Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
1.6. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу) Рассмотрим определитель n -го порядка 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n n a a a a a a A a a a = n О Минором М ij элемента а ij определителя n-го порядка называется опре- делитель (n-1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-строки и j–столбца , на пересечении которых стоит элемент a ij Например, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∆ = , 13 4 5 7 8 M = , 32 1 3 4 6 M = О Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij называется его минор со знаком (-1) i+j , где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент a ij , ( 1) i j ij ij A M + = − , например, Определители и матрицы 13 1 3 4 13 13 13 13 ( 1) ( 1) A M M M + = − = − = 3 2 5 32 32 32 32 ( 1) ( 1) , A M M M + = − = − = − Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений эле- ментов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения: Т 1 1 2 2 1 det n ij ij i i i i in in i A a A a A a A a A = = = + + + ∑ , i n 1,..., = , 1 1 2 2 1 det n ij ij j j j j nj nj i A a A a A a A a A = = = + + + ∑ , 1,..., j n = Эти формулы представляют собой разложение определителя по i-й строке и по j-му столбцу. Например, для определителей третьего порядка разложение по первому столбцу имеет вид: 11 12 13 21 22 23 11 11 21 21 31 31 31 32 33 a a a a a a a A a A a A a a a = + + = 22 23 12 13 12 13 11 21 31 32 33 32 33 22 23 a a a a a a a a a a a a a a a = − + = 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 21 12 33 32 23 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − С Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя |A| на алгебраическое дополнение соответствующих эле- ментов другой строки (столбца) равна нулю: 1 0, n ij kj j A a k = i = ≠ ∑ Непосредственным вычислением показывают, что этой сумме соответ- ствует определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами). 1.7. Методы вычисления определителя n-го порядка Определители высшего порядка вычисляются с использованием их свойств двумя способами. Лекции 1-2 14 1.7.1. Метод понижения порядка Так как в формуле разложения определителя n-го порядка по строке (столбцу) det n ij ij i1 i1 i2 i2 in in j=1 A= a A = a A + a A + ...+ a A ∑ , все алгебраические дополнения являются определителями (n-1)-го порядка, то задача свелась к вычислению n определителей меньшего, (n-1)-го порядка. Если в некоторой строке исходного определителя много нулей, то имен- но по ней удобно проводить разложение. Более того, используя свойство 8˚, можно добиться того, что все элементы некоторой строки (столбца), кроме одного, станут равны нулю. 1.7.2. Метод сведения к треугольному виду Используя свойства 1˚– 8˚, добиваются такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, рав- ны нулю, т.е. определитель имеет треугольную форму и численно равен про- изведению элементов, стоящих на главной диагонали: 11 12 1 22 2 11 22 1 0 0 0 n n n ii nn i nn a a ... a a ... a A a a a ... a ... ... ... ... ... a = = = = ⋅ ⋅ ⋅ ∏ Пример: Вычислить определитель 1 3 0 1 2 1 0 0 1 = ∆ двумя способами. 1). Разложим определитель по первой строке: 1 3 2 3 0 2 1 ) 1 ( 0 1 0 1 1 ) 1 ( 0 1 3 1 2 ) 1 ( 1 3 1 2 1 1 1 − = − = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = ∆ + + + 2). Приведем определитель к треугольному виду: 1 2 1 2 1 5 , 0 0 0 1 2 0 0 0 1 1 3 0 1 2 0 0 0 1 1 3 0 1 2 1 0 0 1 − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ ⋅ = − = = Определители и матрицы 15 2.1. Операции над матрицами Две матрицы и ( ) , ij m n A a = ( ) , ij m n B b = равны, A B = , если равны их размер- ности и все их соответствующие элементы совпадают, ij ij a b = , 1,..., ; 1,..., i m j = = О n Суммой двух матриц и ( ) , ij m n A a = ( ) , ij m n B b = n m одинаковой размерности × называется матрица , ( ) , ij m n C c = C A B = + , все элементы которой равны , 1,..., ; 1,..., ij ij ij c a b i m j = + = = О n Свойства операции сложения: 1˚. A B B A + = + . 2˚. ( ) A B C A B C + + = + + 3˚. A A + ∅ = 4˚. ( ) A A + − = ∅ Произведением матрицы ( ) , ij m n A a = на число α называется матрица О ( ) , ij m n B b = , B A α = ⋅ , все элементы которой равны ij ij b a α = , 1,..., ; 1,..., i m j = = n ) Свойства операции умножения на число: 5˚. ( ) ( A A α β α β ⋅ = 6˚. ( ) A B A B α α α + = + 7˚. ( ) A A A α β α β + = + 8˚. 0 ; 1 A A A ⋅ = ∅ ⋅ = . Для доказательства свойств 1˚-8˚ достаточно воспользоваться соответст- вующими определениями. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы , ( ) il m n A a = размерности ( ) m n × на матрицу размерности , ( ) lj n k B b = ( ) n k × называется матрица размерности ( ( ) , ij m k C c A B = = ⋅ ) m k × , элементы которой вычисляются по формуле: О 1 1 2 2 1 k ij il lj i j i j il lj l c a b a b a b a b ⋅ = = ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ∑ 1,..., i m = , 1,..., j k = Лекции 1-2 16 Иначе: элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца мат- рицы произведения , равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. ij c Пример: Дано: , . Найти 1 3 2 4 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 9 10 0 2 1 B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ C A B = ⋅ . , 11 1 1 3 0 1 c = ⋅ + ⋅ = 12 1 9 3 2 15 c = ⋅ + ⋅ = , , , 13 1 10 3 1 13 c = ⋅ + ⋅ = 21 2 1 4 0 2 c = ⋅ + ⋅ = 22 2 9 4 2 26 c = ⋅ + ⋅ = , 23 2 10 4 1 24 c = ⋅ + ⋅ = 1 15 13 2 26 24 C ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Свойства операции умножения матриц: 9˚. (A × B)×C= A×( B× C) (A× B)× C= A×( B× C). 10˚. (A+ B) × C = A× C+ B× C. 11˚. A ×( B + C)= A× B+ A× C. 12˚. A ×E=E× A= A. 13˚. A ×∅=∅× A =∅. 14˚. (A ×B) T = B T × A T 15˚. det( ) det det A B A B × = × Для доказательства свойств 9˚-14˚ достаточно воспользоваться опреде- лениями операций над матрицами. О Матрицы A и B называются перестановочными (коммутирующими), если A ×B=B×A. В общем случае произведение матриц не коммутативно, A ×B≠B×A. Определители и матрицы 17 2.2. Обратная матрица. Теорема о существовании левой и правой обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы О Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если оп- ределитель этой матрицы равен нулю, 0 A = , и невырожденной, если 0 A ≠ . Матрица А -1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение: 1 1 A A A A − − E × = × = . О Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Т Если матрица A не вырождена, то существует, и притом единст- венная, обратная матрица 1 A − , равная 1 1 det ( ) T A A A − ∨ = , где ( ) ij A A ∨ = - присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических до- полнений элементов исходной матрицы). Доказательство: Пусть дана квадратная матрица порядка : n 11 12 1 21 22 2 , 1 2 ( ) n n ij n n n n nn a a a a a a A a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1. Доказательство существования (необходимость). Пусть существует 1 A − . По определению 1 A A E − = . По свойству 15˚ операции умножения матриц 1 det( ) det A A E − = , et det det 1 det 0 1 d A A E A − ⋅ = = ⇒ ≠ , т есть о мат- рица A н вырождена. е 2. Доказательство существования (достаточность). Пусть матрица A не вырождена. Найдем вид элементов 1 A − , для чего вычислим произве- дение ( ) ( ) ( ) T T ij ij C A A a A ∨ = ⋅ = ⋅ , 1 1 det , ( ) 0, n n T ij ik kj ik jk k k A i j c a A a A i j = = = ⎧ = = = ⎨ ≠ ⎩ ∑ ∑ по теореме о разложении определителя по строке (столбцу), Лекции 1-2 18 A E ⎞ ⎟ ⎟ = ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ откуда , det 0 0 1 0 ... 0 0 det 0 0 1 ... 0 det det 0 0 ... det 0 0 ... 1 A A C A A ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ = = ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ т.е. ( ) det T A A A ∨ ⋅ = E ⋅ . Так как det 0 A ≠ , ( ) det T A A E A ∨ ⋅ = и 1 1 ( ) det T A A A − ∨ = 3. Доказательство единственности (от противного). Предположим, что кроме матрицы 1 A − , для которой 1 A A E − ⋅ = , существует матрица B , для которой также , причем B A E ⋅ = 1 B A − ≠ . Вычтем из одного равенства другое: 1 A A B A E E − ⋅ − ⋅ = − = ∅ , ( ) 1 A B A − − ⋅ = ∅ . Умножив последнее равенство на 1 A − справа, получим: 1 1 1 ( ) A B AA A − − − − ⋅ = ∅ ⋅ = ∅ . Так как 1 A A E − ⋅ = , 1 ( ) A B E − − = ∅ , 1 A B − − = ∅ , 1 A B − = , что противоре- чит . Предположение неверно, обратная матрица единственна. 1 B A − ≠ ( ) 1 1 A A − − = ! 1˚. ( ) 1 1 1 A A − − ⋅ = ⋅ ( α α 2˚. ) 1 1 1 A B B A − − − × = × 3˚. ( ) ( ) 1 1 T T A A − − = 4˚. Алгоритм нахождения обратной матрицы: 1. Находим det A det 0 A ≠ , проверяем 2. Находим ij M - все миноры матрицы A . ( 1) i j ij ij A M + = − 3. Определяем 4. Строим матрицу алгебраических дополнений ( ) ij A A ∨ = ( и транспониру- ем: ) ( ) T ji A A ∨ = 5. Делим каждый элемент матрицы на det A : 1 1 ( ) det T A A A − ∨ = Определители и матрицы 19 Пример: Найти матрицу, обратную для матрицы ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 4 3 2 1 A 1. 0 2 6 4 det ≠ − = − = A 2. 1 , 2 , 3 , 4 22 21 12 11 = = = = M M M M 3. 1 , 2 , 3 , 4 22 21 12 11 = − = − = = A A A A 4. , ( ) 4 3 2 1 A ∨ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 4 2 3 1 T A ∨ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 5. 1 4 2 2 1 1 3 1 3 / 2 0,5 2 A − − − ⎛ ⎞ ⎛ = − ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ Проверка: 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 0 3 4 1,5 0,5 6 6 3 2 0 1 A A E − − − + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ = ⋅ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2.3. Решение матричных уравнений Если A , - известные матрицы, а B X – неизвестная, то равенство вида A X B ⋅ = называется матричным уравнением. Основные типы матричных уравнений: 1. A X B ⋅ = . Матрица A должна быть квадратной, 0 A ≠ . Умножим уравне- ние на 1 A − слева: 1 1 A A X A B − − ⋅ ⋅ = , 1 E X A B − ⋅ = , 1 X A B − = 2. X A B ⋅ = . Матрица A должна быть квадратной, 0 A ≠ . Умножим уравне- ние на 1 A − справа: 1 1 1 X AA B A X B A − − ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ − 3. A X B C ⋅ ⋅ = . Матрицы A и B должны быть квадратными, 0 A ≠ , 0 B ≠ Умножим на 1 A − слева: 1 1 1 A A X B A C X B A C − − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = − 1 . Умножим на справа: 1 B − 1 1 1 1 X B B A C B X A C B − − − − ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − |