35
Следовательно,
2
)
(
=
Α
r
и
3
)
(
=
Β
Α
r
. Поскольку
)
(
)
(
Β
Α
≠
Α
r
r
, система несовместна. Очевидно, что третье уравнение преобразованной системы: не имеет решений.
1 2
3 0
0 0
x
x
x
⋅ + ⋅ + ⋅ =1
Пример:
Решить систему
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
+
+
−
=
+
=
−
+
=
+
−
20 4
3
,
5 4
3
,
13 3
2
,
12 3
2 1
3 2
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Рассмотрим расширенную матрицу:
2 1
4 1
1 1 1 12 1
1 1 12 2
2 3
1 13 0
5 3 11
(
)
3 0
3 4 5 0
3 4 5 3
1 4 20 0
2 7 16
α
α
α
α
⎛
⎞
⎛
−
−
⎜
⎟
⎜
−
−
−
⎜
⎟
⎜
Α Β = ⎜
⎟
⎜
+
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
2 4
1 1 1 12 0
3 4 5
0 3
4 5 0
2 7 16
α α
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎜
⎟
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠
2 3
4 2
1 1 1 12
0 2 7 16 0
3 4 5
α α
α
α
⎛
⎞
−
−
⎜
⎟
−
⎜
⎟
↔
⎜
⎟
⎝
⎠
3 2
1 1
1 12 1
1 1 12
2 3
0 2
7 16
0 2 7 16 0
0 29 58 0
0 1 2
α
α
⎛
⎞ ⎛
−
−
⎜
⎟ ⎜
+
−
−
⎜
⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜
⎝
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Следовательно,
3
)
(
)
(
=
Β
Α
=
Α
r
r
, поэтому система совместна и имеет единственное решение.
Преобразованная система имеет вид:
1 2
3 2
3 3
12,
2 7
16 2,
x
x
x
x
x
x
−
+
=
⎧
⎪ − + =
⎨
⎪
=
⎩
,
ее решение:
1 2
3 9,
1,
2
x
x
x
=
= −
=
Лекция 3
36
Пример:
Решить систему
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
+
−
−
=
−
−
−
−
=
+
−
8 5
7 3
,
7 5
3 2
,
1 2
4 4
3 2
1 4
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Рассмотрим расширенную матрицу:
2 1
3 1
1 4
2 0
1 1
4 2
0 1
2
(
)
2 3
1 5 7
0 5
5 5 5 3
3 7
1 5 8 0
5 5
5 5
α
α
α
α
⎛
⎞
⎛
⎞
−
−
−
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
Α Β =
−
−
− −
−
− −
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
− −
−
− −
⎝
⎠
⎝
⎠
3 2
1 2
1 4
2 0 1 1 0 2
4 5 0
1 1
1 1 4
0 1 1
1 1 0
0 0
0 0 0 0 0
0 0
α
α
α
α
⎛
⎞
⎛
⎞
−
−
−
⎜
⎟
⎜
−
−
− −
+
−
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
− −
⎟
− − ⎟
⎟
⎠
Следовательно,
2
)
(
)
(
=
Β
Α
=
Α
r
r
, поэтому система совместна и не опре- делена. Выберем и в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему:
1
x
2
x
1 3
2 3
4 5 2 4
1 4
x
x
x ,
x
x
x .
= − +
+
⎧
⎨ = − + +
⎩
Полагая
,
3 1
x
c
=
4
x
c
2
=
, где и
− произвольные числа, получаем об- щее решение системы
1
c
2
c
1 1
2 2
1 2
1 2
3 1
4 2
5 2 4
5 2
1 1
1 0
1 0
0
x
c
c
x
c
c
X
c
x
c
x
c
− +
+
−
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− + +
−
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
=
=
+
+
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝
⎠
4 1
0 1
c
Решение соответствующей однородной системы
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
+
−
=
−
−
−
=
+
−
0 5
7 3
,
0 5
3 2
,
0 2
4 4
3 2
1 4
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
можно записать в виде:
1 2
2 4
1 1
1 0
0 1
X
c
c
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
+
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Системы линейных уравнений
37
3.6*. Фундаментальная система решений
Т
Если СЛУ имеет вид
1 1 2
2
A X
c B
c B
⋅
=
+
, то ее решение может быть записано в виде
, где и
1 1
2 2
X c X
c X
=
+
1
X
2
X - решения систем
1
A X
B
⋅ =
и
2
A X
B
⋅ =
соответствен- но.
Доказательство:
1 1
1
X
A
B
−
=
⋅ ,
1 2
2
X
A
B
−
=
⋅ ,
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1 1 2
2 1 1 2
2
X
A
c B
c B
A
c B
A
c B
−
−
−
=
⋅
+
=
⋅
+
⋅
=
2
r
n r
1 1
1 1
2 2
1 1
2
c A
B c A
B
c X
c X
−
−
=
⋅ +
⋅
=
+
В предыдущем параграфе возникла система (5)
0 1 1 2
2
r
n
AX
B
c B
c B
c B
−
−
=
+
+
+ +
Из только что доказанной теоремы следует, что
,0 1
,1 2
,2
,
r
r
r
r
n r
r n
X
X
c X
c X
c
X
r
−
−
=
+ ⋅
+ ⋅
+ +
⋅
,
(7) где
- решения системы (5) при подстановке в нее (5) вместо правой части столбцов
,0
,1
,2
,
,
,
, ...,
r
r
r
r n
X
X
X
X
−r
0 1
2
,
,
, ...,
n r
B B B
B
−
Поскольку
1 2
r
r
x
x
X
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, это означает, что базисные неизвестные
линейно
зависят от свободных неизвестных и в выражении
1 1
2 2
1 2
1 2
1 2
( ,
, ...,
)
( ,
, ...,
)
( ,
, ...,
)
n r
n r
r
n r
x c c
c
x c c
c
x c c
c
X
c
c
c
−
−
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
= ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
n r
⎟
⎟
(8) для общего решения системы
)
...,
,
,
(
2 1
r
n
i
i
c
c
c
x
x
−
=
-
линейные функции
1 2
, , ...,
n r
c c
c
−
Это позволяет записать матрицу–столбец (6) - общее решение системы (1) в виде:
0 1
1 2
2
n r
n r
X
X
c X
c X
c
X
−
−
=
+ ⋅
+ ⋅
+ +
⋅
,
(9)
Лекция 3
38
где частные решения
i
X
)
...,
,
2
,
1
,
0
(
r
n
i
−
=
, образующие
фундаментальную сис-
тему решений
, получены при следующих значениях постоянных в выражении (5):
1 2
0
(0, 0, ..., 0)
(0, 0, ..., 0)
(0, 0, ..., 0)
0 0
0
r
x
x
x
X
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
,
,
, ...,
1 2
1
(1, 0, ..., 0)
(1, 0, ..., 0)
(1, 0, ..., 0)
1 0
0
r
x
x
x
X
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1 2
2
(0, 1, ..., 0)
(0, 1, ..., 0)
(0, 1, ..., 0)
0 1
0
r
x
x
x
X
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1 2
(0, 0, ..., 1)
(0, 0, ..., 1)
(0, 0, ..., 1)
0 0
1
r
n r
x
x
x
X
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Выражение (8) называется
разложением по фундаментальной системе решений
В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать: основные понятия теории СЛУ (основная и расширенная мат- рицы системы, совместные / несовместные, определен- ные/неопределенные однородные/неоднородные системы, ба- зисные и свободные неизвестные, общее и частное решение
СЛУ); способ выяснения, имеет ли система решения
(теорема Кронекера – Капелли); методы решения СЛУ – матричный, правило Крамера, метод
Гаусса; схему отыскания общего решения СЛУ.
Студент должен понимать, что преобразования строк матриц системы соответствуют преобразованиям уравнений системы.
Лекция 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В лекции 4 излагаются элементы векторной алгебры. Необходимость применения векторного исчисления при изложении технических дисциплин вызвана не столько удоб- ством и
наглядностью математических формулировок законов, сколько объективными свойствами изучаемых явлений. Направленные величины используются при описании широкого круга явлений, относящихся к теоретической механике, механике жидкости и газа, теории электромагнетизма. Курс математики для инженерных специальностей вклю- чает также элементы векторного анализа, который будет излагаться после изучения диф- ференциального и интегрального исчислений одного и нескольких переменных.
4.1. Основные определения 4.2. Линейные операции над векторами
4.3.* Линейная зависимость векторов.
Геометрические критерии линейной зависимости.
4.4. Базис и координаты
4.5. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат
4.6. Скалярное произведение векторов. Определение.
Алгебраические свойства. Геометрические приложения.
Выражение через декартовы координаты сомножителей
4.7. Векторное произведение векторов. Определение.
Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через де- картовы координаты сомножителей
4.8. Смешанное произведение векторов. Определение.
Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через де- картовы координаты сомножителей
4.1. Основные определения Величины, для определения которых достаточно знать одно число, на- зываются
скалярами (температура, масса, работа силы, плотность). Величи- ны другого рода характеризуются не только численным значением, но и на- правлением в пространстве. Таковы перемещение, скорость, ускорение, сила, напряженность электрического поля и т.д. Рассмотрение такого рода величин приводит к понятию
вектора.
О Геометрическим вектором (
вектором) назы- вается направленный отрезок (отрезок, у кото- рого одна граничная точка считается началь- ной, другая – конечной).
Лекция 4 40 На чертеже вектор обозначается стре ой над буквенным обозначением вектора также ставится стрелка лк ;
AB,
aО Длиной вектора (
модулем) называется расстояние между началом и кон- цом вектора. Обозначение:
AB или
a .
О Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец сов- падают:
0
,
0 0
=
О Векторы называются
коллинеарными, если лежат на одной прямой, ли- бо на параллельных прямых.
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
О Три вектора называются
компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны.
! Вектор, фигурирующий в определении, носит название
связанного, или
закрепленного вектора.
Если же точка приложения вектора (точка
A для вектора
AB) может быть выбрана произвольно, вектор называется
свободным. Если точка приложения может двигаться по линии действия вектора, говорят о
скользящем векторе. Иначе говоря, свободный вектор является пред- ставителем бесконечного множества связанных или скользящих векто- ров.
aВ дальнейшем мы будем рассматривать только свободные векторы. Для них, в частности, спра- ведливо следующее определение.
О Два вектора
равны, если они коллинеарны, име- ют одинаковую длину и направление.
Например,
a b=
4.2. Линейные операции над векторами Суммой a b+
двух векторов
a и
b называется вектор, идущий из начала вектора
О a в конец век- тора при условии, что начало вектора
bb при- ложено к концу вектора
a (
правило треуголь-ника).
Векторная алгебра 41Свойства операции сложения векторов: 1˚.
(переместительное свойство).
a b b a+ = +
2˚.
(
)
(
)
a bc ab c+
+ = +
+
0
(сочетательное свойст- во).
3˚. Существует нулевой вектор
, такой, что для любого вектора
0
a+ =
aa (особая роль нулевого вектора).
4˚. Для каждого вектора существует противо- положный ему вектор
aaa′
= −
, такой, что
( )
0
aa+ −
= .
Свойства доказываются геометрически. Докажем, например, свойство ˚.
1
Ра ссмотрим произвольный параллелограмм
ABCD . Пусть
a AB=
,
. Тогда
. Но
b BC=
a bAC+ =
BCAD=
,
DCAB=
⇒
AC AD DC b a=
+
= +
Таким образом,
a b b a+ = +
! При доказательстве свойства 1˚ обосновано еще одно правило сложения векторов, назы- ваемое
правилом параллелограмма: если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма этих векторов
представляет собой диа- гональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов и .
ababa b+
abВычитание векторов определяется через сложение:
a b(
)
− = + −
! Иначе: если векторы и
ab приложены к общему началу, то разностью векторов и будет вектор
aba b−
, идущий из конца вектора к концу вектора
a .
bПроизведением aα
вектора
a на вещественное число
α
называется вектор , коллинеарный вектору
bО a, имеющий длину
aα
⋅
и на- правление, совпадающее с направлением вектора
a в случае
0
α
> и противоположное направлению вектора
a в случае
0
α
< .
Геометрический смысл операции умножения вектора на число: при умножении вектора
a на число
α
a вектор «растягивается» в
α
раз при
1
α
> , при 0 1
α
<
< вектор «сжимается» в
1
α
раз. Если
0
α
< , век- тор, кроме этого, меняет направление на противоположное.
Лекция 4 42 Свойства операции умножения вектора на число: 5˚.
(
)
a babα
α
α
+
=
+
(распределительное свойство относительно суммы векторов).
6˚.
(
)
aaaα β
α
β
+
=
+
a (распределительное свойство относительно суммы чисел).
7˚.
( ) ( )
aα β
αβ
=
b (сочетательное свойство чи- словых сомножителей).
8˚.
(существование единицы).
1
a a⋅ =
Докажем, например, свойство 5˚. Отложим векторы и от общего начала и построим на них параллелограмм, диагональ которого будет представлять собой сумму
aa b+
. При «растяжении» (
1
α
> ) сторон этого па- раллелограмма в
α
раз его диагональ также «растягивается» в
α
раз, но это и означает, что сумма
abα
α
+
равна (
)
a bα
+
! Свойства 1˚
÷ 7˚ для векторов позволяют производить выкладки в век- торной алгебре по тем же правилам, по которым производятся аналогич- ные выкладки в алгебре вещественных чисел.
4.3.* Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости Линейной комбинацией векторов
1 2
,
, ...,
na aa называют выражение:
О 1 1 2 2 1
nn ni iiaaaaα
α
α
α
=
+
+ +
=
∑
, где
1 2
,
, ...,
nα α
α
- произвольные действительные числа.
Система векторов называется
Скачать 9.25 Mb.