Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
Пример: Решить матричное уравнение: B X A = ⋅ , где 1 2 3 5 ; 3 4 5 9 A B ⎛ ⎞ ⎛ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ О Лекции 1-2 20 B A X 1 − = , 1 2 1 1 ( ) 1,5 0,5 det T A A A − ∨ − ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − 3 2 1 1 9 5 5 3 5 , 0 5 , 1 1 2 1 B A , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 3 2 1 1 X 2.4. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров. Элементарные преобразования матриц ( ) m n × Пусть в матрице A размерности выбраны строк и столбцов, причем . Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу -го порядка. Определи- тель k k ( ) , k k min k m n ≤ этой матрицы называется минором k -го порядка матрицы A . M Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров r k M этой матрицы: ( ) r r A rang A = = Матрицы называются эквивалентными, что обозначается A B ∼ ( ) ( ) r A r B = , если . Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или ме- тодом элементарных преобразований. Метод окаймляющих миноров 1 0 M ≠ 0 ij a ≠ Пусть в матрице A элемент , тогда и ( ) 1 r A ≥ ( . Окаймляем этот элемент элементами ) 1 j + ( ) 1 i + -го столбца и -й строки, получаем ми- нор 2-го порядка: , , 1 2 1, 1 i j i j M + 1, i j i j a a a a + + + = ( Если , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то 2 0 M = ) 1 r A = ( ; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, от- личный от нуля, то ) 2 ≥ r A 2 Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: 0 r M ≠ , но все 1 0 r M + = О О Определители и матрицы 21 Пример: Найти ранг матрицы ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ − − = 1 1 1 2 2 2 ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ − 1 1 A 1 1 M = 1 1 2 1 1 2 2 0 2 2 M − = = − + = − 2 2 1 1 2 2 0 2 2 M − = = − + = − ; , , 3 2 2 2 2 2 4 0 1 1 M − = = + = ≠ 2 ) ( 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 = ⇒ = − − − − = A r M ; Метод элементарных преобразований К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование; перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число 0 α ≠ ; прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы. Т Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразова- ний следует: 1. Переставить строки так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был нену- левой элемент. 2. Все элементы первого столбца, кроме , обратить в ноль: 11 11 1 11 1 1 0 0 n n m mn mn a a a a A a a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∼ 12 a 22 a 3. Повторить операцию со второй строкой: во втором столбце должен быть ненулевой элемент, после чего все элементы второго столбца, кроме и a , обратить в ноль. Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид: Лекции 1-2 22 11 12 1, 1 1 1 22 2, 1 2 2 1, 1 1, 1, 0 0 0 0 0 0 r r n r r n r r r r r n rr rn a a a a a a a a a A a a a a a − − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) r A rang A rang A = = Тогда ранг матрицы A = В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия: матрица - таблица, определитель - число, ранг матрицы - число, минор, алгебраическое дополнение. Студент должен уметь: вычислять определители 2-го, 3-го и -го порядков, n перемножать матрицы, находить обратную матрицу, определять ранг матрицы, решать матричные уравнения. Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В лекции 3 излагаются элементы теории систем линейных уравнений. Системы ли- нейных уравнений возникают при решении многих задач механики, электротехники, тео- ретической физики и т.д. Матричное исчисление позволяет в компактной форме получить решение таких систем. Реальные задачи, содержащие большое количество переменных (десятки и сотни), требуют владения этими методами. 3.1. Системы линейных уравнений с неизвестными. Основные определения m n 3.2. Системы линейных уравнений с неизвестными. Матричный метод решения. Правило Крамера. Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) n n 3.2.1. Системы n-линейных уравнений с n неизвестными 3.2.2. Правило Крамера 3.2.3. Метод Гаусса 3.3. Теорема Кронекера - Капелли 3.4. Однородные системы линейных уравнений 3.5. Схема отыскания общего решения системы уравнений с n неизвестными m 3.6.* Фундаментальная система решений 3.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные определения Рассмотрим систему линейных уравнений (СЛУ), содержащую m урав- нений и n неизвестных: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n m m mn n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = ⎧ ⎪ + + + = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ + + + = ⎩ … … ………………………………… … m , (1) где - коэффициенты системы, - сво- бодные члены, , 1,..., ; 1,..., ij a i m j n = = , 1,..., i b i m = , 1,..., j x j = n - неизвестные. Система может быть записана в матричном виде: A X B ⋅ = , Лекция 3 24 где - основная матрица системы, ( ) 11 12 1 21 22 2 , 1 2 , n n ik m n m m mn m n a a a a a a A a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ( ) 1 2 ,1 ,1 i m m m b b B b b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - матрица-столбец свободных членов, ( ) 1 2 ,1 ,1 k n n n x x X x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - матрица-столбец неизвестных. Например, первое уравнение системы получено умножением первой строки матрицы A на столбец неизвестных: 11 1 12 2 1 1 n n a x a x a x b + + + = О Матрица, полученная из матрицы A добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы: ( ) 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , 1 n n m m mn m m n a a a b a a a b A A B a a a b + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Упорядоченное множество из величин n 1 1 x c = , 2 2 x c = n n x c = О , … называется решением СЛУ, если при подстановке этих чисел в систему уравнения превращаются в тождества. Решение может быть записано в виде матрицы ( ) 1 ,1 ,1 k n n n c X c c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ О Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы од- но решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения. О Система называется определенной, если она имеет единственное реше- ние, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множе- ство решений. Системы линейных уравнений 25 О Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если мат- рица B не является нуль −матрицей ∅ , и называется однородной, если B = ∅ ! Однородная система всегда имеет нулевое (так называемое тривиаль- ное) решение: 1 2 0 n x x x = = = = Например, 1). Система несовместна, решений нет; 1 2 1 2 1 2 x x x x + = ⎧ ⎨ + = ⎩ 2). Система совместна, но не определена, так как имеет беско- нечное множество решений: 1 2 1 2 1 1 x x x x + = ⎧ ⎨ + = ⎩ 1 2 1 , x c x c = − = или (в матричной форме) , где - произвольная постоянная; 1 c X c − ⎛ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ c 3). Система , совместна и определена, так как имеет единствен- ное решение: 1 2 1 2 1 1 x x x x + = ⎧ ⎨ − = ⎩ 1 2 1, 0 x x = = (или ). 1 0 X ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матричный метод решения. Правило Крамера. Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 3.2.1. Системы n линейных уравнений с n неизвестными Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель основной матрицы A отличен от нуля. Т Доказательство: Запишем систему уравнений в матричном виде: A X B ⋅ = , где 11 1 1 , n n nn n n a a A a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , , . (2) ( ) 1 ,1 ,1 i n n n x X x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 1 ,1 ,1 k n n n b B b b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Пусть det 0, A ≠ тогда существует обратная матрица 1 A − , 1 A A E − ⋅ = . Умножим уравнение слева на 1 A − : 1 1 A A X A B − − ⋅ ⋅ = , 1 X A B − = ⋅ . Лекция 3 26 1. Если система n уравнений с n неизвестными имеет отличный от нуля определитель, она может быть решена матричным методом. С Например, система в матричном виде выглядит как 1 2 1 2 1 1 x x x x + = ⎧ ⎨ − = ⎩ 1 2 1 1 1 1 1 1 x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ 1 1 1 1 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ , det 2 0 A = − ≠ , 1 1 1 1 1 1 2 A − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎝ ⎠⎝ ⎠ , 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 x X x − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ = = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ 2. Если однородная система уравнений с неизвестными имеет от- личный от нуля определитель основной матрицы системы, то у нее су- ществует только нулевое ( тривиальное) решение. n n Для однородной системы B = ∅ ; A X ⋅ = ∅ . Так как существует 1 A − , то 1 X A − = ⋅∅=∅ 3.2.2. Правило Крамера Обозначим через - определитель основной матрицы системы (2) ( главный определитель системы) ∆ 11 1 1 det n n n a a A A a a ∆ = = = n , i ∆ - i-й вспомогательный определитель системы (2), получается из ∆ заме- ной i -го столбца на столбец свободных членов, 11 1, 1 1 1, 1 1 21 2, 1 2 2, 1 2 1 , 1 , 1 i i i i i i n n i n n i a a b a a a b a A a a b a − + − + − + ∆ = = n n nn a a a Системы линейных уравнений 27 Т Если главный определитель системы линейных уравнений не равен ну- лю, то система совместна и определена, причём единственное решение 1 2 ( , , , ) n x x x … вычисляется по формулам Крамера: 1 1 x ∆ = ∆ , 2 2 x ∆ = ∆ , … , n n x ∆ = ∆ Доказательство: Матрица, обратная к матрице коэффициентов: 1 ( 1 ( ) det V T A A A − = ⋅ ) , ее элементы 1 ( 1) det V i j ij ij A M A + = − 1 ( ) ij , ( 1) det i j ji ij M q A + − = , A q − = Запишем элемент произведения 1 X A B − = ⋅ : 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) det det i k n n n i k ki i ik k k k k k k M x q b b b M A A + + = = = − ⎛ ⎞ = = ⋅ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ki По теореме о разложении определителя по столбцу сумма в круглых скобках – это определитель матрицы i A , которая отличается от матрицы A тем, что i-й столбец заменен на столбец свободных членов. Таким образом, i i x ∆ = ∆ Пример: Решить систему: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 9 2 3 14 3 4 16. x x x x x x x x x , , + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ По формулам Крамера: 2 3 2 1 2 3 6 0, 3 4 1 ∆ = − = − ≠ 1 9 3 2 14 2 3 12, 16 4 1 ∆ = − = − 2 2 9 2 1 14 3 18, 3 16 1 ∆ = − = − 3 2 3 9 1 2 14 12. 3 4 16 ∆ = = Вычислим значения неизвестных: 1 1 2 x ∆ = = ∆ , 2 2 3 x ∆ = = ∆ , 3 3 2 x ∆ = = − ∆ |