элементарных преобразований приводится к эквивалентной сис- теме, решение которой находится проще.
Элементарными преобразованиями системы являются следующие: перемена местами двух любых уравнений системы; умножение любого уравнения системы на произвольное число
;
0
k
≠
прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умно- женного на произвольное число
0
k
≠
1). Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элемен- тарные преобразования строк расширенной матрицы системы
( )
A
A B
=
2). Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.
3). Метод Гаусса справедлив и для произвольных систем (
).
m n
×
Метод Гаусса предполагает следующий алгоритм:
1.
Для системы уравнений
11 1 1
1 1 1
n n
n
nn n
a x
a x
b
a x
a x
b
+ +
=
⎧
⎪
⎨
⎪
+ +
=
⎩
n
записывают расширенную матрицу системы:
( )
11 12 1
1 21 22 2
2 1
2
, 1
n
n
n
n
nn
n n n
a
a
a b
a
a
a b
A
A B
a
a
a b
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
2. Элементарными преобразованиями строк приводят ее к трапециевидной форме, при этом основная матрица системы приводится к
верхнему тре-
угольному виду.
3. Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
Пример:
Решить систему
1 2
3 1
2 3
1 2
3 6
2 3
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
⎧
⎪
−
+
=
⎨
⎪ + − =
⎩
Для удобства будем обозначать строки матрицы
i
α
, а столбцы –
j
β
!
Системы линейных уравнений
29
2 1
3 1
1 1
1 6
1 1
1 6
2 2
1 1 3
0 3
1 9
1 1
1 0 0
0 2
6
α
α
α α
⎛
⎞
⎛
−
⎜
⎟
⎜
−
−
⎜
⎟
⎜
−
⎜
⎟
⎜
−
−
⎝
⎠
⎝
∼
∼
⎞
⎟
−
− ⎟
⎟
− ⎠
6 9
3
−
, вернемся к системе урав- нений:
1 2
3 1
2 2
3 2
3 3
6 3
3 9
3 3
2 6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
=
⎧
⎧
⎪
⎪
−
−
= − ⇒
−
−
=
⎨
⎨
⎪
⎪
−
= −
=
⎩
⎩
⇒
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
+
3 2
6 5
3 2
1
x
x
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
3 2
1 3
2 1
x
x
x
!
Употребляется также расширенный метод Гаусса, или метод Гаусса –
Ньютона. В нем основная матрица системы элементарными преобразо- ваниями строк преобразуется к
диагональному виду, пункт 2 предыду- щей схемы (так называемый
прямой ход) дополняется обратным ходом
– преобразованием верхней треугольной матрицы к диагональной. Для предыдущего примера это будет выглядеть так:
1 1
1 6
1 1
1 6
1 1
0 3
0 3
1 9
0 3
1 9
0 3 0 6
0 0
2 6
0 0
1 3
0 0
1 3
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
−
−
−
−
−
−
−
−
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
−
−
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
∼
∼
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
∼
1 1 0 3 1 0 0 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 1 3
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
∼
∼
, откуда ответ очевиден.
3.3. Теорема Кронекера - Капелли
Рассмотрим систему -линейных уравнений с
n
-неизвестными (1).
m
В начале лекции было показано, что ее можно представить в матричном виде.
Будем рассматривать матрицу
A
размерности
m n
×
как набор строк
i
α
(столб- цов
j
β
):
Лекция 3 30 1 2
mAα
α
α
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
или
(
)
1 2
,
, ...,
nAβ β
β
=
, где
1 2
( ,
,...,
)
iiiia aanα
=
– матрица - строка;
- матрица-столбец.
1 2
jjjmjaaaβ
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
=
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎟
⎟
Введем понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.
О Линейной комбинацией строк называется выражение вида:
1 1 2 2 1
kkki iiλα
λ α
λ α
λα
=
+
+ +
=
=
∑
(
)
(
)
(
)
1 11 12 1
2 21 22 2
1 2
nnkkkkna aaa aaa aaλ
λ
λ
=
+
+ +
О Строки матрицы
k1 2
,
, ...,
α α
α
л называют
линейно зависимыми, если существует такой набор чисе
k1 2
,
, ...,
λ λ
ль:
λ
, не равных одновременно ну- лю, при которых линейная комбинация строк обращается в но
1 1 2 2 0
kkλα
λ α
λ α
+
+ +
=
Т Строки матрицы являются линейно зависимыми, если одна из них явля- ется линейной комбинацией остальных:
1 1 2 2 1
1 1
1
kkkkkn nα
λα
λ α
λ α
λ α
λ α
−
−
+
+
=
+
+ +
+
+
+
! Действиям над строками матрицы соответствуют действия над уравне- ниями системы.
Пусть матрица
A размерности
(
)
m n×
имеет ранг . Отличный от нуля минор порядка , составленный из элементов матрицы
rrA, называется
базисным минором матрицы
AО О Неизвестные, коэффициенты
перед которыми входят в базисный минор, называются
базисными неизвестными. Неизвестные, не являющиеся ба- зисными, называются
свободными.
Теорема о базисном миноре. Если матрица
(
)
m n×
имеет ранг
r , то су- ществуют
r т ких строк (столбцов), что все остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями данных. Из элементов, входящих в эти строки (столбцы), можно построить базисный минор матрицы.
Т а
! Базисных миноров может быть много, но ранг определяется одно-
Системы линейных уравнений
31
значно.
1).
Строки (столбцы), входящие в базисный минор, линейно независимы.
С
2). Все строки (столбцы) матрицы, не входящие в базисный минор, линейно зависимы с базисными.
3). Число линейно независимых строк матрицы равно числу линейно не- зависимых столбцов и равно рангу
r
4).
( )
(
)
min
,
rang A
m n
≤
.
Т
Теорема Кронекера - Капелли. Для того чтобы система уравнений с неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы:
m
n
(
)
( )
r
r
Α = Α Β .
Доказательство*:
Достаточность. Пусть
(
Β
Α
=
Α
r
r
)
(
)
. Рассмотрим столбцы матрицы A и A :
11 21 1
1
m
a
a
a
β
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
=
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
⎟
⎟
, … ,
,
1 2
n
n
n
mn
a
a
a
β
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
m
b
B
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Так как добавление столбца в множество
B
{
}
n
β
β
,...,
1
не увеличивает количество линейно независимых столбцов, столбец есть линейная комбинация столбцов ос- новной матрицы, т.е. существуют такие
B
1 2
, , ,
0
n
x x
x
≠
…
, что
1 1 2 2
n
n
B
x
x
x
β
β
β
=
+
+ +
…
, или
1 11 12 1
2 1
2
n
n
m
m
m
b
a
a
a
x
x
x
b
a
a
a
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
+
+ +
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
1
mn
n
Записывая последнее в виде
,
1 11 1 1
1 1
n n
m
m
mn
b
a x
a x
b
a x
a x
=
+ +
⎧
⎪
⎨
⎪
=
+ +
⎩
убеждаемся в том, что
1 2
, , ,
n
x x … x
- решение системы, система совместна.
Необходимость. Пусть система совместна,
1 2
, , ,
n
x x … x
m
b
b
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
B
- решение системы.
Записывая систему в виде
11 12 1
1 1
2 1
2
n
n
m
m
mn
a
a
a
x
x
x
a
a
a
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
+
+ +
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
,
1 1 2 2
n
n
x
x
x
β
β
β
+
+ +
=
…
,
Лекция 3
32
видим, что является линейной комбинацией
B
1
,...,
n
β
β
, добавление столбца свобод- ных членов не увеличивает ранга матрицы,
( )
( )
r A
r A
=
Итак, если
(
)
( )
r
r
Α ≠
Α Β , то система заведомо не имеет решений; если же
(
( )
r
r
Α =
Α Β
)
, то возможны два случая:
1) если
, тогда решение единственно;
r
n
=
2) если
, тогда решений бесконечно много.
r
n
<
3.4. Однородные системы линейных уравнений
Однородная система имеет вид:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2 0,
0,
0,
n n
n n
m
m
mn n
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
+
+ +
=
⎧
⎪
+
+ +
=
⎪
⎨
⎪
⎪
+
+ +
=
⎩
ей соответствует матричное уравнение
Α Χ
⋅
= ∅
Однородная система
всегда совместна, так как ( )
( )
r A
r A
=
, поскольку нулевой столбец не меняет ранг матрицы, всегда существует нулевое реше- ние
(0 0 0)
, , ...,
Т
Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необхо- димо и достаточно, чтобы ( )
r A
n
< .
Доказательство:
1)
не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столб- цов или строк);
r
2)
, т.к. если
, то главный определитель системы
, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение
, что противоречит условию. Значит, r A
r n
≠
r n
=
0
∆ ≠
1 2
0
n
x
x
x
=
= =
=
( ) n
<
Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неиз- вестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы
0
∆ =
С
Системы линейных уравнений
33
3.5. Схема отыскания общего решения
системы m уравнений с n неизвестными
1. Находим ранги матриц
A
и
( )
A B .
Если
(
)
( )
r
r
Α
Α
≠
Β
, то система не имеет решений.
Если
(
)
( )
r
r
Α
Α Β
=
r
= , то у системы есть решения. У матриц
A
и
( )
A B есть общий базисный минор. Выбираем его.
2. Оставляем в системе только те уравнения, коэффициенты которых входят в общий базисный минор. Остальные уравнения являются линейными комбинациями этих уравнений и не несут дополнительной информации.
3. Сравниваем ранг и количество неизвестных.
Если
, то есть порядок базисного минора совпадает с количеством неиз- вестных, решаем систему уравнений с неизвестными (ее определитель
) и получаем единственное решение.
r n
=
n
n
0
∆ ≠
Если
, то в системе имеются
r n
<
(n r)
− свободных неизвестных. Тогда
1 2
,
, ...,
r
x
x
x
n
– базисные неизвестные, а
1
, ...,
r
x
x
+
– свободные неиз- вестные.
Переносим свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:
11 1 12 2 1
1 1, 1 1
1 21 1 22 2 2
2 2, 1 1
2 1 1 2 2
, 1
,
,
r r
r
r
n n
r r
r
r
n n
r
r
rr r
n
r r
r
a x
a x
a x
b
a
x
a x
a x
a x
a x
b
a
x
a x
a x
a x
a x
b
a
x
+
+
+
+
+
+
+ +
= −
− −
+
+ +
= −
− −
+
+ +
= −
1
rn n
a x
+
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
− −
⎩
(3) или, в матричной форме,
0 1 1 2
2
r
r
r
n
n r
AX
B
x B
x B
x B
+
+
=
+
+
+ +
−
,
(4) где
11 12 1
21 22 2
1 2
r
r
r
r
rr
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
, det
0
A
≠
,
1 2
r
r
x
x
X
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
,
, ...,
1 2
0
r
b
b
B
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1, 1 2, 1 1
, 1
r
r
r r
a
a
B
a
+
+
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1,
2,
,
n
n
n r
r n
a
a
B
a
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Лекция 3
34
Система (3) является следствием исходной системы (1) и ее решение может быть найдено любым ранее рассмотренным способом.
Пусть свободные неизвестные принимают значения
1 1
2 2
,
, ...,
r
r
n
n r
x
c
x
c
x
c
+
+
=
=
=
−
n r
n r
Тогда система (4) принимает вид:
0 1 1 2
2
r
AX
B
c B
c B
c B
−
−
=
+
+
+ +
(5) и базисные неизвестные
1 2
,
, ...,
r
x
x
x
выражаются определенным образом через эти значения:
1 2
( ,
, ...,
)
i
i
n r
x
x c
c
c
−
=
,
1,2,...,
i
r
=
. Решение неодно- родной системы
A X
B
⋅ =
можно записать в виде матрицы-столбца:
1 1
2 2
1 2
1 2
1 2
( , , ...,
)
( , , ...,
)
( , , ...,
)
n r
n r
r
n
n r
x c c
c
x c c
c
x c c
c
X
c
c
c
−
−
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
r
(6)
Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений.
Выражение (6) называется
общим решением системы (1). Если константам придать конкретные значения, то
получим частное решение системы (1).
1 2
, , ...,
n r
c c
c
−
Пример:
Решить систему:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
−
=
+
+
=
−
+
5 4
2 3
,
8 2
4 7
,
2 3
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Рассмотрим расширенную матрицу:
(
)
3 1
2 3
1 2 1
3 2 2 7
4 2 8 2
4 7 8 3
2 4 5 4
2 3 5
Α Β
β
β
⎛
⎞
⎛
−
−
⎜
⎟
⎜
=
↔
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
−
−
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2 1
3 1
1 3 2 2 2
0 10 1112 4
0 0
0 1
α
α
α
α
⎛
⎞
−
+
⎜
⎟
⎜
⎟
+
⎜
⎟
⎝
⎠
Системы линейных уравнений 
Скачать 9.25 Mb.