величина задана функцией:
   

а) б)

Найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию) случайной величины Х; б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

10 Дана функция распределения случайной величины Х:


а) Определить вероятность попадания случайной величины в интервал

(-а;а). б) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

11 Случайная величина Х задана функцией:

а) б)
Найти значения А и В, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

12 Случайная величина Х задана функцией:



Найти: а) плотность распределения случайной величины Х; б) вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величина Х хотя бы один раз примет значение, принадлежащее интервалу ; в) начертить графики функций.

13 Случайная величина Х задана функцией:



Найти: а) плотность распределения случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (2,5; 3); в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х; г) моду и медиану величины Х. Построить графики функций.

14 Случайная величина Х задана плотностью распределения:



Найти: а) функцию распределения F(x); б) вероятность попадания случайной величины в интервал

15 Случайная величина Х задана плотностью распределения:



Определить: а) функцию распределения случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (1;1,2). Начертить графики функций F(x) и f(x).

16 Случайная величина Х задана плотностью распределения:



Определить: а) функцию распределения случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (ln2; 1,2ln 2). Начертить графики функций F(x) и f(x).

17 Случайная величина Х задана плотностью распределения:



Найти: а) функцию распределения случайной величины Х; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале ; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

18 Случайная величина Х задана плотностью распределения:



Найти: а) функцию распределения случайной величины Х и начертить её график; б) вероятность попадания случайной величины Х в интервал ; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

19 Случайная величина Х задана функцией:



Определить: а) значение а; б) математическое ожидание; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (1;2). Построить графики функций F(x) и f(x).

20 Дана функция распределения:



Построить графики функций F(x) и f(x). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

21 Случайная величина задана плотностью распределения:



Найти: а) постоянную с; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

22 Случайная величина Х задана дифференциальной функцией при Найти постоянную с.

23 Случайная величина Х задана функцией распределения



Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал (-1;3).

6 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Наиболее часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные значения Х, плотность распределения сохраняет постоянное значение (6.1)

Функция распределения имеет вид:

(6.2)

. (6.3)

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

, . (6.4)

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β):

, (6.5)

где - функция Лапласа, причем ,

при .

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения будет меньше положительного числа δ:

. (6.6)

В частности, если а = 0, то . (6.7)

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью:

(6.8)

где λ – постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона:

(6.9)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (a, b), распределенной по показательному закону:

. (6.10)

. (6.11)

1. 
   Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-2;N). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) интегральную функцию случайной величины Х; в) вероятность попадания случайной величины в интервал ; г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
   
2. 
   Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равномерно распределенной в интервале: а) (5; 11); б) (-3; 5). Начертить графики этих функций.
   
3. 
   Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (2; 6), причем Д(х) = 12. Найти функции распределения случайной величины Х. Начертить графики функций.
   
4. 
   Для исследования продуктивности определенной породы домашней птицы измеряют диаметр яиц. Наибольший поперечный диаметр яиц представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 5 см и средним квадратическим отклонением 0,3 см. Найти вероятность того, что: а) диаметр взятого наудачу яйца будет заключен в границах от 4,7 до 6,2 см; б) отклонение диаметра от среднего не превзойдет по абсолютной величине 0,6 см.
   
5. 
   Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием 1000 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет: а) от 900 до 1300 г; б) не более 1500 г; в) не менее 800 г; г) отличаться от среднего веса по модулю не более чем на 200 г; д) начертить график дифференциальной функции случайной величины Х.
   
6. 
   Урожайность озимой пшеницы по совокупности участков распределяется по нормальному закону с параметрами: а = 50 ц/га, = 10 ц/га. Определить: а) какой процент участков будет иметь урожайность свыше 40 ц/га; б) процент участков с урожайность от 45 до 60 ц/га.
   
7. 
   Выборочным методом измеряется засоренность зерна, случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 0,2 г и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из четырех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 0,3 г.
   
8. 
   Количество зерна, собранного с каждой делянки опытного поля, есть нормально распределенная случайная величина Х, имеющая математическое ожидание 60 кг и среднее квадратическое отклонение 1,5 кг. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9906 будет заключена величина Х. Написать дифференциальную функцию этой случайной величины.
   
9. 
   С вероятностью 0,9973 было установлено, что абсолютное отклонение живого веса случайно взятой головы крупного рогатого скота от среднего веса животного по всему стаду не превосходит 30 кг. Найти среднее квадратическое отклонение живого веса скота, считая, что распределение скота по живому весу подчиняется нормальному закону.
   
10. 
    Урожайность овощей по участкам является нормально-распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 300 ц/га и средним квадратическим отклонением 30 ц/га. С вероятностью 0,9545 определить границы, в которых будет находиться средняя урожайность овощей на участках.
    
11. 
    Нормально-распределенная случайная величина Х задана дифференциальной функцией:
    

.

Определить: а) вероятность попадания случайной величины в интервал

(3; 9); б) моду и медиану случайной величины Х.

12. 
    Торговая фирма продает однотипные изделия двух производителей. Срок службы изделий подчиняется нормальному закону. Средний срок службы изделий первого производителя составляет 5,5 тыс. часов, а второго 6 тыс. часов. Первый производитель утверждает, что с вероятностью 0,95 срок службы его изделия находится в границах от 5 до 6 тыс. часов, а второй, с вероятностью 0,9, в границах от 5 до 7 тыс. часов. Изделия какого производителя имеют большую колеблемость срока службы.
    
13. 
    Месячная заработная плата работников предприятия распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием а = 10 тыс. руб. Известно, что 50 % работников предприятия получает заработную плату от 8 до 12 тыс. руб. Определить, какой процент работников предприятия имеет месячную заработную плату от 9 до 18 тыс. руб.
    
14. 
    Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если: а) параметр ; б) ; в) . Начертить графики функций.
    
15. 
    Случайная величина Х распределена по показательному закону, причем . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал: а) (0; 1); б) (2; 4). Найти М(Х), Д(Х), (Х).
    
16. 
    Найти М(Х), Д(Х), (Х) показательного закона распределения случайной величины Х заданной функцией:
    

если: а) ; б) ; в) .

17. 
    Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность безотказной работы первого имеет показательнее распределение , второго . Найти вероятность того, что за время длительностью 20 часов: а) оба элемента будут работать; б) откажет только один элемент; в) откажет хотя бы один элемент; г) оба элемента откажут.
    
18. 
    Вероятность того, что оба независимых элемента будут работать в течении 10 суток равна 0,64. Определить функцию надежности для каждого элемента, если функции одинаковы.
    
19. 
    Среднее число ошибок, которые делает оператор в течение часа работы равно 2. Найти вероятность того, что за 3 часа работы оператор сделает: а) 4 ошибки; б) не менее двух ошибок; в) хотя бы одну ошибку.
    
20. 
    Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 4 вызова; б) не менее трех вызовов.
    
21. 
    Случайная величина Х распределена по закону Коши
    

.

Определить: а) интегральную функцию случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (-).

22. 
    Случайная величина Х распределена по закону Релея
    

Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2), при а = 1; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

23. 
    Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, имеет вид:
    

Определить: а) размер годового дохода, который для случайно взятого

лица будет превышен с вероятностью 0,8; б) дифференциальную

функцию случайной величины Х; в) математическое ожидание

случайной величины Х, при .

24. 
    Случайная величина Х распределена по закону прямоугольного треугольника (рис. 1) в интервале (0; а). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) интегральную функцию; в) вероят-
    

ность попадания случайной величины

в интервал (); г) математическое

ожидание, дисперсию и среднее квад-

ратическое отклонение случайной

величины Х.


0 а х

Рисунок 1.

25. 
    Случайная величина Х распределена по закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») (Рис. 2) на интервале (-а; а). Найти: а) дифференциальную функцию распределения вероятностей случайной величины Х;
    

f(x)

б) интегральную функцию и построить ее график; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (-); г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Рисунок 2.
7 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
а) Функция одного случайного аргумента.

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины У, то У называют функцией случайного аргумента Х. У = φ(Х).

Пусть аргумент Х дискретная случайная величина. Тогда случайная величина У = φ(Х) также дискретная случайная величина.

Если аргумент Х принимает значение х_i с вероятностью Р_xi, то случайная величина У принимает значение с той же вероятностью .

Пусть аргумент Х – непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(x). Если у = φ(х) – дифференцируемая, строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой х = ψ(y), то плотность распределения g(у) случайной величины У находится:

. (7.1)

Если функция У = φ(Х) в интервале возможных значений Х не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция φ(х) монотонна, и найти плотности распределения g_i(у) для каждого из интервалов монотонности, а затем представить g(у) в виде суммы:

. (7/2)

Например, если функция φ(х) монотонна на двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции и то

. (7.3)

б) Функция двух случайных аргументов.

Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Х и У.

. (7/4)

Если Х и У – дискретные независимые случайные величины, то для того чтобы найти распределение функции Z = X + Y надо найти все возможные значения и их вероятности .

Если Х и У – непрерывные случайные величины , то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y, при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (- ∞; ∞), находится по формуле:

, или , (7.5)

где f₁ и f₂ – плотности распределения аргументов Х и У.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z = X + Y находят по формуле:

, или . (7.6)

Если Х и У – независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения и , то вероятность попадания случайной точки (Х, У) в область S равна:

. (7.7)

1. 
   Дискретная случайная величина задана законом распределения:
   

Х	0	1	4
р	0,3	0,5	0,2

Найти закон распределения случайной величины У, где: а) У=2Х-1;

б) У=Х+5; в) У=Х²-2; г) У=. Определить М(У).

2. 
   Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
   

Х	-2	-1	0	1
р	0,2	0,4	0,1	0,3

Найти закон распределения случайной величины У, где: а) У=2Х+1; б)У=Х³-1; в) У=Х²; г) У=. Определить М(У).

3. 
   Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
   

Х	1	2	4	5
р	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины У, если: а) У=4Х-4; б) У=Х².

4. 
   Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
   

Х
р	0,2	0,7	0,1

Найти: а) закон распределения случайной величины У=sin² X; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины У.

4. 
   Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (2;10). Найти дифференциальную функцию случайной величины: а) Y = 0,5 X – 1; б) Y = X²; в) . Определить М(У), Д(У), σ(У).
   
5. 
   Случайная величина Х равномерно распределена в интервале ( -; ). Найти дифференциальную функцию случайной величины:
   

а) Y = sin X; б) У= cos X.

4. 
   Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а = 2, =1. Найти дифференциальную функцию случайной величины:
   

а) У=2Х+6; б) У=Х³.

4. 
   Непрерывная случайная величина Х задана функцией
   

Найти дифференциальную функцию случайной величины: а) ; б) .

4. 
   Сторона квадрата Х имеет равномерное распределение на отрезке [1;2]. Найти плотность вероятности площади квадрата.
   
5. 
   Случайная величина Х распределена по закону Коши:
   

.

Найти дифференциальную функцию случайной величины: а) У=Х³;

б) У=3Х.

4. 
   Независимые случайные величины Х и У распределены равномерно. Случайная величина Х распределена в интервале (0; 2), а случайная величина У в интервале (0; 10). Найти интегральную и дифференциальную функции случайной величины Z=X+У. Построить графики интегральной и дифференциальной функций случайной величины Z.
   
5. 
   Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-4; 1), а случайная величина У равномерно распределена в интервале (1; 6). Найти дифференциальную функцию случайной величины Z=X+У и начертить ее график.
   
6. 
   Независимые случайные величины Х и У заданы дифференциальными функциями:
   

Найти дифференциальную функцию случайной величины Z=X+У.

4. 
   Независимые случайные величины Х и У распределены по нормальному закону:
   

, .

Найти дифференциальную функцию случайной величины Z=X+У. Показать, что случайная величина Z распределяется по нормальному закону.

4. 
   Натуральный логарифм некоторой случайной величины Х распределен по нормальному закону с центром рассеивания и средним квадратическим отклонением . Найти плотность распределения случайной величины Х.