Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
Пример: 6sin IV y y − = x Характеристическое уравнение: 4 1 0 k − = , 1 2 3 4 1, 1, , k k k i k i = = − = = − . Общее решение однородного уравнения 1 2 3 4 cos sin x x y C e C e C x C x − = + + + , ( ) 6sin f x x = имеет вид: Лекции 12 - 13 318 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 cos sin , 0, 1, 0, 1 x x x f x P x e x R x e x P x e α α β β α = + = = = β = , ( ) 0 6, 0 1 R x i i α β = + = + ⋅ = i совпадает с корнем решение ищем в виде: 3 k → ( ) 0 0 0 0 0 0 cos sin , ' cos sin sin cos y x A x B x y A x A x x B x xB = + = − + + x , 0 0 0 0 " 2 sin 2 cos cos sin y A x B x A x x B x = − + − − x , 0 0 0 0 '" 3 cos sin 3 sin cos y A x A x x B x B x = − + − − x , 0 0 0 0 4 sin cos 4 cos sin IV y A x A x x B x B x = + − + x . Подстановка этих значений в исходное уравнение дает 0 0 4 sin 4 cos 6sin , A x B x x − = , откуда 0 0 0 6 3 4 6, , 4 2 A A B = = = = 0 и 1 2 3 4 3 3 cos , cos sin cos 2 2 x x y x x y C e C e C x C x x x − = = + + + + 13.5. Таблица 6. Решение НЛДУ n-го порядка , ( ( ) ( ) ( ) n) n-1 n-2 1 2 n y + a y + a y + ...+ a y = f x O.H. O.O. Ч.Н. y = y + y 13.5.1. Метод неопределенных коэффициентов Вид правой части Корни характеристического уравнения Вид частного решения 1. ( ) ( ) n f x P x = - многочлен степени n а) число 0 не является корнем б) число 0 является корнем кратности r ( ) n y Q x = ( ) r n y x Q x = 2. ( ) ( ) x n f x e P x α = а) число α не является корнем б) число α является корнем кратности r ( ) x n y e Q x α = ( ) r x n y x e Q x α = Линейные дифференциальные уравнения 319 3. ( ) cos f x A x β = + sin B x β + а) число i β не является корнем б) число i β является корнем кратности r 1 1 cos sin y A x B x β β = + 1 ( cos r y x A x β = + 1 sin ) B x β + 4. ( ) ( )cos n f x P x x β = + ( )sin m R x x β + а) число i β не является корнем б) число i β является корнем кратности r cos k y Q x β = + sin , max( , ) k M x k n m β + = ( cos r k y x Q x β = + + sin ) k M x β 5. ( ) [ ( ) x n f x e P x α = ⋅ cos ( )sin ] m x R x x β β ⋅ + а) число i α β + не явля- ется корнем б) число i α β + является корнем кратности r [ cos sin ] x k k y e Q x M x α β β = + + [ cos sin ] r x k k y x e Q x M x α β β = + + Здесь - многочлены с неопределенными коэффициентами. , , Q R M 13.5.2. Метод вариации произвольной постоянной ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) O H n n y c x y c x y c x y = + + + … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 0, 0, 0, n n n n n n n n n n n n c y c y c c y c y c c y c y c y c y c y c y f x − − − − − − , ′ ′ ′ + + + = ⎧ ⎪ ′ ′ ′ ′ ′ + + + = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ′ ′ ′ + + + = ⎪ ⎪ ′ ′ ′ + + + = ⎩ … … … … … 1 1 1 2 2 2 , , n n c c dx c c c dx c c c dx c ′ ′ ′ = + = + = + n ∫ ∫ ∫ … Если 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k f x f x f x f = + + + … x , то частное решение представляет сумму частных решений, соответствующих каждому слагаемому в пра- вой части. ! В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: основные понятия и методы решения ОЛДУ и НЛДУ; специальные методы решения ОЛДУ и НЛДУ с постоянными коэффициентами. Лекция 14 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В лекции рассмотрены системы дифференциальных уравнений (ДУ) и методы их решения. Особое внимание уделено линейным системам с постоянными коэффициентами, которые возникают при решении многих задач механики и электротехники. 14.1. Основные понятия 14.2. Метод исключения неизвестных 14.3. Линейные системы ДУ 14.4. Однородные системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами 14.5. Неоднородные системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами 14.1. Основные понятия Система n ДУ первого порядка с n неизвестными функциями 1 2 , ,..., n x x x от одной переменной t вида О 1 1 1 2 2 1 1 ( , ,..., ), ( , ,..., ), ( , ,..., ), n n n n n x f t x x x f t x x x f t x x ′ = ′ = ′ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ называется нормальной системой обыкновенных ДУ. Общим решением системы называется совокупность n функций от t и n произвольных постоянных: О 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , ,..., ), ( , , ,..., ), ( , , ,..., ), n n n n n x x t c c c x x t c c c x x t c c c = = = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ которые удовлетворяют всем уравнениям системы. ! Любая система ДУ может быть приведена к нормальному виду. Пусть, например, система состоит из n уравнений порядка : m Системы дифференциальных уравнений 321 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 m m m n n n m m m n n n m m n n 1 1 m m x f t,x ,x ,x ,...,x , x ,x ,...,x , ..., x ,x ,...,x , x f t,x ,x ,x ,...,x , x ,x ,...,x , ..., x ,x ,...,x , .............................. x f t,x ,x ,x ,...,x , x , − − − − − ′ ′′ ′ ′ = ′ ′′ ′ ′ = ′ ′′ ′ = ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 m m n n n − − x ,...,x , ..., x ,x ,...,x . − − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ′ ⎪⎩ Переобозначим функции: 1 0 1 2 0 2 0 , , n , n x x , x x , ..., x x = = = и введем допол- нительные: ( ) ( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 m , , ,m m , , ,m m n, n n, n n,m n x x , x x , ..., x x , x x , x x , ..., x x , ..................................................... x x , x x , ..., x x . − − − − − − ′ ′′ = = = ′ ′′ = = = ′ ′′ = = = В новых обозначениях уравнения системы принимают вид: ( ) 1 0 11 11 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 0 11 1 2 1 1 2 0 2 1 2 1 0 1 1 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 , , , , ,m ,m ,m , , , ,m , , ,m n, n, n,m , , , , ,m ,m ,m x x , x x , ............... x x , x f t,x ,x ,x ,...,x ,x ,x ,...,x ,...,x ,x ,...x , x x , x x , ............... x x , x f t,x − − − − − − − − ′ = ′ = ′ = ′ = ′ = ′ = ′ = ′ = ( ) 1 0 11 1 2 1 1 2 0 2 1 2 1 0 1 1 0 1 , , , ,m , , ,m n, n, n,m n, n, ,x ,x ,...,x ,x ,x ,...,x ,...,x ,x ,...x , ....................................................................................................................... x x , − − − ′ = ( ) 1 2 2 1 1 2 1 0 11 1 2 1 1 2 0 2 1 2 1 0 1 1 n, n, n,m n,m n,m , , , ,m , , ,m n, n, n,m x x , ............... x x , x f t,x ,x ,x ,...,x ,x ,x ,...,x ,...,x ,x ,...x . − − − − − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ = ⎪ ⎪ ⎪ ′ = ⎪ ⎪ ′ = ⎪⎩ − − Вместо системы уравнений порядка получена нормальная система из n уравнений. n m m × Лекция 14 322 14.2. Метод исключения неизвестных Нормальная система n ДУ первого порядка сводится к одному ДУ n-го порядка методом исключения неизвестных. Проиллюстрируем этот метод решения на примерах. Пример: Найдите решение системы 2 sin , 2 dx y t dt dy x dt y ⎧ = + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ Решение: Продифференцируем первое уравнение: 2 2 2 co d x dy y t dt dt = + s ; подставим dy dt из второго уравнения: 2 2 cos d x x t dt = + ; получим НЛДУ второго порядка для : ( ) x t 2 2 cos d x x t dt − = Его решение x x x = + , , 0 1 2 = − k 1 ± = k , 1 2 t t x c e c e − = + , 1 cos 2 x t = − , 1 2 1 cos 2 t t x c e c e t − = + − , 1 2 1 sin 2 t t dx c e c e t dt − = − + , 2 1 2 1 sin sin 2 t t dx y t c e c e dt − = − = − − t Ответ: 1 2 1 2 1 2 1 cos , 2 1 sin 2 t t t t x c e c e t y c e c e t − − ⎧ = + − ⎪⎪ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ = − − ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ В качестве примера решим систему уравнений второго порядка. Пример: Решите систему 2 2 2 2 , d x y dt d y x dt ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ Решение: Дважды продифференцируем первое уравнение 2 4 2 4 d y d x dt dt = , подставим во второе 4 4 d x x dt = , (4) 0 x x − = , 4 1 0 k − = , , 1,2 1 k = ± 3,4 k i = ± Ответ: 1 2 3 4 1 2 3 4 cos sin , cos sin . t t t t x c e c e c t c t y x c e c e c t c t − − ⎡ = + + + ⎢ ′′ = = + − − ⎢⎣ Системы дифференциальных уравнений 323 14.3. Линейные системы ДУ Нормальная линейная система ДУ с n неизвестными функциями 1 2 , ,..., n x x x ( ) i b t n от одной переменной t имеет вид: 1 11 1 12 2 1 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n n n n nn n n x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x b ′ = + + + + ⎧ ⎪ ′ = + + + + ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ′ = + + + + ⎩ где коэффициенты и - известные функции t или постоянные, ik a i b , 1,2,..., i k n = Система называется неоднородной, если хотя бы одна из функций отлична от нуля для ( 1,..., ) i = ( , ) t a b ∈ ; в противном случае система на- зывается однородной. О 14.4. Решение линейных однородных систем ДУ с постоянными коэффициентами 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , n n n n n n n nn n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ′ = + + + ⎧ ⎪ ′ = + + + ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ′ = + + + ⎩ 14.4.1. Метод исключения неизвестных Из уравнений системы, а также из уравнений, получающихся дифферен- цированием уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные ( n- 1) функции, кроме одной k x , для которой получают одно ДУ более высокого порядка: ( ) ( 1) ( 2) 1 2 0 n n n k k k n k x a x a x a x − − + + + + = Интегрируя это уравнение, находят одну из неизвестных функций, а ос- тальные ( n-1) неизвестные функции определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся при дифференцировании, без интегрирования. Рассмотрим однородную систему двух уравнений: 11 12 21 22 , , x a x a y y a x a y ′ = + ⎧ ⎨ ′ = + ⎩ где ( ), ( ) x t y t - искомые функции, а a - постоянные. ij |