Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
Федеральное агентство по образованию ГОУВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ» А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко МАТЕМАТИКА Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 УДК 51/075.8 ББК 22.1я73 С54 Рецензенты: зав. кафедрой физики УГЛУ, доктор физ-мат. наук, проф. М.П. Кащенко, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН, доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев С 54 А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко Математика: Курс лекций для технических вузов / А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 359 с. ISBN 5-321-00532-Х Курс лекций по дисциплине ЕН.Ф.01 «Математика» предназначен для студентов, изучающих данную дисциплину в объеме 540 – 800 часов в тече- ние 4 семестров. Содержание лекций соответствует ГОС и рабочим програм- мам технических специальностей. Первая часть включает 16 лекций и содержит материал, обычно изучае- мый в первом семестре, – линейная алгебра, векторная алгебра, аналитиче- ская геометрия, основы математического анализа (функции, пределы, произ- водная). Вторая часть включает 16 лекций и содержит материал, обычно изучае- мый во втором семестре, – исследование функций, неопределенный и опре- деленный интегралы, дифференциальные уравнения, дифференциальное ис- числение функций нескольких переменных. Электронная версия книги, используемая в аудиториях, сопровождается дополнительным иллюстративным материалом. Наряду с курсом лекций существуют пособия, рассматривающие реше- ние типичных задач и способствующие усвоению понятий и методов. ББК 51 (075.8) УДК 22.1я 73 ISBN 5-321-00532-Х © ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университете – УПИ», 2005 © А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко, 2005 ПРЕДИСЛОВИЕ Курс лекций предназначен для студентов технических университетов и состоит из четырех частей, в которых излагается теоретический материал курса математики для инженеров. В первой части излагаются следующие разделы: линейная алгебра, ана- литическая геометрия, начала математического анализа (теория пределов и дифференцирование). Во второй части излагаются следующие разделы: исследование функ- ций, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные урав- нения, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных В начале каждой лекции приведены заголовки разделов. В совокупности эти заголовки образуют программу дисциплины и являются базой вопросов для тестовых и экзаменационных заданий. Звездочкой помечены разделы, предназначенные для более глубокого изучения. В конце каждой лекции при- веден список ключевых понятий. В лекциях студент найдет основные определения, формулировки теорем, примеры, демонстрирующие методы решения типичных задач. Если отсутст- вуют доказательства каких–либо утверждений, то формулировки результатов сопровождаются примерами, разъясняющими их смысл. В тексте приняты следующие условные обозначения: О определение теорема следствие замечание Т С ! Лекции 1-2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ В лекциях 1 – 2 излагаются элементы линейной алгебры, в них приведены первона- чальные сведения о матрицах и определителях и их применении. Матричное исчисление широко применяется в различных областях математики (решение систем линейных урав- нений, векторная алгебра, дифференциальные уравнения, теория вероятности), механики, электротехники, теоретической физики и т.д. Матричное исчисление позволяет в ком- пактной форме получить решение реальных задач, содержащих большое количество пе- ременных. 1.1. Понятие матрицы. Частные виды матриц 1.2.* Перестановки и подстановки 1.3.* Понятие определителя любого порядка 1.4. Определители второго и третьего порядка 1.5. Свойства определителей 1.6. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу) 1.7. Методы вычисления определителя n-го порядка 1.7.1. Метод понижения порядка 1.7.2. Метод сведения к треугольному виду 2.1. Операции над матрицами 2.2. Обратная матрица. Теорема о существовании левой и правой обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы 2.3. Решение матричных уравнений 2.4. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров. Элементарные преобразования матриц Ниже будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов: 1 2 1 , n j n j a a a a = = + + + ∑ … 1 2 1 n j n j a a a a = = ⋅ ⋅ ⋅ ∏ … 1.1. Понятие матрицы. Частные виды матриц Матрицей размерности называется прямоугольная таблица чисел m × n ij a О 11 12 1 21 22 2 , , 1 2 ( ) n n ij ij m n m n m m mn a a a a a a A a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , Лекции 1-2 6 n где , расположенных в строках и столбцах. Числа называют элементами матрицы. Числа - индексы элемента матрицы, ука- зывающие его местоположение: - номер строки, 1,..., ; 1,..., i m j = = m n ij a ,i j i j - номер столбца. Число элементов матрицы определяется как произведение числа строк на число столбцов n . m n × m Частные виды матриц О Нулевой матрицей размерности ∅ m n × называется матрица, все эле- менты которой равны нулю, например: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Матрица размерности 1 n × называется матрицей-строкой или просто строкой, например: ( ) 1,3 2 1 7,3 B = О О Матрица размерности 1 m × называется матрицей-столбцом или просто столбцом, например: C 3,1 7 3,5 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ О Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов, m n = . Число называется порядком матрицы, например при n=3: n 3,3 3 1 2 0 7 0 4 5 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ D О Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, со- ставленная из чисел , идущая из левого верхнего угла в пра- вый нижний; побочной называется диагональ, идущая из правого верх- него угла в левый нижний: 11 22 , ,..., nn a a a Определители и матрицы 7 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ E О Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали, равны нулю: 6 0 0 0 2 0 0 0 11 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ О Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю: 4 1 2 0 7 5 0 0 1 D ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - верхняя треугольная матрица; 3 0 0 6 2 0 4 8 1 D ⎛ ⎞ ⎜ = − ⎜ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ - нижняя треугольная матрица. О Квадратная диагональная матрица с единичными элементами называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ О Транспонированием матрицы называется преобразование, состоящее в замене строк столбцами с сохранением их номеров. Таким образом, строки данной матрицы будут в той же последователь- ности столбцами транспонированной матрицы, и наоборот. 1 2 3 4 5 6 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 1 4 2 5 3 6 T A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ В случае квадратной матрицы транспонирование сводится к повороту матрицы на 180˚ вокруг главной диагонали. Лекции 1-2 8 n 1.2. * Перестановки и подстановки О Перестановкой символов называется любое расположение этих сим- волов в определенном порядке. n 1 2 , ,..., n a a a Так как данные символов можно занумеровать числами , то изучение пе- рестановок любых символов сводится к изучению перестановок этих чисел. Число всех перестановок из чисел равно n 1,2,...,n n n ! 1 2 3 ... n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (читается: « -факториал»). n Пример: Все перестановки чисел 1, 2, 3 имеют вид: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Число их 3! = 6. О Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоит впереди меньшего, и образуют порядок, если меньшее число стоит впереди большего. Способ подсчета числа инверсий: читаем числа перестановки в порядке их за- писи (слева направо), для каждого из чисел считаем, сколько чисел, меньших данно- го, стоит правее него, и все полученные числа складываем. Пример: В перестановке 528371964 число инверсий равно 4 + 1 + 5 + 1 + 3 + 2 + 1 = 17. О Перестановка называется четной или нечетной, смотря по тому, будет число инвер- сий в ней четно или нечетно. О Транспозицией называется перемена местами двух чисел перестановки. Транспози- ция чисел и обозначается через i j ( ) ,i j . От любой перестановки чисел к любой другой перестановке тех же чисел можно перейти путем ряда транспозиций, причем можно обойтись не более чем n n 1 − транспозициями. Пример: От перестановки 25134 к перестановке 42513 можно перейти путем че- тырех транспозиций: ( ) ( ) ( ) ( ) 2,4 , 2,5 , 1,5 , 1,3 . О Подстановкой n чисел 1, 2, … n , или подстановкой n-й степени, называется вза- имно однозначное отображение совокупности этих чисел на себя, т.е. такое отобра- жение, при котором каждому числу от 1 до n соответствует одно из этих чисел и двум различным числам всегда соответствуют два различных числа. Подстановка записывается двумя строками в общих скобках, причем каждому числу верхней строки соответствует стоящее под ним число нижней строки. Например, обозначает подстановку, в которой , , , . Иначе можно сказать, что подстановка n-й степени – это соответствие между двумя перестановками n чисел. 2 1 3 4 3 1 4 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 2 1 1 → 2 3 → 3 4 → 4 → Определители и матрицы 9 ⎞ ⎟ В зависимости от расположения чисел в верхней строке одну и ту же подстановку можно записывать многими способами. Например, записи обозначают одну и ту же подстановку, в которой 1 переходит в 2, 2 в 3, 3 в 1. Каждая подстановка n чисел до- пускает n! различных записей. Число различных подстановок n элементов также равно n!. 1 2 3 2 3 1 3 2 1 , , 2 3 1 3 1 2 1 3 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ О Подстановка называется четной , если общее число инверсий в обеих ее строках чет- но, и нечетной , если нечетно. Иначе говоря, подстановка четна, если ее строки име- ют одинаковую четность, и нечетна, если – противоположную четность. 1.3. * Понятие определителя любого порядка Пусть дана квадратная матрица порядка n: 11 12 1 21 22 2 , 1 2 ( ) n n ij n n n n nn a a a a a a A a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Определителем -го порядка , или определителем матрицы n A , при называ- ется число, полученное из элементов этой матрицы по формулам: 1 > О n ( ) 1 1 2 2 11 12 1 21 22 2 , 1 2 1 n n n s t n ij i j i j i j n n n n nn a a a a a a A a a a a a + = = = − ∑ a a n , где сумма берется по всем различным между собой подстановкам 1 2 1 2 n n i i i j j j ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , причем - число инверсий в верхней, а - в нижней строке. s t Слагаемые суммы называются членами определителя ; каждый член опреде- лителя равен произведению элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем это произведение берется со своим знаком, если подстановка индексов четна, и с противоположным, если нечетна. n Определитель первого порядка равен единственному своему элементу. Число всех членов определителя -го порядка равно !. Элементы, строки, столбцы и т. д. матрицы n A называются соответственно элементами , строками , столбцами и т. д. определителя A . Лекции 1-2 10 1.4. Определители второго и третьего порядка О Определителем квадратной матрицы A второго порядка называется число, равное 11 12 11 22 21 12 21 22 det a a A a a a a a = = − Например, 1 2 1 4 2 3 2 3 4 = ⋅ − ⋅ = − О Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное 11 12 13 21 22 23 31 32 33 det a a a A A a a a a a a = = = 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 21 12 33 32 23 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − Это выражение получается по правилу треугольников (правилу Саррюса), которое можно пояснить следующей схемой: , + - где элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения - отрезками или треугольниками. Знаки «+» и «-» соответству- ют знакам слагаемых, входящих в определитель, например, 1 0 0 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1 3 0 0 2 0 1 3 1 1 1 0 1 0 3 1 ∆ = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − . 1.5. Свойства определителей Сформулированные ниже свойства легко проверяются непосредствен- ным вычислением определителей 2-го или 3-го порядков и остаются справед- ливыми для определителей порядка . n Введем необходимые определения. Определители и матрицы 11 ) О Суммой нескольких строк одинаковой длины называется строка, каж- дый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных строк. О Произведением строки на число называется строка, каждый элемент которой получен из соответствующего элемента данной строки умноже- нием его на данное число. О Линейной комбинацией нескольких строк одинаковой длины называ- ется строка, равная сумме произведений данных строк на некоторые числа, называемые коэффициентами этой линейной комбинации. Если одна строка является линейной комбинацией других, то говорят, что она линейно выражается через эти строки. Например, равенство означает, что первая строка является ли- нейной комбинацией двух других. ( ) ( ) ( 1, 1, 3, 5 3 1,1,1,1 2 1, 2,3, 4 − − − = − 1˚. При транспонировании определителя его значение не меняется. Свойст- во 1˚ устанавливает полное равноправие строк и столбцов определителя |A|. Иначе говоря, свойства определителей, доказанные для строк, верны и для столбцов, и наоборот. 2˚. При перестановке местами двух любых строк (столбцов) определитель меняет знак. 3˚. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен 0. Из 2˚: при перестановке строк ∆ = −∆ , 0 ∆ + ∆ = , 2 0 0 ∆ = ⇒ ∆ = 4˚. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак оп- ределителя. Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число, например, 2 1 2 1 1 2 4 3 4 2 2 3 4 6 5 6 3 5 6 = ⋅ 5˚. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из пре- дыдущего при . 0 k = 6˚. Если все элементы одной строки (столбца) определителя пропорцио- нальны соответствующим элементам другой строки (столбца), то он ра- вен нулю. 7˚. Если всякий элемент любой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, определитель равен сумме двух определителей, в пер- Лекции 1-2 12 вом из которых в соответствующей строке (столбце) оставлены первые слагаемые, а во втором – вторые, например, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 3 3 2 5 1 1 3 5 3 2 1 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 = + + + = + 8˚. Если к элементам любой строки (столбца) определителя прибавить соот- ветствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, то он не изменится. Пользуясь свойством 8˚, можно все элементы некоторой строки (столб- ца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю, не меняя при этом величину определителя. |