Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
16.4.2. Уравнение касательной к пространственной кривой 1. Если линия задается параметрическим уравнением , то урав- нение касательной к кривой ( ) r r t = ( ) r t в точке ) записывается как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору , , ( 0 0 0 0 z y x M 0 M 0 M dr dt Направляющий вектор касательной { } 0 0 , , 0 x x y y z z − − − и вектор 0 0 , , M M dy dr dx dz dt dt dt dt ⎧ = ⎨ ⎩ ⎭ ⎫ ⎬ параллельны. Условие параллельности заключается в том, что компоненты этих век- торов пропорциональны, эти равенства и представляют уравнениекаса- тельной: 0 0 0 0 0 0 M M M dt dz z z dt dy y y dt dx x x − = − = − *) 2. Пусть кривая в пространстве задана как линия пересечения двух по- верхностей: где 1 2 0 0 ( x, y,z ) , L : ( x, y,z ) , Φ Φ = ⎧ ⎨ = ⎩ ) (t x x = , ) (t y y = , ) (t z z = Итак, [ ] [ ] 1 2 0 0 x( t ), y( t ),z( t ) , x( t ), y( t ),z( t ) . Φ Φ = ⎧⎪ ⎨ = ⎪⎩ Функции нескольких переменных 355 Продифференцируем эти уравнения: 1 1 1 2 2 2 0 0 dx dy dz , x dt y dt z dt dx dy dz . x dt y dt z dt Φ Φ Φ Φ Φ Φ ∂ ∂ ∂ ⎧ + + = ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎪ ⎨∂ ∂ ∂ ⎪ + + = ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎩ Получим систему двух уравнений с тремя неизвестными dt dx , dt dy , dt dz Найдем решение системы: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ Φ ∂ − = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ ∂ Φ ∂ − = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ , 2 2 2 1 1 1 dt dz z dt dy y dt dx x dt dz z dt dy y dt dx x По формулам Крамера ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∆ ∆ = ∆ ∆ = , , 2 1 dt dy dt dx где 1 1 2 2 x y x y Φ Φ Φ Φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ , 1 1 1 1 1 2 2 2 2 z y y z dz dz dt dt z y y z Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , 1 1 1 1 2 2 2 2 2 dz dz x z z dt dt x x z z x Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Итак, 1 1 2 2 1 1 2 2 y z y z dx dz dt dt x y x y Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ; 1 1 2 2 1 1 2 2 z x dy dz z x dt dt x y x y Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Лекции 15 - 16 356 Решение может быть записано в виде: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 dx dy dz dt dt dt y z z x x y z x y z x y Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Подставляя выражения для dt dx , dt dy , dt dz в уравнение касательной *), получим его в виде: 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 z x y z x y z x y z x y M 0 M M x x y y z z − − − = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ′ ′ ′ ′ ′ ′ Φ Φ Φ Φ Φ Φ , если хотя бы один из определителей не равен нулю. Если все определители равны нулю, то точка называется особойточкой кривой. 16.4.3. Нормальная плоскость и ее уравнение Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называет- ся нормалью к кривой в данной точке. О Множество нормалей к кривой лежит в плоскости, перпендикулярной к касатель- ной и образует нормальную плоскость. Уравнение плоскости, которая перпендикулярна касательной к кривой имеет вид уравнения плоскости, проходящей через точку ( , 0 0 0 , ) x y z с нормальным вектором 0 M dt dr : а) в случае параметрического задания: 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ z z dt dz y y dt dy x x dt dx M M M ; б) если кривая задана как линия пересечения двух поверхностей: 0 0 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 y z z x y z z x M M ( x x ) ( y y ) Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ′ ′ ′ ′ − + − + ′ ′ ′ ′ 0 1 1 0 2 2 0 x y x y M ( z z ) Φ Φ Φ Φ ′ ′ − = ′ ′ Функции нескольких переменных 357 16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть поверхность задана уравнением 0 ) , , ( = z y x F ) ∗ Точка ) , , ( z y x M называется обыкновен- ной, если все три частные производные x F ∂ ∂ , y F ∂ ∂ , z F ∂ ∂ существуют, непрерывны и хотя бы одна из них отлична от нуля. n a L M О Точка ) , , ( z y x M называется особой точкой поверхности, если все три частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существу- ет. О Прямая линия называется касательной к поверхности в точке ) , , ( z y x M , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку M О Все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке M лежат в одной плоскости. Т Рассмотрим на поверхности линию: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ). ( ), ( ), ( t z z t y y t x x : L ) ∗ ∗ Касательная к этой кривой будет касательной и к поверхности. Уравнения касательной в точке ) имеют вид: , , ( 0 0 0 0 z y x M 0 0 0 0 0 0 M M M dt dz z z dt dy y y dx x dt x − = − = − Подставим уравнения ∗ в уравнение поверхности L ) ∗ ) ∗ : [ ] 0 ) ( ), ( ), ( = t z t y t x F Продифференцируем полученное тождество по t , получим, что 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + dt dz z F dt dy y F dt dx x F ∂ ∂ Рассмотрим вектор касательной , , dr dx dy dz dt dt dt dt a ⎧ ⎫ = = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ и вектор , , F F F n x y z ⎧ ⎫ ∂ ∂ ∂ ⎨ ⎬ ∂ ∂ ∂ ⎩ ⎭ = Лекции 15 - 16 358 Скалярное произведение этих векторов равно: ( ) F dx F dy F dz n a x dt y dt z dt ∂ ∂ ∂ ⋅ = + + ∂ ∂ ∂ Выше показано, что это выражение равно нулю, значит, действительно, вектор перпендикулярен вектору a n в точке ) , , ( z y x M Итак, , , F F F n x y z ⎧∂ ∂ ∂ = ⎨ ∂ ∂ ∂ ⎩ ⎭ ⎫ ⎬ – вектор нормали к поверхности 0 ) , , ( = z y x F Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку, называется касательной плоскостью к поверхности. О Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид: 0 F( x, y,z ) = ) , , ( 0 0 0 0 z y x M 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) M M M F F F x x y y z z x y z ∂ ∂ ∂ − + − + − = ∂ ∂ ∂ 0 0 . Если поверхность задана явно: ) , ( y x f z = , то 0 z f ( x, y ) − = , f F x x ∂ ∂ = − ∂ ∂ , F f y y ∂ ∂ = − ∂ ∂ , 1 F z ∂ = ∂ и уравнение касательной принимает вид: 0 0 0 0 ( ) ( ) M M f f z z x x y y x y ∂ ∂ − = − + − ∂ ∂ 0 Прямая, проведенная через точку ) , , ( z y x M поверхности, перпендику- лярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. О Уравнения нормали имеют вид: 0 0 0 0 0 0 M M M z F z z y F y y x F x x ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − , 1 0 0 0 0 0 z z y f y y x f x x M M − = ∂ ∂ − − = ∂ ∂ − − Функции нескольких переменных 359 Пример: Напишите уравнение касательной и нормальной плоскости к винтовой линии: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = , sin , cos amt z t a y t a x t a dt dx sin − = , t a dt dy cos = , am dt dz = Уравнения касательной: am amt z t a t a y t a t a x − = − = − − cos sin sin cos Уравнение нормальной плоскости: 0 ) ( ) sin ( cos ) cos ( sin = − + − + − − amt z am t a y t a t a x t a Пример: Найдите уравнения касательной и нормаль- ной плоскости к линии пересечения сферы и цилиндра в точке 2 2 2 2 4 r z y x = + + ry y x 2 2 2 = + ) 2 , , ( 0 r r r M Здесь , 2 2 2 1 4 ( x, y,z ) x y z r Φ = + + − 2 ry y x z y x 2 ) , , ( 2 2 2 − + = Φ x x 2 1 = ∂ Φ ∂ , y y 2 1 = ∂ Φ ∂ , z z 2 1 = ∂ Φ ∂ ; x x 2 2 = ∂ Φ ∂ , r y y 2 2 2 − = ∂ Φ ∂ , 0 2 = ∂ Φ ∂ z Значения производных в точке M : r x 2 1 = ∂ Φ ∂ , r y 2 1 = ∂ Φ ∂ , 2 2 1 r z = ∂ Φ ∂ ; r x 2 2 = ∂ Φ ∂ , 0 2 = ∂ Φ ∂ y , 0 2 = ∂ Φ ∂ z Уравнения касательной: 1 2 2 0 − − = − = − r z r y r x Уравнение нормальной плоскости: 0 ) 2 ( ) ( 2 = − − − r z r y Пример: Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности шара в точке 14 2 2 2 = + + z y x ) 3 , 2 , 1 ( P 0 14 ) , , ( 2 2 2 = − + + = z y x z y x F x x F 2 = ∂ ∂ ; y y F 2 = ∂ ∂ ; z z F 2 = ∂ ∂ В точке : ) 3 , 2 , 1 ( P 2 = ∂ ∂ x F ; 4 = ∂ ∂ y F ; 6 = ∂ ∂ z F Уравнение касательной плоскости: y r 2 z O x Лекции 15 - 16 360 0 14 3 2 0 ) 3 ( 6 ) 2 ( 4 ) 1 ( 2 = − + + ↔ = − + − + − z y x z y x Уравнения нормали: 3 3 2 2 1 1 6 3 4 2 2 1 − = − = − ↔ − = − = − z y x z y x В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен уметь: вычислять частные производные функций, заданных явно, неявно, пара- метрически; находить точки экстремумов и условных экстремумов; владеть геометрическими приложениями (касательная плоскость и нормаль к поверхности и т.д.) |